高中数学好题100题速递(含答案解析)

2020年10月7日发(作者：祝万寿)

好题速递1
uuuruuuruuur
1．已知
P
是
?ABC
内任一点,且满足
AP?xAB?yAC
,
x
、
y?R
,则
y?2x
的取值范围
是 ___ ．
uuurrrr
1
uuu
x
uuu
y
uuu
xy
解法一：令
AQ?AP?AB?AC
,由系数和
??1
,知点
Q
在线段
x?yx?yx?y
x?yx?y
uuur
AP< br>?
x?0,y?0,
易知
y?2x?(0,2)
．
BC上．从而
x?y?
uuur
?1
．由
x
、
y< br>满足条件
?
x?y?1,
AQ
?
解法二：因为题目没有特别说 明
?ABC
是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则
立刻变为线性规划问题了 ．
2．在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点, y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y 轴
上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．
答案：30个

好题速递2
，[?1.3]??2
,当1．定义 函数
f(x)?[x[x]]
,其中
[x]
表示不超过
x
的 最大整数,如:
[1.5]?1
x?[0，n)(n?N
*
)
时,设 函数
f(x)
的值域为
A
,记集合
A
中的元素个数为
a
n
,则式子
a
n
?90
的最小值为 ．
n
【答案】
13
．
【解析】当
n?
?
0,1
?
时,
?
?
x
?
x
?
?
?
?0
,其间有
1
个整数；
当
n?
?< br>i,i?1
?
,
i?1,2,L,n?1
时,
i?
?
?
x
?
x
?
?
?
?i(i?1)
,其间有
i
个正整数,故
a?90
n911
n(n?1)
???
,
a
n< br>?1?1?2?L?(n?1)??1
,
n
n2n2
2
2由
n91
?
得,当
n?13
或
14
时,取得最 小值
13
．
2n
2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在 正中间，并且乙、丙两倍同学要
站在一起，则不同的站法有 种．
答案：192种
好题速递3
1．已知直线
l
?
平面?
，垂足为
O
．在矩形
ABCD
中，
AD?1
，
AB?2
，若点
A
在
l
上移
动，点
B< br>在平面
?
上移动，则
O
，
D
两点间的最大距离为 ．
解：设
AB
的中点为
E
，则
E
点的轨迹是球面 的一部分，
OE?1
，
DE?2
，
所以
OD?OE?ED?2?1

当且仅当
O,E,D
三点共线时等号成立．
2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球 放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个
球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则 不同的放法有 种．
答案：30种

好题速递4
1． 在平面直角坐标系
xOy
中，设定点
A
?
a,a
?
，
P
是函数
y?
1
?
x?0
?
图象上一动 点．若
x
点
P,A
之间的最短距离为
22
，则满足条件的实 数
a
的所有值为 ．
解：函数解析式（含参数）求最值问题
?
?
1
?
1
?
1
?
?
?
1
???
AP?
?
x?a
?
?
?
?a
?
?
?
x?
?
?2a
?
x?
?
?2a
2
?2?
?
?
x?
?
?a
?
?a
2
?2

x
?
x
?
x
?
?
?
x
????
?
2
2
22
2
因为
x?0
，则x?
1
?2
，分两种情况：
x
（1）当
a?2
时，
AP
min
?a
2
?2?22
，则
a?10

（2）当
a?2
时，
AP
min
?2a
2
?4a?2?22
，则
a??1

2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分
配方案有 种．
答案：90种

好题速递5
1．已知
x,y?R
，则
?
x?y
?
2
?
2
?
?
?< br>x?
?
的最小值为 ．
y
??
2
?
2
?
2
解： 构造函数
y
1
?x
，
y
2
??
，则
?
x ,x
?
与
?
?y,
?
两点分别在
y
?x
?
两个函数图象上，故所求看成两点
?
x,x
?
与< br>?
?y,
?
之间的距离
?
?
2
?
y
?
平方，
?
y?x?m
?
22
令
?2
?x?mx?2?0???m?8?0?m?22
，
y??
?
x
?
2
所以
y?x?22
是与
y
1
?x
平行的
y
2
??
的切线，故最小距离为
d?2
< br>x
所以
?
x?y
?
2
?
2
?
?
?
x?
?
的最小值为4
y
??
2
2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、 乙两位教师不能同时参
加，则邀请的不同方法有 种．
答案：140种

好题速递6
1．已知定圆
O
1
,O2
的半径分别为
r
1
,r
2
，圆心距
O
1
O
2
?2
，动圆C与圆
O
1
,O
2< br>都相切，圆心
C
的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的
e
1< br>?e
2
的值为（ ）
e
1
e
2
离心率 分别为
e
1
,e
2
，则
A．
r
1
和
r
2
中的较大者 B．
r
1
和
r
2
中的较小者 C．
r
1
?r
2

D．
r
1
?r
2

解：取
O
1
,O
2
为两个焦点，即
c?1

若
eC
与
eO
1
,eO
2
同时相外切（内 切），则
CO
1
?CO
2
?R?r
1
?R?r2
?r
2
?r
1

若
eC
与
eO
1
,eO
2
同时一个外切一个内切，则
CO
1
?CO
2
?R?r
1
?R?r
2
?r
2
? r
1

因此形成了两条双曲线．
11
?
r
2?r
1
r
2
?r
1
e?e
e?e
2< br>此时
12
?
2
，不妨设
r
2
?r
1
，则
12
?r
2

11
e
1
e< br>2
e
1
e
2
r
2
?r
1
r
2
?r
1
22
2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3 种不同的树苗，从中取出5棵分别种
植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第 5个树坑只能种
甲种树苗的种法共有 种．
答案：6种

好题速递7
1． 已知
F
1
,F
2
是双曲线x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1< br>?
a?0,b?0
?
的左右焦点，以
F
1
F
2
为直径的圆与双曲线的
一条渐近线交于点
M
，与双曲线交于点
N< br>，且
M
、
N
均在第一象限，当直线
MF
1
O N
2
时，双曲线的离心率为
e
，若函数
f
?
x?
?x
2
?2x?
，则
f
?
e
??
．
x
?
x
2?y
2
?c
2
?
解：
?
?M
?
a,b
?

b
y?x
?
a
?
k
F
1
M
?
bbb
，所以
k
ON
?
，所以
ON
的方程为
y?x
，
a?ca?ca?c

?
x
2
y
2
??1
?
?
a
?
a?c
?
?
ab
?
a
2
b
2
所以
?
?N
?
,
?

??
22< br>?
y?
b
x
?
c?2acc?2ac
?
?< br>a?c
?
?
a
?
a?c
?
???
a b
又
N
在圆
x?y?c
上，所以
??
?
? ?
?c
2

?
2
??
2
?
?c?2ac
??
c?2ac
?
222
22
2
所 以
e
3
?2e
2
?2e?2?0
，所以
f
?
e
?
?e
2
?2e??2

e
2．用0 ，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在
两个奇数数字之间， 这样的五位数的个数有 个．
答案：28个

好题速递8
19
1． 已知
?ABC
的三边长分别为
a ,b,c
，其中边
c
为最长边，且
??1
，则
c
的 取值范围
ab
是 ．
191910
解：由题意知，
a?c,b?c
，故
1?????
，所以
c?10< br>
abccc
b9a
?
19
?
又因为
a?b ?c
，而
a?b?
?
a?b
?
?
?
??10???16

ab
?
ab
?
所以
c?16

故综上可得
10?c?16

2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译 、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一
项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种．
解： 48种

好题速递9
1．在平面直角坐标系
xoy
中，已知点
A
是半圆
x
2
?y
2
?4x? 0
?
2?x?4
?
上的一个动点，点
uuuruuur
OC ?20
时，则点
C
的纵坐标的取值范围是 ．
C
在线段
OA
的延长线上．当
OA
g
?
??
?
解：设
A
?
2?2cos
?
,2sin< br>?
?
，
C
?
2
?
?2
?
c os
?
,2
?
sin
?
?
，
?
? 1
，
?
?
?
?,
?

?
22?
uuuruuur
由
OA
g
OC?20
得：
?
?
5

2?2cos
?
所以
y
C
?2?
5
?
sin
?
?0
?
55sin
?
?sin
?
???
?
?5,5
?

2? 2cos
?
1?cos
?
cos
?
?
?
? 1
?
2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位 ，其中有
且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种．
答案：20种

好题速递10
1．点
D
是直角?ABC
斜边
AB
上一动点，
AC?3,BC?2
，将直角?ABC
沿着
CD
翻折，使
?B'DC
与
?ADC构成直二面角，则翻折后
AB'
的最小值
是 ．
解：过点
B'
作
B'E?CD
于
E
，连结
BE,AE
，
设
?BCD??B'CD?
?
，
则有B'E?2sin
?
,CE?2cos
?
,?ACE?
在
?AEC
中由余弦定理得
?
?
?
AE
2
?9? 4cos
2
?
?12cos
?
cos
?
?
?
?
?9?4cos
2
?
?12sin
?
cos< br>?
在
RT?AEB'
中由勾股定理得
?
2
?
AB'
2
?AE
2
?B'E
2
?9?4cos
2
?
?12sin
?
cos
?
?4sin
2
?
?13?6sin2
?
所以当
?
?
?
2
?
?

?
时，
AB'
取
4
得最小值为
7

2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有
种．
答案：45种

好题速递11
1．已知函数
f
?
x
?
?
4
x
?k?2
x
?1
4
x
?2
x
?1
，若对于任意的实数
x
1
,x
2
,x
3
均存在以
f
?
x
1
?
,f
?
x
2
?
,f
?
x
3
?
为三边长的三角形，则实数
k
的取值范围是 ．
解：
f
?
x
?
?
4
x
?k? 2
x
?1
4
x
?2
x
?1
?1?
k?1

1
x
2?
x
?1
2
令
g
?
x
?
?
1
?
1
?
?
?
0,
?

1
2
x
?
x
?1
?
3
?
2
当
k?1
时，
1?f
?
x
?
?
k?2
，其中当且仅当
x?0
时取得等号
3
所以若对于任意的实数
x
1
,x
2
,x
3均存在以
f
?
x
1
?
,f
?
x
2
?
,f
?
x
3
?
为三边长的三角形，只需2?
k?2
，所以
1?k?4

3
k?2
?f
?
x
?
?1
，其中当且仅当
x?0
时取得等号 < br>3
当
k?1
时，
所以若对于任意的实数
x
1
,x
2
,x
3
均存在以
f
?
x
1
?
,f
?
x
2
?
,f
?
x
3?
为三边长的三角形，只需

2?
1
k?2
?1< br>，所以
??k?1

2
3
1
2
综上可得，
??k?4

2．在 一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要
求相邻两块牌的底色 不都为红色，则不同的配色方案共有 种．
答案：55种



好题速递12
1．已知函数
f
?
x
?
?x
2
?2ax?a
2
?1< br>，若关于
x
的不等式
f
?
f
?
x
?
?
?0
的解集为空集，则实数
a
的取值范围是 ．
解：
f
?
x
?
?x
2
?2ax?a< br>2
?1?
?
?
x?
?
a?1
?
?< br>?
?
?
x?
?
a?1
?
?
?

所以
f
?
x
?
?0
的解集为
?
a?1,a?1
?

所以若使
f
?
f
?
x
?
?
?0
的解集为空集就是
a?1?f(x)?a?1
的 解集为空，即
f
min
(x)?a?1

所以
?1?a?1
，即
a??2

2．某校举行奥运知识竞 赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人
获奖，且这4人来自3人不同的代表队 ，则不同获奖情况种数共有 种．
3111
答案：
C
6
C
3
C
2
C
2
种

好题速递13
1． 已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足①
f
?
x
?
?f
?< br>2?x
?
?0
；②
f
?
x
?
?f< br>?
?2?x
?
?0
；③在
x
2
?
2 ,x?0
?
?
?
1?x,x?
?
?1,0
?
，则函数
f
?
x
?
与函数
g
?
x
?
?
?
logx,x?0
的图
?
?1,1
?上的表达式为
f
?
x
?
?
?
1
??
?
1?x,x?
?
0,1
?
?
2
象 在区间
?
?3,3
?
上的交点个数为 ．

2． 若
(ax?1)
5
的展开式中
x
3
的系数是80，则实数
a
的值是 ．
答案：2

好题速递14
1．
f
?
x
?
是定义在正整数集上的函数，且满足
f
?
1
?
?2015
，
f
?
1
?
?f
?
2
?
?L?f
?
n
?
?n
2
f
?
n
?
，则
f
?
2015
?
?
．
解：
f
?
1
?
?f
?
2
?< br>?L?f
?
n
?
?n
2
f
?
n?
，
f
?
1
?
?f
?
2
?< br>?L?f
?
n?1
?
?
?
n?1
?
f
?
n?1
?

两式相减得
f
?
n
?
?n
2
f
?
n
?
?
?
n?1
?
f
?
n?1
?

所以
f
?n
?
f
?
n?1
?
?
n?1

n?1
f
?
2015
?
f
?
2014
?
f
?
2
?
221

??f
?
1< br>?
???L?2015??
f
?
2014
?
f
?
2013
?
f
?
1
?
2201610082
2
所以
f
?
2015
?
?
2． 某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号
1 2 3 4 5 6
节目
如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式
有 种．
答案：144种

好题速递15
rr
rrr
rrrr
?
3
?
1． 若
a, b
是两个非零向量，且
a?b?
?
a?b
，
?
?< br>?
,1
?
，则
b
与
a?b
的夹角的取值范< br>?
3
?
围是 ．
rrrr
1
解：令
a?b?1
，则
a?b?

?< br>1
1
2
?1
2
?
2
rr
?
?1?
1
??cos
?
设
a,b?
?
，则由余弦 定理得
cos
?
?
?
?
?
?
2
2
?
2
又
?
?
?
?
3
?
?
11
?
,1
?
，所以
cos
?
?
?
?,
?

?
22
?
?
3
?rrr
?
?
2
?
??
2
?
5
?
?
所以
?
?
?
,
?
，所以由菱形性质得
b,a?b?
?
,
?

?
33
??
36
?
2． 若
(x?
n= ．
答案：12
1
11
)
n
的展开式中第三项系数等于6 ，则

好题速递16
1． 函数
f
?
x
?< br>?x
2
?2x
，集合
A?
?
?
x,y
?
|f
?
x
?
?f
?
y
?
?2
?
，
B?
?
?
x,y
?
|f
?< br>x
?
?f
?
y
?
?
，则由
AIB< br>的元素构成的图形的面积
是 ．
解：
A?
?
?
x,y
?
|f
?
x
?< br>?f
?
y
?
?2
?
?
?
?
x,y
?
|
?
x?1
?
2
?
?
y ?1
?
?4

2
?
B?
?
?
x, y
?
|f
?
x
?
?f
?
y
??
?
?
?
x,y
?
|
?
x?y
??
x?y?2
?
?2
?

画出可行域，正好拼成一个半圆，
S?2
?

