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解析几何模块4.已知曲线
C
的方程
x
2
?y
2
?1
,
A
?
?2,0
?
,存在一定点
B
?
b,0
??
b??2
?
和
常数
?,对曲线
C
上的任意一点
M
?
x,y
?
,都有
MA?
?
MB
成立,则点
P
?
b,
??
到直线
?
m?n
?
x?ny?2n?2m?0
的最大
距离为 .
解法一:由
MA?
?
MB<
br>得
?
x?2
?
?y
2
?
?
2
?
?
x?b
?
?y
2
?
??
即
?
2
?1x
2
?
?
2
?1y
2
?2b
?
2
?4x?4?
?
2
b
2
22
??????
?
2b
?
2
?4?0
1
?
故
?
4?
?
2
b
2
,将<
br>b
?
2
??2
代入
4?
?
2
b2
?
?
2
?1
得
2b
2
?5b?2?
0
,得
b??
,
?
?2
2
?1
?
2
?
?1
?
?
1
?
又直线
?<
br>m?n
?
x?ny?2n?2m?0
恒过定点
?
?2,0?
,所以由几何性质知点
P
?
?,2
?
到直
?
2
?
5
?
1
?
线
?
m?n
?
x?ny?2n?2m?0
的最大距离为点
?
?2,0
?
与
P
?
?,2
?
的距离为
2
?
2?
解法二:作为小题,由
MA?
?
MB
知是阿氏圆轨迹,故取圆
C:x
2
?y
2
?1
直径上的两个
点
?<
br>?1,0
?
,
?
1,0
?
,即可得
131
??
?
,解得
b??
,
?
?2
b?11?b
2
好题速递202题
解析几何模块5.已知
M
是
x
2
?8y
的对称轴和准线的交点,点
N
是其焦点,点
P
在该抛
物线上,且满足
PM?mPN
,当
m
取得
最大值时,点
P
恰在以
M
、
N
为焦点的双曲线
上,
则该双曲线的离心率为 .
解:作
PP'?MP'
,由抛物线定义
PP'?PN
PM
?mPN?
PNPP'
1
???cos
?
,其中
?
??MPP'??NMP
mPMPM
要使
m
取得最小值,即
cos
?
最小,即
?
??NMP
最大值,即
?PMP'?
此时
MP
是抛物线的切线.
设
MP
的方程为
y?kx?2
,
与
x
2
?8y
联立得
x
2
?8
?
kx?2
??0
因为相切,故
??64k
2
?64?0
,解得<
br>k?1
?
2
??MPP'
最小,
故
P
?
4,2
?
,
2a?PM?PN?42?4
由
2c?4
,得
e?2?1
好题速递203题
解析几何模块6. 已知斜率为1的直线
l
过双曲线x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1<
br>?
a?0,b?0
?
的左焦点
F
,且
与双曲线左、右
支分别交于
A,B
两点,若
A
是线段
BF
的中点,则双曲线
的离心率
为 .
解:由题意知
2y
1
?y
2
?
x
2
y
2
?
2
?
2
?1
?b
2<
br>?a
2
y
2
?2b
2
cy?b
4
?
0
?
ab
?
x?y?c
?
??
?
2b
2
c
?3y
1
?
y
1
?y
2
?
2
?
b?a
2
?
4
b?
2
yy??2y
112
22
?
b?a
?所以
4c
2
b
2
?a
2
?
9
,所以
c
2
?18a
2
?e?32
2
好题速递204题
解析几何模块7.
已知点
P
是双曲线
焦点,
O
坐标原点,若
是
.
解:设
PF
1
?m,PF
2
?n
,则
2m
2
?n
2
?4OP
2
?F
1
F2
2
?m
2
?n
2
?2OP
2
?2c
2
又
m?n?2a
,所以
m
2
?2mn
?n
2
?4a
2
所以
2mn?2OP
2
?2c
2
?4a
2
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?
1
?
a?0,b?0
?
上的动点,
F
1
,F
2
是其左、右
PF
1
?PF
2
OP
的最大值是<
br>6
,则此双曲线的离心率
??
?
m?n
?2
?2OP
2
?2c
2
?2OP
2
?2c2
?4a
2
?4OP
2
?4b
2
4b
2
?
m?n
?
所以
?
?<
br>?4?
2
OP
OP
??
2
4b
2
m
?n
所以的最大值在
OP?a
时取到,所以
4?
2
?6
OP
a
所以
2b
2
?a
2
,即e?
6
2
好题速递205题
解析几何
模块8.在平面直角坐标系
xOy
中,圆
C
的方程为
?
x?
1
?
?
?
y?1
?
?9
,直线
l:y?k
x?3
与圆
C
相交于
A,B
两点,
M
为弦
AB
上一动点,以
M
为圆心,2为半径的圆与
22
圆
C总有公共点,则实数
k
的取值范围是 .
解:两圆有公共
点的充要条件是
1?CM?5
,而
CM?5
恒成立,故只要
CMmin
?1
时两圆必
有公共点.由平面几何知识可知,
CM
mi
n
为点
C
到直线
l
的距离
d
,所以
d?<
br>解得
k??
3
4
k?2
k?1
2
?1
,
好题速递206题
解析几何模块9.已知点
A
?
1?m,0
?
,
B
?
1?m,0
?
,若圆
C:x
2
?y
2
?8x?8y?31?0
上存
uu
uruuur
在一点
P
,使得
PA
g
PB?0
,则
m
的最大值为 .
uuuruuurAB
解:由
PA
g
PB?0
得
P
在以
AB
中点
M
?
1,0
?
为圆心,
为半径的圆上,所
以
P
的轨迹方
2
程为
?
x?1
?
2
?y
2
?m
2
,所以圆
M
的半径为
m
,
又由
P
在圆
C
上,
C:x
2
?y
2
?8x?8y?31?0
的圆心
C
?
4,4
?
,半径为1
,当圆
M
与圆
C
内切时,
MP
最大
为
MC
?CP?5?1?6
好题速递207题
立体几何模块1.如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
是棱
CC
1
的中点,
F
是侧面
B
1
BCC
1
上的动点,并且
A
1
F
平面
AED
1
,则动点<
br>F
的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.线段
解:如图,取
BB
1
的中点M
,
B
1
C
1
的中点
N
,显然可证明
平面
A
1
MN
平面
AED
1
,当
F
在
线段
MN
上时,均有
A
1
F
平面
AE
D
1
,即动点
F
的轨迹是线段
MN
。
点评:善于
转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。例如,考虑“线线平行”时,
可转化为“线面平行”或“
面面平行”;考虑“线面平行”时,可转化为“线线平行”或
“面面平行”;考虑“面面平行”时,可转
化为“线线平行”或“线面平行”。
在斜二测画法画图时,平行关系不会改变,因为要找平行线,可以
考虑在图象上推平行
线,然后关注哪个位置看起来比较特殊,例如中点,中位线之类。
好题速递208题
立体几何模块2.如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱
AA
1
与
BB
1
上各有一个动点
P
,
Q
,
且满足
A1
P?BQ
,
M
是棱
CA
上的动点,则
是
.
1
解法一:设
V
ABC?ABC
?V
,则
V<
br>M?ABQP
?V
M?B
1
BA
?V
C?B
1
BA
?V
B
1
?CBA
?V
3
111
V
M?ABQP
V
ABC?A
1
B
1C
1
?V
M?ABQP
的最大值
(注:这里用到了梯形
ABQP
的面积与
?ABB
1
的面积相等。)
即
M
与
C
重合时,
V
M?ABQP
最大,
V
M?AB
QP
V
ABC?A
1
B
1
C
1
?V
M?ABQP
?
1
V
V
M?ABQP
?1
?1
V
?1
V
3
?
1
2
解法二:设
V
M?ABQP
?V
,
V
ABC?A
BC
?V
0
为定值,则
f
?
V
?
?
111
V
是关于
V
的增函数
V
0
?V
所以
f
?
V
?
max
?
V
C?
ABQP
V
0
?V
C?ABQP
1
V
0
1
3
??
1
V
0
?V
0
2
3
好题速递209题 <
br>立体几何模块3.已知线段
AD
?
