高中数学教材知识体系与框架.doc

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必修一

































概念
表示方法：列举法、描述法
集合



基本关系：交集、并集、补集、全集、属于




基本运算 交、并、补







元素的概念、个数
集合 与

第
概念
定义域、值域对应关系
函数 概

一

章
念
函数及其定义

区间：闭开，半开半闭













展示发放：图像法、列表


单调性
函 数 的
基 本 性
增函数



减函数
最大、最小值定义义






质
奇偶性；判
断方法

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a
r
a
s

a
r
a
a
rs
s
指数与指数幂的运算
( a
r
( ab
)
s
)
r
第二章


























































r
b
r
整数指数幂

指数幂
指数函数
有理数指数幂





无理数指数幂




互





定义


定义域 R



为
反
函
数

指数函数性
质


















性质


值域（ 0,+∞）







图像



过定点（ 0，1）









对数底数
真数定义






单调性



对 数
与 对
数 运

log
a
( M N ) log
a
M log
a
N
运算

基
本
初




算





log
a
M
log
a
M

N


log
a
M
n
log
a
N
对数函数







等






nlog
a
M




定义




定义域






函
对 数 函
数 及 性
质

图象
值域

过点（ 1， 0）
性质

单调性
定义：










幂函数







过（ 1,1）






性质
奇偶性




单调性

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第三章
]
函
数
的
应
用











定义






关系
方程的根与函数的零点




零点定理
函 数 与



程

二分法定义


用二分法求方程的近视

根

求根步骤







几类不同增长的函数模型


函 数


模 型
函数模型的应用实例

及 应


用


建立实际问题的函数模型

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必修二




第一章





锥、柱、台、球的结构特征









空间几何体的结构





简单组合体的结构特征
正视图

三视图







侧视图
空间几何体的三视
空
间
几

俯视图


图与直观图

斜二侧画法

何
体








直观图
平行投影与中心投
影



锥、柱、台的表面积与体积






空间几何体











的表面积与
体积
球的表面积与体积

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第二章

平面：公理 1、公理 2、公理

相交直线





3












































共
面
平行直线：
空间中直线与直线的位置

关系
异面直线



公理 4
空间点、直线、平面间的位
置关系



































平行


平面与平面间的位
置关系

相交



空间中直线与


直线在平面
内
相交
平面的位置关

系
平行




点

、

直线与平面平行的判定定理







直

线

、

平



直线、平面平行的

平面与平面平行的判定定理





面
间
的
判定及性质


























直线与平面平行的性质定理





位

置

平面与平面平行的性质定理





关

系
直线与平面垂直的判定定理





平面与平面垂直的判定定理
直线、平面垂直






的判定及性质







直线与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理

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第三章











l

1
l
2
k
1





























k
2
,b
1

b
2

直
线
与
方
程

倾斜角
0°≤ α ＜180°
直线的倾斜角与斜率
斜率
k tan
两条直线平行
与垂直的判定

l
1
l
2

k
1
k
2

1
点斜式
y
y
1
k(x x
1
)

截距式
y
kx b


直线的方程

两点式
y
y
1
x x
1
y
2
y
1
x
2
x
1
一般式
Ax By C

0
两条直线的交点坐标

A
1
x B
1
y C
1

0
A
2
x B
2
y C
2

0
两点间的距离公式
|AB|

(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2
直线的交点坐
标与距离公式
点到直线的距离

d

Ax
0

By
0

C
A
2
B
2
平行线间的距离

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第四章











圆的标准方程





x a
2

y b
2

般 方
r
2
圆
圆的方程
的 一 程















x
2
y
2

Dx Ey F
d
d
0
r
r

l 与 C相
交
l 与 C相
切
直线与圆的位置关系

圆







与



d r
相交
R

l与 C相离
r

方
程
直线、圆的位置关系























直线与圆的方程
的应用

d R r
内切
d
R r
圆与圆的位置关系
外切
d
R r

内含
d
概念
相离
d
R r

R r
空间直角坐标系






空间两点间的距离
d
( x
2
x
1
)
2
( y
2
y
1
)
2
( z
2
z
1
)
2
公

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辗转相除法与更相

减损术


必修三
算法的概念
第一章


秦久韶算法

算法与程序框图

顺序结构



程序框图








条件结构
算

法
初





循环结构






步
基本算法语句
输入语句、输出语赋值语句
条件语句、循环语句
















算法案例

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第二章
统
计
随机抽样
用样本估计总体
变量间的相关关系
抽签法