2． 甲、乙、丙、丁 四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁
两公司各承包2项，共有承包方式 种．
答案：1680种


好题速递17
1． 在棱长为1 的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
AE?
uuurr
1
uuuu
AB
1
， 在面
2
uuuruuuur
ABCD
中取一个点
F
，使EF?FC
1
最小，则这个最小值
为 ．
解：将正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
补全成长方体，点
C
1
关于面
ABCD
的< br>对称点为
C
2
，连接
EC
2
交平面
ABCD
于一点，即为所求点
F
，使
uuuruuuur
EF?FC
1
最小．其最小值就是
EC
2
．
连接
AC
2,B
1
C
2
，计算可得
AC
2
?3,B
1
C
2
?5,AB
1
?2
，所以
?AB
1
C
2
为直角三角形，所以
EC
2
?
6
1 4

2
2． 若
?
1?mx
?
?a
0?a
1
x?a
2
x
2
?L?a
6
x< br>6
且
a
1
?a
2
?a
3
?L?a
6
?63
，则实数m的值
为 ．
答案：1或-3

好题速递18
x
2
y
2
1． 已知双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左、右 焦点分别为
F
1
,F
2
，过
F
1
的直线分 别交双曲
ab
线的两条渐近线于点
P,Q
．若点
P
是线段< br>FQ
的中点，且
QF
1
?QF
2
，则此双曲线的离心 率
1
等于 ．
?
a
2
ab?
解法一：由题意
F
1
P?b
，从而有
P
?< br>?,
?
，
?
cc
?
?
2a
22ab
?
?c,
又点
P
为
FQ
的中点，
F
1
?
?c,0
?
，所以
Q
?
?
?

1
cc
??
?
2abb
?
2a2
?
?
??c
?
，整理得
4a
2
?c
2
，所以
e?2
所以
ca
?
c
?
解法二：由图可知，
OP
是线段
F
1
P
的垂直平分线，又
OQ
是
Rt?F
1
QF
2
斜边中线，
所 以
?FOP??POQ??QOF
2
?60
o
，所以
e?2

1
解法三：设
Q
?
am,bm
?
,m? 0
，则
QF
1
?
?
?c?am,?bm
?
，
uuuur
QF
2
?
?
c?am,?bm
?
uuuruuuur
由
QF
1
?QF
2
?< br>?
?c?am,?bm
??
c?am,?bm
?
?0
，解得
m?1

uuur
?
a?cb
?
所以
Q
?
a,b
?
，
P
?
,
?
< br>22
??
bba?c
所以
???
，即
c?2a
，所以
e?2

2a2
2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都 装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六
张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得 卡片上的标号恰好成等差数列
的取法数为 ．
答案：18


好题速递19
uuuruuuruuur
uuuruuur
uuuruuur
1． 已知< br>O
为坐标原点，平面向量
OA,OB,OC
满足：
OA?2OB?4< br>，
OA
g
OB?0
，
?
uuur
uuuru uuruuuruuur
2OC?OA
g
OC?OB?0
，则对任意
?
?
?
0,2
?
?
和任意满足条件的向量
OC，
???
uuuruuuruuur
OC?cos
?
?OA?2 sin
?
?OB
的最大值为 ．
解：建立直角坐标系，设
C
?
x,y
?
,A
?
4 ,0
?
,B
?
0,2
?

uuuruuuruuu ruuur
则由
2OC?OA
g
OC?OB?0
，得
x2
?y
2
?2x?2y?0

????
uuuruuu ruuur
OC?cos
?
?OA?2sin
?
?OB?
?
x?4cos
?
?
2
?
?
y?4sin
?
?
2

等价于圆
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2
上一点与圆
x
2
?y
2
?16
上一点连线段的最大值即为
22?4

13n
2． 已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
?2
n?1
?1
，则
a
1
C
n
0
+
a
2
C
n
+
a
3
C
n
= ．
?L
+
a
n?1
C
n
22
答案：
2
n
?3
n



好题速递20
1． 已知实数
a,b,c
成等差数列，点
P
?
?3,0
?
在动直线
ax?by?c?0
（
a,b
不同时为零）上的
射影点为
M
，若点
N
的坐标为?
2,3
?
，则
MN
的取值范围是 ．
解：因为实数
a,b,c
成等差数列，所以
2b?a?c
，方程
ax?by?c?0
变形为
2ax?(a?c)y?2c?0
，整理为
a
?
2x?y
?
?c(y?2)?0

所以
?< br>?
2x?y?0
?
x?1
，即
?
，因此直线
ax?by?c?0
过定点
Q
?
1,?2
?

y? 2?0y??2
??
画出图象可得
?PMQ?90
o
，
PQ ?25

点
M
在以
PQ
为直径的圆上运动，线段
M N
的长度
满足
FN?5?MN?FN?5

即
5?5?MN?5?5

2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直 线
与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，
由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的 平面构成
的“平行线面组”的个数是
个．
答案：48


好题速递21
?
5
2
?
16
x
?
0?x?2
?
?
1． 已知函数是定义 在
R
上的偶函数，当
x?0
时，
f
?
x
?
?
?
．若关于
x
的方
x
1
?
??
?1
?
x?2
?
??
?
?
?
2< br>?
程
?
?
f
?
x
?
?
?< br>?af
?
x
?
?b?0,a,b?R
，有且仅有6个不同实数 根，则实数
a
的取值范围
是 ． < br>解：设
t?f
?
x
?
，问题等价于
g
?t
?
?t
2
?at?b?0
有两个实根
t
1< br>,t
2
，
0?t
1
?1,1?t
2
?
t
1
?
55
,1?t
2
?

44
5
或
4
2

??
a5
?
g
?
0
?
?0
?
1???
24
??
959< br>??
所以
?
g
?
1
?
?0h???a??1
或
?
g
?
1
?
?0h???a??
424
??
?
g
?
5
?
?0
?
g
?
5
?
?0
????
??
?
?
4
?
?
?
4
?
综上，
??a??
或
??a??1

2． 在
(x?
答案：5

1
3
5
2
9
4
9
4
x
)
24
的展开式中，
x
的幂的 指数是整数的项共有 项．
好题速递22
x
2
y
2
1． 已知椭圆
C
1
:??1< br>的左、右焦点为
F
1
,F
2
，直线
l
1过点
F
1
且垂直于椭圆的长轴，动
32
直线
l
2
垂直于
l
1
于点
P
，线段
PF
2
的垂直平分线与
l
2
的交点的轨迹为曲线
C
2
，若
A
?
1,2
?
,B
?
x
1
,y
1
?
,C
?
x
2
,y
2
?
是C
2
上不同的点，且
AB?BC
，则
y
2
的取 值范围是 ．
解：由题意
C
2
:y
2
?4x

设
l
AB
:x?m(y?2)?1
代入
C
2
:y
2
?4x
，得
y
2
?4my?
?
8m?4
?
?0

所以
y
1
?4m?2
，
x
1
?m
?
4m?4
?
?1?
?
2m?1
?

设
l
BC
:x??
48
1
2
?
2
?
(y?4m?2)?
?
2m?1
?
代入
C
2
:y
2
?4x
，得
y
2
?y??
16??4
?
2m?1
?
?
?0

mm
m
??
2
所以
y
1
?y
2
? 4m?2?y
2
??
所以
y
2
??
4
< br>m
4
?4m?2?
?
??,?6
?
U
?10,??
?

m
2．
5
人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答)
答案：72

好题速递23
2
1． 数列
?
a
n
?
是公比为
?
的等比数列，
?
b
n?
是首项为12的等差数列．现已知
a
9
?b
9
且3
（请填上所有正确选项的序号）
a
10
?b
10
，则以下结论中一定成立的是 ．
①
a
9
a
10
?0
；②
b
10
?0
；③
b
9
?b
10
；④
a
9
?a
10

2
解：因为数列
?
a
n
?
是公比为
?
的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：
3< /p>

当
a
1
?0
时，
a
2k?1
?0,a
2k
?0
；当
a
1
?0
时，
a< br>2k?1
?0,a
2k
?0
；所以
a
9
a< br>10
?0
是正确的；
当
a
1
?0
时，a
10
?0
，又
a
10
?b
10
，所 以
b
10
?0

结合数列
?
b
n
?
是首项为12的等差数列，此时数列的公差
d?0
，数列
?
bn
?
是递减的．
故知：
b
9
?b
10

当
a
1< br>?0
时，
a
9
?0
，又
a
9
?b< br>9
，所以
b
9
?0

结合数列
?
b
n
?
是首项为12的等差数列，此时数列的公差
d?0
，数列
?
b
n
?
是递减的．
故知：
b
9
?b
10

综上可知，①③一定是成立的．
n
2． 设的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N，若M-N＝240, 则展
（5x?x）
开式中x
3
的系数为 ．
答案：150
好题速递24
1． 已知集合
A?
?
x,y
?
|y?x
2
?2bx?1
，
B?
??
x,y
?
|y?2a
?
x?b
?
?
，其中
a?0,b?0
，且
AIB
是单元素集合，则集合
??
?
?
x,y
?
|
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
?1
对应的图形的面积
2
?
为 ．
2
?
?
y?x?2bx? 1
?x
2
?
?
2b?2a
?
x?
?
1?2ab
?
?0
解：
?
?
?
y?2a
?
x?b
?
??
?
2b?2a
?
?4
?
1?2ab
?
?0?a
2
?b
2
?1
< br>2
?
?
a
2
?b
2
?1
?
（红色）所以由
?
得知，圆心
?
a,b
?
对应的是四分之一 单位圆弧
MPN
．
a?0,b?0
?
?
?
上的点 为圆心，以此时
?
x,y
?
|
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?1
所对应的图形是以这四分之一圆弧
MPN
22
??
?
）加上一个四
ABO
与
ODE
1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（
?
分之一圆（
AOEF
），即图中被绿实线包裹的部分。
所以
S?2?
?
2
?< br>?
?2
2
4
?2
?

2．（2010年浙江高考17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳
远 ”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且
不重复． 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一
人，则不同的安排方式 共有__________________种（用数字作答）．
解：设有
a,b,c,d
四个同学参加测试
上午：身高 立定跳远 肺活量 台阶
下午：身高 立定跳远 肺活量 握力
上午测试的种类有
A
4
4
种
下午分两类：一类为早上测台 阶的同学下午测了握力，那么另三个同学就相当于三个人不
坐自己位置的问题，有2类选择．
另一类为早上测台阶的同学下午不测握力，那么四个同学相当于四个人不坐自己位置的问
题，有9类选择
所以共有
A
4
4
?
2?9
?
?264种



好题速递25
1．若在给定直线
y?x?t
上任取一点
P
，从点
P
向圆
x
2
?
?
y?2
?
?8
引一条切线，切点为
Q
．若存在定点M
，恒有
PM?PQ
，则
t
的取值范围是 ．
2
解：直线
y?x?t
上任意一点
P
?
x0
,x
0
?t
?
，过点
P
作圆的切线长
PQ?x
0
?
?
x
0
?t?2
?
?8< br>
2
2
设
M
?
m,n
?
，则
PM?
22
?
x
0
?m
?
?
?
x
0
?t?n
?

2
?
?
x
0
?t?2
?
?8?
?
x
0
?m
?
?
?
x
0
?t?n
?
由题知：
x< br>0
222
整理得：
?
2n?4
?
t?
?4?2m?2n
?
x
0
?m
2
?n
2
?4

又
M
?
m,n
?
为定点，
P
?
x
0
,x
0
?t
?
的任意性，所以
m ?n?2?0

所以
?
2n?4
?
t?m
2
?n
2
?4

n
2
?2n?44
所以
t ??
?
n?2
?
??2

n?2n?2
所以
t?
?
??,?2
?
U
?
6,??
?

1
??
2． 在
?
x?
?
展开式中，含
x
的负整数指数幂的项共有 项．
2x
??
10
答案：4

好题速递26
1． 设
a?b?2,b?0
，则当
a?
时，
解：
a
1
?
取得最小值．
2ab
a
a?b
aa
1abab
a
a
????????2???1

2ab4ab4a4ab4a4ab4a
a
51
??

2a b4
a
a?b
a
11
?
?b?a
?
3??????
?
?
?
?
，当且仅当
b??2a
时取等号
2ab4ab4
?
4ab
?
4
当
a?0
时，
当
a?0
时，
所以
a??2,b?4
时取得最 小值．
2．（2008年浙江高考16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要 求任何相
邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_________（用数字 作
答）．
22
?A
2
?8
种方案，再向这排好的4个元素 中插解：依题先排除1和2的剩余4个元素有
2A
2
1
入1和2捆绑的整体， 有
A
5
种插法，
221
?A
2
?A
5
?40
种. ∴不同的安排方案共有
2A
2

好题速递27
1． 设
x ?R
，
f
?
x
?
?max
?
x
2
,x
2
?2x?2
?
?min
?
x?1,3?3x
?
，则函数
f
?
x
?
在
R
上的最 小值
为 ．

?
?
x
2
?x?1,x??1
?
1
?
22
解：
f
?
x
?
?max
?
x,x?2x?2
?
?min< br>?
x?1,3?3x
?
?
?
x
2
?3x?3 ,?1?x?

2
?
1
?
2
x?x?5,x??
?2
画出图象可得当且仅当
x??1
时函数
f
?x
?
取到最小值1．
1
2． 若
(x?)
n
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
x
答案：20

好题速递28
1． 已知函数
f< br>?
x
?
满足
f
?
1
?
?
f
?
?2011
?
?
． < br>1
?
x?y
?
，
f
?
x
?
?f
?
y
?
?4f
??
4
?
2
?
?
x?y
?
f
??
?
x,y?R
?
，则
2
??
解：令
x?y?1
，则
f
?
0
?
?
1

2
令
y??x
，则
f
?
?x
?
?f
?
x
?

令
y?x?2
，则
f
?
x
?
?f
?
x?2
?
?4f
?
x?1
?
f
?
?1
?
?f
?
x?1
?

进而有
f
?
x
?
?f
?
x?6
?

所以
f
?< br>x
?
的周期为6，所以
f
?
?2011
?
? f
?
2011
?
?f
?
1
?
?
1

4
2．（四川高考）方程
ay?b
2
x
2
?c
中的
a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}
，且
a,b,c< br>互不相同，在所
有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有________条．
b
2
2
c
解法一：将方程变形为
y?x?
，若表示抛物线， 则
a?0,b?0
，所以分
aa
b??3,?2,1,2,3
五种情 况，利用列举法解决．
（1）当
b??3
时，
a??2,c?0,1,2, 3
或
a?1,c??2,0,2,3
或
a?2,c??2,0,1,3
或
a?3,c??2,0,1,2

（2）当
b?3
时，
a??2,c?0,1,2,?3
或
a?1,c??2,0,2,?3
或
a? 2,c??2,0,1,?3
或
a??3,c??2,0,1,2

以上两种情况有9条重复，故共有
16?7?23
条
（3）同理，当
b?2
或
b??2
时，也有23条
（4） 当
b?1
时，
a??3,c??2,0,2,3
或
a??2,c?? 3,0,2,3
或
a?2,c??3,?2,0,3
或
a?3,c??3,? 2,0,2
，共有16条
综上共有
23?23?16?62
种．
3
?120
种 解法二：
a,b,c?{?3,?2,0,1,2,3}，6选3全排列为
A
6
2
?40
种 这些方程表示抛物线，则< br>a?0,b?0
，要减去
2A
5

又
b??2< br>和
b??3
时，方程出现重复，用分步计算原理可计算重复次数为
3?3?2? 18

所以不同的抛物线共有
120?40?18?62
种．

好题速递29
1． 已知当
x?
?
1,3
?
，不 等式
2a?x?a?1
恒成立，则
a
的取值范围是 ．
解法一：结合
f
?
x
?
?2a?x
的图象分类 讨论：
当
2a?1
，即
a?
当
2a?3
，即a?
当
1?2a?3
，即
11
时，
a?1?1?2a< br>，解得
a?