,且
AD
与平面
?
的距离为4,点
B
是平面
?
上的动
点,且满足
AB
?5
,若
AD?10
,则线段
BD
长度的取值范围是
.
解:如图,将线段
AD
投影到平面
?
上,得到射影
A'
D'
,将空间问题平面化,则动点
B
的
轨迹是以
A'
为圆心
,半径为
5
2
?4
2
?3
的圆,
又
BD
?DD'
2
?BD'
2
,
10?3?BD'?10?3
,<
br>DD'?4
,
所以
49?16?BD?169?16
,即
65?BD?185
好题速递210题
立体几何模块4.已知
P
为正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
对角线
BD1
上的一点,且
BP?
?
BD
1
?
?
?
?
0,1
?
?
,下面结论:
1
?
1<
br>?
①
A
1
D?C
1
P
;②若
BD<
br>1
?
平面
PAC
,则
?
?
;③若
?
PAC
为钝角三角形,则
?
?
?
0,
?
;
3
?
2
?
?
2
?
④若
?
??
,1
?
,则
?PAC
为锐角三角形.
?
3
?
其中正确结论的序号为 .
解:在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
A
1
D?
平面
ABC
1
D
1
,又
C
1
P?
平面
ABC
1
D
1
,故
A
1
D?C
1
P
,①正确; <
br>由题可知
BD
1
?AC
,若
BD
1
?
平面
PAC
,则
BD
1
?CP
设正方体的棱长
为1,则
BC?1
,
CD
1
?2
,
BD
1
?3
,在
Rt?BCD
1
中,
BC
2
?B
PgBD
1
所以
BP?
3
1
,所以
BP
?BD
1
,②正确;
3
3
在正方体
ABC
D?A
1
B
1
C
1
D
1
中,以
A
1
B
1
为
x
轴,
A
1
D
1
为
y
轴,
A
1
A
为
z
轴建系,
设棱长为2,
则
A
?
0,0,2
?
,B
?
2,0,2
?
,C
?
2,2,2
?
,D
1
?
0,2,0
?
uuuruuuur
设
P
?x,y,z
?
,由
BP?
?
BD
1
,得
x?2?2
?
,y?2
?
,z?2?2
?
所以
PA?
?
2
?
?2,?2
?
,2
?
?
,
CP?
?
?2
?
,?2?2
?
,?
2
?
?
,
CA?
?
?2,?2,0
?
<
br>uuuruuur
?
2
?
若
?PAC
为钝角三角形,
则
?APC
为钝角,
PA
g
PC?12
?
2
?8
?
?0
,解得
?
?
?
0,
?
,③错;
?
3
?
uuuruuur
?
2
?同理,当
?
?
?
,1
?
时,
PA
g<
br>PC?12
?
2
?8
?
?0
,所以
?PAC
为锐角三角形,④正确。
?
3
?
uuuruuuruuur
所以正确结论为①②④。
好题速递211题
立体几何模块5.如图,在棱长为1的正方体
ABCD
?A
1
B
1
C
1
D
1
中,若点
P
是棱上一点,则
满足
PA?PC
1
?2
的点有
个.
解:点
P
既在以
A,C
1
为焦点,长轴为2的椭球上
,又在正方体的棱上。
因为
BA?BC
1
?1?2?2
,故点B
在以
A,C
1
为焦点,长轴为2的椭球外,所以椭球必与线
段
AB
相交(交点就是
AB
的中点),同理在
AD,AA
1<
br>,C
1
B
1
,C
1
D
1
,C
1
C
上各有一个交点满足条件
又若点
P
在
BB
1
上,则
PA?PC
1
?1?BP
2
?1?B
1<
br>P
2
?2
,故
BB
1
上不存在满足条件的点
P
,同理
DD
1
,CD,A
1
B
1
,BC
,A
1
D
1
上也不存在满足条件的点
P
。
好题速递212题
立体几何模块6.将一个长宽分别为
a,b
?
0
?b?a
?
的铁皮的四个角切去相同的正方形,然
后折成一个无盖的长方体的盒子(不
计粘合处),若这个长方体的外接球的面积存在最小
值,则
a
的取值范围是
.
b
解:设切去的小正方形的边长为
x
,长方体的外接球的半径为
R
b
?
22
?
则
4R
2
?x<
br>2
?
?
a?2x
?
?
?
b?2x
?
?9x
2
?4
?
a?b
?
x?
?
a
2
?b
2
?
?
0?x?
?
2
??
2
?
a?b
?
b
?
a
5
?
?
0?
因为长方体的外接球的面积存在最小值,所以
?
92
,解得
1??
b4
?
0?b?a
?
好题速递213题
2
,
AB?BC
,动点
M
在以
C
为圆
2
uuuuruuuruuur
心且过点
D
的圆内运动(不含边界),设
AM?mAB?nBC
?
m,n?R
?
,则
m?n
的取值范围
在直角梯形
ABCD
中,
ABCD<
br>,
AB?BC?1
,
CD?
是
.
解:建立直角坐标系,
M
?
x',y'
?
,
A
?
1,0
?
,
B
?
0,0
?
,
C
?
0,1
?
,
D
?
?
由
AM?mAB?nBC
?
m,n?R
?
得
x'?1?m,y'?n
动点
M
在
x
2
?
?
y?1?
?
2
?
2
?
,1
?
?
<
br>2
??
uuuuruuuruuur
11
22
内运动,所以<
br>?
1?m
?
?
?
n?1
?
?
22
求目标函数
m?n
的取值范围是
?
1,3
?
好题速递214题
uuuruuur
22
C:x?y?2x
?0
在曲线
??
上任取
A,B
两点,则
OA
gOB
的最小值为 .
uuuruuur
OB?
x
1
x
2
?y
1
y
2
解:记<
br>A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
OA
g
2222
?y
1
?2
?
x
1
?0
?
,
x
2
?y
2
?2
?
x
2
?0
?, 且
x
1
同时满足
x
i
?y
i
?<
br>i?1,2
?
,即
x
i
?y
i
?0
,
x
i
?y
i
?0
?
i?1,2
?
uuuruuur
1
OA
g
OB?x
1
x2
?y
1
y
2
?
?
?
x
1<
br>?y
1
??
x
2
?y
2
?
?
?
x
1
?y
1
??
x
2
?y
2
?
?
?
2
?
1
??2
?
x
1
?y
1
??
x
2
?y
2
??
x
1
?y
1
??
x
2
?y
2
?<
br>
2
?
?
x
2
1
2
?y
1
??
x
2
2
2
?y
2
?2
?uuuruuur
当且仅当
x
1
?x
2
,y
1
??y
2
时取得“=”,故
OA
g
OB
的最小值为
2.
好题速递215题
已知函数
f
?
x
?
是定
义在
R
上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
x
都有
?
xf
?
x?1
?
?
?
x?1
?
f
?
x
?
,则
f
?
f
?
?
5
?
?
??
?
?
.
?
2
?
?
解:令
x??
,则
?
1
2
1
2
?
1
?
1
f
??
?
?
2
?
2
?
1
?
1
f
?
?
?
?
?
2
?
2
?
1
?
f
??
,所以
?
2
?
?
1
?<
br>f
??
?0
?
2
?
令
x?0,则
f
?
0
?
?0
当
x?0
时,由
xf
?
x?1
?
?
?
x?1
?<
br>f
?
x
?
得
f
?
x?1
?
?
5
?
5
??
3
?
5
则
f
??
?
2
f
??
?
?
2
?
3<
br>?
2
?
3
2
x?1
f
?
x
?
x
3
?
?
5
?
?
?
3
?
5
?
1
?
f
??
??
2f
??
?0
,故
f
?
f
??
?
?f
?
0
?
?0
?
2
?
3<
br>1
?
2
?
?
?
2
?
?
2<
br>
好题速递216题
已知实数
a?b?c
,设函数
f
?
x
?
?
111
的两个零点分别为
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?
