初高中数学培训班衔接教材学生版

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初高中数学衔接点
1．立方和与差的公式。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数 不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不
作要求，但高中教材许多化简求值都要 用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化 是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，但二次函数却是高中贯穿始 终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区
间、求最大、最小值，研究闭区间上 函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联 系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度
不大的应用题型 ，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个 函数关于原点，轴、
直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不 作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查
常成为高考综合 题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦 定理等）初中生大都没有学习，而
高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授
。
1.1 数与式的运算

1.1.1 绝对值

两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上数
a
和数
b< br>之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一 ：由
x?1?0
，得
x?1
；由
x?3?0
，得
x ?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，∴x＞4．

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综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1－1，
x?1
表示x 轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|
＝|x－1|；|x－3|表示 x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
义即为
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P
|x－3|
A
P
C
B
D
在点D(坐标为4)的右
侧．
x
0
1 3 4
x
x＜0，或x＞4．
|x－1|

图1．1－1
1．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

2..化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

（1）立方和公式
(a?b )(a
2
?ab?
2
b)?
3
a?
；
3< br>b

（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?
2
b)?
3
a?
；
3
b

（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?
2
b?
2
c2?(ab?bc?
；
)

ac
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3a
2
b?
；
3
b

（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a3
?3a
2
b?3a
2
b?

3
b
例1 计算：
(x?1)(x?1)(x
2
?x? 1)(x
2
?x?1)
．
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x
2
?1)
2
?x
2
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
1．选择题：
（1）若
x
2
?
1
2
mx?k
是一个完全 平方式，则
k
等于 （
（A）
m
2
（B）
11
4
m
2
（C）
1
3
m
2
（D）
16
m
2

（2）不论
a
，
b为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 （
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
２．已知
x?y?1
，求
x
3?y
3
?3xy
的值．

1.1.3．二次根式
1．分母（子）有理化
）





）

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2．二次根式
a
2
的意义
例1 计算：
3?(3?3)
．
例2 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
2
和
22－6
.
6?4
1 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
x
2
3?2
,y?
3?2
x?1?
5
3若
x?，则
2
x?1?
2 已知
x?
3?2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
3?2
x?1x?1?x?1
??
______ __．
x?1x?1?x?1
a
2
?1?1?a
2
4.
b ?
，求
a?b
的值．
a?1
5 若
?a?b?2ab??b??a
，则（ ）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

6 计算
a?

1
等于（ ）（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

a
1.1.４．分式

1．分式的意义
形如
AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
BBB
AA?M
?
BB?M
；
AA?M
?
BB?M
2．繁分式
．
上述性质被称为分式的基本性质．
m?n?p
这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．

x(x?2)xx?2
111
??
例2 (1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
???
（2）计算：；
1?22?39?10
11
??
(3)证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4
c
例3 设
e?< br>，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a
，
a
b
像
c?d
?
11
?
．
n(n?1)2
1．填空题：

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1
11
?
(
?
对任意的正整数n，)；
n(n?2)
nn?2
2x?y2x
6
54
?
，则 ＝（ ） （A）１ （B） （C） （D） 2．若
y
x?y3< br>5
45
x?y
3.正数
x,y
满足
x
2?y
2
?2xy
，求的值．
x?y
x
2
?3 xy?y
2
4若
x?xy?2y?0
，则
?
__ __；
x
2
?y
2
1111
5计算
????< br>1?32?43?59?11
1
111
???
6试证：对任意的正整数 n，有＜
4
．
1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)
22

1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分 解法，另外还应了解求根法
及待定系数法．
例1 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6

例2 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
1
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； 2
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
3
x
2
?22x?3
； 4
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x)? 12
．
4．
?ABC
三边
a
，
b
，c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?b c?ca
，试判定
?ABC
的形状．
5．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．


2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
b
x
1
＝x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （2）x
2
－2x＋a＝0．

1．试判定当m取何值时，关于x的一元二 次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两
个相等的实数根？没有实数根

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

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c
b
如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两 根分别是x
1
，x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
，x
1
·x
2
＝
a
a
例1 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有 两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根
的积大21，求m的值．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
2
∴(x
1
＋x
2
)－3 x
1
·x
2
＝21，
即 [－2(m
－
2)]
2
－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
例2 若x
1
和x
2< br>分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
11
（1）求| x
1
－x
2
|的值； （2）求
2
?
2
的值；（3）x
1
3
＋x
2
3
．
x
1
x
2

