最全最好的高中数学对称问题

高中数学中的对称性与周期性
函数对称性、周期性的判断
1. 函数
y?f(x)
有
f(a?x)?f(b?x)
（若等式两端的两自变量相加为常数， 如
(a?x)?(b?x)?a?b
），则
f(x)
的图像关于
x?
a?b
轴对称；当
a?b
时，若
2
f(a?x)?f(a? x) (或f(x)?f(2a?x))
，则
f(x)
关于
x?a
轴对称；
2. 函数
y?f(x)
有
f(x?a)?f(x?b)
（若等式两 端的两自变量相减为常数，如
(x?a)?(x?b)?a?b
），则
f(x)
是周期函数，其周期
f(x?a)?f(x?a)
，则
f(x)
是周期函数 ，其周期
3. 函数
y?f(x)
的图像关于点
P(a,b)
对称< br>数
y?f(x)
的图像关于点
P(a,0)
对称
?
4 . 奇函数
y?f(x)
的图像关于点
P(a,0)
对称
偶函数y?f(x)
的图像关于点
P(a,0)
对称
5. 奇函数
y? f(x)
的图像关于直线
x?a
对称
期；偶函数
y?f(x)
的图像关于直线
x
周期；
6. 函数
y?f(x)
的图像关于点
M(a,0)
和点
T?2(a?b)
是函数的一个周期；
7. 函 数
y?f(x)
的图像关于直线
x?a
和直线
T?2(a?b)是函数的一个周期。
T?a?b
；当
a?b
时，若
T?2a
；
f(x)?f(2a?x)?2b (或f(x)=2b?f(2a?x))
f(x)=?f(2a?x)
(或 f(a?x)=?f(a?x))
；
?
y?f(x)
是周期函数，且
T?2a
是函数的一个周期；
?
y? f(x)
是周期函数，且
T?4a
是函数的一个周期；
?
y?f(x )
是周期函数，且
T?4a
是函数的一个周
a
对称
?
y?f(x)
是周期函数，且
T?2a
是函数的一个
N(b,0)
对称
?
函数
y?f(x)
是周期函数，且
x?b
对称
?
函数
y?f(x)
是周期函数，且
?
；函

?

关系 图像特征
关于
y
轴对称
关于原点对称
关于
y
轴对称
关于直线
x?a
对称
f(x)?f(?x)

f(x)??f(?x)

f(a?x)?f(x?a)

f(a?x)?f(a?x)
，或
f(x)?f(2a?x)

f(x)?f(a?x)

f(a?x)?f(b?x)

f(x)?f(x?a)


对

点
、
称
点
直
(
直
对
线
线
称
轴
)
(
对
称
中 心
)
a
轴对称
2
a?b
关于直线
x?
对称
2
关于直线
x?
周期函数，周期为
a

P(a,b)

l:Ax?By?C?0

C:f(x,y)?0

原点（0，0）
(?a,?b)

(2x
0
?a,2y
0
?b)

M(x
0
,y
0
)

(a,?b)

x
轴
y
轴
(?a,b)

直线
x?y

(b,a)

直线
x??y

(?b,?a)

x?y?m?0

(?b?m,?a?m)

x?y?m?0

(b?m,a?m)


A(?x)?B(?y)?C?0

A(2x
0
?x)?B(2y
0
?y)?C?0

Ax?B(?y)?C?0

A(?x)?By?C?0

Bx?Ay?C?0

B(?x)?A(?y)?C?0

A(?y?m)?B(?x?m)?C?0

A(y?m)?B(x?m)?C?0

f(?x,?y)?0

f(2x
0
?x,2y
0
?y)?0

f(x,?y)?0

f(?x,y)?0

f(x,y)?0

f(?y,?x)?0

f(?y?m,?x?m)?0

f(y?m,x?m)?0

?< br>?
点关
于
点
的
对称
?
?
中心对称问 题（点对称问题）
?
直线关于点的对称
?
?
?
??
曲线关于点的对称
对称问题
?