,则<
br>??
x?ax?bx?c
下列关系中恒成立的是( )
(A)
a?x
1
?x
2
?b?c
(B)
x
1
?a?b?x
2
?c
(C)
a?x
1
?b?x
2
?c
(D)
a?x
1
?b?c?x
2
解:
f
?
x
?
?
111
的两个零点, <
br>??
x?ax?bx?c
即
g
?
x
?
??
x?a
??
x?b
?
?
?
x?a
?
?
x?c
?
?
?
x?c
??
x?b
?的两个零点
因为
g
?
x
?
开口向上,
g?
b
?
?
?
b?a
??
b?c
?,又
a?b?c
,所以
g
?
b
?
?0
即函数
g
?
x
?
的零点一个大于
b
,一个
小于
b
,且
g
?
a
?
?0
,
g<
br>?
c
?
?0
所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知
a?x
1
?b?x
2
?c
,选C
好题速递217题
已知点
A
?
1,2
?
在抛物线
?:y
2
?2px
上,若
?ABC
的三个顶点都
在抛物线
?
上,记三边
AB,BC,CA
所在直线的斜率分别
为
k
1
,k
2
,k
3
,则
22
?
y
1
??
y
2
?
,y
1
?
,
C
?
,y
2
?
解:
?:y?4x
,
设
B
?
?
4
??
4
?
????
1
11
???
.
k
1
k
2<
br>k
3
2
2222
y
1
y
2
y
1
y
2
?1??1
y?2y
1
?y
2
y
2
?2
111
4444
所以
??????
1
???1
k
1
k
2
k
3
y
1
?2y
2
?y
1
y
2
?2444
点评:抛
物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是基于抛物线上的点的设
?
y
2
?
,y
,在化简过程中利用好平方差公式,可以使得计算简便。这个过程要做到比较熟
法
?
?
2p
?
?
??
练。
好题速递218题
已知函数
f
?
x
?
?3x?a
与函数
g
?
x
?
?3x?2a
在区间
?<
br>b,c
?
上都有零点,则
的最小值为
.
解:由题意知,
?
?
3b?a?0
,两式相加得
a?2
b?0
3b?2a?0
?
a
2
?2ab?2ac?4bc
b
2
?2bc?c
2
?
3c?a?0
,两式相加得
a?2c?0
?
?
3c?2a?0
?
?
?a?2b
?
?
?
a?2c
?
?
?
2?
?a?2b
??
a?2c
?
?
a
2
?2ab?2ac?4bc
?
a?2b
??
a?2c
?
??
??1
所以
?????
22222
b?2bc?c
?b?c
??
b?c
??
b?c
?
2
当且仅当<
br>?a?2b?a?2c
时取得等号。
点评:这里用到了基本不等式,如果一下子看不出
来,也可以先利用齐次化思想,将分子
bc
分母同除以
a
2
,令x?,y?
,将式子简化,就容易发现了。
aa
好题速递219题
已知函数
f
?
x
?
?a?
4bx?sinx?bx
cosx
?
a,b?R
?
,若
f
?
x
?<
br>在
R
上既有最大值又有最小值,
4?cosx
且最大值与最小值的和为
4,则
3a?2b?
.
解:f
?
x
?
?a?
4bx?sinx?bxcosxsinx
?a?bx?
4?cosx4?cosx
已知
f
?
x
?
在
R
上既有最大值又有最小值,故
b?0
又<
br>f
?
x
?
?a?
sinx
是奇函数,且最大值与最小
值的和为4,则
2a?4
,
a?2
4?cosx
故
3a?2b?6
好题速递220题 <
br>对于函数
y?f
?
x
?
,如果存在区间
?
m
,n
?
,同时满足下列条件:①
f
?
x
?
在
?
m,n
?
内是单调
的;②当定义域是
?
m,n
?
时,
f
?
x
?
的值域也是
?
m,n?
,则称
?
m,n
?
是该函数的“和谐区
间”.若f
?
x
?
?
a?11
,则
a
的取值范
围是 .
?
?
a?0
?
存在“和谐
区间”
ax
a?11
?
?
a?0
?
在
?<
br>??,0
?
和
?
0,??
?
上是增函数,所以
?
m,n
?
?
?
??,0
?
或
ax解:因为
f
?
x
?
?
?
m,n
??
?
0,??
?
,且
f
?
m
?
?m
,
f
?
n
?
?n
因此
m
,n
是方程
a?11
??x
的两个不相等且同号的实数根,即
ax<
br>2
?
?
a?1
?
x?a?0
有两个不
ax<
br>相等且同号的实数根
又
x
1
?x
2
?
a?
1a1
2
?0
且
x
1
x
2
??1
,故只需
??
?
a?1
?
?4a
2
?0
,
解得
??a?1
aa3
又
a?0
,故
0?a?1
好题速递221题
2
?
?
m1?x
?
x?1?
已知以
T?4
为周期的函数
y?f
?
x
?<
br>?
?
,其中
m?0
,若
3f
?
x
?
?x
恰有5
?
?
1?x?2
?
1?x?3
?
个实数解,则
m
的取值范围是 .
解:当
x?
?
?1,1
?
时,原函数式化为方程
x?
2<
br>y
2
m
2
?1
?
y?1
?
,表示一
个半椭圆,当
x?
?
1,3
?
时,是两线段
y?x?1?
1?x?2
?
和
y?3?x
?
2?x?3
?
组成的折线,再根据周期性画出大致图
象如图所示。
y
2<
br>x
2
由图象可知,当直线
y?
与第二个半椭圆
?
x?
4
?
?
2
?1
?
y?0
?
相交,而与第三
个半椭圆
3
m
?
x?8
?
2
?
y
2
m
2
?1
?
y?0
?
无交点时,方程
3
f
?
x
?
?x
恰有5个实数解,
x
?
y
?
?
3
?
由方程组
?
?
y?0
?
消去
y
得
9m
2
?1x
2
?72m
2x?35m
2
?0
2
?
?
x?4
?
2
?
y
?1
?
m
2
?
??
由
??0
,解得
m?
15
3
x
?y?
?
3
?
由方程组
?
?
y?0
?<
br>消去
y
得
9m
2
?1x
2
?144m
2
x?567m
2
?0
2
?
?
x?8
?
2
?
y
?1
?
m
2
?
??
由
??0
,解得
0?m?7
,所以
15
?m?
7
3
好题速递222题
(2015重庆理科第16题)若函数
f
?
x
?
?x?1?2x?a
的最小值为5,则
a?
________.
解法一:按照
a??1,a??1
两类分类讨论,画出
f
?
x
?
?x?1?2x?a
的折线图,图象最低点
的纵坐
标为5,求得
a??6
或
a?4
5
x?1
解法二
:由题意得
x?1?2x?a?5
,从而
x?a??
22
5
x?1
设
g
?
x
?
?x?a,h
?x
?
??
22
g
?
x
?
?
x?a
的图象是以
?
a,0
?
为顶点的开口向上的“V”形图。 <
br>h
?
x
?
?
5
x?1
?
5
?
的图象是以
?
?1,
?
为顶点的开口向下(开口比
g?
x
?
?x?a
的图象开口大)
?
22
?2
?
的“V”形图,且与
x
轴交点的坐标为
?
?6,0
?
,
?
4,0
?
。
5
x?1
当
a??6
或
a?4
时,
x?a??
,所以若函数
f
?
x
?
?x?1?2x?a
的最小值为5,则
22
a??6
或
a?4
好题速递223题
若动点
P
在直线
l
1
:x?y?2?0
上,动点
Q
在直线
l
2
:x?y?6?0
上,设线段
PQ
的中
点为
22
M
?
x
0
,y
0
?
,且
?
x
0
?2
?
?
?
y
0
?2
?
?8
,则
x
0
?y
0
的取值范围是
________.
22
解法一:设点
P
?
x
1
,y
1
?
满足
x
1
?y
1
?2?0
,点
Q
?
x
2
,y
2
?
满足
x
2
?y
2
?2?0
两式相加得点
M
?<
br>x
0
,y
0
?
的轨迹是直线
x
0
?
y
0
?4?0
同时点
M
?
x
0
,y
0
?
满足
?
x
0
?2
?
?<
br>?
y
0
?2
?