简单随机抽样











随机法
系统抽样









求极差







分层抽样 决定组距组数









用样本频率分布估
将数据分组


计总体分布






列频率分布表








画频率分布直方图




用数本的数字特征估


众数，中位数，平均数
计总体的数字特征








标准差
变量间的相关关系





正相关




两个变量的线性相关 负相关






回归直线

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第三章
概
率
随机事件的概率
随机事件的概率
频率
意义
概率
性质

必然事件
不可能事件
任何两个不同事件互斥
基本事
件特征
古典概型
任何事件都可表示为基本事件的和
概率
定义
几何概型
概率

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必修四



正角




第一章





任意角









负角



零角
任意角和弧度制
弧度制





























三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数


任意角的三角函数





公式一：终边相同的角同一三角函数值相等
周期性
同角三角函数关系
单调性
三




角

正弦为奇









函

数



正弦余弦函数的性质


奇偶性
三角函数的图像与性
正弦余弦函数的图像
最大最小值


质


余弦为偶
正切函数的性质与图像
周期

奇偶性










单调性
公式二

值域
三角函数的诱导公式



























公式三


公式四


公式五


公式六


振幅

周期

函

数

2
初相

相位





y

sin
的图像
x
x
1
2
频率
f





三角函数模型的简单应用

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第二章
平
面
向
量














向量的物理背景与概念
有向线段



零向量，单位

平面向量的实际背
向量的几何表示

向量


景及基本概念

平行向量

相等向量与共线向
量
向量加法三角形法则

向量加法运算及几

何意义 向量加法平行四边形法则
向量减法运算及几何
平面向量的线性运
a a


意义

算
向量数乘运算及几
a a a

何意义


a b a b
平面向量基本定理





平面向量的正交分解极坐标表示
平面向量的基本定



理及坐标表示

平面向量坐标运算

数

量

积

a b

a b cos a 0,b 0,0

180
共线的坐标表示




物理背景与定义
投影


平面向量的数量积



a x , y

坐标表示，模，夹

角
a
x
2
y
2

平面几何中的向量
cos
a b
x
1
x
2
y
1
y
2

方法

a b
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2

平面向量应用实例
向量在物理中的应用举例

学习必备








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cos

cos cos sin sin
两角差的余弦公式





cos

cos cos sin sin

第三章

sin sin cos cos sin

两角和与差的正弦
两角和与差的正
弦，余弦和正切公
式


sin

sin

cos cos sin

余弦正切公式
tan


tan

tan



1 tan tan
tan
1
tan




tan





tan tan
三
角
恒
等
变
换



sin2
二倍角的正弦余弦

2sin cos









正切公式

cos2 cos sin

2 2
2cos 1 1 2sin

2 2










tan 2



















2 tan
1
tan
2

简单的三角恒等变换

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c
2
a
2



必修五
第一章


正弦定理和余弦定
理
解
三

角
形
b
2
2ab cosC
应用举例
正弦定理
余弦定理
a b c
2 R
sin sin sin C










a
2
b
2
c
2
2bccos
2 2 2
b a c 2accos

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第二章




数列项




数列的概念与简单
表示法
有穷数列无穷数列




定义


等差中项
等差数列


b
a c
2





通项
a
n
a
1

n 1 d
a
m
m
a
n
数列的应用
1
数
列



公差
d

a
n
n

n a
1
S
n
等差数列的前
n 项
和


2

n n
2




S
n
na
1


d


定义

等比数列




公比
q




n


m
a
n
a
m

等比中项
a
n
2
a
p
a
q
a
1
q
n 1


通项

a
n

等比数列前
n

项和
na
1
q 1
S
n
a
1
1 q
n
1 q
a
1
n
1 q

aq
q

1

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必修五







a b 0

第三章
a

b




不等式与不等关系

















































a

b

0

a

b
a b 0

a

b
ax
2
bx c

0
不


一元二次不等式及
