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高中数学好题速递400题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 04:51
tags:高中数学好

高中数学竞赛辅导网站-如何自学高中数学必修2

2020年10月7日发(作者:杜长天)


解析几何模块4.已知曲线
C
的方程
x
2
?y
2
?1

A
?
?2,0
?
,存在一定点
B
?
b,0
??
b??2
?

常数
?,对曲线
C
上的任意一点
M
?
x,y
?
,都有
MA?
?
MB
成立,则点
P
?
b,
??
到直线
?
m?n
?
x?ny?2n?2m?0
的最大 距离为 .
解法一:由
MA?
?
MB< br>得
?
x?2
?
?y
2
?
?
2
?
?
x?b
?
?y
2
?

??

?
2
?1x
2
?
?
2
?1y
2
?2b
?
2
?4x?4?
?
2
b
2

22
??????
?
2b
?
2
?4?0
1
?

?
4?
?
2
b
2
,将< br>b
?
2
??2
代入
4?
?
2
b2
?
?
2
?1

2b
2
?5b?2? 0
,得
b??

?
?2

2
?1
?
2
?
?1
?
?
1
?
又直线
?< br>m?n
?
x?ny?2n?2m?0
恒过定点
?
?2,0?
,所以由几何性质知点
P
?
?,2
?
到直
?
2
?
5
?
1
?
线
?
m?n
?
x?ny?2n?2m?0
的最大距离为点
?
?2,0
?

P
?
?,2
?
的距离为
2
?
2?
解法二:作为小题,由
MA?
?
MB
知是阿氏圆轨迹,故取圆
C:x
2
?y
2
?1
直径上的两个

?< br>?1,0
?
,
?
1,0
?
,即可得
131
??
?
,解得
b??

?
?2

b?11?b
2
好题速递202题
解析几何模块5.已知
M

x
2
?8y
的对称轴和准线的交点,点
N
是其焦点,点
P
在该抛
物线上,且满足
PM?mPN
,当
m
取得 最大值时,点
P
恰在以
M

N
为焦点的双曲线
上, 则该双曲线的离心率为 .
解:作
PP'?MP'
,由抛物线定义
PP'?PN

PM ?mPN?
PNPP'
1
???cos
?
,其中
?
??MPP'??NMP

mPMPM
要使
m
取得最小值,即
cos
?
最小,即
?
??NMP
最大值,即
?PMP'?
此时
MP
是抛物线的切线.

MP
的方程为
y?kx?2


x
2
?8y
联立得
x
2
?8
?
kx?2
??0

因为相切,故
??64k
2
?64?0
,解得< br>k?1

?
2
??MPP'
最小,



P
?
4,2
?

2a?PM?PN?42?4


2c?4
,得
e?2?1



好题速递203题
解析几何模块6. 已知斜率为1的直线
l
过双曲线x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1< br>?
a?0,b?0
?
的左焦点
F
,且
与双曲线左、右 支分别交于
A,B
两点,若
A
是线段
BF
的中点,则双曲线 的离心率
为 .
解:由题意知
2y
1
?y
2

?
x
2
y
2
?
2
?
2
?1
?b
2< br>?a
2
y
2
?2b
2
cy?b
4
? 0

?
ab
?
x?y?c
?
??
?
2b
2
c
?3y
1
?
y
1
?y
2
?
2
?
b?a
2

?
4
b?
2
yy??2y
112
22
?
b?a
?所以


4c
2
b
2
?a
2
?
9
,所以
c
2
?18a
2
?e?32

2
好题速递204题
解析几何模块7. 已知点
P
是双曲线
焦点,
O
坐标原点,若
是 .
解:设
PF
1
?m,PF
2
?n
,则
2m
2
?n
2
?4OP
2
?F
1
F2
2
?m
2
?n
2
?2OP
2
?2c
2


m?n?2a
,所以
m
2
?2mn ?n
2
?4a
2

所以
2mn?2OP
2
?2c
2
?4a
2

x
2
a
2
?
y
2
b
2
? 1
?
a?0,b?0
?
上的动点,
F
1
,F
2
是其左、右
PF
1
?PF
2
OP
的最大值是< br>6
,则此双曲线的离心率
??


?
m?n
?2
?2OP
2
?2c
2
?2OP
2
?2c2
?4a
2
?4OP
2
?4b
2

4b
2
?
m?n
?
所以
?

?< br>?4?
2
OP
OP
??
2
4b
2
m ?n
所以的最大值在
OP?a
时取到,所以
4?
2
?6
OP
a
所以
2b
2
?a
2
,即e?


6

2
好题速递205题
解析几何 模块8.在平面直角坐标系
xOy
中,圆
C
的方程为
?
x? 1
?
?
?
y?1
?
?9
,直线
l:y?k x?3
与圆
C
相交于
A,B
两点,
M
为弦
AB
上一动点,以
M
为圆心,2为半径的圆与
22

C总有公共点,则实数
k
的取值范围是 .
解:两圆有公共 点的充要条件是
1?CM?5
,而
CM?5
恒成立,故只要
CMmin
?1
时两圆必
有公共点.由平面几何知识可知,
CM
mi n
为点
C
到直线
l
的距离
d
,所以
d?< br>解得
k??


3
4
k?2
k?1
2
?1

好题速递206题
解析几何模块9.已知点
A
?
1?m,0
?

B
?
1?m,0
?
,若圆
C:x
2
?y
2
?8x?8y?31?0
上存
uu uruuur
在一点
P
,使得
PA
g
PB?0
,则
m
的最大值为 .
uuuruuurAB
解:由
PA
g
PB?0

P
在以
AB
中点
M
?
1,0
?
为圆心,
为半径的圆上,所 以
P
的轨迹方
2
程为
?
x?1
?
2
?y
2
?m
2
,所以圆
M
的半径为
m
, 又由
P
在圆
C
上,
C:x
2
?y
2
?8x?8y?31?0
的圆心
C
?
4,4
?
,半径为1 ,当圆
M
与圆
C
内切时,
MP
最大

MC ?CP?5?1?6






好题速递207题
立体几何模块1.如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
是棱
CC
1
的中点,
F
是侧面
B
1
BCC
1
上的动点,并且
A
1
F
平面
AED
1
,则动点< br>F
的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段
解:如图,取
BB
1
的中点M

B
1
C
1
的中点
N
,显然可证明 平面
A
1
MN
平面
AED
1
,当
F

线段
MN
上时,均有
A
1
F
平面
AE D
1
,即动点
F
的轨迹是线段
MN

点评:善于 转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。例如,考虑“线线平行”时,
可转化为“线面平行”或“ 面面平行”;考虑“线面平行”时,可转化为“线线平行”或
“面面平行”;考虑“面面平行”时,可转 化为“线线平行”或“线面平行”。
在斜二测画法画图时,平行关系不会改变,因为要找平行线,可以 考虑在图象上推平行
线,然后关注哪个位置看起来比较特殊,例如中点,中位线之类。


好题速递208题
立体几何模块2.如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱
AA
1

BB
1
上各有一个动点
P

Q

且满足
A1
P?BQ

M
是棱
CA
上的动点,则
是 .
1
解法一:设
V
ABC?ABC
?V
,则
V< br>M?ABQP
?V
M?B
1
BA
?V
C?B
1
BA
?V
B
1
?CBA
?V

3
111
V
M?ABQP
V
ABC?A
1
B
1C
1
?V
M?ABQP
的最大值
(注:这里用到了梯形
ABQP
的面积与
?ABB
1
的面积相等。)

M

C
重合时,
V
M?ABQP
最大,
V
M?AB QP
V
ABC?A
1
B
1
C
1
?V
M?ABQP
?
1
V
V
M?ABQP
?1
?1
V
?1
V
3
?
1

2


解法二:设
V
M?ABQP
?V

V
ABC?A BC
?V
0
为定值,则
f
?
V
?
?
111
V
是关于
V
的增函数
V
0
?V
所以
f
?
V
?
max
?