?8
所以满足条件的点M
在线段
AB
上,其中点
A
?
0,?4
?,
B
?
4,0
?
分别为直线
x?y?4?0
与
圆
22
?y
0
表示线段
AB
上的点与坐标原点连线距离的平
方,所以
?
x?2
?
2
?
?
y?2
?2
?8
的交点,
x
0
22
22
?y
0
当
M
运动到
A
?
0,?4
?
或
B
?
4,0
?
时,
x
0
取得最大值为16,当
M
运动到圆心
C
?
2,?2
?
时,
22
22
?y
0
?
?
8,16
?
x
0
?y
0
取得最小值为8,故
x
0
解法二:将
x<
br>0
?y
0
?4?0
代入
?
x
0
?2
?
?
?
y
0
?2
?
?8
,得到<
br>y
0
?
?
?4,0
?
22
222
?y
0
将
x
0
?y
0
?4?0
代
入
x
0
得
x
0
?y
0
?2y
0<
br>?8y
0
?16?2
?
y
0
?2
?
?8?
?
8,16
?
22
2
好题速递224题
★设反比例函数
f
?
x
?
?<
br>1
与二次函数
g
?
x
?
?ax
2
?
bx
?
a?0
?
的图象有且仅有两个不同的公共
x
y
1
?
.
y
2
点
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?
,且
x
1
?x
2
,则
解:
f
?
x
?
?
?
方程1
与
g
?
x
?
?ax
2
?bx
?
a?0
?
的图象有且仅有两个不同的公共点
x
1
?a
x
2
?bx
有两个不同的实数根
x
1
,x
2
x
?
方程
ax
3
?bx
2
?1?0<
br>有两个不同的实数根
x
1
,x
2
三次方程仅有两个实根,故必有一个是一次根,一个是重根。
?
方程
ax<
br>3
?bx
2
?1?a
?
x?x
1
?
2
?
x?x
2
?
或
ax
3
?bx
2
?1?a
?
x?x
1
??
x?x
2
?<
br>2
22
?2x
1
x
2
?0
,?ax
1
x
2
??1
对于第一种情况,等式两边展开比较系数
得
b?a
?
?2x
1
?x
2
?
,
x
1
故
x
1
?2x
2
?0
,因为
x
1
?x
2
,所以
x
1
?0?x<
br>2
,
x
1
??2x
2
y
1
x
2
1
???
y
2
x
1
2
22
?2x
1
x
2
?0
,
?ax
1
x
2
??1
对于第二种情况,等式两边展开比
较系数得
b?a
?
?x
1
?2x
2
?
,<
br>x
2
2
??1
知
ax
1
?0
,与<
br>a?0,x
1
?0
矛故
2x
1
?x
2
?0
,因为
x
1
?x
2
,所以
x
1?0?x
2
,但由
?ax
1
x
2
盾,故舍去。
点评:本题是自山东高考题改编而来,解法中运用了三次方程求根的因式分解,奇次根穿
过与偶
次根反弹的问题。浙江高考曾多次考过类似的问题,值得注意。例如:
(2014浙江文7)已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
,且
0?f(
?1)?f(?2)?f(?3)?3
,则
A.
c?3
B.
3?c?6
C.
6?c?9
D.
c?9
32
解:方程
f(x)?x?ax?bx?c?t?<
br>?
0,3
?
的三个根为
?1,?2,?3
,
32<
br>故
x?ax?bx?c?t?
?
x?1
??
x?2
?
?
x?3
?
比较系数得
c?t?6
,故
c?t?
6?
?
6,9
?
(2012浙江理17)设
a?R
,若
x?0
时均有
[(a?1)x?1](x
2
?ax?1)?0
,则
a?
____.
2
解:
x?ax?1?
?<
br>x?x
1
??
x?x
2
?
,且
x
1
?0?x
2
,因为
[(a?1)x?1](x?ax?1)?0
对<
br>2
x?0
恒成立,则
x?
2
1
必是二重零点 a?1
3
3
a
?
1
?
??1?0
代入
得:
?
,解之得:,舍去,得答案:
a?0或a?
a?
a?0?
2
2
?
a?1
?
a?1
(2013浙江文1
6)设
a,b?R
,若
x?0
时恒有
0?x
4
?x
3
?ax?b?x
2
?1
,则
??
2
ab
?
。
【解析】当
x?1
时,有
0?a?b?0
,所以得
b??a
,代回原式
x
4
?x
3
?ax
?b?x
4
?x
3
?ax?a?
?
x?1
?
?
x
3
?a
?
?0
故
x?1
必定是重根,即
x
3
?a
中必有因子
x?1
,所以
a??1,b?1
,所以
ab??1
点评:这三道题都是加深零点意义理解
的好题。零点就像是
x
轴上的守门员,关系着函数
正负性变化的重任,“奇重零点穿过
,偶重零点反弹”。
好题速递225题
x
2
y
2
?
设
x,y
是正实数,且
x?y?1
,则的最小值是___
_____.
x?2y?1
解:设
x?2?m
,
y?1?n
,则题目变为“已知
m?n?4
,求
?
m?2
?
2
?
n?1
?
2
m
?
n
的最小值。
?<
br>m?2
?
2
?
n?1
?
2
m
??
n
?m?
41
?
41
??
41
?<
br>?4?n??2?
?
m?n
?
?
?
?
??6?
?
?
?
?2
mn
?
mn
??<
br>mn
?
1
?
4nm91
?
?
??5
?
?2??2?
4
?
mn44
?
1
?
41
?
?
?
?
?
?
m?n
?
?2?<
br>4
?
mn
?
8421
当且仅当
m?2n,
m?n?4
,即
m?,n?
,即
x?,y?
时取得等号
3333
点评:本题还是分母换元使得式子简化,灵活运用均值不等式。
好题速递226题
(重庆高考题)函数
f
?
x
?
?
sinx?1
3?2cosx?2sinx
22
?
0?x?2?
?
的值域是__________.
解:
3?2cosx?2sin
x?
?
1?cosx
?
?
?
1?sinx
?
设
1?sinx?a,1?cosx?b
,则问题变为求
y?
解
法一:当
a?0
时,有
y?
?1
?
b
?
1
?
??
?
a
?
2
?a
a?b
22
的值域
将
bb
22
视为圆
?
a?1
?
?
?
b?1
?
?1
上任一点与原点连线的斜率,结合图形可
知
?0
,
aa
所以
?1?y?0
,
当
a?0
时,
y?0
综上可知,
y?
?
?1,0
?
解法二:注意到<
br>y?
?a
a?b
22
,联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相
似
?
2
于是设直线
OP
的倾斜角为
?
,则
0?
?
?
所以
y??cos
?
?
?
?1
,0
?
好题速递227题
rrr
rr
rrrrrrr
已知
a?xb?yc
?
x,y?R
?
,a?b?2
,
c?1
,
a?c?b?c?0
,则
a?b
的取值范围是
????
________.
解法一:考虑向量模的几何意义
rrrrrr
由
a?b?2
和
a?c?b?c?0
,可作出
图形
????
r
c
的终点
C
必在以
AB
为直径的圆
O'
上
r
r
又
c?1
,故
c
的终点
C
必在以
O
为圆心,1为半径的圆上
所以问题转化为
eO'
与
eO
(半径为1的小圆)有交点
注意到
eO'
的半径为
uuur
AB
2
?
rra?b
2
?
uuuur
1
rr
OO'?a?b
,圆心距
2
所以两圆相交需满足
1?
rrrr
rr
a?b<
br>2
r
2
rr
a?b
2
?1?
rr
a
?b
2
?
且有
a?b?a?b?2
?
?
a?b
?
?16
??
22
r
2
rrrr
作一个整体换元,设
a?b?x
,
a?b?y
?
x
2
?y
2
?16
?
?
?2?x?y?2
问题转化为规划问题,已知
?
,求
y
的取值范围。
x?y?2
?
?
x,y?R
?
?
?
如图可得
y?
?
?
7?1,7?1
?