22
3
时，
a?1?2a?3
，解得
a?2
2
131
?a?
时，
a?1?0
，解得
?a?1

222
综上可知：
a?1
或
a?2

解法二：当
a?1
时显然成立
当
a?1
时，有
2 a?x?a?1?x?2a?a?1
或
x?2a?1?a

?
x?1
?
进而有：
a?
??
或
a?
?
x?1?
max

?
3
?
min
所以
a?< br>2
或
a?2

3
综上：
a?1
或
a?2

2． 若
( x?1)
n
?x
n
?L?px
2
?qx?1(n?N*), 且p?q?6,
那么n= ．
答案：3

好题速递30
1．已知
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数，当
x?0
时，
f
?
x
?
?x
2
?
?
2?a
?
x
，其中
a?0．若
对任意的
x?R
恒有
fx?2a?f
?
x
?
，则实数
a
的取值范围是 ．
解：当
?
当
?
??
2?a
?0
，即
0? a?2
时，
f
?
x
?
是增函数，所以
fx?2a? f
?
x
?
恒成立
2
??
2?a
?0，即
a?2
时，则由图象可知，两个自变量的
2
祝 你 新 年 快 乐 阖 家 幸 福
你 新 年 快 乐 阖 家 幸 福
新 年 快 乐 阖 家 幸 福
年 快 乐 阖 家 幸 福
快 乐 阖 家 幸 福
乐 阖 家 幸 福
阖 家 幸 福
家 幸 福
幸 福
福
差距
2a至少要不小于左右两个零点间的差距
2
?
a?2
?
，
即
2a?2
?
a?2
?
，所以
2?a?4

综上可知，
0?a?4

2．“祝你新年快乐阖家幸福”这句 话，如图所示形式排列，从“祝”字读起，只允许逐字
．．
沿水平向右或竖直向下方向读，则读 完整句话的不同读法共有 种．
答案：
2
9
?512
种


好题速递31
1． 设函数
f
?
x
?
?x
2
?2x?a
，若函数
f
?
f
?
x
?< br>?
?f
?
x
?
有且只有3个实根，则实数
a
的取值
范围是 ．
?
1?4a?0
?< br>解：令
f
?
x
?
?t
，则
t
2?t?a?0
有两个不等实根
t
1
,t
2
，则
?
t
1
?t
2
??1

?
tt?a
?
12
令
g
?
x
?
?x
2
?2 x
，若使函数
f
?
f
?
x
?
?
? f
?
x
?
有且只有3个实根，只需使
g
?
x
?
?x
2
?2x
的图
象与直线
y?t
1
?a,y?t
2
?a
恰有三个公共点，所以必有一条直线经过
g
?< br>x
?
?x
2
?2x
的顶
点．不妨设
t
1
?a??1
而
t
2
?a??1

故有
t
1
?a?1
，
t
2
??a

所以
t
1
t
2
?
?
a?1
??< br>?a
?
?a
，所以
a?0

2．某市春节晚会原定1 0个节目，导演最后决定添加3个新节目，但是新节目不排在第一
个也不排在最后一个，并且已经排好的 10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编
排总数为 种．
答案：990
好题速递32
1． 若函数
f
?
x
?
?
是 ．
解：这是
y?
1
，
u?x
2
?ax?a
函数复合，
u
1
在区间
x?ax?a
2
1
??
?
?2,?
2
?
上单调递增，那么实数
a
的取值范 围
??
1
??
u?x
2
?ax?a
在
?< br>?2,?
?
上递减且恒正（或恒负）
2
??
1
?< br>a
??
1
?
a
?
2
??
2
1
?
?
2
??

??1?a?
或
?
2
?
2
2
11
2
????
?
?
?2
?
?a?
?
?2
?
?a?0
?
??a ?
?
?
?
?a?0
??
?
?
?
2
?
?
?
2
?
2
??
2． 若二项式
?
3x
2
?
3
?
(n?N
*
)
展开式中含有常数项，则
n
的最小取值是 ．
x
??
n
答案：7

好题速递33
1． 已知函数
y?6?x?x
2
的定义域为
A
，函数
y?lgk x
2
?4x?k?3
的定义域为
B
，当
B?A
时， 实数
k
的取值范围是 ．
??
解：
A?
?
?2,3
?

?
4
2
?4k
?
k?3
?
?0
?
3
?
kx
2
?4x?k?3?0
的解集为
B
，又
B? A
，所以必有
?
5k?5?0??4?k??

2
?
10k?15?0
?
?
这里要注意函数的定义域不能为空．
2．（201 1年浙江高考9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，
将其随机地并排摆放到 书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的情况有_________种
（用数字作答）．
解法一：设书为
A
1
A
2
B
1
B
2
C
，位置为12345位
若
C
在最左1号位或最右5号位，则剩下四本书 有
ABABorBABA
形式，共有
22
2?2?A
2
?A
2
?16

22
?A
2
?16
若
C
在2号位或4号位，则剩下四本书有
ABABorBABA
形式，共有
2 ?2?A
2
22
?A
2
?16
若
C
在3号位，则有
4?A
2
所以共有48种．
解法二：分步完成，
3
第一步先
A
1
B
1
C
三本书全排列，共
A
3
种
第二步，将
A
2
,B
2
插入，分两类．
一类为无
ABA
型，则有
2?3?6
种插法
一类为有
ABA
型，则有
2?1?2
种插法
3
所 以共有
A
3
?
2?6
?
?48
种
522 2223
解法三：
A
5
?A
2
A
2
A3
?2?A
2
A
2
A
3
?48


好题速递34
1． 已知
eO
以
AB
为直径， 半径为2，点
O,M
都在线段
AB
上，
AO?2,BM?1
，过
M
作
互相垂直的弦
GE
和
FD
，则
G E?FD
的取值范围是 ．
?
?
?
?
?
?
解法一：如图所示，设
?EMA?
?
??
?
?
0,
?
?
，则
?DMA??
?

2
?
2
?
??
ON?sin
?
，
OP?cos
?

所以
GE?FD?24?sin
2?
?24?cos
2
?
?412?sin
2
?
?sin
4
?

令
sin
2
?
?t??
0,1
?
，则

?
1
?
49
?
GE?FD?412?t?t?4?
?
t?
?
??
?
83,14
?
?

4
?
2
?
24
2
解法二：
GE?FD?24?ON
2
?24?OP
2
?412?ON
2
?OP
2
，其中
ON
2
?OP
2
?OM
2
?1

所以
GE?FD?412 ?ON
2
(1?ON
2
)?412?ON
2
?ON
4

?
又
ON?
?
0,1
?
，所以GE?FD?
?
?
83,14
?
2．已知展开式
?x
2
?x?6
??
x
2
?x?6
?
? a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?L?a
12
x
12
，则
a
1
?a
5
?a
9
?
．
33
解：
?
x
2
?x?6
??
x
2
?x?6
?
?
?
x< br>4
?13x
2
?36
?

333
打开后没有 奇次项，所以
a
1
?a
5
?a
9
?
0

好题速递35
2
?
?
x?4x,x?0
1． 已知函数
f
?
x
?
?
?
2
，且
a ?b?0,b?c?0,c?a?0
，则
f
?
a
?
?f?
b
?
?f
?
c
?
的
?x?4x,x ?0
?
?
值（ ）
A． 恒为正 B．恒为负 C．恒为0 D．无法确定
解：易判 断
f
?
x
?
是奇函数，且在
R
上单调递增的函数
由
a?b?0,b?c?0,c?a?0
可得
a??b,b??c,c??a

所以
f(a)?f(?b),f(b)?f(?c),f(c)?f(?a)

所以
f(a)?f(b)?0,f(b)?f(c)?0,f(c)?f(a)?0

所以
f
?
a
?
?f
?
b
?
?f
?
c
?
?0

2．如图所示是2008年北京奥运会 的会徽，其中的“中国印”主体由四
个互不连通的色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其
中任意两个色块连接起来（如同架桥），如果用三条线段将这四个色
块连接起来，不同的连接方 法共有 种．
解法一：考虑A、B、C、D四块区域，三条线连结共有两类
1
?4
种 第一类，一块区域和三块区域连结，共有
C
4
第 二类，四块区域依次连结，即ABCD全排列，但注意ABCD
4
A
4
与DC BA是同一种情况，所以共有
?12
种
2
综上，共有16种．
解法二：把问题抽象为正方形四个顶点之间连线共有6条
任取其中的三条将四个点连结，只需除去构成三角形的三条连线
3
?4?16
即可．故有
C
6

好题速递36
1． 已知定义在
R
上的偶函数
f
?
x
?
在
?
0,??
?
上的增函数，且
f
?
ax?1
?
?f
?
x?2
?
对任意的
?
1
?
x?
?
,1< br>?
恒成立，则
a
的取值范围是 ．
?
2
?
?
1
?
解：由题意，
f
?
ax?1
?
?f
?
x?2
?
对任意的
x?
?
,1
?
恒成立等价于
ax?1?2?x
对任意的
?
2
?
?
1
?
x?
?
,1
?
恒成 立．
?
2
?
?13
?
a?1?
2
，解得
?2?a?0

?
2
?
a?1?1
?
2． 在
?
1?x
??
2?x
?
的展开式中，
x
3
的系数是 ．
答案：－55

6
好题速递37
1．若函数
f
?
x
?
? x
2
?2ax?a?2ax?1
有且仅有3个零点，则实数
a
的取值 范围是 ．
解法一：令
t?x?a
，则
y?t
2
?2at?1?a
2
?
t?0
?

则
y? t
2
?2at?1?a
2
?
t?0
?
有两个零点， 其中一个为0，一个
大于0．
所以
1?a
2
?0
，解得
a??1

经验证，可知
a?1

解法二：
x
2
?2ax?a ?2ax?1?0?x
2
?2ax?1?2ax?a

等价于
g(x )?x
2
?2ax?1
，
h(x)?2ax?a
恰有三个公共点，结
合图象可得
1?a
2
?0
，且
a?0
，所以
a?1

2．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，…，9的9个小正方形（如 图），使得
任意两个相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3，5，7”号数字涂相同的 颜
色，则符合条件的所有涂色方法有 种．
解：“3，5，7”号数字涂相同的颜色，共有3种选择
2涂色有2种，
24同色有1种，1有2种；
24异色有1种，1有1种
故涂完1，2，4有
2?
?
2+1
?
=6
种
同理涂完6，7，8也有6种
综上，共有
3?6?6=108
种
1
4
7
2
5
8
3
6
9

好题速递38
1．方程
ax?1?x
的解集为
A
，若
A?
?
0,2
?
，则实数
a
的取值范围是 ．
解法一：
ax? 1?x?
?
a
2
?1
?
x
2
?2ax?1 ?0
?
x?0
?

?
1
?
当
a?1
时 ，
A?
??
?
?
0,2
?

?
2
?
当
a??1
时 ，
A???
?
0,2
?

当
a??1
时，
11

,x
2
?
a?1a?1
?
a
2
?1
?
x
2
?2ax ?1?0
的解为
x
1
?
要使
A?
?
0,2
?
，则需
?
1
?
1
?
?
1?0?0?00?
????
?
a?1
?
a?1
?
?
a?1
或
?
或
?
或
?
?
11
1
?
?2
?
0??2
?
0?
?0
?
0?
???
?
a?1a?1
???
?
a?11
?2
a?1

1
?2
a?1
解之得
a??1or?
综上得
a??1or?
13
?a?1ora?

22
13
?a?1ora?

22
解法二：
ax? 1?x
等价于
ax?1?x
或
ax?1??x
?
x?0?

分别作出
y?ax?1
，
y?x
，
y?? x
的图象如图所示
由图可知：
a??1or?
13
?a?1ora?

22< br>解法三：
ax?1?x
等价于
a?1?
分别作出
y?a?1, y?a?1,y?
?
a?1?
?
?
所以由图知：
?
?
a?1?
?
?
11
或
a?1?
?
x?0
?

xx
1
图象如图所示，
x
1
1?
2
?
a?1?
或
?
2
或
a?1?0

1
?
?
a?1?0
2
解得
a??1or ?
13
?a?1ora?

22
解法四：当
a?0
时显然成立
当
a?0
时，分别作出函数
y?ax?1,y?x
的图象如图所示

?
1
?
由图可知：
y?ax?1
的图象最低 点
?
,0
?
只能落在横轴的实线部分
?
a
?故可得
a??1or?
13
?a?1ora?

22

2．
(4x
2
?2x?5)(x
2
?1)
5的展开式中，含
x
4
项的系数是 ．
答案：－30


好题速递39
1． 已知三个实数
a,b,c
，当
c?0
时满足
b?2a?3c
且
bc?a
2
，则
解法一：（齐次化思想）由
bc?a
2
知
b ?0

因为
b?0
时，所以
b?0
。
?
1?2x?3y
?
1?2x?3x
2
1
ac
?
?< br>?
?x??1orx?
令
?x,?y
，则
?
y?0
3
bb
?
x?0
?
2
?
y?x
a ?2c
的取值范围是 ．
b
1
??
令
z?x ?2y?x?2x
2
?
?
??,
?
，
9
??
a
2
a
2
解法二：由
b??2a?3c?
?< br>a?c
?
?4c
2
??1??3

cc
a? 2ct?2
a
?
1
?
1
?
11
?
11
?
2
??2
??
???2
?
?
???
令
t??
?
?1,3
?
，则
b
t
c
?
t
?
t
?
t4
?
8922
同类题：1. 已知正数
a,b,c
满足：
5c?3a?b?4c? a
，
clnb?a?clnc
，则
是 ．
2. 已知正数
a,b,c
满足：
3a?c?2b?4ac
，则
b
的取值范围
a
a?b?c
的取值范围是 ．
a?b

3. 已知正数
a,b,c
满足：
a?b ?c?3a
，
3b
2
?a
?
a?c
?
?5 b
2
，则
是 ．
b?2c
的取 值范围
a
2．（安徽高考10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之 间最多
交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，
则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A．1或3 B．1或4 C． 2或3 D．2或4
解：任意两个同学之间交换纪念品共要交换
C
6
2
?15
次，如果都完全交换，每个人都要交换
5次，也就是得到5份纪 念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如
果不涉及同一个人，则收到4份纪念品 的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4
份纪念品的同学人数有2人．所以答案为2或4．


好题速递40
1． 在边长为1的正三角形纸片
ABC
的边
AB,AC
上分别取
D,E
两点，使沿线段
DE
折叠 三
角形纸片后，顶点
A
正好落在边
BC
（设为
P
） ，在这种情况下，
AD
的最小值
为 ．
解：设
AD?x
，
?ADE?
?
，则由对称性可知
DP?x
，
?PDE?
?
，
BD?1?x
，
?BDP?180
o
?2
?
，
所以
?DPB?2
?
?60
o

所以在
? BDP
中由正弦定理得
3
3?2sin
?
2
?
?6 0
o
?
1?x
sin
?
2
?
?60
o
?
?
x

sin60
o
x?