V
C? ABQP
V
0
?V
C?ABQP
1
V
0
1
3
??

1
V
0
?V
0
2
3
好题速递209题 < br>立体几何模块3.已知线段
AD
?
,且
AD
与平面
?
的距离为4,点
B
是平面
?
上的动
点,且满足
AB ?5
,若
AD?10
,则线段
BD
长度的取值范围是 .
解:如图,将线段
AD
投影到平面
?
上,得到射影
A' D'
,将空间问题平面化,则动点
B

轨迹是以
A'
为圆心 ,半径为
5
2
?4
2
?3
的圆,

BD ?DD'
2
?BD'
2

10?3?BD'?10?3
,< br>DD'?4

所以
49?16?BD?169?16
,即
65?BD?185

好题速递210题
立体几何模块4.已知
P
为正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
对角线
BD1
上的一点,且
BP?
?
BD
1
?
?
?
?
0,1
?
?
,下面结论:
1
?
1< br>?

A
1
D?C
1
P
;②若
BD< br>1
?
平面
PAC
,则
?
?
;③若
? PAC
为钝角三角形,则
?
?
?
0,
?

3
?
2
?
?
2
?
④若
?
??
,1
?
,则
?PAC
为锐角三角形.
?
3
?
其中正确结论的序号为 .
解:在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
A
1
D?
平面
ABC
1
D
1
,又
C
1
P?
平面
ABC
1
D
1
,故
A
1
D?C
1
P
,①正确; < br>由题可知
BD
1
?AC
,若
BD
1
?
平面
PAC
,则
BD
1
?CP

设正方体的棱长 为1,则
BC?1

CD
1
?2

BD
1
?3
,在
Rt?BCD
1
中,
BC
2
?B PgBD
1

所以
BP?
3
1
,所以
BP ?BD
1
,②正确;
3
3


在正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中,以
A
1
B
1

x
轴,
A
1
D
1

y
轴,
A
1
A

z
轴建系, 设棱长为2,

A
?
0,0,2
?
,B
?
2,0,2
?
,C
?
2,2,2
?
,D
1
?
0,2,0
?

uuuruuuur

P
?x,y,z
?
,由
BP?
?
BD
1
,得
x?2?2
?
,y?2
?
,z?2?2
?

所以
PA?
?
2
?
?2,?2
?
,2
?
?

CP?
?
?2
?
,?2?2
?
,? 2
?
?

CA?
?
?2,?2,0
?
< br>uuuruuur
?
2
?

?PAC
为钝角三角形, 则
?APC
为钝角,
PA
g
PC?12
?
2
?8
?
?0
,解得
?
?
?
0,
?
,③错;
?
3
?
uuuruuur
?
2
?同理,当
?
?
?
,1
?
时,
PA
g< br>PC?12
?
2
?8
?
?0
,所以
?PAC
为锐角三角形,④正确。
?
3
?
uuuruuuruuur
所以正确结论为①②④。

好题速递211题
立体几何模块5.如图,在棱长为1的正方体
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
中,若点
P
是棱上一点,则
满足
PA?PC
1
?2
的点有 个.
解:点
P
既在以
A,C
1
为焦点,长轴为2的椭球上 ,又在正方体的棱上。
因为
BA?BC
1
?1?2?2
,故点B
在以
A,C
1
为焦点,长轴为2的椭球外,所以椭球必与线

AB
相交(交点就是
AB
的中点),同理在
AD,AA
1< br>,C
1
B
1
,C
1
D
1
,C
1
C
上各有一个交点满足条件
又若点
P

BB
1
上,则
PA?PC
1
?1?BP
2
?1?B
1< br>P
2
?2
,故
BB
1
上不存在满足条件的点
P
,同理
DD
1
,CD,A
1
B
1
,BC ,A
1
D
1
上也不存在满足条件的点
P

好题速递212题
立体几何模块6.将一个长宽分别为
a,b
?
0 ?b?a
?
的铁皮的四个角切去相同的正方形,然
后折成一个无盖的长方体的盒子(不 计粘合处),若这个长方体的外接球的面积存在最小
值,则
a
的取值范围是 .
b
解:设切去的小正方形的边长为
x
,长方体的外接球的半径为
R

b
?
22
?

4R
2
?x< br>2
?
?
a?2x
?
?
?
b?2x
?
?9x
2
?4
?
a?b
?
x?
?
a
2
?b
2
?
?
0?x?
?

2
??


2
?
a?b
?
b
?
a 5
?
?
0?
因为长方体的外接球的面积存在最小值,所以
?
92
,解得
1??

b4
?
0?b?a
?

好题速递213题
2

AB?BC
,动点
M
在以
C
为圆
2
uuuuruuuruuur
心且过点
D
的圆内运动(不含边界),设
AM?mAB?nBC
?
m,n?R
?
,则
m?n
的取值范围
在直角梯形
ABCD
中,
ABCD< br>,
AB?BC?1

CD?
是 .
解:建立直角坐标系,
M
?
x',y'
?

A
?
1,0
?

B
?
0,0
?

C
?
0,1
?

D
?
?

AM?mAB?nBC
?
m,n?R
?

x'?1?m,y'?n

动点
M

x
2
?
?
y?1?
?
2
?
2
?
,1
?
?
< br>2
??
uuuuruuuruuur
11
22
内运动,所以< br>?
1?m
?
?
?
n?1
?
?
22
求目标函数
m?n
的取值范围是
?
1,3
?


好题速递214题
uuuruuur
22
C:x?y?2x ?0
在曲线
??
上任取
A,B
两点,则
OA
gOB
的最小值为 .
uuuruuur
OB? x
1
x
2
?y
1
y
2

解:记< br>A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
OA
g
2222
?y
1
?2
?
x
1
?0
?

x
2
?y
2
?2
?
x
2
?0
?, 且
x
1
同时满足
x
i
?y
i
?< br>i?1,2
?
,即
x
i
?y
i
?0

x
i
?y
i
?0
?
i?1,2
?

uuuruuur
1
OA
g
OB?x
1
x2
?y
1
y
2
?
?
?
x
1< br>?y
1
??
x
2
?y
2
?
?
?
x
1
?y
1
??
x
2
?y
2
?
?
?
2
?
1
??2
?
x
1
?y
1
??
x
2
?y
2
??
x
1
?y
1
??
x
2
?y
2
?< br>
2
?
?
x
2
1
2
?y
1
??
x
2
2
2
?y
2
?2
?uuuruuur
当且仅当
x
1
?x
2
,y
1
??y
2
时取得“=”,故
OA
g
OB
的最小值为 2.
好题速递215题
已知函数
f
?
x
?
是定 义在
R
上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
x
都有


?
xf
?
x?1
?
?
?
x?1
?
f
?
x
?
,则
f
?
f
?
?
5
?
?
??
?
?

