如何上好高中数学新授课

如何上好新课标下的高中数学新授课
重庆市綦江中学（401420） 胥泽伟（电话：）
新课程标准指出：“数学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数
学的心理规律，强调从学生己有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽
象成数学模型并进行解释 与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在
思维力、情感态度与价值观等多维度得到进步和发 展。”在强化素质教育，减轻
学生学习负担的今天，数学新授课在激发学生学习数学的兴趣，调动学生学 习的
积极性和主动性，教会学生学习方法，形成技巧，发展智力，培养能力方面都有
非常重要的 作用。新授课如何上，才能发挥它应有的作用，这是每一位数学教师
都非常重视并且在不断探索、不断实 践的问题。
一、新授课的特点是“新”。这就要求我们，要研究新方法、讲出新味道、
保证新 收获。在教学对象不变的情况下，教学内容决定教学方法。同是数学课，
面对概念、公式、例题的不同形 态，教学方法也应有所不同。“味道”指的是知
识给人带来的美感。数学课，要讲出它的语言美、思维的 哲学美等；要讲出它的
简单美、对称美、整齐美、和谐美、奇异美等。新收获就是新进步。学生有无新< br>进步，是可以通过观察、反馈等手段加以验证的。
二、新授课联着旧知识。这就要求我们， 要及时指导学生温习旧知识，消除
拦路虎。知识的新旧是相对而言的。在知识的链条中，已学的知识为旧 知识，未
学的知识为新。在严密的学科体系中，知识的链条是互相扣合衔接的，每一个环
节都不 可或缺，不可或断。所以，一切新知都以旧知为基础。在新授课中，第一
个环节就是复习旧知，但仅仅靠 这个环节还不知以修补断缺的知识链条。要真正
消除拦路虎，需要做较多的工作——包括课下辅导、同学 互助等。
三、新知识不都是难知识。这就要求我们，要准确把握教学重点，切忌照本
宣科 、主次不分。新授课的内容不都是“全新”的。因为学生都不是“一无所知”、
“一无所能”的。因为新 知识以旧知识为背景，是能够超前学习或通过迅速扫描
而粗知一二的。所以当讲授新内容时，有些知识对 于学生来说已经并不“新鲜”
了。“新鲜”的地方，一是他们自学时没有弄懂的知识，二是理解错误或不 到位
的知识。在新授课教学过程中要准确把握这些“新鲜”知识并将其作为教学重点
认真对待， 这样才有可能切实提高课堂效率。
在这里我浅谈一下自己的一些想法和感受。
（一）准备阶段的原则与要求
俗话说：“良好的开端是成功的一半。”教师的课前精心备课是 上好一节课的
前提，教师在新授课前必须在课程标准的指导下感知教材，深刻理解教材，把握
住 教材的重、难点，细化本节的教学目标。建议老师从以下几方面着手：
1．分析、理解所教内容 重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念在中
学数学中的地位进行分析 ，其中隐含的思想方法要作出明确表述。在此基础上阐
明教学重点。
案例：《直线与平面垂直的判定（一）》
直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况 ，它是空间中直线与直
线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间< br>转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等
内容的基础，因而 它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个 平面内的任意一条直线都垂直，就

称这条直线与这个平面互相垂直。定义中的“任意一条 直线”就是“所有直线”。
定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面， 那
么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个 平面内的两条相交直线都垂
直，则该直线与此平面垂直。该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直 线
垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定
简捷而又具有 可操作性。
对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展
开，而 对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、
初步运用”的认知过程展开， 通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力
和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推 理论证能力和运用图形语
言进行交流的能力。同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面
问题”，“无限问题转化为有限问题”，“ 直线与直线垂直和直线与平面垂直的相
互转化”。
教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2．细化教学目标
对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解 析，一般
的，核心概念的教学目标都应进行适当分解。
这里，目标不分为“知识与技能”“过 程与方法”“情感态度价值观”，而以1.…，
2.…，3.…的方式逐条列出，强调把能力、态度等“ 隐性目标”融合到知识、技
能等“显性目标”中，以避免空洞阐述“隐性目标”，使目标对教学具有有效 的
定向作用。
案例：《直线与平面垂直的判定（一）》
目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。
目标解析：
（1）、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。
(2)、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。
(3)、能运用直线 与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命
题：在平面内选择两条相交直线，证明它们 与平面外的直线垂直。
(4)、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于 另
一条直线所在的平面。
3．教学问题的预判分析
老师应当根据自己以往的教学经 验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对
本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障 碍的原因进行分析。在
上述分析的基础上指出教学难点。具体的，可以从认知分析入手，即分析学生已< br>经具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标还需
要具备哪些条件， 通过已有基础和目标之间的差异比较，分析教学中可能出现的
障碍。本栏目的内容应当做到言之有物，以 具体数学内容为载体进行说明。例如，
在“向量的坐标表示”中，可以包含如下诊断：“学生在理解始点 不在坐标原点
的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是……”。另外，不同的学生会出现不
同 的教学问题，这也是在分析过程中要加以注意的。
案例：《直线与平面垂直的判定（一）》
学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）
互相垂直的位置关系，有了 “通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”

