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高中数学概念总结
一、 函数
1、 若集合A中有n
(n?N)
个元素，则集合A的所有不同的子集个数为< br>2
，所有非空真子集的个数是
2
nn
?2
。
?b4ac?b
2
?
b
?
二次函数
y?ax?bx?c< br>的图象的对称轴方程是
x??
，顶点坐标是
?
?
。用待定系数 法求二次函数的解析式
，
??
2a
4a
??
2a
2
时，解析式的设法有三种形式，即
f(x)?ax
2
?bx?c（一般式）< br>，
f(x)?a(x?x
1
)?(x?x
2
（零点式）)和
f(x)?a(x?m)
2
?n
（顶点式）。
2、

幂函数
y?x
m
n
，当n为正奇数，m为正偶数，m

3、 函数
y?x
2
?5x?6
的大致图象是

2.5]和[3，??)
，单调递减区间是
(??，2]和[2.5，3]
。 由图象知，函数的值域是
[0，??)
，单调递增区间是
[2，
二、 三角函数
1、 以角
?
的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角
?
的终边上任取一个异于原点的点
P(x,y)
，点P到原点
的距离 记为
r
，则sin
?
=
y
r
，cos
?< br>=
x
y
，tg
?
=
r
x
2
，ctg
?
=
x
y
，sec
?
=
r
r
，csc
?
=
y
x
。
2、同角三角函数的关 系中，平方关系是：
sin
倒数关系是：
tg
?
?
?cos
2
?
?1
，
1?tg
2
?
?sec
2
?
，
1?ctg
2
?
?csc
2
?< br>；
?ctg
?
?1
，
sin
?
?csc< br>?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1
；
相除关系是：
tg
?
?
sin
?
cos
?
，
ctg
?
?
cos
?
sin
?。
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3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：
sin(
3
??
?
)?
?cos
?
2
，
15
?ctg(?
?
)
=
tg
?
2
，
tg( 3
?
?
?
)?
?tg
?
。
4、 函数< br>（其中A?0，
?
?0）
的最大值是
A?B
，最小值是
B?A
，周期是
T?
y?Asin(
?
x?
?
) ?B
2
?
?
，频率是
f?
?
2
?
，相位是
?
x?
?
，初相是
?
；其图象的对称轴是直线?
x?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)< br>，凡是该图象与直线
y?B
的交点都是
该图象的对称中心。
5、

三角函数的单调区间：
??
?
?
3
????
2k
?
?
?
(k?Z)
，递减区间是
?
2k
?
?，2k
?
?
y?sinx
的递增区间是< br>?
2k
?
?，
(k?Z)
；
y?cosx
的 递增区
?
22
?
22
???
间是
??
??
?
2k
?
?
?
，2k
?
?
(k? Z)
，递减区间是
?
2k
?
，2k
?
?
?
?
(k?Z)
，
y?tgx
的递增区间是
?
k?
?，k
?
?
?
(k?Z)
，
?
22
?
y?ctgx
的递减区间是
?
k
?
，k
?
?
?
?
(k?Z)
。
6、
sin(
?

cos(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tg
?
?tg
?
1?tg
?
?tg
?

tg(
?
?
?
)?
7、二倍角公式是：sin2
?
=
2sin
?
?cos?

cos2
?
=
cos
2
?
?si n
2
?
=
2cos
2
?
?1
=
1 ?2sin
2
?