?
2
?
?
解:令
x??
,则
?
1
2
1
2
?
1
?
1
f
??
?
?
2
?
2
?
1
?
1
f
?
?
?
?
?
2
?
2
?
1
?
f
??
,所以
?
2
?
?
1
?< br>f
??
?0

?
2
?

x?0,则
f
?
0
?
?0


x?0
时,由
xf
?
x?1
?
?
?
x?1
?< br>f
?
x
?

f
?
x?1
?
?
5
?
5
??
3
?
5

f
??
?
2
f
??
?
?
2
?
3< br>?
2
?
3
2
x?1
f
?
x
?

x
3
?
?
5
?
?
?
3
?
5
?
1
?
f
??
??
2f
??
?0
,故
f
?
f
??
?
?f
?
0
?
?0

?
2
?
3< br>1
?
2
?
?
?
2
?
?
2< br>

好题速递216题
已知实数
a?b?c
,设函数
f
?
x
?
?
111
的两个零点分别为
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?
,则< br>??
x?ax?bx?c
下列关系中恒成立的是( )
(A)
a?x
1
?x
2
?b?c
(B)
x
1
?a?b?x
2
?c

(C)
a?x
1
?b?x
2
?c
(D)
a?x
1
?b?c?x
2

解:
f
?
x
?
?
111
的两个零点, < br>??
x?ax?bx?c

g
?
x
?
??
x?a
??
x?b
?
?
?
x?a
? ?
x?c
?
?
?
x?c
??
x?b
?的两个零点
因为
g
?
x
?
开口向上,
g?
b
?
?
?
b?a
??
b?c
?,又
a?b?c
,所以
g
?
b
?
?0

即函数
g
?
x
?
的零点一个大于
b
,一个 小于
b
,且
g
?
a
?
?0

g< br>?
c
?
?0

所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知
a?x
1
?b?x
2
?c
,选C



好题速递217题
已知点
A
?
1,2
?
在抛物线
?:y
2
?2px
上,若
?ABC
的三个顶点都 在抛物线
?
上,记三边


AB,BC,CA
所在直线的斜率分别 为
k
1
,k
2
,k
3
,则
22
?
y
1
??
y
2
?
,y
1
?

C
?
,y
2
?
解:
?:y?4x
, 设
B
?
?
4
??
4
?
????
1 11
???

k
1
k
2< br>k
3
2
2222
y
1
y
2
y
1
y
2
?1??1
y?2y
1
?y
2
y
2
?2
111
4444
所以
??????
1
???1

k
1
k
2
k
3
y
1
?2y
2
?y
1
y
2
?2444
点评:抛 物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是基于抛物线上的点的设
?
y
2
?
,y
,在化简过程中利用好平方差公式,可以使得计算简便。这个过程要做到比较熟 法
?
?
2p
?
?
??
练。


好题速递218题
已知函数
f
?
x
?
?3x?a
与函数
g
?
x
?
?3x?2a
在区间
?< br>b,c
?
上都有零点,则
的最小值为 .
解:由题意知,
?
?
3b?a?0
,两式相加得
a?2 b?0

3b?2a?0
?
a
2
?2ab?2ac?4bc
b
2
?2bc?c
2
?
3c?a?0
,两式相加得
a?2c?0

?
?
3c?2a?0
?
?
?a?2b
?
?
?
a?2c
?
?
?
2?
?a?2b
??
a?2c
?
?
a
2
?2ab?2ac?4bc
?
a?2b
??
a?2c
?
??
??1
所以
?????
22222
b?2bc?c
?b?c
??
b?c
??
b?c
?
2
当且仅当< br>?a?2b?a?2c
时取得等号。
点评:这里用到了基本不等式,如果一下子看不出 来,也可以先利用齐次化思想,将分子
bc
分母同除以
a
2
,令x?,y?
,将式子简化,就容易发现了。
aa

好题速递219题
已知函数
f
?
x
?
?a?
4bx?sinx?bx cosx
?
a,b?R
?
,若
f
?
x
?< br>在
R
上既有最大值又有最小值,
4?cosx
且最大值与最小值的和为 4,则
3a?2b?


解:f
?
x
?
?a?
4bx?sinx?bxcosxsinx
?a?bx?
4?cosx4?cosx
已知
f
?
x
?

R
上既有最大值又有最小值,故
b?0

又< br>f
?
x
?
?a?
sinx
是奇函数,且最大值与最小 值的和为4,则
2a?4

a?2

4?cosx

3a?2b?6


好题速递220题 < br>对于函数
y?f
?
x
?
,如果存在区间
?
m ,n
?
,同时满足下列条件:①
f
?
x
?

?
m,n
?
内是单调
的;②当定义域是
?
m,n
?
时,
f
?
x
?
的值域也是
?
m,n?
,则称
?
m,n
?
是该函数的“和谐区
间”.若f
?
x
?
?
a?11
,则
a
的取值范 围是 .
?
?
a?0
?
存在“和谐 区间”
ax
a?11
?
?
a?0
?

?< br>??,0
?

?
0,??
?
上是增函数,所以
?
m,n
?
?
?
??,0
?

ax解:因为
f
?
x
?
?
?
m,n
??
?
0,??
?
,且
f
?
m
?
?m

f
?
n
?
?n

因此
m ,n
是方程
a?11
??x
的两个不相等且同号的实数根,即
ax< br>2
?
?
a?1
?
x?a?0
有两个不
ax< br>相等且同号的实数根

x
1
?x
2
?
a? 1a1
2
?0

x
1
x
2
??1
,故只需
??
?
a?1
?
?4a
2
?0
, 解得
??a?1

aa3

a?0
,故
0?a?1


好题速递221题
2
?
?
m1?x
?
x?1?
已知以
T?4
为周期的函数
y?f
?
x
?< br>?
?
,其中
m?0
,若
3f
?
x
?
?x
恰有5
?
?
1?x?2
?
1?x?3
?
个实数解,则
m
的取值范围是 .
解:当
x?
?
?1,1
?
时,原函数式化为方程
x?
2< br>y
2
m
2
?1
?
y?1
?
,表示一 个半椭圆,当
x?
?
1,3
?
时,是两线段
y?x?1?
1?x?2
?

y?3?x
?
2?x?3
?
组成的折线,再根据周期性画出大致图
象如图所示。


y
2< br>x
2
由图象可知,当直线
y?
与第二个半椭圆
?
x? 4
?
?
2
?1
?
y?0
?
相交,而与第三 个半椭圆
3
m
?
x?8
?
2
?
y
2
m
2
?1
?
y?0
?
无交点时,方程
3 f
?
x
?
?x
恰有5个实数解,
x
?
y ?
?
3
?
由方程组
?
?
y?0
?
消去
y

9m
2
?1x
2
?72m
2x?35m
2
?0

2
?
?
x?4
?
2
?
y
?1
?
m
2
?
??

??0
,解得
m?
15

3
x
?y?
?
3
?
由方程组
?
?
y?0
?< br>消去
y

9m
2
?1x
2
?144m
2
x?567m
2
?0

2
?
?
x?8
?
2
?
y
?1
?
m
2
?
??

??0
,解得
0?m?7
,所以
15
?m? 7

3
好题速递222题
(2015重庆理科第16题)若函数
f
?
x
?
?x?1?2x?a
的最小值为5,则
a?
________.
解法一:按照
a??1,a??1
两类分类讨论,画出
f
?
x
?
?x?1?2x?a
的折线图,图象最低点
的纵坐 标为5,求得
a??6

a?4

5
x?1
解法二 :由题意得
x?1?2x?a?5
,从而
x?a??

22
5
x?1

g
?
x
?
?x?a,h
?x
?
??

22
g
?
x
?
? x?a
的图象是以
?
a,0
?
为顶点的开口向上的“V”形图。 < br>h
?
x
?
?
5
x?1
?
5
?
的图象是以
?
?1,
?
为顶点的开口向下(开口比
g?
x
?
?x?a
的图象开口大)
?
22
?2
?
的“V”形图,且与
x
轴交点的坐标为
?
?6,0
?
,
?
4,0
?

5
x?1

a??6

a?4
时,
x?a??
,所以若函数
f
?
x
?
?x?1?2x?a
的最小值为5,则
22
a??6

a?4


好题速递223题


若动点
P
在直线
l
1
:x?y?2?0
上,动点
Q
在直线
l
2
:x?y?6?0
上,设线段
PQ
的中 点为
22
M
?
x
0
,y
0
?
,且
?
x
0
?2
?
?
?
y
0
?2
?
?8
,则
x
0
?y
0
的取值范围是 ________.
22
解法一:设点
P
?
x
1
,y
1
?
满足
x
1
?y
1
?2?0
,点
Q
?
x
2
,y
2
?
满足
x
2
?y
2
?2?0

两式相加得点
M
?< br>x
0
,y
0
?
的轨迹是直线
x
0
? y
0
?4?0

同时点
M
?
x
0
,y
0
?
满足
?
x
0
?2
?
?< br>?
y
0
?2
?
?8

所以满足条件的点M
在线段
AB
上,其中点
A
?
0,?4
?
B
?
4,0
?
分别为直线
x?y?4?0
与 圆
22
?y
0
表示线段
AB
上的点与坐标原点连线距离的平 方,所以
?
x?2
?
2
?
?
y?2
?2
?8
的交点,
x
0
22
22
?y
0

M
运动到
A
?
0,?4
?

