2018最新高中数学-三角函数公式大全

三角函数公式大全
一、任意角的三角函数
在角:的终边上任取一 点
P(x,y)
，记：
r
「
x
2

y
2

,
正弦：
sin
二
__y
r
余弦：
cos
：
x r
正切：
tan :
=
y

余切：
cot :
x
y x
r
x

正割：
sec
：

csc.
：
r
余割：
i
y

注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数： 如图，与
单位圆有关的有向 线段
MP
、
OM
、
AT
分别叫做角〉的正弦线、余弦线、正 切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
sin
：
esc
：
= 1
，
cos
：
sec
：
= 1
，
tan
：
cot
：
= 1
。
商数关系：
,

, cos?
tan
，
cot
：
cost sin :
22222
sin
二川
cos
：
=1
，
1 tan
：
= sec :-
，
1 cot
：
=
平方关系：
esc
2

：
。
⑴二
Tk
二
(k Z)
、—、’旷乜、二—、
2
二-：-的三角函数值，等于〉的 同名函数
si n°
三、诱导公式
值，前面加上一个把：?看成锐角时原函数值的符号。(口诀：函数名 不变，符号看象限)
⑵ 、 、
3

、
3

的三角函数值，等于〉的异名函数值，
2 2 2 2
前面加上一个把「看成锐角时原函数值的符号。(口诀：函数名改变，符号看 象限)
四、和角公式和差角公式
1 7

sin
（沱
I'） =sin
：
cos
：
cos
：
sin :
sin
（卅
'-
）
= sin
：
cos
：
—cos
：
sin :
cos（:;
亠『）=
cos
：
cos .
：
-sin
：
sin : cos
（圧 『‘）
=cos
：
cos
：
sin
：

sin :
tan
（:工亠
P）
1 - tan
：
tan :
tan
（：??『■）
1 tan
：
tan
tan tan :
tant tan :

五、二倍角公式
sin2
：
- 2sin
：
cos
：
2 2 2 2
cos2
：
= cos
二
sin 2cos
二
1 =1-2sin
一…
（）
tan 2
2ta na
1 -tan :
2~
二倍角的余 弦公式
（
“
）
有以下常用变形：（规律：降幕扩角，升幕缩角）
1 cos2
：
=2cos
：

2 2
2 2
1-cos2
：
= 2sin :
1 - si n2
：
= （si n
：
-1 si n2
：
= （si n
二
yos-
二）
cos-
：
〉）
1+cosR .
2
1
+
sin 2
口
1—cos2
。
sin R
cos
G
= ---------------
，
sin a = ---------------
，
tan
。= ----------- = ----------
2 2 si nR 1 +cos2?
2
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
2
sin 2
2ta n
。 小
1 - ta n
。
2—
，
cos2
2—
，
tan 2
1 +ta n
。
1 +ta n^
2ta n
。
2—
。
1 - ta n a
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切..来表示。
七、和差化积公式
R
a + P a - P
2 7

sin-
二
- sin - - 2sin ----------- cos --------
2 2
a + P a - P
sin
：：
-sin - = 2cos ------- sin ---------
cos _
：
i ' cos
：
=2 cos cos —
2 2
R
a + P a - P
…⑴
…⑵
cos
：
--cos - - -2sin sin
2 2
…⑷
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
^ot + P a - P a + P a - P a + P a - P
sin a = sin --------- + --------- I = sin --------- cos -------- + cos --------- sin --------
l22
丿
2 2 2 2
fo
（
+ P a - P a + P a - P a + P a - P
sin Q =sin --------- -- -------- i = sin --------- cos -------- -cos ---------- sin --------
l22
丿
2 2 2 2
两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
+ P a - P a + P a - P a + P a - P cos
。
= cos ---------- + - I = cos -- cos -------- sin
------------------------ sin -------
l22
丿
2 2 2 2
--------------- --- i= cos cos
R
fa + P a - P a + P a - P a + P a - P cos
岁=
cos -----
l 2 2
丿
2 2
+sin
------------------------ sin --------
2 2
两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式
A
sin
：
cos
：
=—bin
（二「-'）
sin（
：
--）1
2
cos
：
sin
：
=丄
sin
（二
5
）
「
sin（x ? I
）】
2
COS
、；
cos
：
= — lcos（'? ' I）
亠
cos（
：
——
）
］
2
1
sin
：
sin _ bos?
、
I ） _cos（
：
_ _）］
2
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用
3 7