解法二:代数方法 <
br>rrr
2
rrr
2
rr
rr
a?b?a?2a
g
b?b?8?2a
g
b
,因此只需求
agb
的取值范围
rrrrrr
2
rrrr
由
a?c?b?c?0
得
a
g
b?a?b
g
c?c?0
????
??rrrrrrrrrr
所以
a
g
b?1?a?b
g
c?
a?b
g
ccos
?
?a?b
??
rr
即
a
g
b?1
??
2
rr
r
2
rrr
2
rr
?a?2a
g
b?b?8?2a
g
b
,解得
?7?agb?7
rrr
2
rrr<
br>2
rr
rr
b?
?
8?27,8?27
?
,
故
a
?
b
?
?
7
?
1,7
?1
?
所以
a?b?a?2a
g
b?b?8?2a
g<
br>??
??
??
解法三:解析几何坐标方法
r
c
解:
设
?
?
1,0
?
,设
A
,
B
是以
O
为圆心,2为半径的圆上两点,且
ACBC
,则 |
a
-
b
|
=
AB
= 2
MC
.
∵
MO
MA
=
OA
,而
MA
=
MC
,∴
MO
MC
= 4.
设
M
?
x,y
?
,则<
br>x
2
?y
2
?(x?1)
2
?y
2
?4
,
即
x
2
?y
2
?x?
3
.(*)
2
3
?x?2x?1?5?2x
.
2
22222
|
a
-
b
| =
AB
= 2
MC
=
2(x?1)
2
?y<
br>2
?2x
2
?y
2
?2x?1?2
由(*)知,1?71?7
,
≤x≤
22
∴
8?27≤5?2x≤8?27
,即
rr
∴
7?1?a?b?7?1
.
7?1≤5?2x≤7?1
.
好题速递228题
已知实数a,b,c
,满足
2
a
?2
b
?2
a?b,
2
a
?2
b
?2
c
?2
a?b?c
,则
c
的最大值是________.
解:记
2
a
?x,2
b
?y,2
c
?z
,则
?
z?
xy1
?1?
xy?1xy?1
?
x?y?xy
?
x?y?z?xyz
因为
x?y?xy?2xy?xy?4
故
z?
xy14
?1??
xy?1xy?13
4
即
c
的最大值是
log
2
3
好题速递229题
设函数
f
?
x
?
?
4x
x?1
2
,
g
?
x
?
?cos2
?
x?kcos<
br>?
x
,若对任意的
x
1
?R
,总存在
x2
?R
,使得
g
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
成立,则实数
k
的取值范围是________
.
解法一:由题意知
f
?
x
?
的值域是
g
?
x
?
值域的子集,易得
f
?
x
?
的值
域是
?
?2,2
?
设
t?cos
?
x<
br>,则
g
?
x
?
的值域为
h
?
t?
?2t
2
?kt?1,t?
?
?1,1
?
的
值域,再通过分类讨论进行解答
kk
??
?1???00???1
?
k
?
k
??
???1
44
?
4
?
?
4
?1
??
??
?
?8?k
2
??8?k
2
??
??2
或
?
??2
或
?
h
?
1
?
??2
?
h
??1
?
??2
或
?
??
?
8
?
8
h1?2
??
??
h
?
?1
?
?2<
br>?
h
?
1
?
?2
?
h
?
?
1
?
?2
??
??
??
??
?
解得
k???,?22
?
?
U
?
22,??
??<
br>解法二:解法一常规,但计算量较大,作为填空题不划算。故从数形结合的角度,利用函
数图象给
出解法二。
f
?
x
?
的值域是
?
?2,2
?
,设
t?cos
?
x?
?
?1,1
?
,
则问题可以转化为对任意实数
m?
?
?2,2
?
,关于
t
的方程
2t
2
?kt?1?m
在
?
?1
,1
?
上有解,
即对任意实数
m?
?
?2,2
?
,总存在
k
,使得直线
y?kt?1
与
y?m?2t
2
在
?
?1,1
?
是有公共点,
即直线
y?k
t?1
与一簇函数
y?m?2t
2
,t?
?
?1,1
?
,m?
?
?2,2
?
个个都有公共点,
从图象上显然
看到,只要直线
y?kt?1
与函数
y??2?2t
2
,t?
?
?1,1
?
有公共点即可,于是求
?
得
k???,?2
2
?
?
U
?
22,??
??
好题速递230题
uuuruuuruuur
22
在
?ABC
中,
AB
边上的中线
CO?2
,若动点
P
满足
AP?sin
?
g
AO?cos
?
AC
?<
br>?
?
R
?
,则
?
uuuruuuruuur
PA?PB
g
PC
的最小值是 .
?
uuuruuuruuur
22
AP?sin
?
g
AO?c
os
?
AC
解:因为
?
?
?
R
?
,系数之和为1,故
C,P,O
三点共线,且
uuur
sin
?,cos
?
?
?
0,1
?
,所以点
P
在线段
OC
上,设
PQ?t
?
t?
?
0,2
?
?
,
22
uuuruuuruuuruuuruuur
故PA?PB
g
PC?2PO
g
PC?2t
?
2?t??
?1
?
?2t
2
?4t
??
当
t?1
时,取最小值
?2
好题速递231题
1
??
max
?
a
n?1,
?
4
??
,则
a
2015
?
.
?
4a
n
设数列
?
a
n
?
满
足
a
1
?1,a
2
?2
,且
a
n?2?
1
?
?
11
?
?
11
?
m
ax
?
2,
?
max
?
,
?
max
?
,
?
?
4
?
?
1
?
24?
?
1
,
?
164
?
?
1
,
解:找规律。易知
a
3
?
,
a
4
?
a5
?
1
4?216
4?12
8
4?
2
?
11
??
1
?
max
?
,
?
m
ax
?
1,
?
?
84
?
?1
,
a
?
?
4
?
?2
,……,
a
6
?
7
11
4?4?
168
1
故数列
?
a
n<
br>?
是周期为5的数列,所以
a
2015
?a
5
?
8
好题速递232题
设数列
?
a
n?
满足
a
1
?1,a
9
?7
,且
a<
br>n?2
2
2
a
n
?a?2a
n?1
?
?1n
,则
a
5
?
. a
n
?1
2
解:
a
n?2
2
a
n
?a?2a
n?1
?
a
n?1
?1
?
?a
n
?1
?
a
n?1
?1
?
?
?1n
???1
a
n
?1a
n
?1a
n
?1
即
a
n?2
?1?
?
a
n?1
?1
?
2
a
n
?1
2
令
b<
br>n
?a
n
?1
,则
b
n?2
b
n<
br>?b
n?1
,即数列
?
b
n
?
是等比数列,
且
b
1
?2,b
9
?8
,故
b
5
?4
,即
a
5
?3
好题速递233题
已知
1
?k?1
,函数
f
?<
br>x
?
?2
x
?1?k
的零点分别为
x
1,x
2
?
x
1
?x
2
?
,函数
3
k
的零点分别为
x
3
,x
4
?
x3
?x
4
?
,则
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2
?x
1
?
的最小值
2k?1
g
?
x
?
?2
x
?1?
为 .
解:
f
?
x
?
?2
x
?1?k?0?2
x
1
?1?k,2
x
2
?1?
k?x
1
?log
2
?
1?k
?
,x
2<
br>?log
2
?
1?k
?
g
?
x<
br>?
?2
x
?1?
kk?1
x
4
3k?1k?
13k?1
?0?2
x
3
?,2??x
3
?lo
g
2
,x
4
?log
2
2k?12k?12k?12k?1
2k?1
3k?1
?
4
?
?log
2
?
?
3
?
1?k
?
1?k
?
由(1)(2)得
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2?x
1
?
?log
2
1
因为
?k?1
,故
?
x
4
?x
3
?
?
?
x2
?x
1
?
?log
2
3
3
好题速递234题
已知函数
f
?
x
?
?ax
2
?2
?
2a?1
?
x?4a?7
,其中<
br>a?N*
,设
x
0
为
f
?
x
?的一个零点,若
x
0
?Z
,则符合条件的
a
的值有
个.
解:
f
?
x
?
?ax
2
?2
?
2a?1
?
x?4a?7?0?a?