B
?
4,0
?
时,
x
0
取得最大值为16,当
M
运动到圆心
C
?
2,?2
?
时,
22
22
?y
0
?
?
8,16
?

x
0
?y
0
取得最小值为8,故
x
0
解法二:将
x< br>0
?y
0
?4?0
代入
?
x
0
?2
?
?
?
y
0
?2
?
?8
,得到< br>y
0
?
?
?4,0
?

22
222
?y
0

x
0
?y
0
?4?0
代 入
x
0

x
0
?y
0
?2y
0< br>?8y
0
?16?2
?
y
0
?2
?
?8?
?
8,16
?

22
2

好题速递224题
★设反比例函数
f
?
x
?
?< br>1
与二次函数
g
?
x
?
?ax
2
? bx
?
a?0
?
的图象有且仅有两个不同的公共
x
y
1
?

y
2

A
?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
,且
x
1
?x
2
,则
解:
f
?
x
?
?
?
方程1

g
?
x
?
?ax
2
?bx
?
a?0
?
的图象有且仅有两个不同的公共点
x
1
?a x
2
?bx
有两个不同的实数根
x
1
,x
2

x
?
方程
ax
3
?bx
2
?1?0< br>有两个不同的实数根
x
1
,x
2

三次方程仅有两个实根,故必有一个是一次根,一个是重根。
?
方程
ax< br>3
?bx
2
?1?a
?
x?x
1
?
2
?
x?x
2
?

ax
3
?bx
2
?1?a
?
x?x
1
??
x?x
2
?< br>2

22
?2x
1
x
2
?0
?ax
1
x
2
??1
对于第一种情况,等式两边展开比较系数 得
b?a
?
?2x
1
?x
2
?

x
1



x
1
?2x
2
?0
,因为
x
1
?x
2
,所以
x
1
?0?x< br>2

x
1
??2x
2

y
1
x
2
1
???

y
2
x
1
2
22
?2x
1
x
2
?0

?ax
1
x
2
??1
对于第二种情况,等式两边展开比 较系数得
b?a
?
?x
1
?2x
2
?
,< br>x
2
2
??1

ax
1
?0
,与< br>a?0,x
1
?0
矛故
2x
1
?x
2
?0
,因为
x
1
?x
2
,所以
x
1?0?x
2
,但由
?ax
1
x
2
盾,故舍去。
点评:本题是自山东高考题改编而来,解法中运用了三次方程求根的因式分解,奇次根穿
过与偶 次根反弹的问题。浙江高考曾多次考过类似的问题,值得注意。例如:
(2014浙江文7)已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
,且
0?f( ?1)?f(?2)?f(?3)?3
,则
A.
c?3
B.
3?c?6
C.
6?c?9
D.
c?9

32
解:方程
f(x)?x?ax?bx?c?t?< br>?
0,3
?
的三个根为
?1,?2,?3

32< br>故
x?ax?bx?c?t?
?
x?1
??
x?2
? ?
x?3
?

比较系数得
c?t?6
,故
c?t? 6?
?
6,9
?

(2012浙江理17)设
a?R
,若
x?0
时均有
[(a?1)x?1](x
2
?ax?1)?0
,则
a?
____.
2
解:
x?ax?1?
?< br>x?x
1
??
x?x
2
?
,且
x
1
?0?x
2
,因为
[(a?1)x?1](x?ax?1)?0
对< br>2
x?0
恒成立,则
x?
2
1
必是二重零点 a?1
3
3
a
?
1
?
??1?0
代入 得:
?
,解之得:,舍去,得答案:
a?0或a?
a?
a?0?
2
2
?
a?1
?
a?1
(2013浙江文1 6)设
a,b?R
,若
x?0
时恒有
0?x
4
?x
3
?ax?b?x
2
?1
,则
??
2
ab ?

【解析】当
x?1
时,有
0?a?b?0
,所以得
b??a
,代回原式
x
4
?x
3
?ax ?b?x
4
?x
3
?ax?a?
?
x?1
?
?
x
3
?a
?
?0


x?1
必定是重根,即
x
3
?a
中必有因子
x?1
,所以
a??1,b?1
,所以
ab??1

点评:这三道题都是加深零点意义理解 的好题。零点就像是
x
轴上的守门员,关系着函数
正负性变化的重任,“奇重零点穿过 ,偶重零点反弹”。
好题速递225题


x
2
y
2
?

x,y
是正实数,且
x?y?1
,则的最小值是___ _____.
x?2y?1
解:设
x?2?m

y?1?n
,则题目变为“已知
m?n?4
,求
?
m?2
?
2
?
n?1
?
2
m
?
n
的最小值。
?< br>m?2
?
2
?
n?1
?
2
m
??
n
?m?
41
?
41
??
41
?< br>?4?n??2?
?
m?n
?
?
?
?
??6?
?
?
?
?2
mn
?
mn
??< br>mn
?
1
?
4nm91
?
?
??5
?
?2??2?
4
?
mn44
?
1
?
41
?
?
?
?
?
?
m?n
?
?2?< br>4
?
mn
?

8421
当且仅当
m?2n, m?n?4
,即
m?,n?
,即
x?,y?
时取得等号
3333
点评:本题还是分母换元使得式子简化,灵活运用均值不等式。


好题速递226题
(重庆高考题)函数
f
?
x
?
?
sinx?1
3?2cosx?2sinx
22
?
0?x?2?
?
的值域是__________.
解:
3?2cosx?2sin x?
?
1?cosx
?
?
?
1?sinx
?


1?sinx?a,1?cosx?b
,则问题变为求
y?
解 法一:当
a?0
时,有
y?
?1
?
b
?
1 ?
??
?
a
?
2
?a
a?b
22
的值域


bb
22
视为圆
?
a?1
?
?
?
b?1
?
?1
上任一点与原点连线的斜率,结合图形可 知
?0

aa
所以
?1?y?0


a?0
时,
y?0

综上可知,
y?
?
?1,0
?

解法二:注意到< br>y?
?a
a?b
22
,联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相 似
?
2
于是设直线
OP
的倾斜角为
?
,则
0?
?
?
所以
y??cos
?
?
?
?1 ,0
?


好题速递227题
rrr
rr rrrrrrr
已知
a?xb?yc
?
x,y?R
?
a?b?2

c?1

a?c?b?c?0
,则
a?b
的取值范围是
????
________.
解法一:考虑向量模的几何意义
rrrrrr

a?b?2

a?c?b?c?0
,可作出 图形
????
r
c
的终点
C
必在以
AB
为直径的圆
O'

r
r

c?1
,故
c
的终点
C
必在以
O
为圆心,1为半径的圆上
所以问题转化为
eO'

eO
(半径为1的小圆)有交点
注意到
eO'
的半径为
uuur
AB
2
?
rra?b
2
?
uuuur
1
rr
OO'?a?b
,圆心距
2
所以两圆相交需满足
1?
rrrr
rr
a?b< br>2
r
2
rr
a?b
2
?1?
rr
a ?b
2

?
且有
a?b?a?b?2
?
?
a?b
?
?16

??
22
r
2
rrrr
作一个整体换元,设
a?b?x

a?b?y

?
x
2
?y
2
?16
?
?
?2?x?y?2
问题转化为规划问题,已知
?
,求
y
的取值范围。
x?y?2
?
?
x,y?R
?
?
?
如图可得
y?
?
?
7?1,7?1
?
解法二:代数方法 < br>rrr
2
rrr
2
rr
rr
a?b?a?2a
g
b?b?8?2a
g
b
,因此只需求
agb
的取值范围
rrrrrr
2
rrrr

a?c?b?c?0

a
g
b?a?b
g
c?c?0

????
??rrrrrrrrrr
所以
a
g
b?1?a?b
g
c? a?b
g
ccos
?
?a?b

??


rr

a
g
b?1
??
2
rr
r
2
rrr
2
rr
?a?2a
g
b?b?8?2a
g
b
,解得
?7?agb?7

rrr
2
rrr< br>2
rr
rr
b?
?
8?27,8?27
?
, 故
a
?
b
?
?
7
?
1,7
?1
?
所以
a?b?a?2a
g
b?b?8?2a
g< br>??
??
??
解法三:解析几何坐标方法
r
c
解: 设
?
?
1,0
?
,设
A

B
是以
O
为圆心,2为半径的圆上两点,且
ACBC
,则 |
a

b
|
=
AB
= 2
MC


MO

MA
=
OA
,而
MA
=
MC
,∴
MO

MC
= 4.

