好用的高中数学椭圆解题方法

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一些好用的高中数学椭圆解题方法
一、设点或直线
做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为

,

等，如果是在椭圆

上的点，还可以设为

。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为

。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点

并且不与y轴平行，可以设点斜式

,如果不与x轴平行，可以设

，如果只是过定点，可以设参数方程

，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这 些条件转化
一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分
线是一条 水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的 题目给的条件可能有多种转化方式，
这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更 简单。
三、代数运算
转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元 二次方程的韦达定
理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式

，设参数方程时，弦长公式可以简化为

1

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解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为

和

，AB与x轴交于D，则

(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何 中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定 点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参
数方程会简单一些。
在 解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，
整理即可得到 这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求
做解析几何题，首先 对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式
子要化简，这时候，只要你方向没 错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和
准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不 像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需
要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证 的，因为一旦算错数，就很可
能功亏一篑。
五、理论拓展
这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容
关于直线：
1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程:

。据此可以直接写出过

和

两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没 有关系。对于一些坐标
很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。
2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A,B）垂直；过定点

的直线的一般式可以写为

。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。
关于椭圆：
2

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3、椭圆

的焦点弦弦长为

（其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为

，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。
4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到 焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆
的离心率。椭圆

的准线是

。
上面给出的几个内容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用 。比如前两
条内容，用的时候稍稍变换一下，老师也不一定知道你是在套结论。如果想用第三条的话，< br>可以装模作样地算算，实际上再套用结论，估计老师也未必能看出来。至于第4个内容，直
接用有 一定风险，如果用上能解题的话，不到山穷水尽也最好还是别用。用这些结论，都能
或多或少地减小运算 量，降低算错的几率。
下面看几道例题。建议大家看解题过程之前最好先自己做一做。
就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的！
例1

3

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例2

例3

例4
4

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例5

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