又
?
?
?
0
o
,90
o
?
，所 以当
2
?
?60
o
?90
o
，即
?
?75
o
时
x
min
?23?3

2．（陕西高 考）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现
的情形（各人输赢局次不同 视为不同情形）共有 种．
解法一：比赛场数至少3场，至多5场
当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种
当为4场时，若甲赢，则前三场中甲赢2场，最 后一场甲赢，共有
C
3
2
?3
种情况
同理若乙赢，也有3种情况，共有6种情况
当为5场时，前4场，甲乙各赢2场，最后一场胜 出的人赢，共有
2C
4
2
?12
种
综上，共有20种情况．
解法二：将5场比赛都比完，赢的人定为三胜两负（没打的比赛就算输）
则问题转化为最终的 胜利者从5场比赛里选2场输即可，有
C
5
2
?10
种结果．

所以甲、乙两人共有
2C
5
2
?20
种
解法三：设甲赢=1，甲输=0，

按照第一轮甲赢或甲输两种情况分类，列树状< br>图罗列（以甲赢为例，出现三个1或三个0结
束）
树梢末端共有10个，所以共有20种．





好题速递41
1．已知
m?R
，函数
f
?
x?
?
?
?
?
2x?1,x?1
，
g
?
x
?
?x
2
?2x?2m?1
，若函数
?
?
log
2
?
x?1
?
,x?1
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
?m
有6个零点 ，则实数
m
的取值范围是 ．
解： 令
g
?
x
?
?t
，则函数
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
?m
有6个零点等价于
f
?
t
?
?m
恰有三个实根且对应
g
?< br>x
?
?t
有6个实根．
函数
f
?
x
?
?
?
?
?
2x?1,x?1
与
y?m
图象有三个交点，其横坐标分别为
t
1
,t
2
,t
3
．
logx?1,x?1
?
?
?
2
?
m?1

2
m?1
?g
?
x
?
min
?2m?2< br>，且
m?0

2
如图所示，其中最小的根
t
1
??
结合图象可知，要满足
g
?
x
?
?t
有6个 实根需使
t
1
??
解得
0?m?
3
5
< br>2．集合
A?x|x?a
1
?10
3
?a
2
?10
2
?a
3
?10?a
4
，其中
a
i
?
?
1,2,3,4
?
,1?i?4,i?N
，则
??

集合
A
中满足条件：“
a
i
中
a
1
最小，且
a
1
?a
2
,a
2
?a
3
,a
3
?a
4
,a
4
?a
1
”的元素有 个．
解：本题可理解为涂色问题，四个格子，相 邻两格不同数字，头尾
两个数字也不同，且第一格数字最小．
11
第一格填1，则第 二格有
C
3
种选择，第三格填的数字与第一格相同填1，则第四格有
C
3
种

选择，因此共9种选择；
11
第一格填2，则第二 格有
C
2
种选择，第三格填的数字与第一格相同填2，则第四格有
C
2
种
选择，因此共4种选择；
第一格填3，则第二格有1种选择填4，第三格填的数 字与第一格相同填3，则第四格有1
种选择填4，因此共1种选择；
11
第一格填1 ，则第二格有
C
3
种选择，第三格填的数字与第一格不同有
C
2种选择，，则第四
1
格有
C
2
种选择，因此共12种选择； < br>1
第一格填2，则第二格有
C
2
种选择，第三格填的数字与第一格不同 有
C
1
1
种选择，，则第四
格有1种选择，因此共2种选择；
因此共有
9?4?1?12?2?28
种．


好题速递42
1． 已知函数
f
?
x
?
?ax< br>2
?bx?c
?
a?0
?
的图象过点
?
1, 0
?
，且对任意的
x?R
都有不等式
?x?3?f
?
x
?
?2x
2
?3x?1
成立．若函数
y?f
?
x
?
?f
?
x
?
?2mx?2m
2
有三个不同的零点，则
实数
m
的取值范围是 ．
解：由题夹逼形式知，令
?x?3?2x
2
?3x?1
，解得< br>x??1
．
当
x??1
时，
?2?f
?
? 1
?
??2
，即
f
?
?1
?
??2
，所以
a?b?c??2

又
f
?
1
?
?0
，即
a?b?c?0

所以
b?1,c??1?a
< br>再由
?x?3?ax
2
?x?a?1?2x
2
?3x?1对任意的
x?R
恒成立
即
ax
2
?4x?2?a?0
且
?
a?2
?
x
2
?2x?a?0
对任意 的
x?R
恒成立
?
16?4a
?
2?a
?
?0
?
?
4?4
?
a?2
?
a?0
所以
?
，解得
a?1
，所以
f
?
x
?
?x
2
?x?2

?
a?0
?
a?2?0
?
函数
y?f
?
x
?
?f
?
x
?
?2mx?2m
2
有三个不同的零点
2
?
?
2m x?2m,x?
?
??,?2
?
U
?
1,??
?< br>即
y?x?x?2?x?x?2?2mx?2m?
?
有三个不同零点
22
?
?
?2x?
?
2?2m
?
x?2m?4,x ?
?
?2,1
?
222
则必有
2mx?2m
2?0
在
x?
?
??,?2
?
U
?
1, ??
?
上有一解，且
?2x
2
?
?
2?2m
?
x?2m
2
?4?0
在

x?
?
?2,1
?
上有两解．
由
2mx?2m
2
?0
在
x?
?
??,?2
?
U
?
1,??
?上有一解得
?m??2
或
?m?1
，
即
m?2
或
m??1
．
由
?2x
2
?
?
2?2m
?
x?2m
2
?4?0
在
x?
?
?2,1
?
上有两解转化为
2x
2
?2x?4?2mx?2m
2有两解
即二次函数与一次函数相切的临界状态
由
??
?
2? 2m
?
?8
?
4?2m
2
?
?0
解得m?
2
1?27

3
结合图象得
m?
?
?
2,
n
?
1?27
??
1?27
?
U
,?1
??
?
?
?
3
?

3
????
1
??
2． 若
?
x
2
?
?

?
n?N
*?
的二项展开式中第5项为常数项，则
n?
．
x
??
1
－－
答案：T
5
＝C
n
4
(x
2
)
n4
·()
4
＝C
n
4
x
2n12
，令2n－12＝0，得n＝6
x
好题速递43
1． 在平面直角坐标系
xoy
中，若动点
P
?
a,b
?
到直线
l
1
:y?x
，
l
2
:y??x?1
的距离分别为
d
1
,d
2
满足
d
1
?2 d
2
?22
，则
a
2
?b
2
的最大值为 ．
a?b
2
a?b
2
a?b?1
2
解：
d
1
?
d
1
?2d
2
?
,d
2< br>?
?

2a?b?1
2
?22
，得
a?b?2a?b?1?4

画出可行域如图，是个平行四边形
ABCD
．
a
2
?b< br>2
可以视为平行四边形
ABCD
上的点
P
?
a,b< br>?
到原点的距离的平方
17
?
35
??
53
?
故当
P
?
a,b
?
取
A
?
? ,
?
或
B
?
,?
?
时，
?
a2
?b
2
?
max
?

2
?
22
??
22
?
2． 由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成_______个数字不重复且2，3相邻的四位数．
答案：60

好题速递44
1．对于实数
a,b
，定义运算“
?
”：
a?b?
?
a?b
?
．已知 实数
x
1
,x
2
满足
y?
2
?
x
1
?x
2
?
?
?
x
1
?
?
?
1
?
2
?
?1?x
2
，则
y
的最小值为 ．
x
1
?
?
?
?

?
2
解 ：
y?
?
x
1
?x
2
?
2
??
1
?
2
?
?
x?
??
?1?x21
?
x
1
?
?
?
等价于
y?x?< br>1
上的点
P
?
x
1
,y
1
?
与
y?1?x
2
上的点
Q
?
x
2
,y< br>2
?
连线段的最小值，也就等价
x

于圆心
O< br>?
0,0
?
与
y?x?
1
上的点
P
?
x
1
,y
1
?
连线长度的最小值减1．
x2
?
1
?
1
所以
OP?x
1
2
?
?
x
1
?
?
?2x
1
2
?< br>2
?2?2?22

x
1
?
x
1
?
当且仅当
x
1
?1
时，
y
min
?22? 2?1

2． 若
C
23
3n?1n?6
(n?N
?
)且(3?x)
n
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?K?a
n
x
n
，
?C
23
则
a
0
?a
1
?a
2
?L?(?1)
n
a
n
?
．
答案：256
好题速递45
1．在面积为2的
?ABC
中，
E,F
分别 是
AB,AC
的中点，点
P
在直线
EF
上，则
uu uruuuruuur
2
PC
g
PB?BC
的最小值是 ．
解：取
BC
的中点为
D
，连接
PD
，
uuuruuuuruuuruuuur
uuuruuuruuur
2
uuur2
BC
2
uuur
2
uuur
2
3BC
2
AD
2
3BC
2
?BC?PD???
则由极化恒等式得
PC
g
PB?BC?PD?

4444
uuuruuur
此时当且仅当
PD?BC
时取等号 uuuruuuuruuur
2
uuuur
2
uuuruuuruuur
2
AD
2
3BC
2
AD3BC
PC
gPB?BC???2
g
?23

4444
2．某高校外语系有8 名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项比赛
的翻译工作，若要求这3人中既有男 生，又有女生，则不同的选法共有 种．
答案：45种

好题速递46
1．已知
f
?
x
?
?
?< br>x?1
?
，
g
?
x
?
?4
?
x?1
?
，
?
a
n
?
满足
a
1
?2
，
?
a
n?1
?a
n
?
g< br>?
a
n
?
?f
?
a
n
?
? 0
，
2
?
b
n
?
满足
b
n
?3f
?
a
n
?
?g
?
a
n?1
?
，那么
?
b
n
?
的最小值为 ．
解：
?
a
n?1
?a
n
?
?4
?
a
n
?1
?
?
?
a
n
?1< br>?
?0

故
?
a
n
?1
??
4a
n?1
?3a
n
?1
?
?0

因为
a
n
不恒等于1，故
4a
n?1
?3a
n
?1?0

a
n?1
?1?
3
?
a
n?1
?

4
n?1
2
?
3
?
a
n
?
??
?
4
?
?1

2n? 2n
?
?
3
?
2n?2
?
3
?
n ?1
?
?
3
?
?4
??
?3
?
? ?
?
??
?

4
?
4
????
4
?
?
??
?
2
?
3
?
从而
b
n
?3?
??
?
4
?
?
3
?
令
??
?
4
?
n?1
?
?
1?
2
1
?
?t
，则
b
n
?3
?
t?t
?
?3
?
?
t?
?
?
?

?
?
?
2
?
4
?
?

< p>
?
3
?
当
??
?
4
?
3?1
?
189
1
9
离对称轴
t?
最近，故
?< br>b
n
?
min
?b
3
??

2
16
256
2．
(1?x)
的展开式中
x
2
的系数是 ，如果展开 式中第
4r
项和第
r?2
项的二项式
系数相等，则
r
等于 ．
答案：－10，2

210
好题速递47
1．已知
a,b,c
为正整数，关于
x
的方程
ax
2
?bx?c?0
有两个不相等的实根，且两根均大于
1
，则
a?b ?c
的最小值为 ．
2
?
ab
?
4
?
2
?c?0
?
1
?
b
解法 一：
?
?
，所以
b?a
，
b
2
?4ac? 4bc
，所以
b?4c

??
2
?
2a
?
b
2
?4ac?0
?
?
又
a?2b?4c?0，所以
a?4c?2b?8c
，所以
a?4c

所以有
a?b?4c

要使
a?b?c
最小，需使
a,b,c
尽可能地小，由于
a,b,c
为正整数，所以取
c?1
， 则
a?b?4
．
b
2
则
2b?4?a?

4
25
取
b?5
，
6?a?
，无解
4
取
b?6
，
8?a?9
，无解
49
取
b?7
，
10?a?
，取
a?11
，经检验满足题意，此时
a?b?c?19

4
若取
c?2
，则
a?b?8
，
a?b?c?21?19
，
故当
a?11,b?7
时，
?
a?b?c
?
min
?19

?
?ab
?
4
?
2
?c?0
?
a?2b?4c?0
?
1
?
b
?
解法二：
?
???

?
?
a?b
2a2
??
?
a?4c
?b
2
?4ac?0
?
?
要使
a?b?c
最小， 需使
a,b,c
尽可能地小
?
a?4
?
a?b
?
由于
a,b,c
为正整数，所以取
c?1
，则
?
，
a?2b?4
?
2
?
?
b?4a
画出可行域（b
为横轴，
a
为纵轴），可知当
a?11,b?7
时，
?
a?b?c
?
min
?19

2．有3辆不同的公交车， 3名司机，6名售票员，每辆车配备一名司机，2名售票员，则
所有的工作安排方法数有_______ _（用数字作答）
答案：540

好题速递48 1．已知
x,y
满足
x?y?
解法一：
x?y?
22< br>?
x?1
?
?
?
y?1
?
，则
x< br>2
?y
2
的最小值是 ．
22
?
x?1
?
?
?
y?1
?
得
xy?x?y?1?0

这里出现了两数之积和两数之和，要得到两数的平方和，所以可以用基本不等式．
x?yx
2
?y
2
由于
xy?
和
?
2
2
x
2
?y
2

2
x
2
?y< br>2
x
2
?y
2
所以
2??1
，解得
x
2
?y
2
?6?42

22
解法二：这里介绍一 种好方法：出现
xy
乘积项，可以用换元法，设
x?a?b,y?a?b

所以
a
2
?b
2
?2a?1?0

即?
a?1
?
?b?2?
2
2
?
a?1
?
2
2
b
2
??1
为双曲线
2
x
2
?y
2
?2
?
a
2
?b
2
?
可视为双曲线上的点与坐标原点连线距离的平方的2倍．
所以当且仅当
a?2?1< br>时，即
x?y?2?1
时，
x
2
?y
2
的最 小值为
6?42

解法三：由
a
2
?b
2
?2a?1?0
得
b
2
?a
2
?2a?1?0
，解 得
a?2?1
或
a??2?1

1
??
所以
x?y?2
?
a?b
?
?4a?4a?2?4
?
a??
?3?6?42

2
??
22222
2
变式 题：（2011年浙江省高考）设
x,y
为实数，若
4x
2
?y2
?xy?1
，则
2x?y
的最大值
为 ．
解：本题有多种解法，这里也利用换元来做．
因为有
xy
乘积项，所以设
2x?a?b,y?a?b

5 a
2
3b
2
则条件变为
??1
，求
2x?y?2a
的取值范围．
22
可以视为椭圆用三角换元做；令
a?
也可以变成规划问题求切线做； < br>?
210210
?
2
2
cos
?
，所以2a?2cos
?
?
?
?,
?

5
5 55
??
?
210210
?
1010
3b
2
5a
2
也可以，所以
2x?y?2a?
?
?
?a?
,
?1??0
，所以
?
?

55
55
22
??
10
64
2．
(x?2y)
的展开式中，含
xy
项的系数 ．
答案：840

好题速递49
1．设二次函数
f
?
x
?
?ax
2
?(2b?1)x?a?2
?a,b?R,a?0
?
在
?
3,4
?
上至少有一个零点 ，则
a
2
?b
2
的最小值为 ．
解：关于
x
的二次方程
ax
2
?(2b?1)x?a?2? 0
在
?
3,4
?
上有实根，设
a
2
?b< br>2
?r
2
?
r?0
?