M
?
x,y
?
,则< br>x
2
?y
2
?(x?1)
2
?y
2
?4


x
2
?y
2
?x?
3
.(*)
2
3
?x?2x?1?5?2x

2
22222
|
a

b
| =
AB
= 2
MC
=
2(x?1)
2
?y< br>2
?2x
2
?y
2
?2x?1?2
由(*)知,1?71?7

≤x≤
22

8?27≤5?2x≤8?27
,即
rr

7?1?a?b?7?1

7?1≤5?2x≤7?1


好题速递228题
已知实数a,b,c
,满足
2
a
?2
b
?2
a?b
2
a
?2
b
?2
c
?2
a?b?c
,则
c
的最大值是________.
解:记
2
a
?x,2
b
?y,2
c
?z
,则
?
z?
xy1

?1?
xy?1xy?1
?
x?y?xy

?
x?y?z?xyz
因为
x?y?xy?2xy?xy?4


z?
xy14
?1??

xy?1xy?13
4

c
的最大值是
log
2

3








好题速递229题
设函数
f
?
x
?
?
4x
x?1
2

g
?
x
?
?cos2
?
x?kcos< br>?
x
,若对任意的
x
1
?R
,总存在
x2
?R
,使得
g
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
成立,则实数
k
的取值范围是________ .
解法一:由题意知
f
?
x
?
的值域是
g
?
x
?
值域的子集,易得
f
?
x
?
的值 域是
?
?2,2
?


t?cos
?
x< br>,则
g
?
x
?
的值域为
h
?
t?
?2t
2
?kt?1,t?
?
?1,1
?
的 值域,再通过分类讨论进行解答
kk
??
?1???00???1
?
k
?
k
??
???1
44
?
4
?
?
4
?1
??
??
?
?8?k
2
??8?k
2
??
??2

?
??2

?
h
?
1
?
??2

?
h
??1
?
??2

?
??
?
8
?
8
h1?2
??
??
h
?
?1
?
?2< br>?
h
?
1
?
?2
?
h
?
? 1
?
?2
??
??
??
??
?
解得
k???,?22
?

?
U
?
22,??
??< br>解法二:解法一常规,但计算量较大,作为填空题不划算。故从数形结合的角度,利用函
数图象给 出解法二。
f
?
x
?
的值域是
?
?2,2
?
,设
t?cos
?
x?
?
?1,1
?

则问题可以转化为对任意实数
m?
?
?2,2
?
,关于
t
的方程
2t
2
?kt?1?m

?
?1 ,1
?
上有解,
即对任意实数
m?
?
?2,2
?
,总存在
k
,使得直线
y?kt?1

y?m?2t
2

?
?1,1
?
是有公共点,
即直线
y?k t?1
与一簇函数
y?m?2t
2
,t?
?
?1,1
?
,m?
?
?2,2
?
个个都有公共点,
从图象上显然 看到,只要直线
y?kt?1
与函数
y??2?2t
2
,t?
?
?1,1
?
有公共点即可,于是求
?

k???,?2 2
?

?
U
?
22,??
??


好题速递230题
uuuruuuruuur
22

?ABC
中,
AB
边上的中线
CO?2
,若动点
P
满足
AP?sin
?
g
AO?cos
?
AC
?< br>?
?
R
?
,则
?
uuuruuuruuur
PA?PB
g
PC
的最小值是 .
?
uuuruuuruuur
22
AP?sin
?
g
AO?c os
?
AC
解:因为
?
?
?
R
?
,系数之和为1,故
C,P,O
三点共线,且
uuur
sin
?,cos
?
?
?
0,1
?
,所以点
P
在线段
OC
上,设
PQ?t
?
t?
?
0,2
?
?

22
uuuruuuruuuruuuruuur
PA?PB
g
PC?2PO
g
PC?2t
?
2?t??
?1
?
?2t
2
?4t

??

t?1
时,取最小值
?2


好题速递231题
1
??
max
?
a
n?1,
?
4
??
,则
a
2015
?

?
4a
n
设数列
?
a
n
?
满 足
a
1
?1,a
2
?2
,且
a
n?2?
1
?
?
11
?
?
11
?
m ax
?
2,
?
max
?
,
?
max
?
,
?
?
4
?
?
1
?
24?
?
1

?
164
?
?
1
, 解:找规律。易知
a
3
?

a
4
?
a5
?
1
4?216
4?12
8
4?
2
?
11
??
1
?
max
?
,
?
m ax
?
1,
?
?
84
?
?1

a ?
?
4
?
?2
,……,
a
6
?
7
11
4?4?
168
1
故数列
?
a
n< br>?
是周期为5的数列,所以
a
2015
?a
5
?
8

好题速递232题
设数列
?
a
n?
满足
a
1
?1,a
9
?7
,且
a< br>n?2
2
2
a
n
?a?2a
n?1
?
?1n
,则
a
5
?
a
n
?1
2
解:
a
n?2
2
a
n
?a?2a
n?1
?
a
n?1
?1
?
?a
n
?1
?
a
n?1
?1
?
?
?1n
???1

a
n
?1a
n
?1a
n
?1

a
n?2
?1?
?
a
n?1
?1
?
2
a
n
?1

2

b< br>n
?a
n
?1
,则
b
n?2
b
n< br>?b
n?1
,即数列
?
b
n
?
是等比数列, 且
b
1
?2,b
9
?8
,故
b
5
?4
,即


a
5
?3



好题速递233题
已知
1
?k?1
,函数
f
?< br>x
?
?2
x
?1?k
的零点分别为
x
1,x
2
?
x
1
?x
2
?
,函数
3
k
的零点分别为
x
3
,x
4
?
x3
?x
4
?
,则
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2
?x
1
?
的最小值
2k?1
g
?
x
?
?2
x
?1?
为 .
解:
f
?
x
?
?2
x
?1?k?0?2
x
1
?1?k,2
x
2
?1? k?x
1
?log
2
?
1?k
?
,x
2< br>?log
2
?
1?k
?

g
?
x< br>?
?2
x
?1?
kk?1
x
4
3k?1k? 13k?1

?0?2
x
3
?,2??x
3
?lo g
2
,x
4
?log
2
2k?12k?12k?12k?1 2k?1
3k?1
?
4
?
?log
2
?
? 3
?

1?k
?
1?k
?
由(1)(2)得
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2?x
1
?
?log
2
1
因为
?k?1
,故
?
x
4
?x
3
?
?
?
x2
?x
1
?
?log
2
3

3
好题速递234题
已知函数
f
?
x
?
?ax
2
?2
?
2a?1
?
x?4a?7
,其中< br>a?N*
,设
x
0

f
?
x
?的一个零点,若
x
0
?Z
,则符合条件的
a
的值有 个.
解:
f
?
x
?
?ax
2
?2
?
2a?1
?
x?4a?7?0?a?
因为
a?N*
,故
2x?7
2x?7
?
x?2
?
2
?
x?? 2
?