因为
a?N*
,故
2x?7
2x?7
?
x?2
?
2
?
x??
2
?
?
x?2
?
2
?1
,解得
?3?x?1
?
x??2
?
由
x
0
?Z
知,
x
0
??3,?1,0,1
当
x
0
??3
时,
a?1
;当
x
0
??1
时,<
br>a?5
;当
x
0
?0
时,
a?
综上,符合条
件的
a?1
或
a?5
,有两个值。
7
(舍去);当
x
0
?1
时,
a?1
4
好题速递235题
已知
O
是
?ABC
的外心,
AB?2a
,
AC?
2
?
a?0
?
,
?BAC?120
o
,若
a
uuuruuur
uuur
AO?
?
AB?
?
AC
?
?
,<
br>?
?R
?
,则
?
?
?
的最小值为
.
uuuruuuruuuruuuruuur
?
2a
2
?4a<
br>2
?
?2
?
?
AO
g
AB?
?AB
2
?
?
AB
g
AC
??
?
解:因为
?
uuu
?
24
,
ruuuruuuruuu
r
2
uuur
2
??2
?
?
?
??
2
?
AO
g
AC?
?
AB
g
AC??
AC
a
2
?
a
2a
2
21
解得
?
??
2
,
?
??
33
3
3a
41a
2
故
?
?
?
??
2
??2
3
3a
3
点评:这里又是三角形外心与向量的常见
结合题,“外心点积转边投影”是正道。
好题速递236题
★已知函数
f
t
?
x
?
?
?
x?t
?
?t,
t?R
,设
a?b
,
f
?
x
?
?
?
2
?
?
f
a
?
x
?
,f
a
?
x
?
?f
b
?
x
?
,若函
数
fx,fx?fx
??????
?
ab
?
b
y?
f
?
x
?
?x?a?b
有四个零点,则
b?a
的取
值范围是 .
解:
f
t
?
x
?
?
?
x?t
?
?t,t?R
是开口形状确定,
顶点
?
t,?t
?
在
y??x
上运动的抛物线,于是当a,b
取不同值时所对应的函数
f
?
x
?
图象如图所示
,是“W型”的图象
2
交点横坐标由
?
x?a
?
?a?<
br>?
x?b
?
?b
解得
x?
22
a?b?1<
br>
2
函数
y?f
?
x
?
?x?a?b
有四个零点,可视为直线
y??x?b?a
与函数
y?f
?
x?
有四个交点,
故只需两条抛物线的“交叉点”到直线
y??x
的竖直距
离大于
b?a
即可。
?
b?a?1
?
b?a?1
?b?a
,解得
b?a?2?5
故
??
?
2
?
2
?
2
好题速递237题
在
?ABC
中,若
AB?2
,
AC
2
?BC
2
?10
,则
?ABC
的面积取得最大值时,最长的边长等
于
.
解法一:设
CH?h
,
AH?x
,
由题知
a
2
?b
2
?10
,
c?2
,
S
?
ABC
?ch?h
因为
h
2
?b
2
?x
2
?a
2
?
?
2?x
?
?h
2<
br>??x
2
?2x?3??
?
x?1
?
?4?4
故
?
S
?ABC
?
max
?2
,当且
仅当
x?1
时,取得最大值,此时
a?b?5,c?2
AC
2
?BC
2
?AB
2
3
解法二:由余弦定理知
c
osC???sinC?
2AC?BCAC?BC
2
22
1
2
AC
2
?BC
2
?9
AC?BC
故
S
?ABC
111
?
AC
2
?BC
2
?22
??AC?BCsinC?AC?BC?9?
??
?
?9?2
222
?
2
??
当且仅当
AC?BC?5
时,
等号成立,故最长边为
5
好题速递238题
uuuruuur
如图,
C,D
在半径为1的
eO
上,线段
AB
是<
br>eO
的直径,则
AC
g
BD
的取值范围
是
.
解法一:极化恒等式角度
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
AC
g
BD?AD?DC
g
BD??DC
g
DB<
br>
??
uuuruuur
显然当
DC,DB
均为
eO
的直径时,
DC
g
DB
最大为4;
取
BC
的中点
M
,则由极化恒等式知
uuuruuuru
uuur
2
uuuur
2
uuuur
2
uuuur
2
uuuruuur
?
1
?
?
DM?OM
?
2
OD
2
1
DC
g
DB?DM?BM?DM?OM?1?
?1??1??
故
AC
g
BD?
?
?4,
?
222
2
??
解法二:投影角度
uuuruuuruuuru
uur
AC
g
BD?AC
g
CE
uuuruuu
r
uuuruuur
要求
AC
g
BD
max
,显然
在
AC
确定的情况下,
CE
最大。
uuur
如图,当DE?AE
且
DE?AE
与圆相切时,
CE
最大。
uuuruuuruuuruuur
此时设
CE?x
,则
DF? x,OF?1?x
,
AC?2
?
1?x
?
2uuuruuuruuuruuur
1
?
x?1?x
?
所以AC
g
BD?AC
g
CE?2x
?
1?x
?< br>?2?
??
?
22
??
uuur
uuur
显然当且仅当
D
与
A
重合,
C
与
B
重合,即
AC
与
BD
反向且模长均为直径时,
?
uuur uuur
AC
g
BD
?
min
??4
解法三:坐标角度
设
C
?
cos
?
,sin?
?
,
D
?
cos
?
,sin
??
uuuruuur
AC
g
BD?
?
cos
?
?1,sin
?
?
g
所以
?
cos?
?1,sin
?
?
?
?
cos
?
?1
?
cos
?
?
?
sin
?
?
sin
?
?
?
cos
?
?1
?
?
?
cos
?
?1
?
2
?sin
2
?
cos
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?1
?
?2?2cos
?
?
?
cos
?
?1
?
?
令
t?1?c os
?
?
?
?
0,2
?
uuuruuur
?
2
?
11
则
AC
g
BD
?2t?t2
??
?
t?
?
??
?
2
?
22
??
uuuruuur
AC
g
BD
?
2
?
cos
?
?1
?
2
?sin
2?
cos
?
?
?
?
?
?
?
c os
?
?1
?
??2?2cos
?
?
?
c os
?
?1
?
?
令
t?1?cos
?
?
?
?
0,2
?
uuuruuur
?
2< br>?
1
则
AC
g
BD
??2t?t
2
??
?
(当且仅当
t?2
时取得等号)
t?
?
? ?
?
2
??4
2
??
2
解法四:利用竞赛知识 < br>设
?AOC?
?
,
?COD?
?
,
?BOD ?
?
则
?
?
?
?
?
?
?
u uuruuuruuuruuuruuuruuur
AC
g
BD?OC?OA
g
OD?OB
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
?OC
g
OD?OA
g
OD?OC
g
OB?OA
g
OB
????
?cos
?
?cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
??1
?cos
?
?cos
?
?cos
?
?1< br>在竞赛中证明过一个不等式,在
?ABC
中,有
cosA?cosB?cosC ?
3
2
先证明cosA?cosB?cosC?2cos<
br>A?BA?B
cos?cos
?
A?B
?
22
A?B
A?BA?B
?2coscos?2cos
2
?1
222
A?B
?
A?BA?B
?
?1?2cos?cos
?
cos
?
2
?
22
?
A?BABABC
?1?4coss
insin?1?4sinsinsin
222222
又sin
ABC1A
?
B?CB?C
?
sinsin?sin
?
cos?cos
?
22222
?
22
?
1A
?
B?C
?1A
?
A
?
?sin
?
1?cos?sin
1?sin
???
22
?
2
?
22
?
2<
br>?
AA
??
sin?1?sin
1
?
22
?
?
1
?
??
2
?
28
?
????
2
所以
cosA?cosB?cosC?
3
2
这里用了三角的积化和差、和差化积公式,属于超纲内容。
uuuruuur1
所以
AC
g
BD?cos
?
?cos
??cos
?
?1?
2
好题速递239题
★在平面直角坐标系
xOy
中,设
A,B,C
是圆
x
2?y
2
?1
上不同的三个点,若存在实数
?
,
?