等


其解法
ax
2
bx c

0
式











ax
2
bx c

0
a b 2 ab
基本不等式

















最大最小值问题





一元一次不等式
（组）与平面区域
目标函数
二元一次不等式
（组）与简单线性
规划问题



线性目标函数




线性规划

简单的线性规划问题

可行解




可行域




最优解

n
学习必备


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x
i
y
i
nx y
b



i 1
i 1
n

2


x
i
2
nx

选修 1-2
回归分析的基本思


a y bx
想及初步应用

样本中心
总偏差平方和
第一章


统



计
案
例












































回归方程
y



bx

a
分类变量随机变量

K
2

越大，说明两个分类变量，
独立性检验的基本
思想与初步应用

关系越强，反之，越弱。



独立性检验





归纳推理



第二章






















合情推理






提出猜想







合情推理与









类比推理




演绎推理
大前提




推
理
与
演绎推理




小前提


证
明
结论





综合法



直接证明


直接证明与间接证


分析法
明


间接证明：反证法

学习必备







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第三章





复数，虚数单位

数系扩充与复数概








z=a+bi





数
系
的
扩
充
与
复
数
的
引
入











数系扩充与复数概
念







表示




复数的几何意义



























加减法运算及几何
意义
z
1
±z
2
= (a +
复数代数形式的四
则运算
b)± (c + d)i；

z
1
.z
2
= (a+bi)·(c+di)＝
（ ac-bd） + (ad+bc)i；
1
÷

z
2




乘除运算
( a bi )(c di )
z








=

(c di )(c di )
第四章


















ac bd bc ad
i
2
c
2
d
2
c
2
d

(z

2
≠0)
共轭复数
流程图





框

图







结构图

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选修 1-1












真命题： 判断为真的语句

命题
第一章
系

假命题： 判断为假的语句
原命题
逆命题
四种命题
否命题
逆否命题
充分条件和必要条件


命题及其关系












四种命题及其关




常





用
逻
辑
用
语
充分条件和必要条件






充要条件


且


简单的逻辑连接词















或



非



全称量词

全称量词与存在量词




x

M , p( x)
































存在量词





x

M , p( x)
含有一个量词的命题的否定






















x M , p(x)
曲线的方程
曲线与方程

学习必备








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求曲线的方程
义










定
，
x
2
2

|MF
1
| |MF
2
| 2a,(2a | FF
12
|)
标 准 方 程
y
2

椭圆


范围
b 0



a b
2

1 a

a x a

且


b y b

对称性关于

简单几何性质
顶点













x
轴、

y

轴、原点对称



2

0,b

1

a ,0

2

a,0

1

0, b
圆
锥
曲
线
与
方
程

双曲线
定

义
||MF | |MF || 2a,(2a |F F |)


1

2

1

2
c
离心率
e
1
b
2
2
0 e 1
， 标 准 方

程




a a

x
2


y
2

范围
x

a
或
x a
，

y

R
a
2
b
2
1 a 0,b

0

对称性关于
x
轴、

y

轴对称，关于原点中心对称

顶点

1

a,0
、

2

a,0

渐近线
y
b
x
简单几何性质




定义，标准方程
y
2
2 px p 0


简单几何性质




a
离心率

e
c
1
b
2
2
e 1
a a


范围
x
0
对称轴
x
轴
顶点
0,0
焦点坐标

离心率
e
1

准线
x
p
2




抛物线

学习必备















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第三章

变化率与导师
=
导
数

及

其
应
用



导数的几何意



几个常用函数的导数


基本初等函数的导数公式与运算法则①

C
'

导数的计算
0
；②


(x
n
)
'
nx
n 1

； ③
(sin x)
'
cos x
；④
(cos x)
'
sin x
；⑤
(a
x
)
'
a
x
ln a
；⑥
(e
x
)
'
e
x

； ⑦
(log
a
x)
'
1
；⑧

单调
(ln
性
x
'
与
)
导数
1

xln a


增函数



x

导数在研究函数中
函数的极值与导数 减函数

的应用




函数的最大最小值
与导数






生活中的优化问题


举例







曲边梯形的面积



定积分的概念
概念：


b

b


为常数

kf ( x)dx
f ()dxk
)