?
x?2
?
2
?1
,解得
?3?x?1
?
x??2
?


x
0
?Z
知,
x
0
??3,?1,0,1


x
0
??3
时,
a?1
;当
x
0
??1
时,< br>a?5
;当
x
0
?0
时,
a?
综上,符合条 件的
a?1

a?5
,有两个值。

7
(舍去);当
x
0
?1
时,
a?1

4

好题速递235题


已知
O

?ABC
的外心,
AB?2a

AC?
2
?
a?0
?

?BAC?120
o
,若
a
uuuruuur uuur
AO?
?
AB?
?
AC
?
?
,< br>?
?R
?
,则
?
?
?
的最小值为 .
uuuruuuruuuruuuruuur
?
2a
2
?4a< br>2
?
?2
?
?
AO
g
AB?
?AB
2
?
?
AB
g
AC
??
?
解:因为
?
uuu
?
24

ruuuruuuruuu r
2
uuur
2
??2
?
?
?
??
2
?
AO
g
AC?
?
AB
g
AC??
AC
a
2
?
a
2a
2
21
解得
?
??
2

?
??

33
3
3a
41a
2

?
?
?
??
2
??2

3
3a
3
点评:这里又是三角形外心与向量的常见 结合题,“外心点积转边投影”是正道。

好题速递236题
★已知函数
f
t
?
x
?
?
?
x?t
?
?t, t?R
,设
a?b

f
?
x
?
?
?
2
?
?
f
a
?
x
?
,f
a
?
x
?
?f
b
?
x
?
,若函 数
fx,fx?fx
??????
?
ab
?
b
y? f
?
x
?
?x?a?b
有四个零点,则
b?a
的取 值范围是 .
解:
f
t
?
x
?
?
?
x?t
?
?t,t?R
是开口形状确定, 顶点
?
t,?t
?

y??x
上运动的抛物线,于是当a,b
取不同值时所对应的函数
f
?
x
?
图象如图所示 ,是“W型”的图象
2
交点横坐标由
?
x?a
?
?a?< br>?
x?b
?
?b
解得
x?
22
a?b?1< br>
2
函数
y?f
?
x
?
?x?a?b
有四个零点,可视为直线
y??x?b?a
与函数
y?f
?
x?
有四个交点,
故只需两条抛物线的“交叉点”到直线
y??x
的竖直距 离大于
b?a
即可。
?
b?a?1
?
b?a?1
?b?a
,解得
b?a?2?5

??
?
2
?
2
?
2






好题速递237题

?ABC
中,若
AB?2

AC
2
?BC
2
?10
,则
?ABC
的面积取得最大值时,最长的边长等


于 .
解法一:设
CH?h

AH?x

由题知
a
2
?b
2
?10

c?2

S
? ABC
?ch?h

因为
h
2
?b
2
?x
2
?a
2
?
?
2?x
?
?h
2< br>??x
2
?2x?3??
?
x?1
?
?4?4


?
S
?ABC
?
max
?2
,当且 仅当
x?1
时,取得最大值,此时
a?b?5,c?2

AC
2
?BC
2
?AB
2
3
解法二:由余弦定理知
c osC???sinC?
2AC?BCAC?BC
2
22
1
2
AC
2
?BC
2
?9

AC?BC

S
?ABC
111
?
AC
2
?BC
2
?22
??AC?BCsinC?AC?BC?9?
??
?
?9?2

222
?
2
??
当且仅当
AC?BC?5
时, 等号成立,故最长边为
5


好题速递238题
uuuruuur
如图,
C,D
在半径为1的
eO
上,线段
AB
是< br>eO
的直径,则
AC
g
BD
的取值范围
是 .
解法一:极化恒等式角度
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
AC
g
BD?AD?DC
g
BD??DC
g
DB< br>
??
uuuruuur
显然当
DC,DB
均为
eO
的直径时,
DC
g
DB
最大为4;

BC
的中点
M
,则由极化恒等式知
uuuruuuru uuur
2
uuuur
2
uuuur
2
uuuur
2
uuuruuur
?
1
?
?
DM?OM
?
2
OD
2
1
DC
g
DB?DM?BM?DM?OM?1? ?1??1??

AC
g
BD?
?
?4,
?

222
2
??
解法二:投影角度
uuuruuuruuuru uur
AC
g
BD?AC
g
CE

uuuruuu r
uuuruuur
要求
AC
g
BD
max
,显然 在
AC
确定的情况下,
CE
最大。
uuur
如图,当DE?AE

DE?AE
与圆相切时,
CE
最大。

< p>
uuuruuuruuuruuur
此时设
CE?x
,则
DF? x,OF?1?x

AC?2
?
1?x
?

2uuuruuuruuuruuur
1
?
x?1?x
?
所以AC
g
BD?AC
g
CE?2x
?
1?x
?< br>?2?
??
?

22
??
uuur
uuur
显然当且仅当
D

A
重合,
C

B
重合,即
AC

BD
反向且模长均为直径时,
?
uuur uuur
AC
g
BD
?
min
??4

解法三:坐标角度

C
?
cos
?
,sin?
?

D
?
cos
?
,sin
??

uuuruuur
AC
g
BD?
?
cos
?
?1,sin
?
?
g
所以
?
cos?
?1,sin
?
?

?
?
cos
?
?1
?
cos
?
?
?
sin
?
?
sin
?
?
?
cos
?
?1
?

?
?
cos
?
?1
?
2
?sin
2
?
cos
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?1
?

?2?2cos
?
?
?
cos
?
?1
?

?

t?1?c os
?
?
?
?
0,2
?
uuuruuur
?
2
?
11

AC
g
BD
?2t?t2
??
?

t?
?
??
?
2
?
22
??
uuuruuur
AC
g
BD
?
2
?
cos
?
?1
?
2
?sin
2?
cos
?
?
?
?
?
?
?
c os
?
?1
?
??2?2cos
?
?
?
c os
?
?1
?

?

t?1?cos
?
?
?
?
0,2
?
uuuruuur
?
2< br>?
1

AC
g
BD
??2t?t
2
??
?
(当且仅当
t?2
时取得等号)
t?
?
? ?
?
2
??4
2
??
2
解法四:利用竞赛知识 < br>设
?AOC?
?

?COD?
?

?BOD ?
?


?
?
?
?
?
?
?

u uuruuuruuuruuuruuuruuur
AC
g
BD?OC?OA
g
OD?OB
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
?OC
g
OD?OA
g
OD?OC
g
OB?OA
g
OB

????
?cos
?
?cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
??1
?cos
?
?cos
?
?cos
?
?1< br>在竞赛中证明过一个不等式,在
?ABC
中,有
cosA?cosB?cosC ?
3

2


先证明cosA?cosB?cosC?2cos< br>A?BA?B
cos?cos
?
A?B
?
22
A?B A?BA?B
?2coscos?2cos
2
?1
222

A?B
?
A?BA?B
?
?1?2cos?cos
?
cos
?
2
?
22
?
A?BABABC
?1?4coss insin?1?4sinsinsin
222222
又sin
ABC1A
?
B?CB?C
?
sinsin?sin
?
cos?cos
?
22222
?
22
?
1A
?
B?C
?1A
?
A
?

?sin
?
1?cos?sin 1?sin
???
22
?
2
?
22
?
2< br>?
AA
??
sin?1?sin
1
?
22
?
?
1
?
??
2
?
28
?
????
2
所以
cosA?cosB?cosC?
3

2
这里用了三角的积化和差、和差化积公式,属于超纲内容。
uuuruuur1
所以
AC
g
BD?cos
?
?cos
??cos
?
?1?