1已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方 程2x
2
－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长
等于 （ ） （A）
3
（B）3 （C）6 （D）9 < br>2如果关于x的方程x
2
－2(1－m)x＋m
2
＝0有两实数根α， β，则α＋β的取值范围为
11
（ ） （A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
22
c
3已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx
2
＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是
4
（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
4．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
，求实数k的取值范围．
5．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（ a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
x?x
（1）| x
1
－x
2
|和
12
；
2
33
（2）x
1
＋x
2
．

6．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．

2．2 二次函数
2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质

二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac?b
2
)
，对称轴为直线x（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为< br>(?,
2a4a
b
bbb
＝－；当x＜
?
时，y随着 x的增大而减小；当x＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
时，
2a
2a2a2a
4ac?b
2
函数取最小值y＝．
4a
b4ac?b
2
2
)
，对称轴为直线x（2）当a＜0时，函数y＝ax＋ bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?,
2a4a
2

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b
bbb
＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x的增大而减小；当x＝
?
时，
2a
2a2a2a
4ac?b
2
函数取最大值y＝．
4a
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口 大小及方向；h决定了二次函数图
象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象 的上下平移，而且“k正上移，k负
下移”．

例1 把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x
2
的图像 ，
求b，c的值
b
2
b
2
解：y＝x＋bx＋c＝(x+ )
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
4
2< br>bb
2
2
y?(x??4)?c??2
的图像，也就是函数y＝x2
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
2
例2 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤ a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最
小值时所对应的自变量x的值 ．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4) ，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时
x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2． 2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a
2
；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函 数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a< br>2
；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

y
y
y
y

2
4

a
4




4

2
a


a
2




x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
a
－2
－2








③
②
①






图2.2－6


1 函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．已知函数y＝－x
2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当
函数取最大（ 小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（ 3，－1），求二

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次函数的解析式．
解∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
解：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
1
．
2
1
2
31
2
3
所以，二次函数的表达式为y＝
x?x?，或y＝－
x?x?

2222
∴|－4a|＝2，即a＝
?
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
1
1 函数y＝－
2
(x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
2.对称变换

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例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函
数．

例3如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线AB CD移动一
周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
D
C
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．

P



A
B




分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．
解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，
1
y＝
AP?BC
＝x；
2
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，
11
y＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－x；
22
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，
11
y＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝x－4；
2
2
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，




2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有 两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中
22
x
2
,
2xy
,
y
2
叫做这个方程的二次 项,
x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项．

?
x
2
?4y
2
?4?0,
①
例1 解方程组
?

②
?
x?2y?2?0.
解：由②,得
x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是

?

?
x
1
?2,

?
y
1
?0，
?
x
2
?0,
< br>?
?
y
2
??1.
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时 ，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．
例2 解方程组
①

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?
x?y?7,

?

xy?12.
?

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解法一：由①，得

x?7?y.
③
把③代入②，整理，得

y?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是

?
2
?
x
1
?4,

y?3，
?
1
?
x
2
?3,

?
y?4.
?
2
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数 的关系，把
x,y
看作一个一元二次方
程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是

?
2
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?


?
y
1
?3;
?
y
2
?4.
1．解下列方程组:
?
y?x?5,
?
x?y?3,
（1）
?
2
（2）
?
2
?
xy??10;
?
x?y?625;
?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?
2.3.2 一元二次不等式解法
例1 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．
例2 已知不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx
2
?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3< br>，可知
a?0
，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两 根分别为2和3，
bc
?6
， ∴
??5,
aa
bc
?6
． 即
??5,
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c ?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

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整理，得

5x?x?6?0,
2
2

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5

1 解关于
x
的一元二次不等式x
2
?ax?1?0(a
为实数).
2
解:
?
?a?4
,
2
①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
x
1
?,x< br>2
?.

22
?a?a
2
?4
?a?a2
?4
所以,原不等式的解集为
x?
；
,
或
x?
2
2
②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a
2
?4
?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
2
2
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
2 已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n， 试将n用a表示出来．
解：∵y＝(x
－
a)
2
＋1－a
2
，
∴抛物线y＝x
2
－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．
（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值
n＝1－a
2
；
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值
n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值
n＝-2a+2.