,
uuuruuuruuur
2
使得
OC?
?
OA??
OB
,则
?
?
?3
?
?
?
2
的取值范围是 .
解法一:
OC?
?
OA?
?
OB?
?
2
?
?
2
?2
??
cos
?
?1
(这里的
?
就是
向量夹角,由于三点不同,故
cos
?
?
?
?1,1
?)
当
??
?0
时有
?
2
?
?
2
?2
??
?1??1?
?
?
?
?1
当
??
?0
时有
?
2
?
?
2?2
??
?1??1?
?
?
?
?1
画出可行域如图,
于是将
y?
?
?
?3
?
?
?
2
视为可行域内的
?
?
,
?
?到点
?
3,0
?
的距离的平方,易得当
2
uuuruu
uruuur
?
?
,
?
?
?
?
2,?1<
br>?
时,
y?2
,当
?
???
时,
y???<
br>,故
?
?
?3
?
2
?
?
2
?2
解法二:
OC?
?
OA?
?
OB?
?
2
?2
?
cos
?
?1?
?2
于是
uuuruuuruuur
?
cos
??3
??
cos
?
?3
?
cos
?
?
3
?
?10??2
?
?
?3
?
?
?
?
?
?
?3
?
?
?
?2
?
co
s
?
?1?2
?
?
?
?
?
?10?
222
??
uuuruuuruuurr
解法三:由
?
OA??
OB?CO?0
可以构造三角形法则
2
2
2
22
22
uuuuruuuruuuuruuur
OM?
?
OA,
MC?
?
OB
故设,则
?
,
?
,1
构成<
br>?OMC
的三边(否则
A,B,C
三点中至少有两个
点重合),如图所
示
?
?
?
?
?1
?
于是满足
?
?
?1?
?
,画出可行域,后续如解法一。
?
?
?
?1?
?
好题速递240题
★已知二次函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx
?c
?
b?a?0
?
为非负,则
为
.
解法一:齐次化思想
根据条件有
a?0,??0
,则
1?
bc
?2<
br>aa
a?b?c
的最小值
b?a
cc
?2?2
a?b
?c
aa
因此
?1??1?
b
b?a
c
?12?1
a
a
a?b?ct
2
?232t?19
c1?1?????3
令
?t?
,则
b?a2t?1244
?2t?1
?
a2
当且仅当
t?2
及
bc
时取得
最小值,即
b?c?4a
时取得。
?2
aa
b
2
解法二:根据条件有
a?0,??0
,则
c?
4a
b
2
a?b?
a?b?c
4a
?<
br>故
b?ab?a
b
2
a?b?
a?b?c4a
?
3
?
9a
?
t
?3
?
令
b?a?t
?
t?0
?
得
b?ab?a24t
4a
b
2
当且仅当
t?3a
及
c?
时取得最小值,
即
b?c?4a
时取得。
4a
解法三:令
a?b?c
?t
?
t?0
?
,得
c?t
?
b?a
?
?
?
b?a
?
,代入
??b
2
?4ac?0
b?a
22
2a?b
?
2a?b
???
得<
br>t???
4a
?
b?a
?
4
?3a?b?a
??
3
?
2a?b
?
2
2
4
?
3
a?
?
b?a
?
?
?
?
3
?
2<
br>?
?
?3
当且仅当
b?c?4a
时取得等号
解法四:待定系数法
假设
a?b?c
?t
,化简为
?1?t
?
a?
?
1?t
?
b?c?0
b?a
又
x
2
a?xb?c?0
故比对系数得<
br>x
2
?1?t,x?1?t
,得
?
1?t
?
?1?t
,即
t?3
,此时
x??2
即因为
f<
br>?
?2
?
?0
,所以
4a?2b?c?0?a?b?c?3<
br>?
b?a
?
因为
b?a
,所以
a?b?c
?3
b?a
2
好题速递241题
已
知
a,b?R
?
,
a
2
?b
2
?ab?3
,则
2a?b
的最大值是 .
解法一:判别式法
令
t?2a?b
,
b?t?2a
代入<
br>a
2
?b
2
?ab?3
得
7a
2
?
5at?t
2
?3?0
关于
a
的一元二次方程有解得??25t
2
?28t
2
?3?0
,即
t
2<
br>?28
?
55
?
?
a?
?
a?t
?
?
2a?b
?
?
所以
t?2a?b?27
,当且
仅当
?
1414
?
?
?
2a?b?27
?
b?
?
?
?
5
7
时取得等号。
4
7
??
解法二:化齐次式
?
2a?b<
br>?
2
?
3
?
2a?b
?
2
a
2
?b
2
?ab
?3
4a
2
?4ab?b
2
a
2
?b
2
?ab
?3
4?4t?t
2
1?t?t
2
5t?3
?
?3
?
1?
?
1?t?t
2
?
?
?
令
5t?3?u,t?
u?3
5
??
??
25u25
??
故
y?3
?
1?
2
?
31?
??
?28
?
49
?
u?11u?49<
br>?
??
?
u?11?
?
u
??
当且仅当u?7,t?
4
时取得等号。
5
2
2
b
?<
br>?
3
?
?
22
解法三:
a?b?ab?
?<
br>a?
?
?
?
b
?
?3
??
2
?
?
2
?
?
b3
令
m?a?,n?b
,即
m
2
?n
2
?3
22
设<
br>m?3cos
?
,n?3sin
?
,则
a?sin
?
?3cos
?
,b?2sin
?
故
2a?b?4
sin
?
?23cos
?
?27sin
?
?
??
?
解法四:利用余弦定理构造三角形
设
?ABC
的三边分别为
a,b,c?3
,由
a
2
?b
2
?a
b?3
得
C?60
o
由正弦定理
abc
???2
,故
a?2sinA,b?2sinB
sinAsinBsinC
故
2a?b?2
?
2sinA?2sinB
?
?4sinA?4si
n120
o
?A?5sinA?3cosA?27sin
?
A?
?<
br>?
其中
tan
?
?
故
2a?b?
?
?
33
2
?
?
?
?
,故取
?<
br>?
?
0,
?
,
?
?
?
?A?
?
?
?
53
6
3
??
??
?
3
?
,27
?
?
2
?
评注:本
题是很常见的最值问题,解法一、解法二是常规的两种方法,解法三利用三角换
元,解法四构造三角形的
方法不仅求出了最大值,还取到了最小值。
好题速递242题
(20
15全国联赛2)若实数
?
满足
cos
?
?tan
?
,则
为 .
1
?cos
4
?
的值
sin
?
解:由
cos
?
?tan
?
得
cos
2
?
?sin
?
,
1sin
2
?
?cos
2
?
4
?cos<
br>?
??sin
2
?
?sin
?
?1?1?cos2
?
?2
sin
?
sin
?
评注:
这里用了1的逆用,简化了计算,当然也可以把
sin
?
,cos
?
都算出来,不过计算量
比较大。
好题速递243题
(201
5全国联赛4)在矩形
ABCD
中,
AB?2,AD?1
,边
DC<
br>上(包含
D,C
)的动点
P
与
uuuruuur
uu
uruuur
CB
的延长线上(包含点
B
)的动点
Q
满足<
br>DP?BQ
,则
PA
g
PQ
的最小值
为
.
uuuruuur
解:不妨设
A
?
0,0
?
,
B
?
2,0
?
,D
?
0,1
?
,则
P
?
t,1
??
0?t?2
?
,则由
DP?BQ
得
Q
?
2,?t
?
,
故
PA?
?
?t,?1
?
,PQ?
?
2?t,?t?1
?
2
uuuruuur
?
1
?
33
PA
g<
br>PQ??
?
?t
??
2?t
?
?
?
?1
??
?t?1
?
?
?
t?
?
??
?
2
?
44
uuuruuur
评注:坐标法解决向量
问题是常见方法。
好题速递244题
(2015
K?
全国联赛6)在平面
直角坐标系
所对应的平面
xOy
中,点集
域的面积
?
?x,y
?
|
?
x?3y?6
??
3x?y?6
?
?0
?
区
为 .
解:设
K
1
?
?
?
x,y
?
|x?3y?6?0
?
