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人教版高中数学必修四三角恒等变换单元检测

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 03:37
tags:人教版高中数学必修4

高中数学有什么软件下载-2019年福建省高中数学省质

2020年10月7日发(作者:毛湘)



三角恒等变换单元验收
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)
1.2sin
2
15°-1的值是( )
1
A.
2
3
C.
2
1
B.-
2
3
D.-
2
[来源:学科网ZXXK]

2.已知函数f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则f(x)的最小正周
期是( )
π
A.π B.2π C. D.2
2
?

?
3
π
3.已知cos
?
2
+α
?
=,-<α<0,则sin 2α的值是( )
2
??
5
24
A.
25
12
C.-
25
12
B.
25
24
D.-
25
2cos 10°-sin 20°
4.的值为( )
cos 20°
61
A.3 B. C.1 D.
22
5.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=
的值为( )
1115
A. B. C. D.
4323


23
,则tan Atan B
3



6.已知α为锐角,cos α=
A.-3
4
C.-
3
?
π
?
5
,则tan
?
4
+2α
?
=( )
5
??
1
B.-
7
D.-7 < br>?
π
?
2
??
0,
7.若θ∈
2
?
,sin θ-cos θ=
2
,则cos 2θ等于( )
?
A.
3

2
B.-
3

2
.Com]

3
C.±
2
1
D.±
2
51
8.已知sin α-cos α=-,则tan α-的值为( )
2tan α
A.-5
C.-7
B.-6
D.-8
?
π
?
3
9.已知cos< br>?
x+
6
?
=,x∈(0,π),则sin x的值为( )
??
5
-43-3
A.
10
1
C.
2
43-3
B.
10
3
D.
2
5310
10.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC的形状
510
是( )
A.锐角三角形
C.直角三角形
B.钝角三角形
D.等边三角形
?
π??

?
????
x-x+
11.函数y=sin
1 2
?
·sin
?
12
?
的最大值为( )
?
1
A.
2


1
B.
4



C.1 D.
2

2
12.已知函数f(x)=3sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y< br>π
=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)
3
的最小正周期为( )
π
A.
2
C.π

B.
3
D.2π
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案
填在题中的横线上)
13.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=
________,b=________.

14.已知向量a=(4,3),b=(sin α,cos α),且a⊥b,那么tan
2α=________.
?

?
?
cos
α -
10
?
π
??
15.若tan α=2tan ,则=________.
5
?
π
?
sin
?
α -
5
?
??
16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,
大正方形的面积为25, 直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ
的值等于________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤)



π
4
17.(本小题满分10分)已知0<α<,sin α=.
25
sin2α+sin 2α
(1)求的值;
cos2α+cos 2α
?

?
(2)求tan
?
α-
4
?的值.
??
?
π
?
??
2x-
1+2cos
4
??
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=.
?
π< br>?
sin
?
x+
2
?
??
(1)求f(x) 的定义域;
3
(2)若角α在第一象限,且cos α=,求f(α).
5
?
π
??
π
?
???
19.(本小题满分12分)已知函 数f(x)=4tan xsin
2
-x
·cos
x-
3
?
????
-3.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
?
π π
?
(2)讨论f(x)在区间
?

4

4
?
上的单调性.
??
20.(本小题满分12分)已知向量m=(sin A,cos A),n=(3,
-1)且m·n=1,且A为锐角.
(1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos Asin x(x∈R)的值域.
21.(本小题满分12分)设向量a=(sin x,cos x),b=(cos x,cos
x),x∈R,函数f(x)=a·(a+b).
(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期;
3
(2)求使不等式f(x)≥成立的x的取值范围.
2
22.(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos x(sin x
+cos x).



?

?
(1)求f
?
4
?
的值;
??
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.

参考答案:
DADAB BBDBB AC
13. 2 1 14. -
247
15. 3 16.
725
π
43
17.解:(1)由0<α<,sin
α
=,得cos
α
=.
255
sin2
α
+sin 2αsin2
α
+2sin
α
cos
α
所以==
cos2
α
+cos 2
α
3cos2
α
-1
?
4
?
2
4 3
??
+2××
55
?
5
?
?
3
?
2

?
5
?
-1
??
=20.
sin
α
4
(2)因为tan
α
==,
cos
α
3
4
-1
?