问题等价于关于a,b
的直线
a
?
x
2
?1
?
?2b x?x?2?0
与
a
2
?b
2
?r
2
?< br>r?0
?
有公共点
x?2
即
?
x
2
?1
?
?4x
2
2
?r
在
?
3,4?
上能成立，即
r?
?
x?2
?
2
?
x
2
?1
?
?4x
2
2
?
x?2
在
?
3,4
?
上能成立
x
2
?1
所以令
g
?
x
?
?
t1
x?2
，设
x? 2?t?
?
1,2
?
，则
g
?
t
?
?
2
在
t?
?
1,2
?
上单调递增
?
2
t?4t?5
t?
5
?4
x?1
t
所以
g
?
t
?
?
1

10
1
，当前仅当
x?3
时取得等号．
100
所 以
a
2
?b
2
?r
2
?
2． 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不
同的比赛分配方法有 种（混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答）．
答案：72

好题速递50
r
rrrrr
rrr
1．已知
a?b?1
，向量
c
满足
c?a?b?a?b
，则
c
的最大值为 ．
??
rr
rrr
rrrrr
c
a?b
a?b< br>?
解法一：
c?a?b?a?b??

222
??
? ?
r
uuurruuurr
c
几何意义可以理解为，设
OA?a，
OB?b
，取
AB
中点为
D
，所以的终点
C
在以
D
为圆
2
rr
uuuruuur
r
a ?b
?AD
为半径的圆上运动，所以
c
的最大值就是
2OD?AD< br> 心，以
2
??
uuur
2
uuur
2
uu uruuur
又因为
OD?AD?1
，所以
OD?AD?2

B
D
O
C
rr
uuuruuur
r
2
当且仅当
OD?AD?
，即
a?b
时，
c?22

max
2
rrrrrrrr
解法二：
c?a?b?c?a?b? a?b

??
A

rrrrrrr
2
rr< br>2
r
2
r
2
所以
c?a?b?a?b?2a?b?a ?b?22a?2b?22

rr
r
当且仅当
a?b
时，< br>c
max
?22

1
2． 令
a
n
为
f
n
(x)?(1?x)
n?1
的展开式中含
x
n?1
项的系数，则数列
{}
的前n项和为 ．
a
n
答案：


2n

n?1
好题速递51题
设
m,k
为正整数，方程
mx2
?kx?2?0
在区间
?
0,1
?
内有两个不同的根 ，则
m?k
的最小值
是 ．
解：
mx
2
?kx?2?0?k?mx?
2

x< br>于是问题转化为直线
y?k
与打勾函数
y?mx?
2
的图象的
x
两个交点的横坐标均在区间
?
0,1
?
内，于是
22m?k?m?2

注意到
m?2
为整数，于是在区间
22m,m ?2
上存在整数
k
的充要条件为
m?2?22m?1

??
解得
m?3?22

故
m
的最小值为6，而< br>k
的最小值为7，则
m?k
的最小值为13



好题速递52题
已知
2x?y?1
，求
x?x
2
?y
2
的最小值是 ．
m
2
? y
2
解法一：令
x?x?y?m
，则
x?

2m< br>22
m
2
?y
2
因此
2??y?1
，整理得
y
2
?my?m?m
2
?0

2m
故用判 别式
??m
2
?4m?m
2
?0
，解得
m?
??
4

5
解法二：设
x?rcos
?
，
y?rsin
?
，条件转化为
2rcos
?
?rsin
?
?1
，即
r?
1

2cos
?
?sin< br>?

所求代数式转化为
rcos
?
?r?
由此可 有斜率角度求值域：
cos
?
?1
的最小值
2cos
?
?sin
?
2cos
?
?sin
?
2cos
?
?2?sin
?
?2sin
?
?25
（视为单位圆上的 点与
?
?1,2
?
连线斜
??2??
，
cos?
?1cos
?
?1cos
?
?14
率），则
x?x
2
?y
2
?
cos
?
?14
?
2cos
?
?sin
?
5
也可由三角函数角度求值域： < br>cos
?
?14
2
?m?msin
?
?
?< br>2m?1
?
cos
?
?1?m
2
?
?
2m?1
?
?1?m?

2cos
?
?sin
?
5
评注：这里因为遇到
x
2
?y
2
的结构，故三角 换元设
x?rcos
?
，
y?rsin
?
。
解法三：数形结合
当
x?0
时，点
P
为
2x?y ?1
上的一点，则
x?x
2
?y
2
?PO?PH

如图，就是典型的“饮马问题”，点
O
关于直线
2x?y?1
的对称 点
4
?
42
?
Q
?
,
?
到
y
轴的距离为
5
?
55
?
当
x?0
时 ，点
P
为
2x?y?1
上的一点，则
x?x
2
?y
2
?PO?PH

而
PO?OH?OB?2PH?1?PH

于是
PO?PH?1





好题速递53题
如图，直线
m
与平面
?
，垂足是
O
，正四面体
ABCD
的棱
长为4，点
C
在平面
?
上运动，点
B
在直线
m
上运动，则
点
O
到 直线
AD
的距离的取值范围是 ．
解：题意中是 点
O
是定点，正四面体
ABCD
运动，但始终
保持
OB?O C
不变
不妨反过来换位思考，将正四面体
ABCD
固定下来，让点
O
在以
BC
为直径的球面上运动，如图所示。
接下来可以得到点
O
到直线
AD
的距离的取值范围就是球心
F
到直线
AD
的距离
EF
减去球
?
的半径与球心
F
到直线
A D
的距离加上球的半径之间，即
?
?
22?2,22?2
?

好题速递54题
★已知
a,b?R
，对任意满足0?x?1
的实数
x
，都有
ax?b?1
成立，则
10 a?7b?10a?7b
的最大值是 ．
解法一：显 然
10a?7b?10a?7b?max
?
20a,14b
?

于是问题转化为求
a,b
的最大值
当
x?0
时，容易得到
b?1
，由图可知直线
y?ax?b
在
0?x?1
上的值域 为
?
?1,1
?
的子集，于是斜率
a
必然在
??2,2
?
内，故
a?2

从而当
a?2,b??1
时，原式取到最大值为40
解法二：绝对值不等式
因为
f
?
0
?
?b?1,f
?
1
?
?a?b?1

故
a?
?
a?b
?
?b ?a?b?b?2
，同解法一
练习：若对任意满足
?1?x?1
的实数x
，都有
ax
2
?bx?c?1
成立，则
a
的 取值范围是 ．
如图，易得
?2?a?2

点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。


好题速递55题
uuuruuuruuur
已知圆
O:x?y?1
为
?ABC
的外接圆，且
tanA?2
，若
AO?xAB?yAC< br>，则
x?y
的最大
22
值为 ．
uuuruuur
解：如图，延长
AO
交边
BC
于点
D
，设
AO?
?
AD

则
AD?
uuur
?
r
x
uuur
y
uuur
1< br>uuu
AO?AB?AC

??
由
B,C,D
三点共 线可知
x
?
?
y
?
?1
，从而
x?y?< br>?
?
AO
AO?OD
?
1

1?OD
显然当
OD
取最小值，即
OD?BC
时，
x?y
取得最大 值，此时
?ABC
为等腰三角形，可得
x?y?
5?5

4




好题速递56题
rr
rr< br>rr
已知非零向量
a
和
b
互相垂直，则
a?b
和
a?2b
的夹角余弦值的最小值是 ．
rr rr
r
2
r
2
a?b
g
a?2b
a?2b
解：
cos
?
?
rrrr
?
rrr
r
2222
a?b?a?2b
a?ba?4b
????
r
2
r
2
令
a?x,b?y
，
则
cos
?
?


x?2y
x?yx?4 y
?
x
2
?4xy?4y
2
x
2
?5xy ?4y
2
?1?
xy
x
2
?5xy?4y
2
?1?
122
?

93
好题速递57题
已知正数
a,b
满足
a?b??
1
a
9
b
1
a< br>9
?10
，则
a?b
的取值范围是 ．
b
解：设
a?b?t
，则
??10?t

b9 a
?
19
?
又因为
?
a?b
?
?
?
?
?1?9???16

ab
?
ab
?
即
t
?
10?t
?
?16
，解得
2?t?8

当且仅当
a?,b?


1
2
3
时，
a?b?2
；当且仅当
a?2,b?6
时，
a?b?8

2
好题速递58题

已知实数
x,y?0
，若
x?2y?xy?2
，则
x?3y
的最小值是 ．
解法一：待定系数法
1
?
y
?
xy?
??
x?
?
,
?
?0

2
?
?
?
1
?
y
??
?
??
1
?
2?x?2y?xy?x?2y?
?
?
x?
?
?
?
1?
?
x?
?
2?
?
y

2
?
?
??
2
??
2
?
?
1
?
1
?
?
??
待定系数法，令
?
1?
?
:
?
2?
?
?1:3
，解得
?
?

2
?
?
3
?
2
??
故
x?3y?
解法二：
12
91
，当且仅当
x?,y?
时取得
777
?
?
x?3y
?
?2?
?
x?3
?
y?x?2y?xy?
?
?
?1
?
x?
?
3
?
?2
?
y?xy?2
?
?
?1
??
3
?
?2
?
?1
令
2
?
?
?1
??
3
?
?2
?
?1?0
，即
?< br>?
解法三：三角换元
设
a?x,b?y
，原问题转化为
a< br>2
?ab?2b
2
?2
，求
a
2
?3b2
的最小值
令
a?rcos
?
，
b?
r?
?
?
sin
?
，
?
?
?
0 ,
?
，
r?0
，
a
2
?3b
2
? r
2

3
?
2
?
712
91
时，
x?3y?
，当且仅当
x?,y?
时取得
67
77
??
xy

21
2
故问题又转化 为已知
r
2
cos
2
?
?r
2
sin2
?
?rsin
?
cos
?
?2
，求
r
2
的最小值
3
3
于是
2
2
161?
?
?
2
?cos
?
?sin
?
?s in
?
cos
?
??sin2
?
?
??

353
?
6
?
r
2
3
2
2
?
12
??
?
?
因为
?
?
?
0 ,
?
，故
2
?
?
,3
?

r?
2
??
7
?
评注：这里又遇到
a
2
?
??
3b
的结构，故可三角换元设
a?rcos
?
，b?
2
r
3
sin
?
，10月1日
每日征解有 相同的处理方法。



好题速递59题
已知
?ABC
中，
CP?
uuurruuuruuur
1
uuur
1uuu
CA?CB
，
CP?AB?1
，点
Q
是线段AB
上一点，且
22
??
uuuruuur
1
uuur
CQ
g
CP?
，则
CQ
的取值范围是 ．
2

uuur
1
uuuruuuruuur
1uuur
解：根据
CP?CA?CB
，
CP?AB?1
，可知< br>A,B,C
在以
AB
为直径，以
AB
中点
P
为
22
??
圆心的圆上。
uuuruuur
1
uuur< br>又
CQ
g
CP?
，且
CP?1
，根据投影的几何意义 为点
Q
在
PC
的中垂线上，又点
Q
在
AB
2
上，故点
Q
就是线段
PC
的中垂线与线段
AB
的 交点
又
CQ?PQ
，故问题转化为当点
C
在以
AB
为直径的圆上运动时，求
PQ
的取值范围
显然当
Q
与
B
重合时，
PQ
max
?1
，
C
与
B
接近重合时，
PQ
min
?
uuur
?
1
?故
CQ?
?
,1
?

?
2
?
1

2
好题速递60题
在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，若点
P
（异于点
B
）是棱 上一点，则满足
BP
和
AC'
所成
的角为
45
o< br>的点
P
有 个．
解：如图，将正方体的 各个顶点（除B点外）分类，规定当顶
点与
B
的连线与直线
AC'
所 成的角大于等于
45?
时为一类，小于
45?
时为一类。
显然AB,B'B,CB
与
AC'
所成角的正切值为
2
，故大于45?

A'B,DB
与
AC'
所成角的为
90
o
，大于
45?

D'B
与
AC'
所成角的为< br>60
o
，大于
45?

C'B
与
AC'所成角的正切值为
2
，小于
45?

2
当点
P
从
B'
运动到
C'
时，角度从大于
45?
变化到小 于
45?
，一定经过一个点满足
45
o
；依
此类推，当点< br>P
在
B'C',CC',D'C'
上运动时，都经历过角度从小于
45 ?
到大于
45?
的变化，
故满足条件的点共有3个。
点评：本题虽 然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），
角度的变化不会发生突变， 故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择
题时经常用到。


好题速递61题
在
?ABC
中，
D
是边
AC上一点，
AB?AC?6
，
AD?4
，若
?ABC
的外 心
O
恰在线段
BD
上，则
BC?
．
uuuruuuruuuruuur
2
uuur
解：设
AO?< br>?
AB?
?
1?
?
?
AD?
?
AB ?
?
1?
?
?
AC

3

因 为
?ABC
是等腰三角形，故
?
?
故有
AO?
uu urr
3
uuur
2
uuu
AB?AC

552
2
?
1?
?
?
，即
?
?

5
3
uuur
uuuruuur
?
2
uuur3
uuur
?
uuur
1
再对上式两边同时与
AB作数量积，有
AO
g
AB?
?
AB?AC
?
g
AB
，得
cosA?

4
5
?
5
?
故由余弦定理得
BC
2
?AB
2
?AC
2
?2ABgACcosA?54

即
BC?36

uuur
uuuruuur
点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到
AO
在
AB ,AC
方向的分量一样，即系数一致
求出
?
。其次还是向量与外心合作的老套 路——点积转边长。


好题速递62题
已知平面
?
和
?
相交形成的四个二面角中的其中一个为
60
o
，则在空间中过某定 点
P
与这
两个平面所成的线面角均为
30
o
的直线
l
有 条．
解：设平面
?
和平面
?
过点
P
的法线（垂直于平面的直线）分别为
m,n
，则
m,n?60
o

而直线
l
与两个平面所成的线面角均为
3 0
o
可转化为直线
l
与法线
m,n
所成的角均为
6 0
o

由“鸡爪定理”可知，直线
l
与法线
m,n
所成角为
60
o
的直线有3条。
点评：平面的法向量是平面方向的代表。
“鸡爪定理”：如图，若直线
m,n
所成角为
?
，则与直
线
m,n
所成角相同的直线
l
一定在直线
m,n
的角平分面< br>?
??
??
?
?
??
?
上，且该角的取值范 围是
?
,
?
和
?
,
?

?
22
??
22
?
?
?
?
2

其 中
?
?
?
?
与就是直线
l
正好为直线
m, n
的两条角平
22
?
就是垂直时取得。
2
?