先考虑
K
1
在第一象限中的部分,此时有
x?
3y?6
,故这些点对应于图中的
?OCD
及其内
部,由对称性知,
K
1
对应的区域是图中以原点
O
为中心的菱形
ABCD
及其
内部
同理设
K
2
?
?
?
x,y
?
|3x?y?6?0
?
,则
K
2
对应的区域是图中以
O<
br>为中心的菱形
EFGH
及其
内部。
由点集
K
的定义知,
K
所对应的平面区域是被
K
1
,
K2
中恰好一个所覆盖的部分,因此本
题所要求的即为图中阴影区域的面积
S
?
33
?
由直线
CD:x?3y?6
,直线
G
H:3x?y?6
得交点
P
?
,
?
?
2
2
?
由对称性知,
S?8S
?CPG
?8??4??24
1
2
3
2
好题速递245题
(20
15全国联赛7)设
?
为正实数,若存在
a,b
?
?
?a?
b?2
?
?
,使得
sin
?
a?sin
?
b?2
,
则
?
的取值范围是 .
解:由
sin
?
a?sin
?
b?2
知,
sin
?
a?sin
?
b?1
而
?
?<
br>a,
?
b
?
?
?
??
,2
???
,故题目条件等价于:
存在整数
k,l
?
k?l
?
,使得
??
?2k
?
?
?
2
?2l
?
?
?
2
?2
??
①
当
?
?4
时,区间
?
??
,2
??
?
的长度不
小于
4
?
,故必存在
k,l
?
k?l
?
满
足①式
当
0?
?
?4
时,注意到
?
??
,2
??
?
?
?
0,8
?
?
,故仅需要考
虑如下几种情况:
(i)
??
?
?
2
?2
??
?
2
?2
??
,此时
?
?
15且
?
?
,无解
24
95
?
?
?
42
13913
?
?
?
,得
?
?
?4
424
(ii)
??
?2
?
?
?
2
?4
?
?
?
2
?2
??
,此时
(iii)
??
?4
?
?
综上,可知
?
2
?6
?
?
?
2
?2
??
,此时
9513
?
?
?<
br>或
?
?
424
好题速递246题
(2015全国
联赛9)若实数
a,b,c
满足
2
a
?4
b
?2<
br>c
,
4
a
?2
b
?4
c
,则
c
的最小值
是 .
解:设<
br>2
a
?x,2
b
?y,2
c
?z
,则
x,y,z?0
由条件知
x?y
2
?z
,
x<
br>2
?y?z
2
故
z
2
?y?x
2
?z?y
2
故
z?
y
4
?y
2y
2
??
2
?z
2
?2y
2
z?y
4
1
?
2
11
?
1
3
3
32
?
?
2y??
?
??32?
4
?
yy
?
44
2
1
3
3
2
1
当且仅当
2y?
,即
y?
3
,
z
的最小值为 <
br>y
4
2
3
3
25
由于
c?log
2
z
,故
c
的最小值为
log
2
?log
2
3?
43
评注:本题又是“三个字母两个方程,少一个合情合理”的问题。
在处理的时候用到了三
元均值不等式
a?b?c?3
3
abc
好题速递247题
rr
rr
rrrr
(2015安徽全
国联赛3)设平面向量
a,b
满足
a,b,a?b?
?
1,3
?
,则
a
g
b
的取值范围
是
.
rrrr
rr
1
?
rr
2
r
2
r
2
?
17
解法一:由于
a
g
,当
a?
3,b?3,a?b?1
时取得等号
b?
?
a?b?a?b
???
2
?
2
?
rrrr
rr
1
?rr
2
rr
2
?
9
又
a
g
b
?
?
a?b?a?b
?
?
,当
a?b?3,a?b
时取得等号
4
??
4
rr
?
179
?
故
a
g
b?
?
?,
?
?
24?
uuurr
uuurr
uuurrr
解法二:取平面内
OA?
a
,
OB??b
,则
AB?a?b
uuuruuur于是问题转化为在同心圆环(
1?r?3
)内的两点
A,B
之间的距离在
?
1,3
?
之间,求
?OA
g
OB
的取值
范围。
(评注:又是一个点发出的两个向量做点积,极化恒等式又有用武之地啦!)
uuu
ruuuruuuur
2
1
uuur
2
OA
g
OB
?OM?AB
,其中
M
是线段
AB
的中点
4
AB
2
如图所示,由圆的垂径定理得,
OM?OA?
<
br>4
22
当
A,B
位于半径为3的圆周上,且
A
B?1
时
OM
2
取得最大值为
3
2
?
当<
br>O,M
重合时,
OM
2
取得最小值为0
?
35?
所以
OM
2
?
?
0,
?
?
4
?
135
?
44
因此
0??OM?AB?
9
4
u
uuur
2
r
2
1
uuu
4
uuuruuur?
917
?
rr
?
179
?
351
?
,即
OA
g
,即
OB?
?
?,
?
a
g
b?
?
?,
?
44
42
???
24
?
好题速递248题
在平面
直角坐标系中,已知点
P
?
3,0
?
在圆
C:x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2
?28?0
内,动直线
AB
过点
P
且交圆
C
于
A,B
两点,若
?ABC
面积的最大值为16,
则实数
m
的取值范围是
.
解:
C:x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2<
br>?28?0?
?
x?m
?
?
?
y?2
??32
22
C
O
H
P
B
AB?232?CH
,
2
1<
br>故
S
?ABC
??232?CH
2
?CH??CH
2
?16?16
2
?16
2
2
A
??
故
?ABC
面积的最大值为16,即
CH
能取得4。
由图象可知,
CH?CP?R
,故
4?CP?42
解不等
式
16?
?
3?m
?
?
?
0?2
?
?32
得
3?27?m?3?23
或
3?23?m?3?27
22
好题速递249题
如图,已知边长为1的正
?A
'BC
的顶点
A'
在平面
?
内,顶点
B,C
在平面
?
外的同一侧,
点
B',C'
分别为
B,C
在平面
?
内的投影,设
BB'?CC'
,直线
CB'
与平面
A'CC'
所成的角为
?
。若
?A'B'C'
是以角
A'
为直角的直角三角形,则
tan
?
的取值范围
是
.
解法一:如图建系,设
B
?
0,b,m
?
,
C
?
c,0,n
?
,则
?
b
2?m
2
?c
2
?n
2
?1
?
?
o
?
?
0,b,m
?
g
?
c,o,n
?
?1?1?cos60
?
0?m?n
?
?
因为
m
n?
1
2
且
0?m?n
,故
m?
2
2
11
,故
m?
22
又因为
c
2
?n
2
?1
,故
n?1
,又
mn?<
br>?
23
?
12
又因为
tan
?
?b?1?m
2
,
?m?
,故
tan
?
?
?
,
?
?
22
22
??
解法二:注意到
ta
n
?
?cos?BA'B'?sin?BA'z
考虑
?BA'z
为直线
BA'
与 平面
ACC'
所
成的角,显然其上界(无法取得)为
60
o
,此时
sin?BA'z?
?
23
?
3
;其最小值当
BB'?CC'
时取得,为45
o
,因此所求的范围为
?
,
?
?
22
2
??
好题速递250题
uuuuruuur在
?ABC
中,
BC
边上的中垂线分别交
BC,AC
于
D,M
,若
AM
g
BC?6
,
AB?2
,
则
AC?
.
解:取
AB?a,AC?
b
作为基底向量,则
AD?
uuuurr
设
AM?
?
b
uuurruuurr
uuur
1
rr
a?b
,
2
??
uuuuruuurrrrr
rrr
由
AM
g
BC?6
得
?
b
g
b?a?6
,即
?
a
gb?
?
bgb?6
①
??
rr
rr
?<
br>1
r
?
rr
uuuuruuur
?
ab
1<
br>r
2
?
r
2
??
?
b
g
b
?a?0
?a?
?
a
g
b??
?
而
MD<
br>g
BC?0
得
?
,整理得
?
??
b?0 ②
?
22
?
22
??
??
??
r
2
uuur
将①式代入②式得
b?16
,故
AC?4<
br>
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