?
tan
α
-1
3
1
所以tan
?
α

4
?
===.
47
??
1+tan
α
1+
3
?
π
?
π
??
18.解:(1)由sin
x+
2
≠0,得x+≠kπ(k∈Z),
2
??
故f(x)的定义域为
??
π
?
?
x
?
x∈R且x≠kπ-,k∈Z
?< br>.
2
???
(2)由已知条件得sin
α
=1-cos2
α

?
3
?
2
4
1-
?
5
?
=.
5
??



?
π
?
??
2α-
1+2cos
4
??
从 而f(α)=
?
π
?
sin
?
α

2< br>?
??
?
ππ
?
1+2
?
cos 2
α
cos
4
+sin 2
α
sin
4
?
??

cos
α

1+cos 2
α
+sin 2
α

cos
α
2cos2
α
+2sin
α
cos
α

cos
α
=2(cos
α
+sin
α
)=
14
.
5
???
??
π
?
19.解:(1)f(x)的定义域为
?
x
?
x≠
2+kπ,k∈Z
?
.
?
π
?
f(x)=4tan xcos xcos
?
x-
3
?
-3
??
?
π
?
=4sin xcos
?
x-
3
?
-3
??
?
1
?
3
=4sin x
?
cos x+sin x
?
-3
2
?
2
?
=2sin xcos x+23sin2x-3
=sin 2x+3(1-cos 2x)-3
?
π
?
??
2x-
=sin 2x-3cos 2x=2sin
3
?
.
?

所以f(x)的最小正周期T==π.
2
π
(2)令z=2x-,则函数y=2sin z的单调递增区间是
3?
ππ
?
?
-+2kπ,+2kπ
?
,k∈Z.
2
?
2
?



πππ
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,
232
π

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
1212
?
ππ
???
π

?
??
,易知
?? ?
-,-+kπ≤x≤
设A=
44
,B=x
1212
+kπ ,k∈Z
?????
?
ππ
?
A∩B=
?

12

4
?
.
??
?
ππ
??
ππ
?
所以当x∈
?

4

4
?
时,f(x)在区间
?

12

4
?
上单调递增 ,在区
????
?
ππ
?

?

4
,-
12
?
上单调递减.
??
?
π
?
20.解:(1)由题意得m·n=3sin A-cos A=2sin
?
A-
6
?
=1,
??
?
π
?
1
?
sin
A-
6
?
= .
??
2
πππ
由A为锐角得A-=,所以A=.
663
1
(2)由(1)知cos A=,
2
所以f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin
2
x+2sin x=
?
1
?
2
3
-2
?
sin x-
2
?
+.
2
??
因为x∈R,所以sin x∈[-1,1],
13
因此,当sin x=时,f(x)有最大值,当sin x=-1时,f(x)有
22
最小值-3,
?
3
?
所以所 求函数f(x)的值域为
?
-3,
2
?
.
??
2 1.解:(1)因为f(x)=a·(a+b)=a·a+a·b=sin
2
x+cos
2
x+sin xcos
π
?
1132
?
??
2x+
x+cosx=1+sin 2x+(cos 2x+1)=+sin
4
?

2222
?
2



322π
所以f(x)的最大值为+,最小正周期T==π.
222
π?
3
?
π
?
332
?
???
(2)由 (1)知f(x)≥?+sin
2x+
4
≥?sin
2x+
4
?
≥0?2kπ
222
??
2
??
ππ
≤2x+≤2kπ+π?kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
48
8
3
所以使f(x)≥成立的x的取值范围是
2
π< br>??

?
?
x
?
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z?
.
8
8
???
?

?
5π5π
?

?
????
sin +cos
22.解:法一:(1)f
4
=2cos
44
?
4
???
π
π
?
π
?
?
-2cos
-sin
4
-cos
4
?
=2.
4
??
(2)因为f(x)=2sin xcosx+2cos
2
x=sin 2x+cos 2x+1=2
?
π?
sin
?
2x+
4
?
+1,
??

所以T==π,故函数f(x)的最小正周期为π.
2
πππ
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
242
π

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
8
8π
??

??
kπ-,kπ+
所以f(x)的单调递增区间为
8
?
,k∈Z.
8
?
法二:f(x)=2sin xcos x+2cos
2
x=
?
π
?
?
sin 2x+cos 2x+1=2sin
2x+
4
?
+1.
??
?

?
π
11π
??
(1)f
4
=2 sin +1=2sin +1=2.
4
4
??
(2)因为T=



=π,所以函数f(x)的最小正周期为π.
2



ππ
π
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z ,
42
2
π

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
8
8
[来源:]

π
??

??
kπ-,kπ+
所以f(x)的单调递增区间为
8
?
,k∈Z.
8
?



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