?
点关
于直
线的
对称
?
?
?
轴对称问题（线对称问题）
?
直 线关于直线的对称
?
?
曲线关于直线的对称
?
?
?
一、 关于点对称
(1) 点关于点的对称点问题
若点A
(x
1
,y
1
)
, B
(x
2
,y
2
)
, 则线段AB中点M的坐标是(
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,
)； 据此可以解求点与点的
22
'
中心对称，即求点M
(x
0
, y
0
)
关于点P
(a,b)
的对称点
M
的坐标(x,y)
，利用中点坐标公式可得

a?
x
0
? xy?y
'
, b?
0
，解算的
M
的坐标为
(2a?x
0
, 2b?y
0
)
。
22

例如点M(6,-3)关于点P( 1,-2)的对称点
M
的坐标是
(?4,?1)
.
① 点M
(x
0
,y
0
)
关于点P
(a,b)
的对称点< br>M
的坐标
(2a?x
0
, 2b?y
0
)
'
'
'
;
② 点M
(x< br>0
,y
0
)
关于原点的对称点
M
的坐标
(2 a?x
0
, 2b?y
0
)=(?x
0
, ?y
0
)

.
(2) 直线关于点对称
① 直线L：
Ax?By?C?0
关于原点的对称直线
设所求直线上一点为
M( x,y)
，则它关于原点的对称点为
M(?x,?y)
，因为
M
点在 直线
L
上，故
有
A(?x)?B(?y)?C?0
，即
Ax ?By?C?0
；
② 直线
l
1
：
Ax?By?C?0< br>关于某一点
P(a,b)
的对称直线
l
2

它的求法分两种情况：
1)、当
P(a,b)
在
l
1上时，它的对称直线为过
P
点的任
一条直线。
2)、当
P
点不在
l
1
上时，对称直线的求法为：
解法（一）：在直线
l
2
上任取一点
M(x,y)
，则它关于'
'
P
的对称点为
M
'
(2a?x,2b?y)
，因为
M
'
点在
l
1
上，把
M
'
点坐标代入直线在
l
1
中，便得到
l
2
的方程即为
A(2a?x)?B(2b?y)?C?
，简化为：
0Ax?By?C?2aA?2bB?0
.
解法（二）：在
l
1
上取一点
M(x
1
,y
1
)
，求出
M
关于
P
点的对称点
M
'
(2a?x
1
,2b?y
1
)
的坐标。再
由
K
l1
?K
l2
??
A
，可求出直线
l
2
的方程。
B

解法（三）：由
K
l1< br>?K
l2
，可设
l
1
:Ax?By?C?0
关于点< br>P(a,b)
的对称直线为
Ax?By?C'?0
且
Aa?Bb?C< br>A?B
22
?
Aa?Bb?C'
A?B
22
求设C'
从而可求的及对称直线方程。
(3) 曲线关于点对称
曲线
C< br>1
:f(x,y)?0
关于
P(a,b)
的对称曲线的求法：设
M(x,y)
是所求曲线的任一点，则
M
点关
于
P(a,b)的对称点为
(2a?x,2b?y)
在曲线
f(x,y)?0
上。故对称 曲线方程为
f(2a?x,2b?y)?0
。
二、 关于直线的对称
(1) 点关于直线的对称
1) 点
P(a,b)
关于
x
轴的对称点为
P'(a,?b)

2) 点
P(a,b)
关于
y
轴的对称点为
P'(?a,b)

3) 关于直线
x?m
的对称点是
P'(2m?a,b)

4) 关于直线
y?n
的对称点是
P'(a,2n?b)

5) 点
P(a,b)
关于直线
y?x
的对称点为
P'(b,a)

6) 点
P(a,b)
关于直线
y??x
的对称点为
P'( ?b,?a)

7) 点
P(a,b)
关于某直线
L:Ax?By? C?0
的对称点
P'
的坐标
K
PP'
解法（一）：由PP'
⊥
L
知，
?
Ax?By?C?0
BB
?
??
直线
PP'
的方程→
y?b?(x?a)
，由
?
B
AA
y?b?(x?a)
?
?A
可求得交点坐标，再由 中点坐标公式求得对称点
P'
的坐标。
解法（二）：设对称点为
P'(x, y)
，由中点坐标公式求得中点坐标为
(
a?xb?y
,)
把中点坐 标代入
22
L
中得到
A?
a?xb?yBb?yB
?B?? C?0
①；
?
②，再由
K
PP'
?
得联立①、②可 得到
P'
点坐标。
22Aa?xA
解法（三）：设对称点为
P'( x,y)
，由点到直线的距离公式有
Aa?Bb?C
A?B
22
?< br>Ax?By?C
A?B
22
①，再
由
K
PP'
?
Bb?yB
?
②，由①、②可得到
P'
点坐标。 得
Aa?xA

(2) 直线
l
1
关于直线
l
的对称直线
l
2

设直线
l:Ax?By?C?0
，则
l

关于
x
轴对称的直线是
Ax?B(?y)?C?0

关于
y
轴对称的直线是
A(?x)?By?C?0

关于
y?x
对称的直线是
Bx?Ay?C?0

关于
y??x
对称的直线是
A(?y)?B(?x)?