2

好题速递239题
★在平面直角坐标系
xOy
中,设
A,B,C
是圆
x
2?y
2
?1
上不同的三个点,若存在实数
?
,
?

uuuruuuruuur
2
使得
OC?
?
OA??
OB
,则
?
?
?3
?
?
?
2
的取值范围是 .
解法一:
OC?
?
OA?
?
OB?
?
2
?
?
2
?2
??
cos
?
?1

(这里的
?
就是 向量夹角,由于三点不同,故
cos
?
?
?
?1,1
?

??
?0
时有
?
2
?
?
2
?2
??
?1??1?
?
?
?
?1


??
?0
时有
?
2
?
?
2?2
??
?1??1?
?
?
?
?1

画出可行域如图,
于是将
y?
?
?
?3
?
?
?
2
视为可行域内的
?
?
,
?
?到点
?
3,0
?
的距离的平方,易得当
2
uuuruu uruuur
?
?
,
?
?
?
?
2,?1< br>?
时,
y?2
,当
?
???
时,
y???< br>,故
?
?
?3
?
2
?
?
2
?2


解法二:
OC?
?
OA?
?
OB?
?
2
?2
?
cos
?
?1?
?2

于是
uuuruuuruuur
?
cos
??3
??
cos
?
?3
?
cos
?
? 3
?
?10??2
?
?
?3
?
?
?
?
?
?
?3
?
?
?
?2
?
co s
?
?1?2
?
?
?
?
?
?10?
222
??
uuuruuuruuurr
解法三:由
?
OA??
OB?CO?0
可以构造三角形法则
2
2
2
22
22
uuuuruuuruuuuruuur
OM?
?
OA, MC?
?
OB
故设,则
?
,
?
,1
构成< br>?OMC
的三边(否则
A,B,C
三点中至少有两个
点重合),如图所 示
?
?
?
?
?1
?
于是满足
?
?
?1?
?
,画出可行域,后续如解法一。
?
?
?
?1?
?


好题速递240题
★已知二次函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx ?c
?
b?a?0
?
为非负,则
为 .
解法一:齐次化思想
根据条件有
a?0,??0
,则
1?
bc

?2< br>aa
a?b?c
的最小值
b?a
cc
?2?2
a?b ?c
aa
因此
?1??1?
b
b?a
c
?12?1
a
a
a?b?ct
2
?232t?19
c1?1?????3

?t?
,则
b?a2t?1244
?2t?1
?
a2
当且仅当
t?2

bc
时取得 最小值,即
b?c?4a
时取得。
?2
aa
b
2
解法二:根据条件有
a?0,??0
,则
c?

4a
b
2
a?b?
a?b?c
4a

?< br>故
b?ab?a


b
2
a?b?
a?b?c4a
?
3
?
9a
?
t
?3

?

b?a?t
?
t?0
?

b?ab?a24t 4a
b
2
当且仅当
t?3a

c?
时取得最小值, 即
b?c?4a
时取得。
4a
解法三:令
a?b?c
?t
?
t?0
?
,得
c?t
?
b?a
?
?
?
b?a
?
,代入
??b
2
?4ac?0
b?a
22
2a?b
?
2a?b
???
得< br>t???
4a
?
b?a
?
4
?3a?b?a
??
3
?
2a?b
?
2
2
4
?
3 a?
?
b?a
?
?
?
?
3
?
2< br>?
?
?3

当且仅当
b?c?4a
时取得等号
解法四:待定系数法
假设
a?b?c
?t
,化简为
?1?t
?
a?
?
1?t
?
b?c?0

b?a

x
2
a?xb?c?0

故比对系数得< br>x
2
?1?t,x?1?t
,得
?
1?t
?
?1?t
,即
t?3
,此时
x??2

即因为
f< br>?
?2
?
?0
,所以
4a?2b?c?0?a?b?c?3< br>?
b?a
?

因为
b?a
,所以

a?b?c
?3

b?a
2
好题速递241题
已 知
a,b?R
?

a
2
?b
2
?ab?3
,则
2a?b
的最大值是 .
解法一:判别式法

t?2a?b

b?t?2a
代入< br>a
2
?b
2
?ab?3

7a
2
? 5at?t
2
?3?0

关于
a
的一元二次方程有解得??25t
2
?28t
2
?3?0
,即
t
2< br>?28

?
55
?
?
a?
?
a?t ?
?
2a?b
?
?
所以
t?2a?b?27
,当且 仅当
?
1414
?
?
?
2a?b?27
?
b?
?
?
?
5
7
时取得等号。
4
7
??
解法二:化齐次式


?
2a?b< br>?
2
?
3
?
2a?b
?
2
a
2
?b
2
?ab
?3
4a
2
?4ab?b
2
a
2
?b
2
?ab
?3
4?4t?t
2
1?t?t
2
5t?3
?
?3
?
1?
?
1?t?t
2
?
?

?

5t?3?u,t?
u?3

5
??
??
25u25
??

y?3
?
1?
2
? 31?
??
?28

?
49
?
u?11u?49< br>?
??
?
u?11?
?
u
??
当且仅当u?7,t?
4
时取得等号。
5
2
2
b
?< br>?
3
?
?
22
解法三:
a?b?ab?
?< br>a?
?
?
?
b
?
?3

??
2
?
?
2
?
?
b3

m?a?,n?b
,即
m
2
?n
2
?3

22
设< br>m?3cos
?
,n?3sin
?
,则
a?sin
?
?3cos
?
,b?2sin
?


2a?b?4 sin
?
?23cos
?
?27sin
?
?
??
?

解法四:利用余弦定理构造三角形

?ABC
的三边分别为
a,b,c?3
,由
a
2
?b
2
?a b?3

C?60
o

由正弦定理
abc
???2
,故
a?2sinA,b?2sinB

sinAsinBsinC

2a?b?2
?
2sinA?2sinB
?
?4sinA?4si n120
o
?A?5sinA?3cosA?27sin
?
A?
?< br>?

其中
tan
?
?

2a?b?
?
?
33
2
?
?
?
?
,故取
?< br>?
?
0,
?

?
?
?
?A?
?
?
?

53
6
3
??
??
?
3
?
,27
?

?
2
?
评注:本 题是很常见的最值问题,解法一、解法二是常规的两种方法,解法三利用三角换
元,解法四构造三角形的 方法不仅求出了最大值,还取到了最小值。


好题速递242题
(20 15全国联赛2)若实数
?
满足
cos
?
?tan
?
,则
为 .
1
?cos
4
?
的值
sin
?


解:由
cos
?
?tan
?

cos
2
?
?sin
?

1sin
2
?
?cos
2
?
4
?cos< br>?
??sin
2
?
?sin
?
?1?1?cos2
?
?2

sin
?
sin
?
评注: 这里用了1的逆用,简化了计算,当然也可以把
sin
?
,cos
?
都算出来,不过计算量
比较大。


好题速递243题
(201 5全国联赛4)在矩形
ABCD
中,
AB?2,AD?1
,边
DC< br>上(包含
D,C
)的动点
P

uuuruuur
uu uruuur
CB
的延长线上(包含点
B
)的动点
Q
满足< br>DP?BQ
,则
PA
g
PQ
的最小值
为 .
uuuruuur
解:不妨设
A
?
0,0
?
, B
?
2,0
?
,D
?
0,1
?
,则
P
?
t,1
??
0?t?2
?
,则由
DP?BQ

Q
?
2,?t
?


PA?
?
?t,?1
?
,PQ?
?
2?t,?t?1
?

2
uuuruuur
?
1
?
33
PA
g< br>PQ??
?
?t
??
2?t
?
?
?
?1
??
?t?1
?
?
?
t?
?
??
?
2
?
44
uuuruuur
评注:坐标法解决向量 问题是常见方法。
好题速递244题
(2015
K?
全国联赛6)在平面 直角坐标系
所对应的平面
xOy
中,点集
域的面积
?
?x,y
?
|
?
x?3y?6
??
3x?y?6
?
?0
?

为 .
解:设
K
1
?
?
?
x,y
?
|x?3y?6?0
?