的体会，有了一定的空间想象能力、 几何直观能力和推理论证能力。
在直线与平面垂直的判定定理中，学生对为什么要且只要两条相交直线 的理解有
一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”
代替“ 无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时，由于学生的空间想
象能力、推理论证能力有待进一 步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，
不知如何选择已知平面内的两条相交直线证直线与平面线 垂直，或选择与直线垂
直的平面证明直线与直线垂直，导致证明过程中无从着手或发生错误。
教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。
4．分析准备教学所需条件
为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析 应当采取哪些
教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。
当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元
联系表示”的教学情境。
案例：《直线与平面垂直的判定（一）》
准备投影仪，多媒体课件，三角板，教鞭（表直线） 。学生自备学具：三角形纸
片、三角板、笔（表直线）、课本（表平面）。
（二）课堂过程中的原则要求
1、直观感知阶段：
老师给学生提供大量的感性认 识材料，形成对概念的感性认识，通过辨认，
对各种属性加以分化．这些材料应从实际出发（教材的实际 、学生的知识水平及
年龄实际、生活和生产实际等），当然情境中也可以以问题入手（直观具体的、本学科的、跨学科的），通过与本概念有明显联系、直观性强的实际例子，使学
生在对直观、具体问 题的体验中感知概念，由知觉到感觉、形成感性认识．
对于定义的认识给出如下材料：
问题 1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置
关系？你能举出一些类似的例子吗 ？
设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立
初步印象，为 下一步的数学抽象做准备。
师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内
直立的墙角线和地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出
课题。
对于定理的归纳理解给出如下准备：
问题2：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？
虽然可以根据直线与平面垂直的 定义判定直线与平面垂直，但由于利用定义
判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线 是否垂直，这种方
法实际上难以实施，因为我们无法去一一检验。因而有必要寻找一个便捷、可行
的判断直线和平面垂直的方法。
问题3、观察跨栏、简易木架等实物，你认为其竖杆能竖直立于地面的原因是什
么?
设计意图：通过图片观察思考，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条
直线（两条相交直线），从 中体验有限与无限之间的辩证关系。
师生活动：引导学生观察思考，师生共同分析竖杆能竖直立于地面 的原因：它固
定在两相交横杆上且与两横杆垂直。
实验：请同学们拿出准备好的一块（任意） 三角形的纸片，我们一起来做一个试

验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面
上，（BD、DC与桌面接触）.
问题3：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
设计意图：通过观察试验，分析折痕AD与桌面不垂直的原因，探究发现折痕
AD与桌面垂直的条件。
师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学
生进行交流，根 据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，
经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD 是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕
AD与桌面垂直。
二、辨析概括阶段：
从不同的角度和侧面去分析比较，通过对一定数量感性材料的观察、分析，以归
纳的方法提炼、概括出 数学对象的本质属性，舍弃非本质属性，形成对概念的理
性认识．给概念下定义，明确概念的内涵和外延 ．这些过程必须是由学生尝试、
修改、补充后，才在教师的引导下进行归纳，形成简明清晰、准确严谨的 定义．
思考1：直线和平面垂直的意义是什么？
我们已经学过直线和平面平行的判定和性质 ，知道直线和平面平行的问题可转化
为考察直线和平面内直线平行的关系,直线和平面垂直的问题同样可 以转化为考
察直线和平面内直线的关系。
问题1：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗 杆AB及它在地面的影子BC，
旗杆所在的直线与影子所在直线的位置关系是什么？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什
么？由此可以得到 什么结论？
设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，
感知直线与平面垂直的本质内涵。
师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的 影子随着时间

的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在 直线
与地面内的任意一条直线都垂直。

问题2：如图，AC、AD是用来固定旗杆AB的铁链，它们与地面内任意一条直线
都垂直吗？








设计意图：通过
反面剖析，进一
步感悟直线与
平面垂直的本
质。 < br>师生活动：引导
学生将三角板
直立于桌面上，
用一直角边作
旗杆AB， 斜边作
为铁链AC，观察
桌面上的直线
（用笔表示）是
否与AC垂直，
由此否定上述结论。
问题3、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。
师生活动：学生回答，教师补充完善 ，指出定义中的“任意一条直线”与“所有
直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面
α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂
面． 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂
直，如图。




D
C



A
B

辨析1：下列命题是否正确，为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面
垂直。
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直
线。
设计意图：通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）
使学生明确定义中的 “任意一条直线”是“所有直线”的意思。由（2）使学生
明确，直线与平面垂直的定义既是判定又是性 质，“直线与直线垂直”和“直线
与平面垂直”可以相互转化。（为后续：线不在多、贵在相交作铺垫）
师生活动：命题（1）判断中引导学生用笔表直线，用三角板两直角边表两垂直
直线，用书本表 平面举出反例。教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角
三角板的一条直角边AC放在黑板面上， 这时另一 条直角边BC就和黑板面的
一条直线（即三角板与黑板面的交线AC）垂直，
在此基 础上在黑板面上放一根和AC平行的教
D
鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，
j
但BC不一定和黑板面垂直，最后教师给出
反例的直观图4。