a

a

性质
b

b

b


[ f
1
( x) f
2
( x)]dx
f
1
(x)dx f
2
( x)dx


a a
b

a

c b




f ( x)dx f ( x)dx

其中
f ( x)dx (
a

a

a c



微积分基本定理





几何中的应用
定积分的简单应用
物理中的应用

学习必备









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真命题： 判断为真的语句


选修 2-1















命题

第一章
系
命题及其关系
假命题： 判断为假的语句
原命题
逆命题
四种命题
否命题
逆否命题
充分条件和必要条件

四种命题及其关




常





用
逻
辑
用
语
充分条件和必要条件






充要条件


且


简单的逻辑连接词















或



非



全称量词

全称量词与存在量词




x

M , p( x)
存在量词





x

M , p( x)
含有一个量词的命题的否定

x M , p(x)

学习必备














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曲线的方程
第二章
曲线与方程


求曲线的方程

定

义
|MF| |MF | 2a,(2a | FF |)



1

2

1 2
椭圆



















， 标 准 方 程

x
2

y
2
2

范围




a x a
且

b

y

b
1 a b 0

a
b

2



对称性关于
x
轴、

y

轴、原点对称



简单几何性质
圆
锥
曲
线
与
方
程

双曲线






顶点

2
0,b
1
a ,0
2
a,0
1
0, b
1
定

义
||MF | |MF || 2a,(2a |F F |)
1

2

1

2
离心率
e


c
a

1 b
2
a
2


0 e

， 标 准 方 程
x y
2

2 2

2

范围
x


a
或
x a
，

y R


1 a 0,b 0


a b


对称性关于
x
轴、

y

轴对称，关于原点中心对称
、



顶点
1
a,0
渐近线
y



2
a,0
b
a
1
简单几何性质

x
离心率

e
c


b
2
2
e 1
a a
定 义 ， 标 准 方 程





y
2

抛物线


2 px

p

0
范围
x
0
对称轴
x
轴
顶点
简单几何性质


0,0
焦点坐标

离心率
e
准线
x



1

p
2

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空间向量及加
第三章
空
间
向
量
与
立
体
几
何


空间向量与运
算





立体几何中的
向量方法
减运算
空间向量的数
乘运算
空间向量数量
及运算
空间向量的正
交分解机坐标
表示
空间向量运算
的坐标表示

学习必备





选修 2-2







第二章




























































欢迎下载
归纳推理
合情推理










类比推理


大前提


演绎推理





小前提


推
理
与
证
明
间接证明：反证法
结论












综合法





直接证明









分析法




归纳奠基
数学归纳法






归纳递推

学习必备














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选修 2-2



变化率问题



第一章
=
导
数

及

其
应
用
变化率与导师
导数的概念



导数的几何意



几个常用函数的导数


基本初等函数的导数公式与运算法则①

C
'

0
；②
导数的计算


(x
n
)
'
nx
n 1

； ③
(sin x)
'
cos x
；④
(cos x)
'
sin x
；⑤
(a
x
)
'
a
x
ln a
；⑥
(e
x
)
'
e
x

； ⑦
(log
a
x)
'
1
；⑧

xln a

单调
(ln
性
x
'
与
)
导数
1

增函数



x

导数在研究函数中
函数的极值与导数 减函数

的应用




函数的最大最小值
与导数





生活中的优化问题



举例







曲边梯形的面积



概念：


定积分的概念


b

b
a
kf ( x)dx k

a
f (x)dx(k为常数 )
性质

b

b

b

[ f
1
( x) f
2
( x)]dx f
1
(x)dx f
2
( x)dx

a a a
b

f ( x)dx

c

b

其中

f ( x)dx

f ( x)dx (
a
a

a

c

微积分基本定理
几何中的应用
定积分的简单应用
物理中的应用

学习必备






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选修 2-3





第一章
N = m + n
计
数
原
理





分类加法计数



原理与分布乘


法计数原理


N = m * n










排列定义







排列计算公式
！

n
排列与组合
A
m

n
n m !

定义





公式

C
n
m
n n 1 n 2 n m 1
组合
m!