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
AB DE
ABDE
?
=
如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题
ACDF
BCEF
的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB=2,BC=3,DF=4,
求
DE,EF
.
解
Ql
1
l
2
l
3
,
ABDE2
= =

,
BCEF3

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28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35

例2 在⊿ABC中，
D,E
为边
AB,AC
上的点，
DEBC
，
求证：
证明（1）
ADAEDE
.
??
ABACBC
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

图3.1-2
ADAEDE
??.

ABACBC
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
⊿ADE∽⊿ABC，
?
lDEBC,

ADAE
?
.
ABAC
过
E
作
EFAB
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
因而
DE?BF.

图3.1-3
AEBFDE
EFAB,???.

ACBCBC
ADAEDE
???.

ABACBC


例3 已知⊿ABC，
D
在
AC
上，
AD:DC ?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段
EC
的
中点在
BD
上.






ABBD
=
例4 在⊿ABC中，
AD
为∠BAC的平分线，求证：.
ACDC



角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两
边之比）.

1．如图，在⊿ABC中，∠BAC的外角平分线
AD
交
BC的延长线
ABBD
=
于点
D
，求证：.
ACDC



?

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2．如图，在⊿ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交B C的延长
DFAC
线于F.求证：.
=
EFAB



3.1．2．相似形
例5 如图,在直角三角形ABC中，∠BAC为直角，AD⊥BC.
求证：（1）AB
2
=B
D
·BC (2)AC
2
=DC·BC(3)AD
2
=BD·DC(射
影定理)




1.如图，已知⊿ABC中，AE：EB=1：3，BD： DC=2：1，AD与CE相交于F，
EFAF
+
则的值为（ ）
FCFD
13
A． B．1 C． D．2
2 2
2.如图，已知⊿ABC周长为1，连结⊿ABC三边的中点构成第二个三角形，再连
结第二 个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长
为（ ）
11
11
A． B． C．
2002
D．
2003

22
20022003

3.2
三角形的“四心”

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角 形的重心在三角形的内
部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，
它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交 于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定
在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角 顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC的外接圆，圆心O为三
角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的 交点.

1 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为
a、b、c
，则 三角形的内切圆的半径是_______
；
2S
____;
a?b?c

2若直角三角形的三边长分别为
a、b、c
（其中c
为斜边长），则三角形的内切圆的半径是

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a?b?c
___________. 并请说明理由.

2
3．3.1圆·
直线与圆相切时，如图，
PA,PB
为圆
O
的切线，得
PA?PB
,
OA?PA.
，且在R
T⊿
AOP
中，
PO
2
?PA
2
?OA
2
.





如图，
PT
为 圆
O
的切线，
PAB
为圆
O
的割线，我们可以证得⊿
PAT∽
⊿
PTB
，因而
PT
2
?PA?PB
.






例 如图，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中
点，求弦BD的长度。



设圆
O
1
与圆
O
2
半径分别 为
R,r(R?r)
，它们可能有哪几种位置关系？

图3.3-7

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3．3．2 点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的 所有点
组成的.例如，把长度为
r
的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转 一周就得到一
个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于
r
；同时，到定点的距离 等于
r
的所有点都
在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长
r
的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有 两
层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；
（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线 段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段
两个端点的距离相等的点，都在 这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

图3.3-11
例 ⊙O过两个已知点
A
、
B
，圆心
O
的轨迹是什么？画出它的 图形.
分析 如图3.3-11，如果以点
O
为圆心的圆经过点
A
、
B
，那么
OA=OB
；反过来，
如果一个点
O
到
A
、
B
两点距离相等，即
OA=OB
，那么以
O
为圆心，OA为半径
的圆一定经过
A
、
B
两点.
这就是说，过
A
、
B
点的圆的圆心的轨迹，就是到
A
、B
两点距离相等的点的轨迹，即
和线段
AB
两个端点距离相等的点的轨迹 .
答：经过
A
、
B
两点的圆的圆心O的轨迹是线段
AB< br>的垂直平分线.

练习
1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：
（1） 到定点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹；
（2） 到直线
l
的距离等于
2cm
的点的轨迹；
（3） 已知直线
ABCD
，到
AB
、
CD
的距离相等的点的轨迹.

2．画图说明，到直线
l
的距离等于定长
d
的点的轨迹.