C?
1) 当
l
1
与
l
不相交时，则
l< br>1
∥
l
∥
l
2

在
l
1< br>上取一点
M(x
0
,y
0
)
求出它关于
l< br>的对称点
M'
的坐标。再利用
K
l1
?K
l2
可求出
l
2
的方程。
2) 当
l
1
与
l
相交时，
l
1
、
l
、
l
2
三线 交于一点。
解法（一）：先解
l
1
与
l
组成的方程组，求 出交点
A
的坐标。则交点必在对称直线
l
2
上。再在
l1
上找一点
B
，
点
B
的对称点
B'
也 在
l
2
上，由
A
、
B'
两点可求出直线
l
2
的方程。
解法（二）：在
l
1
上任取一点
P( x
1
,y
1
)
，则
P
点关
于直线
l
的对称点
Q
在直线
l
2
上，再由
PQ
⊥
l
，
K
PQ
?K
L
??1
。又
P Q
的中点在
l
上，由此解得
x
1
?f(x,y),y
1
?g(x,y)
，把点
(x
1
,y
1
)
代入直线
l
1
的
方程中可求出
l
2
的方程。 < br>解法（三）：设
l
1
关于
l
的对称直线为
l
2
，则
l
2
必过
l
1
与
l
的交点 ，且
l
2
到
l
的角等于
l
到
l
1
的角，从
而求出
l
2
的斜率，进而求出
l
2
的方程。
例：求直线
l
1
:2x?y?3?0
关于直线
l:x?y?1?0
对称的直线
l
２
的方程
解：设
M?
x,y
?
为所求直线
l
２
上任意一点，则其关于l
对称的点
M'
?
x
1
,y
1
?在直线
l
１
上.
?
y?y
1
?
?
?1
?
??1 (MM'?l,
即K
MM'
?
K
l
=-1)
?< br>?
x
1
?1?y
x?x
?
1
?
?< br>
?
?
?
y
1
?1?x
?
x?x< br>1
?
y?y
1
?1?0 (MM'的中在l上)
?
2 2
?
又?2x
1
?y
1
?3?0?2
?
1 ?y
?
?
?
1?x
?
?3?0

故所求直线方程为
x?2y?4?0

(3) 曲线关于直线对称
曲线
C
1
关于直线
l
的对称曲线
C
2
的方程，在
C
2
上任取一点
M(x,y)
， 可求出它关于
l
的对称点坐
标，再代入
C
1
中，就可求得< br>C
2
的方程。
例：求圆
x?y?1
关于直线
l：
x?y?1?0
的对称圆的方程
解法（一）：设
M
?
x,y
?
为所求圆上任意一点，则其关于
l
对称的点
M'
?
x
1
,y
1
?
在
x?y?1
上. 22
22
?
y?y
1
?
?
?1
???1 (MM'?l,
即K
MM'
?
K
l
=-1)
?
?
x
1
?1?y
?
x?x
1

?
?
?
?
y?1?x
?
1
?
x? x
1
?
y?y
1
?1?0 (MM'的中在l上)
?
22
?
?x
1
2
?y
1
2
?1

?
?
y?1
?
?
?
x?1
?
?1
--即为对称圆的方程
解法（二）：求圆心（0，0）关于
l
对称点C（1，1）
22
? 所求圆方程为
?
y?1
?
?
?
x?1
?
? 1

22
y
2
?1
关于直线
l
：
x?y?1?0
对称椭圆的方程 例：求椭圆
x?
2
2
y
2
?1
上. 解：设
M
?
x,y
?
为所求椭圆上任意一点，则其关于
l
对称的 点
M'
?
x
1
,y
1
?
在
x?< br>2
2
?
x?1?y
1?x
??
2
?
?
?
1
?
?
1?y
?
??1

y ?1?x
2
?
?
1
2
综合上述，求对称问题通常采用变量替 换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴ 求对
称点一般采用，先设对称点
P(x, y)
，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出
x,y
的方程组，
解方 程组所得的解就是对称点的坐标，⑵ 求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点
M(x,y)
，再利
用求对称点的方程求出
M
点的对称点
M'
点坐标，将
M'
点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于
x,y
的关系式，就是所求对称曲线的方 程。
通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：
对

点
、
称
点
直
(
直
对
线
线
称
轴
)
(
对
称
中 心
)
P(a,b)

l:Ax?By?C?0

C:f(x,y)?0

原点（0，0）
(?a,?b)