2
分线时，

好题速递63题
已知向量
a,b
满 足
2a?3b?1
，则
a?b
最大值为 。
解法1：（方程构造法）构造方程
?
2a?3b
?
?(2a?3 b)
2
?24a?b

2
(2a?3b)
2
(2a ?3b)
2
1(2a?3b)
2
11
则
a?b
?< br>，当且仅当
2a?3b
，且
a?
时，
????
242 42424244
上式等号成立．
22
解法2：（不等式法）对于条件
2a ?3b?1
，则有
4a?9b?12ab?1
，

又因
?
2a?3b
?
?0
，则有
4a
2
?9b
2
?12a?b
，则
12a?b?1?12a?b
，
因此
a?b
最大值为
2
1

24
uuur uuur
1
解法3：（极化恒等式法）设
2a
?OA
，
3b
?OB
，取
AB
的中点为
M
，
OM?
，对
2
于
?OAB
，因
?BOA
可以变化，当
?BOA
趋向于
0
度时，
MB
趋
向于
B

M

0
，而
OM?
1
4
1
2，则
2a?3b
?OA?OB?OM－MB?-0?
，
因此
a?b
最大值为


uuuruuuruuuur2
uuur
2
1
4
O

A

1

24
好题速递64题
已知过点
A
?
0,1
?
，且斜率为
k
的直线
l
与圆
C
：
?
x?2
?
?(y?3)
2
?1
相交于
M ,N
两
2
点．
uuuuruuur
则
AM?AN?
．
解法1：（普通方法）设直线
l
与圆的交点为
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
，
uuu uruuur
则
AM?(x
1
,y
1
?1),AN?(x< br>2
,y
2
?1)
，
由直线
y?kx?1
与 圆
?
x?2
?
?(y?3)
2
?1
联立得
1?k
2
x
2
?4(1?k)x?7?0
，
2
? ?
12k
2
?4k?1
74(1?k)
2
因此有
x
1
x
2
?
，
y
1
y
2
? kx
1
x
2
?k
?
x
1
?x
2< br>?
?1?
，
,x
1
?x
2
?
2< br>22
1?k
1?k1?k
uuuuruuur
6k
2
?4k?2
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2?
，因此可得
AM?AN?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?(y
1
?y
2
)?1
< br>1?k
2
712k
2
?4k?16k
2
?4k?2< br>????1?7

222
1?k1?k1?k
解法2：（极化恒等式）
如图所示，取
MN
的中点为
G
，则
CG?MN
，
y

M

uuuur
uuuuruuuruuur
2
MN
2
uuur
2
uuuur
2
由极化恒等式可 得
AM?AN?AG??AG?MG

4
G

N

C

x

A

O

uuur
2
uuur
2
uuuur
2
uuur
2
?AC?CG?(MC?CG)

?
?
uuur
2
uuuur
2
uuur
2
?AC?MC?AC?1?8?1?7

点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。其本质就是圆的切割线定
理。





好题速递65题
x
2
y
2
??1
上经过原点的一条动弦，
M
为圆
C
：
x
2
?(y?2)
2
?1
上已知
A,B
为 双曲线
164
uuuruuur
的一个动点，则
MA?MB
的最大值 为 。
22
解法1：（普通方法）设
M
?
x
0
,y
0
?
，满足
x
0?(y
0
?2)?1
；
x
1
2
y
1
2
??1
设
A?
x
1
,y
1
?
,B(?x
1
,?y
1
)
，满足
164
uuuruuur
MA?(x
1
?x
0
,y
1
?y
0
)
，
MB? (?x
1
?x
0
,?y
1
?y
0
)
，
y

uuuruuur
2222
2222
因此
MA?MB?x
0
?x
1
?y
0
?y
1
?x
0
?y
0
?(x
1
?y
1
)

222
1
A

C

2

M

B

O

x

x
1
2
15
?1?(y
0
?2)?y
0
?[x?(?1 )?4]
?1?4y
0
?x
1
2
，
16
4
uuuruuur
1515
2
因此
MA?MB
的最大值为
1?4
?
y
0
?
max
?
?
x< br>1
?
min
?1?4?3??16??7

44
解法 2：（借助于极化恒等式）如图所示，
O
为
A,B
的中点，
uuu ruuuruuuur
2
uuur
2
由极化恒等式可得
MA?MB? MO?OA
，
uuuur
2
uuur
2
2
2OA
而
MO
max
?(2?1)?9
，
min
?4
，
uuuur
2
uuur
2
uuuruuur
2
因此
MA?MB
的最大值为
MO
max
?OA
min
?9?4??7



好题速递66题

在平面直角坐标系
xOy
中，
A,B
是
x
轴正半轴上的 两个动点，
P
（异于原点）为
y
轴上一
个定点，若以
AB< br>为直径的圆与圆
x
2
?
?
y?2
?
2
?1
相外切，且
?APB
的大小为定值，则
OP?
．
解：设以
AB
为直径的圆的圆心为
?
t,0
?
，半径为
r
，则可设
A
?
t?r,0
?
,B
?
t?r,0
?

由两圆相外切得
t
2
?4?
?
r?1
?

而
tan?OPB?
t?rt?r
，
tan?OPA?

OPOP
tan?OPB?tan?OPA2r?OP2r?OP

??2222
1?tan?OPB?tan?OPA
OP?t?rOP?2r?3
2< br>tan?APB?tan
?
?OPB??OPA
?
?
因为?APB
是定值，所以
tan?APB
为常数，所以
OP?3





好题速递67题
已知等比数列
?
a
n
?
的公比
q?1
，其前
n
项和为
S
n
，若
S
4
?2S
2
?1
，则
S
6
的最小值
为 ．
解法1：从等比数列的基本量入手
a
1
1?q
4
1?q< br>由
S
4
?2S
2
?1
得
??
?2a
?
1?q
?
?1
，得
1
2
1?q
a
1
1
?
4

1?q
?q?2q
2
?1
42
所以
S
6
?
a
1
1? q
6
1?q
??
?
?
q?1
??
q?q? 1
?
?
q?q?1

?
q?1
?
?
q?1
??
q?1
?
1?q
6
2
242
2
2
22
3
令
q
2
?1?t
，则
S
6
?t??3?23?3

t
当且仅当
q
2
?3?1
时取得等号。
解法2：从等比数列的性质入手
因为等比数列有性质：
?
S
4?S
2
?
?S
2
?
?
S
6
? S
4
?

将
S
4
?2S
2
?1< br>代入，得
S
6
?3S
2
?
1
?3

S
2
2
又因为
S
4
?2S
2
?1
得
a
3
?a
4
?a
1
?a
2?1
，即
S
2
q
2
?1?1
，因为
q ?1
，所以
S
2
?0

所以
S
6
?3S
2
?
1
3
?3?23?3
，当且仅当
S2
?
时取得等号。
S
2
3
??

好题速递68题
已知
eO:x
2
?y
2
?4
，点
M
?
4,0
?
，过原点的直线（不与
x
轴重合）与
eO交于
A,B
两点，
则
?ABM
的外接圆的面积的最小值为 ．
解：
大值
设
A
?
2cos
?
,2s in
?
?
，
B
?
?2cos
?
,?2si n
?
?

uuuruuur
MA?
?
2cos?
?4,2sin
?
?
，
MB?
?
?2cos
?
?4,?2sin
?
?

uuur
uuuruu uruuuur
2
AB
2
?16?4?12

由极化恒等式 知
MA
g
MB?MO?
4
AB
?2R
，要求外接圆 的面积的最小值，即求
R
的最小值，即求
sin?ABM
的最
sin ?ABM
故
cos?ABM?
12
20?16cos
?
?2 0?16cos
?
?
12
400?256cos
2
?
?
3

5
4
故
sin?ABM?

5< br>所以
2R?
AB4
525
?
??5
，所以
R ?
，
S?

24
sin?ABM
4
5


好题速递69题
已知数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n
,T
n
，记
c
n
?a
n
?T
n< br>?b
n
?S
n
?a
n
?b
n
，若< br>S
2015
?2015
，
T
2015
?
20 14
，则数列
?
c
n
?
的前2015项和为 ．
2015
解：当
n?1
时，
c
1
?a
1
?b
1
?S
1
?T
1

当
n? 2
时，
c
n
?
?
S
n
?S
n?1
?
?T
n
?
?
T
n
?T
n?1< br>?
?S
n
?
?
S
n
?S
n?1?
?
?
T
n
?T
n?1
?
?S
n
?T
n
?S
n?1
?T
n?1

c< br>1
?c
2
?c
3
?
L
?c
n
?S
1
T
1
?
?
S
2
T
2?S
1
T
1
?
?
?
S
3
T< br>3
?S
2
T
2
?
?
L
?
?
S
2015
T
2015
?S
2014
T
2 014
?
?S
2015
T
2015
?2014


好题速递70题
钝角
?ABC
中，
?
2sin C?1
?
sin
2
A?sin
2
C?sin
2B
，则
sin
?
A?B
?
?
．

解：由
?
2sinC?1
?
sin
2< br>A?sin
2
C?sin
2
B
得
2sin
2
A?sinC?sin
2
A?sin
2
C?sin
2
B

sin
2
A?sin
2
C?sin
2
Ba
2
?c
2
?b
2
?
?
?
? ?cosB?sin
?
?B
?
故
sinA?
2sinAs inC2ac
?
2
?
故
A?
?
?
?B或
A??B?
?

22
?
，所以
sin
?
A?B
?
?1

2
由于
?ABC
为钝角三角形，故
A?B?

好题速递71题
在
?ABC
中，若
tanAtanB?tanBt anC?tanCtanA
，则
cosC
的最小值为 ．
解：常规思路“切化弦”
sinAsinBsinBsinCsinAsinCsinC
?
sinAsinB
?
sinC
?
sinAcosB?si nBcosA
?
????
??
?
??

cosAc osBcosBcosCcosAcosCcosC
?
cosAcosB
?
c osC
?
cosAcosB
?
sin
2
Cc
2sinAsinB??ab?
222
?a
2
?b
2
?3 c
2

cosC
a?b?c
2ab
a
2
? b
2
?c
2
a
2
?b
2
2
cos C???

2ab3ab3

好题速递72题
在平面直角坐标系中 ，设
A,B,C
是圆
x
2
?y
2
?1
上相 异的三点，若存在正实数
?
,
?
，使得
uuuruuuruuur< br>2
OC?
?
OA?
?
OB
，则
?
2
?
?
?
?3
?
的取值范围是 ．
222222
?y
1
?1
，
x
2
?y
2
?1
，
x
0
?y
0
?1
解： 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?x
2
,y
2
?
,C
?
x
0
, y
0
?
，则
x
1
于是由
OC?
?
OA?
?
OB
得
?
x
0
,y
0
?
?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
2
,y
2
?

?
x
0
?
?
x
1
?
?
x
2
故
?
，两式平方相加得
1?
?
2
?
?
2
? 2
??
?
x
1
x
2
?y
1
y2
?
，
?
y
0
?
?
y
1< br>?
?
y
2
uuuruuuruuur
1?
?
2
?
?
2
即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?

2
??
uuuruuur
O B?cos
?
?
?
?1,1
?

又
x1
x
2
?y
1
y
2
?OA
g
故
?
2
?
?
2
?2
??
?1,
?
2
?
?
2
?2
??
?1

?
?
?
?
?1
?
2
即
?
?1?
?
?
?
?1
，画出可行域如图，目标函数
?
2
?
?
?
?3
?
视为可行域内的点到
?
0,3
?
的距离
?
?
?0,
?
?0
?
?3?1?
的平方，所以的最小值为
d
2
?
??
?2

?
2
?
2
所以
?
2
?< br>?
?
?3
?
?2



2
好题速递73题
若对于满足
?1?t?3
的一切实数t，不等式
x
2
?(t
2
?t?3)x?t
2
(t?3)?0
恒成立，则x的
取值范围为 ．
11
解：原不等式化为
(x?t
2
)[x?(t?3)]?0
，∵< br>t
2
?(t?3)?t
2
?t?3?(t?)
2
?3 ??0
，
24
2
∴
x?t?3
或
x?t
，
∴x?
?
t?3
?
min
??4
或
x?t
2
??
max
?9

点评：本题常规的解法应该是将
t< br>视为主元，将
x
视为系数去解，但这个关于
t
的不等式是
三次 不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问
题。这个题目的解法 也可以处理浙江省2012年高考题。
2
（2012浙江理17）设
a?
R ，若
x?0
时，均有
[(a?1)x?1](x?ax?1)?0
，则
a?
．
本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。
解：将
[( a?1)x?1](x?ax?1)?0
视为关于
a
的二次不等式，即整理为
2
?xa?x?1
?
?
?
?
xa?
?
x? 1
?
?
?
?
??
?0

2
x?1
?
?
?
1
?
?
?
因为
x?0，故
?
a?
?
?
a?
?
x?
?
?
?0
，
x
?
?
?
x
?
?< br>?
当
x?11
?x??x?2

xx
1
?< br>x?111x?1
??
x?1
?
，所以
?
x?
?
?a?
?
?x?
，则
x??a?
?

xx
xxxx
??
max
??
min
当
0?x?2
时，
即
333
?a?
，即
a?

222< br>1
?
x?11x?11
?
x?1
??
?x?
，则
?a?x?
，所以
??
?a?
?
x?
?

x
?
min
xxxx
?
x
?
max< br>?
当
x?2
时，
即
333
?a?
，即
a?

222

综上，
a?

3

2
好题速递74题
2
y
2
x
如图，在平面直角坐 标系xOy中，椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?< br>被
ab
围于由4条直线
x??a
，
y??b
所围成的 矩形ABCD内，任取
椭圆上一点P，若
OP?m?OA?n?OB
(
m、
n?R
)，则
B
O
C
y
A
x
D
m
2
?n
2
?
．
uuuruuuruuur
解：设P(x,y)，由
OP?m?OA?n?OB< br>
?
(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am-an, bm+bn) < br>?
x
?m?n
2
y
2
x?a(m?n)
?< br>22
?
a
x
?
?
?
?
?
( m?n)?(m?n)?
2
?
2
?1
y
y?b(m?n)< br>ab
?
?
?m?n
?
b
?
m
2?n
2
?


1

2
好题速递75题
若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
① X?M、??M；
② 对于X的任意子集A、B，当A?M且B?M时，有A∪B?M；
③ 对于X的任意子集A、B，当A?M且B?M时，有A∩B?M；
则称M是集合X的一个“M集合类”
例如：
M?{?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}
是集合
X ?{a,b,c}
的一个“
M
集合类”
已知集合
X?{a,b,c}
，则所有含
{b,c}
的“
M
集合类”的个数为 ．
解：
X?{a,b,c}
的子集有8个，为：?,
{a}
,{b}
,
{c}
,
{a,b}
,
{a,c}
,
{b,c}
,
{a,b,c}
.
M
中必含?、
{ b,c}
、
{a,b,c}
，另5个元素
{a}
,
{b}< br>,
{c}
,
{a,b}
,
{a,c}
再分配。 注意到
{a,b}
∩
{b,c}
=
{b}
，
{ a,c}
∩
{b,c}
=
{c}
，
{a,b}
∩< br>{a,c}
=
{a}
，
故若
{a,b}
在
M
中，则
{b}
也在
M
中，
若
{a,c}
在
M
中，则
{c}
也在
M
中，
若
{a ,b}
与
{a,c}
在
M
中，则
{a}
也必在M
中.
故对这5个元素在
M
中的搭配情况进行分类：
①5个 都不取，即
M
0
=
{?,{b,c},{a,b,c}}
，1个；
②从
{a}
、
{b}
、
{c}
中各取一个充入M
0
，有3个；
③从
{a,b}{b}
、
{a,c} {c}
、
{b}{c}
中各取一个充入
M
0
，有3个； < br>④从
{a,b}{b}{a}
、
{a,b}{b}{c}
、
{ a,c}{c}{a}
、
{a,c}{b}{c}
中各取一个充入
M
0
，
有4个；
⑤把
{a,b}{a,c}{a}{b}{c}
充入
M
0
，有1个；

故共有12个


好题速递76题
rr
rrrrrr
设
a,b
是非零向量， 且
a?b?1
，
a?3b?2
，则
a?2b
的最大值是 ．
rr
rrrrrr
rr
u?v
解法一：（代数角度运算）令a?b?u
，
a?3b?v
，则
a?2b?