性 质


C
m
C
n m


n n

内

容
a b
n
C
n
0
a
n
C
n
1
a
n 1
b C
n
2
a
n 2
b
2
C
n
r
a
n r
b
r
C
n
n
b
n
n N

二项式系数


二项式定理

通项
T
r 1
C
n
r
a
n r
b
r
0 r n, r N , n

N






杨辉三角
对称性

与二项式
系数的性
质
增减性与最大
值

各项系数之和

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第二章







离散型随机变量








离散型随机变量

及其分布列















分布列

定义
条件概率
P(B A)
二项分布及应用

P(AB)
P( A)
,P(A) 0.






































随
机
变
量
及
其
分
布




事件的相互独立性
独立重复实验与二项分布



P( X k) C
n
k
p
k
(1 p)
n k
.
E(aX b) aE( X )

b.
若
X
服从两点分布，则
均值

E( X )

p.
若
X ~ B n, p
，
E (X ) np.

离散型随机
变量的均值
与方差




D (aX b)

a
2
D ( X ).
若
X
服从两点分布，则
方差



D ( X ) p(1 P).
若
曲
1

X ~ B n, p
，
np(1 P).




则
正



态

线
2
2



D(X )


x


f x
2


e
2



, x R





正态分布











正态分布





特点

学习必备









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第三章










统
回归分析
计
案
例






独立性检验




























选修 4-1




第一章





定理





平行线等分线段定理





推论 1




相
似
三
角
形
的
平行线分线段成比例
定理
推论 2



定理









判
定
及
有
关

推论












相似三角形的性质





性
质
AA









相似三角形的判定









ASA
SS
直角三角形的射影定
理

学习必备






























欢迎下载
第二章
















圆周角定理：推论
1、推论 2



直
线
与
圆
的
质
量

定理 1





圆内接四边形的性质

定理 2



与判定定理

判定定理、推论





判定定理，推论

1、推论 2
圆的切线的性质与判
定定理



关

系







判定定理













弦切角的性质









相交弦定理



割线定理
与圆有关的比例线段



切割线定理



切线长定理

基本性质
1.
对称性
a

学习必备





b b a
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b, b c




2. 传递性
a
3.
可加性
a

a c

选修 4-5



b a c b c
第一章










b
,
c

0
ac bc
a b, c 0ac bc
4.
可积性
a

5. 异向正数 可乘性
a b 0,c d 0 ac bd

nn
6. 平方法则 a b 0 a b ( n N , 且n 1)

7.开方法则
a b 0
8.倒数法则
a b 0



n
a
n
b( n N ,且 n
1)


1
a
1

a b
0
b

a b
1
a
1
b
不等式
























不
等
式
与
绝
对
值
不
等
式
基本不等式
三个正数的算术几何平
均 不

2

定理 2




ab
a， b
R


a b c
3

3
abc




等式
(a、 b、c R )




定
1
a

理
b a b a b .
绝对值三角不
等式












定理 2
绝对值不等式
绝对值不等式的解法 律：找零点、划区间、分段讨
论去绝对值 、每段中取交集，最后取各段的并集

学习必备









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第二章































证
明
不
等
式
的
基
本
方
法








比较法
综合法与分析法







反证法与放缩法







定理 1
第三章






















二维形式柯西不等式

(a
2
b
2
)(c
2
d
2
) ( ac bd )
2
(a, b, c, d R).

定理 2
柯
西
不
等
式
与
排
序
不
等
式
当且仅当
ad





bc
时，等号成
立
定理 3




一般形式的柯西不等式

















排序不等式

学习必备










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第四章











数
学








数学归纳法
归
纳
法
证
明
不
等
式

用数学归纳法证明不等












选修 4-4


第一章







平面直角坐标系

概念

极坐标与直角坐标互换


x
极坐标系
( ,)
2
cos ,

y
2

sin
极

x

2

y ,
tan

y
( x 0).

坐
标

x
简单曲线的极坐标方程

圆的极坐标方程




直线的极坐标方程
极坐标系与球坐标系简介

学习必备








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第二章









曲线的参数方程




























圆的参数方程





x a

r cos
y b

r sin
参数方程和普通方程的互换


x






f (t),
椭 圆 参 数 方 程

参
数
方
程




y g (t),



x a cos
y bsin
双曲线参数方程
x a sec
y b tan
抛物线参数方程
圆锥曲线的参数方程














x b cot
y a csc
直线的参数方程












渐开线与摆线