A(?x)?B(?y)?C?0

f(?x,?y)?0

M(x
0
,y
0
)

(2x
0
?a,2y
0
?b)

A(2x
0
?x)?B(2y
0
?y)?C?0

f(2x
0
?x,2y
0
?y)?0

x
轴
y
轴
直线
x?y

直线
x??y

(a,?b)

Ax?B(?y)?C?0

f(x,?y)?0

(?a,b)

(b,a)

A(?x)?By?C?0

Bx?Ay?C?0

f(?x,y)?0

f(x,y)?0

(?b,?a)

(?b?m,?a?m)

(b?m,a?m)

B(?x)?A(?y)?C?0

A(?y?m)?B(?x?m)?C?0

A(y?m)?B(x?m)?C?0

f(?y,?x)?0

f(?y?m,?x?m)?0

f(y?m,x?m)?0

x?y?m?0

x?y?m?0


三、 函数图像自身的对称
(1) 一般地，函数
y?f(x)
的图象关于
x?< br>a?b
对称
?
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(b?x)

2
证明:
)
,设
P(x
0
,y
0
)
是
y?f(x)
的图象上的任意一点,则1)若
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(b?x
y
0
?f(x
0
)
,
P(x
0
,y
0
)
关于直线
x?
a?b
的对称点是
Q(a?b?x
0
,y
0
)

2
由条件知
f(a?b?x
0
)?f(b?(b?x
0))?f(x
0
)?y
0

所以
Q(a?b?x
0
,y
0
)
在
y?f(x)
的图象上,故函数
y ?f(x)
的图象关于
x?
2) 若函数
y?f(x)
的图象关于
x?
a?b
对称.
2
a?b
对称. 设
P(x
0
,y
0
)< br>是
y?f(x)
的图象上的任意一点，则
2
P(x
0
,y
0
)
关于
x?
a?b
对称点
Q(a?b?x< br>0
,y
0
)
也在
y?f(x)
的图象上。从而有2
y
0
?f(x
0
)?f(a?b?x
0
)< br>。令
b?x
0
?x
则有
f(a?x)?f(b?x)

特例：
① 当b=a时，函数
y?f(x)
的图象关于
x?a对称
?
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)

② 当a=0,b=2m时，函数
y?f(x)
的图象关于
x?m
对 称
?
y?f(x)
满足
f(x)?f(2m?x)

③ 当 a+b=0时，函数
y?f(x)
的图象关于
x?0
对称
?
y?f(x)
满足
f(?a?)x?f(a?或)x
(2) 函数
y?f(x)
关于点
(a,b)
对称
(f?a)?x

f?a(?x
?
f(a?x)?f(a?x)?2
，
b
或< br>f(2a?x)?f(?x)?2b
或
f(2a?x)?f(x)?2b
< br>简证：设点
(x
1
,y
1
)
在
y?f(x)
上，即
y
1
?f(x
1
)
，通过
f(2a ?x)?f(x)?2b
可知，
所以
f(2a?x
1
)?2b?f( x
1
)?2b?y
1
，所以点
(2a?x
1
,2b ?y
1
)
也
f(2a?x
1
)?f(x
1
)?2b
，

在
y?f(x)
上，而点
(2a?x1
,2b?y
1
)
与
(x
1
,y
1< br>)
关于
(a,b)
对称。得证。



关系 图像特征
关于
y
轴对称
关于原点对称
关于
y
轴对称
关于直线
x?a
对称
f(x)?f(?x)

f(x)??f(?x)

f(a?x)?f(x?a)

f(a?x)?f(a?x)
，或
f(x)?f(2a?x)

f(x)?f(a?x)

f(a?x)?f(b?x)

f(x)?f(x?a)

a
轴对称
2
a?b
关于直线
x?
对称
2
关于直线
x?
周期函数，周期为
a

四、 两个函数图像的对称
关系 图像特征
y?f(x)
与
y?f(?x)

换种说法：
y?f(x)
与
y?g(x)
若满足
f(x)?g(?x)

关于
y
轴对称
y?f(x)
与
y??f(x)

y?f(x)
与
y??f(?x)

y?f(x)
与
y?f
?1
(x)

y?f(a?x)
与
y?f(b?x)

y?f(a?x)
与
y?f(a?x)

或
y?f(x)
与
y?f(2a?x)

关于
x
轴对称
关于原点对称
关于直线
y?x
对称
关于直线
x?
a?b
对称
2
关于直线
x?a
对称
y?f(x)
与
y?2a?f(x)

换种说法：
y?f( x)
与
y?g(x)
若满足
f(x)?g(x)?2a

关于直线
y?a
对称
y?f(x)与y?2b?f(2a?x)