2
rr
rr
u?v
题目简化为
u?1
，
v?2
，求 的最大值
2
rr
rr
2
u?v3
u?v1?4?4cos
?
9
?

??
，故
22
244
r rrr
解法二：（几何角度）画出
a?b?1
，
a?3b?2
的几何 图
A
a
2
b
B
M 2b
C
3b
uuuruuur
形，即
AB?1
，
AC?2
，问题变为
?ABC
的两边分别为
O
1和2，求中线
AM
的长度的最大值。
2AM?AB?AC?3
（ 即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角
形时取得等号），故
AM?
3

2
B
M
A
C
解法三：（坐标 角度）将
?ABC
画成如图形状，则点
B
在以
A
为圆心，1 为半径的圆上运动，再求中线
AM
的最大值。
本题还可以建系设点做，设
A
?
0,0
?
，
C
?
2,0
?
，< br>?
cos
?
sin
?
?
B
?
cos
?
,sin
?
?
，
M
?
1?,
?

22
??
2
9
?
cos
?
?< br>sin
?
5
???cos
?
?
则
AM??
1?

?
2
?
444
?
2
2
即
AM?
3

2
点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。
一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。


好题速递77题
（须凌峰供题）在
?ABC
，
?BAC ?90?
，以
AB
为一边向
?ABC
外作等边
?ABD，若
uuuruuuruuur
?BCD?2?ACD
，
AD?
?
AB?
?
AC
，则
?
?
?
?
．
解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。

如图，延长
DA
与
BC
交于
E

则
AE?xAB?yAC
，且
x?y?1

uuuruuuruuuruuur
AD?mAE?mxAB?myAC

uuuruuuruuur
B
D
F
A
C
uuur
AD
故
?
?
?
?m??
uuur

AE
设
AB?2
，
AC?a
，
?ACD??
，
则
tan
?
?
1
3?a
，tan3
?
?
2

a
3?a
E
t an2
?
?
1?
2
3?a
1
?
2
2
??
?
3?a
?
2
a?23a?2

1
2
3a
2
?63a?82
a?23a?2a?3
tan3< br>?
?tan
?
2
?
?
?
?
???< br>
a
23?aa?3a
2
?23a
1
1?
2
g
a?23a?2a?3
?
2
?
3?a
?
??????
即
a
2
?4
，
a?2

即< br>?ABC
是等腰直角三角形，故
?ACE?135?
，
?AEC?15 ?

uuuruuur
AEAC
uuur
2
??
所 以，故
AE?23?1

sin135?sin15?
6?2
4??
uuur
AD
1?3
故
?
?
?
? m??
uuu

r
?
2
AE
点评：本题入手是由三 点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二
倍角关系，不知道是否有初中的平面几 何知识可以迅速确定
?ABC
是等腰直角三角形。




好题速递78题
uuuruuur
CA?CB
uuuruuuruuuruuur
?
．
（须凌峰供题）已知
2CA?CB
g
CA?2CB?0
，则uuur
AB
????
解法一：代数方法
uuur
2
uuur
2
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
CB?0< br>
由
2CA?CB
g
CA?2CB?0
得
2CA?2 CB?5CA
g
????

uuuruuur
uuuruuur
2CA
2
?2CB
2
故
CA
g
CB?
5
uuuruuuruuuruuur
CA?CBCA?CB
?
uuuuuurruuur
?
ABCB?CA
uuuruuur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuur
CA?CB
CA? CB?2CA
g
CB
r
2
uuur
2
uuuruu ur
?
uuuruuur
2
?
uuu
CA?CB?2CA< br>g
CB
CB?CA
9
5
1
5
??
? 3

uuuruuur
?
CA?CB
?
22
uuu r
2
uuur
2
CA?CB
解法二：几何方法
uuuru uuruuuruuur
由
2CA?CB
g
CA?2CB?0
可以画 出如右图的
?CDE

????
E
B
C
F
D
其中两条中线垂直，即
AE?BD
，且
AB
为
?CDE
的中
位线。
注意到点
G
恰好是
?CDE
的重心，所以连结
CG
交
AB
于
uuuruuuruuur
H
，则
H
是
AB
的中点，即
CA?CB?2CH

uuuruuuruuur
CA?CBCH
?
故
uuuruuuur

ABAH
G
H
A
uuuruuuruuuruuu r
CA?CBCHCH
1
?
uuu
又因为
?ABG
为直角三角形，故
GH?AB?AH
，所以
uuurur
?
uuuu r

2
ABAHGH
uuur
CG
2
又
G
是
?CDE
的重心，所以
uuur
?
，
AB
为
?CDE
的中位线，所以
CF
3
uuuruuuruuurCA?CBCH
?
uuu
所以
uuurur
?3

ABGH
uuur
CH
1
uuur
?

2
CF

好题速递79题
（赖尚毅供题）正方体棱长为1，
M,P,Q
为棱
AA
1
,CD,BC
的中点，则三棱锥
M ?D
1
PQ
的
体积
V
M?D
1
PQ
?
．
解法一：等体积转换
如图1，
B
1
D
1
PQ
，故
S
?PQD
1
?S
?PQB
1
，
故
V
M?D
1
PQ< br>?V
M?B
1
PQ

再如图2，取
AD
的四 等分点
N
，则
MNB
1
Q

故
S
?MQB
1
?S
?NQB
1
， V
M?B
1
PQ
?V
P?MB
1
Q
? V
P?NB
1
Q
?V
B
1
?PNQ
1?1 111131
?
11
?
?5

?
?
1?? ??????
?
?
?
?1
?
?1?
3
?< br>2222242
?
24
?
?
48

解法二：作面的延伸
本方法的初衷就是利用两个三棱锥的体积成比例，求
出容易求的 三棱锥体积，从而利用比例进行转化。
注意到三棱锥
D
1
?MPQ
与三棱锥
D?MPQ
是共底面
MPQ
的，所以它们的体积之比就是
D
1
到
MPQ
的距离
与
D
到
MPQ
的距离之比（
H
1
:H
2
）。
如图，作
QP与
AG
的延长线交于
G
，连结
MG
交
DD1
于
H

V
D
1
?MPQ
:V
D?MPQ
?H
1
:H
2
?D
1
H:HD

易得
GD?
1
HD1
AD
，故
?
，故
D
1
H:HD?5:1

2
MA3
而
V< br>D?MPQ
??????
所以
V
D
1
?MPQ
?


5

48
11111
32222
1

48
好题速递80题
y
2
已知椭圆
C:
2
??1
?
a?2
?
和圆
O:x
2
?y
2
?a
2
?4
，椭圆
C
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，过
4
a
x
2
椭圆上一点
P
和原点
O
作直线
PO
交圆
O
于
M,N
两点，若
PF
1
?PF
2
?6
，则
PM? PN?
．
?
mn?6
uuuruuuur
?
解：先处理焦点三角形，设
PF
1
?m,PF
2
?n
，则
?
m?n?2a

?
222
?
4 c?m?n?2mncos?F
1
PF
2
4a
2
?4c2
?12b
2
?31
解得
cos?F
1
PF< br>2
???

1233
又
PM?PN?
?
R? OP
??
R?OP
?
?R
2
?OP

2< /p>

uuur
1
uuuruuuur
因为
PO?PF
1
?PF
2
，
2
??
uuur
2
1< br>uuuruuuur
故
PO?PF
1
?PF
2
4??
2
?
1
2
1
?
1
?
2< br>m?n
2
?2mncos?F
1
PF
2
?
?
?
2a
?
?2?6?2?6?
?
?a
2
? 2

44
?
3
?
??
所以
PM?PN?R
2
?OP?a
2
?4?a
2
?2?6


2
????
好题速递81题
（2012杭州一模）设对任意实数
x ?0
，
y?0
．若不等式
x?xy?a(x?2y)
恒成立，
则实数
a
的最小值为 ．
y
x?xy
x

?
解法一：
a?
2yx?2y
1?
x
1?
令
y
1?t
?t
，则
g
?
t
?
?

2
x
1?2t
1?tm1126?46?2

?????< br>1?2t
2
1?2
?
m?1
?
2
2m?3
?4
26?4
84
m
6?2

4
1
?
1
?
y
?
?x?
?
kx?
2< br>?
k
?
1
??
k
?
y
?
?
?
?1
?
x?y

22k
???
令
1?t?m
，
则
g
?< br>t
?
?
故
a
的最小值为
解法二：待定系数法
?
1
x?xy?x?(kx)
?
?
k
?
k
?
1
?1:2
与题中所给不等式
x?xy?a(x?2y)
相比 对，待定系数可得
?
?1
?
:
?
2
?
2k
解得
k?
?
6?2
?
6?2
，故
x?xy ?
?
?
x?2y
?

?
??
2
?
4
?
6?2

4
故
a
的最小值为


好题速递82题

x
2
y
2
已知
P
是双曲线
??1< br>右支上一点，
F
1
,F
2
分别是双曲线的左、右焦点，
O
为坐标原
168
uuuur
?
r
?
uuuu< br>uuuruuuur
uuur
uuuruuuur
uuuur
PF2
?
PM
点，
F
1
P?
?
PM
?
?
?0
?
，
PN?
?
?
uuuur< br>?
uuuur
，
PN
g
F
2
N?0
．若
PF
2
?2
，则
?
PMPF
2
?< br>??
uuur
ON?
．
uuuur
?
r< br>?
uuuu
uuur
PF
PM
2
?
解：由< br>PN?
?
?
uuuur
?
uuuur
知
PN
是
?MPF
2
的角平分线
?
PMPF
2
?
??
uuuruuuur
又
PN
g
F
2
N?0
，故延长
F
2
N
交
PM
于
K
，则的角平分线又是高线，故
?PF
2
K
是等腰三角
形，
PK?PF
2
?2

uuuuruuuruuuur
因为
P F
2
?2
，故
PF
1
?10
，故
F
1
K?12

注意到
N
还是
F
2
K的中点，所以
ON
是
?F
1
F
2
K
的 中位线，所以
ON?


uuurr
1
uuuu
F
1
K?6

2
好题速递83题
设
a
1
?2
，
an?1
?
a?2
2
?1,n?N*
，则
b
20 15
?
． ，
b
n
?
n
a
n
?1
a
n
?1
解：这种特殊的递推关系，一 旦没有思路，先做几项找找规律就是最好的办法。
26
算出
a
1
? 2,a
2
?,a
3
?,L
，
b
1
?3,b
2
?7,b
3
?15,L

35
找规律发现
b
1
?3?2
2
?1,b
2
?7?2
3
?1,b
3
?15?2
4
?1,L

所以严格证明时就能想 到办法，去证
b
n
?1?
2
?2
a
n
?1
2
?1
a
n
?1
a
n
?2
an
?1
a
n
?2
是等比数列
a
n
? 1
b
n?1
?1
??
b
n
?1
a
n
?2
a
n
?1
a
n?1
?2
a
n?1
?1
?2
，故
b
n
?1?2
n
，得
b
n
?2
n
?1
，
b
2015
? 2
2015
?1

点评：一般数列题中不常见的特殊递推关系或这为了应景而 求有2015这样大数据出现时，
题目往往有规律，例如周期数列或者能观察猜测出数列通项。由特殊到 一般，完成题目。
好题速递84题
uuuruuur
uuuruuur
已 知梯形
ABCD
，
AB?2DC
，且
?
1?
??
AE?
?
AC
，双曲线过

C,D,E
三点，且以
A,B
为焦点，当
23
?
?
?
时，离心 率
e
的取值范围是 ．
34
解：以线段
AB
的中垂线为
y
轴，直线
AB
为
x
轴， 建立直角坐标系，则
CD?y
轴
?
c
?
设
A?
?c,0
?
,C
?
,h
?
,E
?< br>x
0
,y
0
?

?
2
?
3 c
?
uuuruuur
?
?
?2
?
c
?< br>h
?
?
1?
?
?
?
x
0
? c
?
?
?
?
由
?
1?
?
?
AE?
?
AC
得
?
，
y
0
?

2
，即
x
0
?
21?
?
1?
?< br>??
?
?
1?
?
?
y
0
?
?
?h
?
?
c
2
?1(1)
?
2
h
?
4a
2
?
?
x
2
y
2
设双曲线方程为
2
?
2
?1
，则由点
C,E
在双 曲线上，得
?

b
2
ab
?
2
22
2
?
c
?
?
?2
?
?
h
??
?
?1(2)
??
2
?
2
?
??
4a
?
1?
?
?
b
?
1?
?
?
22
e
2
?
?
?2
?
?e
2
?
?
?
?
e
2
?1
?< br>由（1）得
2
?
2
?1??1
代入（2）得
???
?
??
?1

??
41?
?
41?
?
4
??
?
?
b4a
?
?
h2
c
2
整理得
e
2
?
因为
1?2?
3

??2?
1?
?
1?
?
23< br>?
?
?
，故
7?e
2
?10
，
7? e?10

34
好题速递85题
AB
中点．点D，E分别在半径OA，OB已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为
1
，C为
?
上．若CD

2
＋CE

2
＋DE

2
＝
5
2
，则OD＋OE的取值范围是 ．
解：设OD＝x, OE＝y. 利用余弦定理,得
DC
2
＝x
2
+1－x;
EC
2
＝y
2
+1－y;
DE
2
＝x
2
+y
2
+xy.
代入CD

2
＋CE

2
＋DE

2
＝
5
2
得
2x
2
?y
2
?< br>?
x?y
?
?xy?
??
1
?0

2
问题又转化为常见的代数问题：已知
x,y?
?
0,1
?
，
2x
2
?y
2
?
?
x?y
?
? xy?
的取值范围。
解法一：设
x?y?t
，则
xy?t
2
?t?

2
3
1
3
1
6
??
1
?0
，求
x?y
2
11??
2
于是
x,y
是关于
z
的二次方程
z2
?tz?
?
t
2
?t?
?
?0
的两 个位于
?
0,1
?
上的实数根
36
??
3

?
?
2
2
11
?
2
?
? ?t?4
?
3
t?
3
t?
6
?
?0
??
?
?
t
0??1
?
?
1?52?14
?
?
2
故
?
，解得
t?
?
,
?

45
?
2
t
2
?
1
t?
1
?0
??
?
336
?
?
1?t?
2< br>t
2
?
1
t?
1
?0
?
336?
解法二：由
2x
2
?y
2
?
?
x? y
?
?xy?
??
1
?0
化简得
3xy
2
1
?2(x?y)
2
?(x?y)?