九、辅助角公式
asin x bcosx = a
2

b
2

sin（x ）
（）
其中：角「的终边所在的象限与点
（
a,b）
所在的象限相同,
4 7

sin
_a
2
—b
2
，

一 爲
2
一
b
2
，怡门=；
十、正弦定理
a b c

sin A sin B
si
nC
=2R
（
R
为
ABC
外接圆半径）

1
^一、余弦定理
a
2
= b
2
c
2
-2bc cos A
b
2

二
a
2
c
2
_ 2ac cosB
c a b -2ab cosC
2 2 2
十二、三角形的面积公式

匕底高
bcsi nA casi nB
(两边一夹角)
111
S
ABC
absi nC
2 2 2
s
ABC
二西（
R
为

外接圆半径）
4R
S
ABC
二
a b c
r
（
r
为
ABC
内切圆半径）
2
S.
ABC
二
p( p - a)( p - b)( p - c)
…
海仑
公式(其中
P
abc
2
)
5 7

十三诱导公式






公式一：


设
a
为任意角，终边相同的角的同一三角函 数

的值相等


k
是整数





公式二：

设
a
为任意角，
n +o
的三角函数值与
a
的三 角函

数值之间的关系







公式三:

任意角
a
与
-
a
的三角函数值之间的关系







公式四：


利用公式二和公式三可以得到
n a
与
a
的三

角函数值之间的关系






公式五：

利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到
a
-


n
与
a
的三角函数值之间的关系




公式六：


利用公式一和公式三可以得到
2
n a
与
a
的 三角函

数值之间的关系


6 7

sin
(
2k
n +)a
=sin
a
COS
(
2k
n +)a
=COS
a
tan
(
2k
n +)a
=tan
a
COt
(
2k
n +)a
=COt
a
sec
(
2k
n +)a
=sec
a
CSC
(
2k
n +)a
=csc
a
sin
(n
+
)
=
—
sin
a
cos
( n
+
a
=
—
cos
a
tan
( n
+
a
=tan
a
cot
( n
+
a
=cot
a
sec(
n
+
a
s)e?
a
csc(
n
+
a
C
)
sC
a
sin (
— a)
=
—
sin
a
Cos
(— a)
=Cos
a
tan
(
— a)
=
—
tan
a
Cot
( — a)
=
—
Cot
a
sec(-
a
)=sec
a
csc(-
a
)=csc
a
sin (
n— a)
=sin
a
Cos
( n— a)
=-Cos
a
tan
(
n— a)
=
—
tan
a
cot
( n— a)
=
—
cot
a
sec( -
n
)=sec
a
Csc( -
n
)=CsC
a
sin
(an)
=
—
sin
a
Cos
(an)
=
—
Cos
a
tan
(
a- n)
=tan
a
cot
( a-
n)
=cot
a
sec( -
a
)=sec
a
CSC
(
-
a
)=~ CSC
a
sin (2
n— a)
=
—
sin
a
cos
(
2
n- a)
=cos
a
tan
(
2
n— a)
=
—
tan
a
cot
(
2
n— a)
=
—
cot
a
sec(2 -
n
)=sec
a

csc(2 -
n
)=csc
a
sin
( n
2+
)a
=COS
a
cos
( n
2+
)a
=
—
sin
a
tan
( n
2+
)a
=
—
cot
a
cot
( n
2+
)a
=
—
tan
a
sec(
n
2+ -cs=
a
公式七：
csc(
n
2+
a
)=sec
a
sin
( n

—a)
=cos
n
2
±x
3
n
2
±±a a
的三角函数值之间的关 系
a
cos
( n

— a)
=sin
a
tan
(n

—a)
=cot
a
cot
( n

—a)
=ta n
a
sec(
n
-
a
)=csc
a
csc(
n
-2 )=sec
a
sin
(
3
n
2+
) a
=
—
cos
a
cos
(
3
n
2+
)a
=Sin
a
tan
(
3
n
2+
) a
=
—
cot
a
cot
(
3
n
2+
)
a
=
—
tan
a
sec(3
n
2+
a
)=csc
a
csc(3
n
2+ -se=
a
sin
(
3

=
—
cos
n

— a)
a
cos
(
3
n

— a)
=
—
sin
a
tan
(
3
n

— a)
=cot
a
cot
(
3
n

— a)
=tan
a
sec(3
n
-
a
)=csc
a
csc(3
n
-
a
)=sec
a
下面的公式再记一次，大家：

四、和角公式和差角公式
sin(-
：：
1
■■-')= sin
：

sin(
：
- -) =sin
：

cos
：
cos
：
sin :
cos - -cos
：
sin :
cos -- sin
：
sin :
cos
：
sin
：
sin -
cos
(二
；
■ ') =cos
：

cos(
；；
-
：)二
cos
：

7 7