关于点
(a,b)
对称

换种说法：
y?f(x)< br>与
y?g(x)
若满足
f(x)?g(2a?x)?2b


五、 周期性
1、一般地，对于函数
f(x)
，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)
，那么函数
f(x)
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
说明：周期函数定义域必是无界的。 < br>推广：若
f(x?a)?f(x?b)
，则
f(x)
是周期函数，b?a
是它的一个周期
2.若
T
是周期，则
kT(k?0,k? Z)
也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期
是指函数的最小正周期。
说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数
f(x)?C
；
3、对于非 零常数
A
，若函数
y?f(x)
满足
f(x?A)??f(x)，则函数
证明：
f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x )]?f(x)
∴函数
y?f(x)
的一个周期为
2A
。
4、对于非零常数
A
，函数
y?f(x)
满足
f(x?A)?
1
f(x)
，则函数
证明：
f(x?2A)?f(x?A?A)?
1
f(x?A)
?f(x)
。
5、对于非零常数
A
，函数
y?f(x)
满足
f(x?A)??
1
f(x)
，则函数< br>证明：
f(x?2A)?f(x?A?A)??
1
f(x?A)
?f( x)
。
6、已知函数
f(x)
的定义域为
N
，且对任意正 整数
x

都有
f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)
则 函数的一个周期为
6a
证明：
f(x)?f(x?a)?f(x?a)
（1）
f(x?a)?f(x)?f(x?2a)
（2）
两式相加得：
f(x?a)??f(x?2a)


f(x)??f(x?3a)?f(x?6a)


y?f(x)
必有一个周期为
y?f(x)
的一个周期为
y?f(x)
的一个周期为
2A
。
2A
。
2A
。

六、 对称性和周期性之间的联系
性质1：函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)
，
f(b?x)?f(b?x)
(a?b )
，求证：函数
y?f(x)
是周
期函数。
证明：∵
f(a?x)?f(a?x)
得
f(x)?f(2a?x)

f(b?x)?f(b?x)
得
f(x)?f(2b?x)

∴
f(2a?x)?f(2b?x)

∴
f(x)?f(2b?2a?x)

∴函数
y?f(x)
是周期函数，且
2b?2a
是一个周期。 性质2：函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)?c
和f(b?x)?f(b?x)?c
(a?b)
时，函数
周期函数。（函数
y?f(x)
图象有两个对称中心（a，
c
2
）、（b，
c
2
）时，函数
y?f(x)
是周期函数，且
对称中心距离的两倍，是函数的一 个周期）
证明：由
f(a?x)?f(a?x)?c
?
f(x)?f(2a ?x)?c


f(b?x)?f(b?)x?
?
c
f(x)?f(2b?x)?

c
得
f(2a?x)?f(2b?x)

得
f(x)?f(2b?2a?x)

∴函数
y?f(x)
是以
2b?2a
为周期的函数。
性质 3：函数
y?f(x)
有一个对称中心（a，c）和一个对称轴
x?b
（a≠ b）时，该函数也是周期函数，
且一个周期是
4(b?a)
。
证明：
f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c


f(b?x)?f(b?)x?f()x?f(2?b

x

f(4(b?a)?x)?f(2b?(4a?2b?

x

f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?2a?x)?)2c?f(?2b

?a2x

?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a?x)


?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x)?f(x)

推论：若定义在< br>R
上的函数
f(x)
的图象关于直线
x?a
和点
(b ,0)(a?b)
对称，则
f(x)
4(b?a)
是它的一个周期
证明：由已知
f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).

?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x]
??f[2a ?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]

?f[2b?2(2a?b)?x]? f[4(b?a)?x],周期为4(b?a).
y?f(x)
是
是周期函数，

举例:
y?sinx
等.
性质4：若函数
f(x)
对定义域内的任意
x
满足：
f(x?a)?f(x?a)
,则
2a
为函数
f(x)
的周期。（若
f(x)
满足
f(x?a)? f(x?a)
则
f(x)
的图象以
x?a
为图象的对称轴，应注意二 者的区别)
证明：
?f(x?a)?f(x?a)


?f(x)?f(x?2a)


性质5：已知函数
y?f
?
x
?
对任意实数
函数
证明：
f(a?x)?b?f(x)

f(x?2a)?f((x?a)

x
,都有
a)?b?f(xf
?
a?x
?
a)?b?(b
f
?
x
?
?b
，则
y
f(x))?f(x)

f
?
x
?
是以
2a
为周期的
??
???