先考虑
K
1
在第一象限中的部分,此时有
x? 3y?6
,故这些点对应于图中的
?OCD
及其内
部,由对称性知,
K
1
对应的区域是图中以原点
O
为中心的菱形
ABCD
及其 内部
同理设
K
2
?
?
?
x,y
?
|3x?y?6?0
?
,则
K
2
对应的区域是图中以
O< br>为中心的菱形
EFGH
及其


内部。
由点集
K
的定义知,
K
所对应的平面区域是被
K
1

K2
中恰好一个所覆盖的部分,因此本
题所要求的即为图中阴影区域的面积
S

?
33
?
由直线
CD:x?3y?6
,直线
G H:3x?y?6
得交点
P
?
,
?

?
2 2
?
由对称性知,
S?8S
?CPG
?8??4??24



1
2
3
2
好题速递245题
(20 15全国联赛7)设
?
为正实数,若存在
a,b
?
?
?a? b?2
?
?
,使得
sin
?
a?sin
?
b?2


?
的取值范围是 .
解:由
sin
?
a?sin
?
b?2
知,
sin
?
a?sin
?
b?1


?
?< br>a,
?
b
?
?
?
??
,2
???
,故题目条件等价于:
存在整数
k,l
?
k?l
?
,使得
??
?2k
?
?
?
2
?2l
?
?
?
2
?2
??


?
?4
时,区间
?
??
,2
??
?
的长度不 小于
4
?
,故必存在
k,l
?
k?l
?
满 足①式

0?
?
?4
时,注意到
?
??
,2
??
?
?
?
0,8
?
?
,故仅需要考 虑如下几种情况:
(i)
??
?
?
2
?2
??
?
2
?2
??
,此时
?
?
15
?
?
,无解
24
95
?
?
?

42
13913
?
?
?
,得
?
?
?4

424
(ii)
??
?2
?
?
?
2
?4
?
?
?
2
?2
??
,此时
(iii)
??
?4
?
?
综上,可知
?
2
?6
?
?
?
2
?2
??
,此时
9513
?
?
?< br>或
?
?

424
好题速递246题
(2015全国 联赛9)若实数
a,b,c
满足
2
a
?4
b
?2< br>c

4
a
?2
b
?4
c
,则
c
的最小值
是 .


解:设< br>2
a
?x,2
b
?y,2
c
?z
,则
x,y,z?0

由条件知
x?y
2
?z

x< br>2
?y?z
2


z
2
?y?x
2
?z?y
2

z?
y
4
?y
2y
2
??
2
?z
2
?2y
2
z?y
4

1
?
2
11
?
1
3
3
32
?
?
2y??
?
??32?

4
?
yy
?
44
2
1
3
3
2
1
当且仅当
2y?
,即
y?
3

z
的最小值为 < br>y
4
2
3
3
25
由于
c?log
2
z
,故
c
的最小值为
log
2
?log
2
3?

43
评注:本题又是“三个字母两个方程,少一个合情合理”的问题。 在处理的时候用到了三
元均值不等式
a?b?c?3
3
abc


好题速递247题
rr
rr
rrrr
(2015安徽全 国联赛3)设平面向量
a,b
满足
a,b,a?b?
?
1,3
?
,则
a
g
b
的取值范围
是 .
rrrr
rr
1
?
rr
2
r
2
r
2
?
17
解法一:由于
a
g
,当
a? 3,b?3,a?b?1
时取得等号
b?
?
a?b?a?b
???
2
?
2
?
rrrr
rr
1
?rr
2
rr
2
?
9

a
g
b ?
?
a?b?a?b
?
?
,当
a?b?3,a?b
时取得等号
4
??
4
rr
?
179
?

a
g
b?
?
?,
?

?
24?
uuurr
uuurr
uuurrr
解法二:取平面内
OA? a

OB??b
,则
AB?a?b

uuuruuur于是问题转化为在同心圆环(
1?r?3
)内的两点
A,B
之间的距离在
?
1,3
?
之间,求
?OA
g
OB
的取值 范围。
(评注:又是一个点发出的两个向量做点积,极化恒等式又有用武之地啦!)
uuu ruuuruuuur
2
1
uuur
2
OA
g
OB ?OM?AB
,其中
M
是线段
AB
的中点
4
AB
2
如图所示,由圆的垂径定理得,
OM?OA?
< br>4
22



A,B
位于半径为3的圆周上,且
A B?1

OM
2
取得最大值为
3
2
?
当< br>O,M
重合时,
OM
2
取得最小值为0
?
35?
所以
OM
2
?
?
0,
?

?
4
?
135
?

44
因此
0??OM?AB?


9
4
u uuur
2
r
2
1
uuu
4
uuuruuur?
917
?
rr
?
179
?
351
?
,即
OA
g
,即
OB?
?
?,
?
a
g
b?
?
?,
?

44
42
???
24
?
好题速递248题
在平面 直角坐标系中,已知点
P
?
3,0
?
在圆
C:x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2
?28?0
内,动直线
AB
过点
P
且交圆
C

A,B
两点,若
?ABC
面积的最大值为16,
则实数
m
的取值范围是 .
解:
C:x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2< br>?28?0?
?
x?m
?
?
?
y?2
??32

22
C

O

H

P

B

AB?232?CH

2
1< br>故
S
?ABC
??232?CH
2
?CH??CH
2
?16?16
2
?16

2
2
A

??

?ABC
面积的最大值为16,即
CH
能取得4。
由图象可知,
CH?CP?R
,故
4?CP?42

解不等 式
16?
?
3?m
?
?
?
0?2
?
?32

3?27?m?3?23

3?23?m?3?27



22
好题速递249题
如图,已知边长为1的正
?A 'BC
的顶点
A'
在平面
?
内,顶点
B,C
在平面
?
外的同一侧,

B',C'
分别为
B,C
在平面
?
内的投影,设
BB'?CC'
,直线
CB'
与平面
A'CC'
所成的角为
?
。若
?A'B'C'
是以角
A'
为直角的直角三角形,则
tan
?
的取值范围
是 .


解法一:如图建系,设
B
?
0,b,m
?

C
?
c,0,n
?
,则
?
b
2?m
2
?c
2
?n
2
?1
?
?
o
?
?
0,b,m
?
g
?
c,o,n
?
?1?1?cos60
?
0?m?n
?
?
因为
m n?
1
2

0?m?n
,故
m?

2
2
11
,故
m?

22
又因为
c
2
?n
2
?1
,故
n?1
,又
mn?< br>?
23
?
12
又因为
tan
?
?b?1?m
2

?m?
,故
tan
?
?
?
,
?
?

22
22
??
解法二:注意到
ta n
?
?cos?BA'B'?sin?BA'z

考虑
?BA'z
为直线
BA'
与 平面
ACC'
所 成的角,显然其上界(无法取得)为
60
o
,此时
sin?BA'z?
?
23
?
3
;其最小值当
BB'?CC'
时取得,为45
o
,因此所求的范围为
?
,
?
?

22
2
??

好题速递250题
uuuuruuur
?ABC
中,
BC
边上的中垂线分别交
BC,AC

D,M
,若
AM
g
BC?6

AB?2
, 则
AC?

解:取
AB?a,AC? b
作为基底向量,则
AD?
uuuurr

AM?
?
b

uuurruuurr
uuur
1
rr
a?b

2
??
uuuuruuurrrrr
rrr

AM
g
BC?6

?
b
g
b?a?6
,即
?
a gb?
?
bgb?6

??
rr
rr
?< br>1
r
?
rr
uuuuruuur
?
ab
1< br>r
2
?
r
2
??
?
b
g
b ?a?0
?a?
?
a
g
b??
?

MD< br>g
BC?0

?
,整理得
?
??
b?0
?
22
?
22
??
??
??
r
2
uuur
将①式代入②式得
b?16
,故
AC?4< br>

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