A

B


由命题（2）给出下列常用命题：

指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判
定一条直线垂直 于另一条直线所在的平面。
问题4: 如图, 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥C D，AD⊥BD
A
发生变化吗？由此你能得到什么结论？



S



设计意图：引导学生发
B
D
现 折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直
线。

B

师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，
翻折之后垂直关 系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。这就是说，当AD垂直于桌面内的
两条两条相交直线CD、BD时 ，它就垂直于桌面。
问题5：（1）如图，把AD、BD、CD抽象为直线 ，把桌面抽象为平面 ，直线 与
平面 垂直的条件是什么？
C
C

（2）如图,若α内两条相交直线
a
、b 与
l
无公共点且
l
⊥
a
,
l
⊥b，直线
l
还
垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？
设计意图：让学生归纳出直线与 平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，
使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决 于在这个平面内能否找到
两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是
无关紧要的。
师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相
交直线确定一个平面”的事实作简要说明。然后让学生用图形语言与符号语言来
表示定理。指出 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化
的数学思想。
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
用符号语言表示为：？（由学生自己完成）
辨析2：下列命题是否正确，为什么？
如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面。
设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。
师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。
三、应用和强化阶段：
运 用概念，使概念具体化、纳入概念系统，形成新的认知结构，达到概念的掌握．新
授课的巩固训练是帮助 学生理解巩固新知识，由“懂”到“会”再到“熟”的重
要环节。教师要根据学生的认知特点，科学合理 的设计巩固训练题。
1．针对学生的易错点所在可设计预防错误产生的练习，以使学生能更好地理解
新知识。 2．为使学生实现由“懂”到“会”的转化，可从多角度变换设计一组训练题目，
使学生通过反复训 练，形成基本技能。
3．为使学生实现由“会”到“熟”的转化，可引导学生发现各个训练题目的内< br>在特点，发现它们之间的区别和联系，以便形成熟练的解题技巧。
同时在此环节要注意以下几点 ：（1）训练内容尽量生活化、情境化，使学生感觉
不陌生并感受数学价值；（2）训练坡度要小；（3 ）突出重点、难点；（4）多次反
馈，重点讲评，及时讲评。
案例：《直线与平面垂直的判定（一）》
例1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
设计意图：初步感受如何 运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确
运用判定定理的条件。
师生活动：学生 根据题意画图，将其转化为几何命题：△ABC中，a⊥AC,a⊥BC，
求证：a⊥AB。请两位同学 板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明
确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条 件，特别是“相交”的条件。

例2、已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
设 计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理或用定义证明直线与
平面垂直，体会空间中平行 关系与垂直关系的转化与联系。
师生活动：教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证 ，提示辅
助线的添法。学生在练习本上完成，对照课本P73例1,完善自己的解题步骤。

让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么
另一条直线也 垂直于这个平面。指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，
其结果可以作为直线和平面垂直的又一 个判定方法。
练习、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点， 判断下列结
论是否正确：
① AC⊥面CDD1C1 ② AC⊥面BDD1B1
③ EF⊥面BDD1B1 ④ AC⊥BD1
设计意 图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决
问题中的作用。其中①是定义的 应用，②是判定定理的应用，③是例2结论的应
用，④是判定定理与定义的应用。
师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参与讨
论。
四、总结反思阶段：
小结是课堂教学的一个重要组成部分。在小结中应引导学生对新知识进行 概括，
促进学生对知识的理解，使他们由具体经验的水平过渡到抽象概括的水平，这样
可使学生 对知识的理解条理化、明朗化，帮学生建立起系统的知识体系。同时根
据训练中出现的共性问题，教师有 针对性地引导学生从知识内容、解题策略、思
想方法等方面进行归纳总结，使学生能最大限度的减少错误 的发生，为后面知识
的学习奠定坚实的基础。
案例：《直线与平面垂直的判定（一）》反思小结：
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？
设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题进行质疑和概括。
师生活动：学生发言，互 相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的
三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例2的 结论。这些方法体现了转化的
数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
教师为主导，学生为主体，训练为主线是数学教学的三大基本特征。决定一节数
学新授课的效果和质量 的因素和环节有很多，但是更重要的是取决于教师和学生
的能动作用是否得到充分发挥。因此，教师需要 不断学习，更新新知识、新理论、
新的教学方法，全面提高个人能力和个人魅力，充分调动学生学习的积 极性、主
动性，不断培养学生的合作意识和合作能力，只有这样，45分钟的数学新授课
才能显 示出它的非凡魅力和作用。
以学生学会学习、学会交流、学会反思、学会创造为目标，可以使数学课堂 教学
合理化、科学化，真正做到学生为主体教师为主导，使学生在开放互动的环境中
能学、乐学 、会学，做到主动探索，提高能力，发挥个性，使课堂教学过程成为
知识建构的过程，达到培养学生自主 学习能力的目的。