2
Q0?3xy?
3
(x?y)
2

4
13
?(x?y)
2

24
故
0?2( x?y)
2
?(x?y)?
解得
1?52?14

?x?y?
45




好题速递86题
若关于
x
的方程
x
2
?
为 ．
解：本题思路是转换主元，将关于
x
的方程
x
2
?1
??
?ax?
??
?b?0
看成关于
a,b
的直线方
2
x
x
??
1
1
??
22
（其中）有实数根，则的最小值
a,b?R
a?b
?ax??b?0
??< br>x
?
x
2
?
1
1
?
1
?? ?
程
?
x?
?
a?b?
?
x
2
?
2
?
?0
，于是目标
a
2
?b
2
视为直线上的点
?
a,b
?
到原点的距离平方
x
?
x
???
1
x?
2
x
2
2
2
原 点到直线的最短距离的平方
d
2
?
1
??
2
?x?
?
?1
x
??
?
?
t
2
?2
?
2
t
2
?1
?t
2
?1?
9
t
2
?1
?6?
4
（令
5
x?
1
?t
）
x
4
5
当且仅当
x??1
时，
a
2
?b
2
的最小值为
点评：同学们，你们还记得之前做 过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几
道题目放在一起，发现它们的门道。

好题速递87题
设数列
?
a
n
?
为等差数列，数列
?
b
n
?
为等比数列，若
a
1< br>?a
2
，
b
1
?b
2
，且
b
i
?a
i
2
?
i?1,2,3
?
，
则数 列
?
b
n
?
的公比为 ．
22242
解：
b
1
b
3
?a
1
，又a
1
?a
3
?2a
2

a
3
?b
2
?a
2
?a
1
a
3
??a
2
22
故
a
1
,a
3
是方程
x
2
?2a
2
x?a
2
?0
或
x
2
? 2a
2
x?a
2
?0
的根，显然第一个方程的解是
a
1
?a
2
?a
3
不符合，舍去，故
a
1
,a
3
?
2a
2
?22a
2
?1?2a
2

2
??
22
又由
b
1
?b
2< br>?a
1
?a
2
?
?
a
1
?a
2
??
a
1
?a
2
?
?0

又
a
2
?a
1
，故
a
1
?a
2?0?a
2
?0

2
b
3
a
3
综上可得
a
1
?1?2a
2
,a
3
?1?2a< br>2
??
2
?1?2
b
2
a
2
??? ???
2
?3?22

好题速递88题
1
?
a< br>2
?b
2
?
已知二次不等式
ax?2x?b?0
的解 集为
?
x|x??
?
，且
a?b
，则的最小值
a? b
a
??
2
为 ．
解：显然
a?0且
??4?4ab?0
，故
b?
1
??
1
a?
2
?
a?
?
?2
a
?
a
?
?
?22

11
a?a?
aa
2
2
1< br>，又
a?b
，故
a?1?b
，
a
好题速递89题
已知关于
x
的方程
x
2
?2alog
2
x
2
?2?a
2
?3?0
有唯一解，则实数
a
的值为 ．
解：这个方程显然直接解方程比较困难，因此越复杂的函数与方程越要从它的结构和性质
入 手来处理，我们可以发现这个函数
f
?
x
?
?x
2
?2alog
2
x
2
?2?a
2
?3
是偶函数，故 零点必
关于原点对称。又由题意知函数的零点唯一，故必有且仅有
f
?
0?
?0

解得
a?1
或
a??3

注 意有两解的情况要引起重视，往往需要检验。经检验，当
a??3
时，
f
?< br>x
?
的零点不唯
一，故
a?1




??
??
好题速递90题

若函数
f?
x
?
?ax
2
?20x?14
?
a?0?
对任意实数
t
，在闭区间
?
t?1,t?1
?
上总存在两实数
x
1
,x
2
，使得
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?8
成立， 则实数
a
的最小值为 ．
解：式子
f< br>?
x
1
?
?f
?
x
2
?
? 8
描述的是函数
f
?
x
?
在区间
?
t?1 ,t?1
?
上的“身高”
而由
t
的任意性可知，题目只与函数的“形状”有关，与位置无关。
与f
?
x
?
?ax
2
?20x?14
?
a?0
?
“相似”的标准二次函数是
g
?
x
?
?a x
2

又因为函数在长度为2的区间内的“身高”恒大于等于8，故只需“最矮”时大于等于8
即可。
由二次函数图象，显然可以发现当区间关于对称轴对称时，图象“最矮”
故只需
g< br>?
1
?
?g
?
0
?
?8
，即
a?8

好题速递91题
已知等差数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2n
，公比为
q
的等比数列
?
b
n
?
满足
b
n
?a
n
?
n?N*
?
恒
成立，且
b
4
?a
4< br>，则公比
q
的取值范围是 ．
解：由b
4
?a
4
?8
得
b
n
?8?qn?4

从结构分析，等比数列
?
b
n
?
是指 数型函数上孤立的点，等差数列
?
a
n
?
是一次型函数上孤立
的点
已知指数函数图象与一次函数图象至少在
n?4
时有一个交点
如果只有这一个交点，那么指数函数其他点都在一次函数上方；
如果指数函数与直线有两个交点，那么
n?3
或5的点，指数函数图象必须在直线上方
?
?
b
3
?a
3
8?q
3?4
? 6
54
?
?
故只需满足
?
，即
?
得
q?
?
?
4
,
3
?

5?4
b ?a
??
?
44
?10
?
?
8?q

好题速递92题
已知圆
O
为单位圆，
A,B
为圆上两点， 以
AB
为边作正方形
ABCD
，则
OD
的取值范围
是 ．
解：本题我们使用转化的思想来解决。
在圆O
上固定一点
A
，点
B
在圆
O
上运动，点D
满足
AD?AB
，
且
AD?AB
。故点
B< br>绕点
A
旋转
故把圆
O
绕点
A
旋转
示 。
?
显然
OD
2
?OD?OD
1
，即
OD?
?
?
2?1,2?1
?
?
后即得点
D

2
?
后得到圆
O'
即为点
D
的轨迹，如图所< br>2
好题速递93题

在等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?5
，
a
6
?21
，记数列
?
?
1
?
m
对
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2n?1
?S
n
?
a
15
?
n
?
任意
n?N*
恒成立， 则实数
m
的取值范围是 ．
解：
an
?4n?3
，
S
n
?1??
L
?
S
2n?1
?S
n
?
1
5
1

4n?3
m111m
即

??
L
??
15 4n?14n?58n?115
记
f
?
n
?
?
11 1

??
L
?
4n?14n?58n?1
11
??0

8n?94n?1
1
5
1
9
14

45< br>因为
f
?
n?1
?
?f
?
n
??
故
f
?
n
?
为单调递减数列，从而
f
?
n
?
max
?f
?
1
?
???
由条件得
m1414
，解得
m?

?
1545
3

好题速递94题
已知函数
f?
x
?
?x
3
?3ax
?
x?
?0,1
?
?
，若关于
x
的不等式
f
?
x
?
?
a?
．
1
的 解集为空集，则实数
4
解：问题转化为
x
3
?3ax?
1< br>对
x?
?
0,1
?
恒成立，求实数
a
的值．
4
解法一：绝对值函数分类讨论可以，略
解法二： 参变分离法
11?x
3
?3ax?
，即
44
x
3
?
?
11
x
3
?
4
?3a?
4

xx
令
g
?
x
?
?
x
3
?
1
3
4
?x
2
?
1
在
x?
?
0,1
?
上单调递增，故
g
?
x
?
?
，
max
4
x4x
令
h
?
x
?
?< br>x
3
?
1
4
?x
2
?
1
? x
2
?
1
?
1
?
3
（这里也可以用导数去 求）
x4x8x8x4
13
时取得等号，故
h
?
x
?
min
?

24
当且仅当
x?
故
33 1
?3a?
，即
a?

444

解法三：f
?
x
?
的几何意义为函数
y?x
3
与直线< br>y?3ax
函
数值之差的绝对值，又因为所求的
a
为定值，故直线应在
平面内“动弹不得”，故图象应如右图，其中
AB?CD?
1

4
11
，
a?

44
直线
y?3ax被线段
AB
、
CD
控制着无法“动弹”，故应该有
f
?
1
?
?1?3a?
点评：本题虽然是三次函数，可能不太适合目前的高考，但 将三次函数改为二次函数就是
常见的绝对值问题了。处理绝对值问题，最基本的是分段函数藕断丝连分类 讨论处理，但
如果求的字母系数
a
为1次，便于参变分离的话，法二的参变分离也是好 方法。法三利用
了几何图象特征，特别是在注意到
a
为定值时，让看似运动的图象固定 下来，不失为做选
择填空小题的捷径。


好题速递95题
已知 数列
?
a
n
?
满足
a
n
?a
n? 1
?a
n?2
?
n?3,n?N*
?
，它的前
n< br>项和为
S
n
．若
S
9
?6
，
S10
?5
，
则
a
1
的值为 ．
解：
a
n
?a
n?1
?a
n?2
，< br>a
n?1
?a
n
?a
n?1
，两式相加得
a
n?1
??a
n?2
，即
a
n?3
??a
n
，
a
n?6
?a
n

所以这个数列是周期数列，
a
1
?a
7
??a
10
?S
9
? S
10
?6?5?1

点评：本题其实是周期函数改编而成的周期数列。判断 抽象函数是周期函数的口诀是“同
号周期”，还可以有下列几个常见的形式。
（1）
a
n
?a
n?k
?a
n?k
?
n?k
?< br>恒成立，则为
T?6k
的周期数列；
（2）
a
n
?0,a
n
?a
n?k
?a
n?k
?
n?k
?
恒成立，则为
T?6k
的周期数列；
（3）
a
n? k
?
a
n
?1
恒成立，则为
T?4k
的周期数列；
a
n
?1
（4）若
a
n?p
?a
p?n
且
a
n?q
?a
q?n
?
p?q?n,p,q,n ?N*
?
，则为
T?2
?
p?q
?
的周期数列；
（即两条对称轴就有无数条对称轴，就是周期函数）
（5）若
a
n?p< br>?a
p?n
?m
且
a
n?q
?a
q?n?m
?
p?q?n,p,q,n?N*
?
，则为
T?2
?
p?q
?
的周期数
列
以上这些结论不要求记忆，大家可以结合周 期函数的角度，自行推导一下，加深印象。当
然这类递推关系式，考试时如果想法就算几项出来也能发现 规律。


好题速递96题

若单调递增数列
?< br>a
n
?
满足
a
n
?a
n?1
?a< br>n?2
?3n?6
，且
a
2
?a
1
，则a
1
的取值范围
是 ．
解：
a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3n?6
，
a
n?1
?a
n?2
?a
n?3
?3n?3

两式相减得
a
n?3
?a
n
?3

故数列 单调递增，只需
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
即可
a
3
??3?a
1
?a
2
??3?
1
2
3
a
1

2
3
2
1
2
得不等式
a
1
?a
1
??3?a
1?a
1
?3

解得
a
1
?
?
?
?
123
?
,?
?

2
??
5


好题速递97题
已知
?< br>,
?
均为锐角，且
cos
?
?
?
?
?
?
解：由
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
化简得
tan
?
?
sin?
cos
?
1?sin
2
?
?
sin
?
，则
tan
?
的最大值是 ．
sin
?
sin
?

sin
?
?
tan
?
1?2tan
2
?
?
1
22
?< br>2

4
sin
?
cos
?
2sin
2
?
?cos
2
?
当且仅当
tan
?
?< br>
2
时取得等号
2
好题速递98题
2
?
?
n n为奇数
已知函数
f(n)?
?
2
，且
a
n?f(n)?f(n?1)
，则
a
1
?a
2
?a
3
???a
2016
?
.
?
?
?n n为偶数
解：当
n
为奇数时，
n? 1
为偶数，
a
n
?n
2
?(n?1)
2
? ?2n?1

当
n
为偶数时，
n?1
为奇数，
a
n
??n
2
?(n?1)
2
?2n?1

∴
a
1
??3
，
a
2
?5
，
a
3
??7
，
a
4
?9
，
a5
??11
，
a
7
?13
，……
∴
a
1
?a
2
?2
，
a
3
?a4
?2
，即
a
1
?a
2
L?a
201 6
?2016

好题速递99题
在棱 长为1的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M,N
分别为
AC
1
,A
1
B< br>1
的中
点，点
P
在正方体的表面上运动，则总能使
MP
与
BN
垂直的点
P
所构
成的轨迹的周长为 ．
解：依题意，只需过点
M
作直线
BN
的垂面即可
垂面与正方体表面的交线即为动点
P
的轨迹
分别取
CC
1
,DD
1
中点
G,H
，易知
BN?
平面
A GHD

过
M
作平面
AGHD
的平行平面
EFG' H'
，点
P
所构成的轨迹即为四
边形
EFG'H'
，其周长 与四边形
AGHD
的周长相等，所以点
P
所构
成的轨迹的周长为2?5

点评：本题中面面的交线（截痕）即为动点
P
的轨迹，处理问题 的
关键抓住线面垂直，进行合理转换。


好题速递100题
定义：对于定义域为D的函数f (x)，如果存在t?D，使得f (t+1)=f (t)+f ( 1)成立，称函数
f
?
x
?
在D上是“T”函数。已知下列函数：①
f
?
x
?
?
1
；②
f
?
x
?
?log
2
(x
2
?2)
；③
x（写
f
?
x
?
?2
x
?
x?0
?
；④
f
?
x
?
?cos
?
x
?
x?
?
0,1
?
?
，其中属于“T”函数的序号是 ．
出所有满足要求的函数的序号）
解：①f (x)=
1
，
1?
1
?1
?t=t+1+t
2
+t? t
2
+t+1=0，△<0，无实数解，∴①不是；
x
t?1t
②
log
2
[(t?1)
2
?2]
=
log
2
(t
2
?2)
+
log
2
3
?
(t?1)
2
?2?3(t
2
?2)
?
2t
2?2t?3?0
，
△<0，无实数解，∴②不是；
③
2
t? 1
?2
t
?2
?
2?2
t
?2
t
?2
?
2
t
?2
?t=1>0，∴③是；
2
④cos[
?
(t+1)]= cos
?
t+ cos
?
= cos
?
t-1? cos(
?
t+
?
)= cos
?
t-1?-cos
?
t= cos
?
t-1? cos
?
t=
1

∵
?
t?[0,
?
)，∴
?
t =
?
?
t?
1
，∴④是
33





概率趣题
有一个游戏，要求若某次随机地投掷出手中的骰子 后有2颗骰子的点数之和为7，则获

胜．现在手中恰好有2颗骰子，但有两种奖励可以领 取，请问选择哪种奖励获胜的几率
大？
奖励A，额外的2次投掷机会；
奖励B，额外的1颗骰子（即三颗骰子中任意两颗骰子点数之和为7即获胜）．
解：选择奖励A
一次掷2颗骰子，那么获胜的概率为
91
?
5?
1?
??
??0.4213

216
?
6< br>?
3
61
?
．于是，那么掷三次骰子获胜的概率为
366选择奖励B
点数之和为7有三种可能：1+6，2+5，3+4．
11
?C
3
?6
种可能； 若掷出的三个骰子点数分别为1，6，< br>x
，那么若
x?
?
1,6
?
，则有
C
2
13
?A
3
?24
种．类似可得其他两种情况（2，5，
x
和3，4，
x
）的可能若
x?
?
1,6
?，则有
C
4
数，因此获胜的概率为
3?
?
6?24?
6
3
?
5
?0.4167

12
综上，选择奖励A获胜的几率大．