。 tg2
?
=
2tg
?
1?tg
2
?
8、三倍角公式是：sin3
?
=
3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
=
4cos
3
?
?3cos
?

cos9、半角公式是：sin
1?cos
?
?
=?
2
2
1?cos
?
?
=
?
2
2

tg
1?cos
?
1?cos
?
sin?
?
=
?
==
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
2
。
10、升幂公式是：
1?cos
?
11、降幂公式是：
sin
2
?2cos
2
?
2

1?cos
?

cos
2
?2sin
2
?
2
。
?
?
1?cos2
?
2
?
?
1?cos2
?
2
。
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2tg
12、万能公式：sin
?
=
?
2
?
2
1?tg
2
cos
?
=
?
2
2
tg
?
=
2tg
1?tg
?
2
?
1?tg
13、sin(
?
cos(
?
2
1?tg
2
?
2

2
?
?
)sin(
?
?
?
)=
sin< br>2
?
?sin
2
?
，
?
?
)co s(
?
?
?
)=
cos
2
?
?sin2
?
=
cos
2
?
?sin
2
?。
0
14、
4sin
?
sin(60

4cos
?
cos(60

tg
?
tg(60
15、
ctg
?
0
?
?
)sin(60
0
?
?
)
=
sin3
?
；
?
?< br>)cos(60
0
?
?
)
=
cos3
?；
0
?
?
)tg(60
0
?
?
)< br>=
tg3
?
。
?tg
?
=
2ctg2
?
。
5?1
。
4
16、sin18=
0
17、特殊角的三角函数值：

?

sin
?

0
?
6

?

4
2
2
2
2
1

?

3
3
2

?

2
1
?

3
?
2

0
1

2
3

2
0
?1

cos
?

1

1

2
3

0
?1

0
tg
?

0
3

3
3

不存在 0 不存在
ctg
?

不存在 1
3
3

0 不存在 0

18、正弦定理是（其中R表示 三角形的外接圆半径）：
19、由余弦定理第一形式，
b
=
a
22
abc
???2R

sinAsinBsinC
?c
2
?2accosB


a
2
?c
2
?b
2
由余弦定理第二形式， cosB=
2ac
20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示 ，半周长用p表示则：
①
S?
1
a?h
a
??
2
；②
S?
1
bcsinA??
2
；
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③
S
⑤< br>S
?2R
2
sinAsinBsinC
；④
S?
ab c
；
4R
?p(p?a)(p?b)(p?c)
；⑥
S?pr

B?sinA?sinB
，…
=sinCcos(A+B) ?-cosCtg(A+B) ?-tgC


tg
21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，
b?a?cosC?c?cosA
，…
22、在△ABC 中，
A?
23、在△ABC 中：
sin(A+B)

sin
A?BC
?cos
22

cos
A?BC
?sin
22
A?BC
?ctg
22


tgA?tgB?tgC
24、积化和差公式：
?tgA?tgB?tgC

1
?cos
?
?[sin(
?
?
?
)?s in(
?
?
?
)]
，
2
1
②
c os
?
?sin
?
?[sin(
?
?
?
) ?sin(
?
?
?
)]
，
2
1
③
cos
?
?cos
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
，
2
1
④< br>sin
?
?sin
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
。
2
①
sin
?
25、和差化积公式：
x?yx?y
，
?cos
22
x?yx?y
②
s inx?siny?2cos
，
?sin
22
x?yx?y
③cosx?cosy?2cos
，
?cos
22
x?yx?y
④
cosx?cosy??2sin
。
?sin
22
①
sinx?siny?2sin
三、 反三角函数
1、

y?arcsinx
的定义域是[-1，1]，值域是
[ ?，]
，奇函数，增函数；
22
??
y?arccosx
的定义域 是[-1，1]，值域是
[0，
?
]
，非奇非偶，减函数；


??
y?arctgx
的定义域是R，值域是
(?，)
，奇函数，增函数；
22
y?arcctgx
的定义域是R，值域是
(0 ，
?
)
，非奇非偶，减函数。
x)?x，cos(arccosx)?x
；
，1]时，sin(arcsin
2、当
x?[?1

sin(arccosx)

arcsin(?x )
?1?x
2
，cos(arcsinx)?1?x
2

??arcsinx，arccos(?x)?
?
?arccosx

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arcsinx?arccosx
对任意的
x?R
，有：
?
?
2

tg(arctgx)?x，ctg(arcctgx)?x

a rctg(?x)??arctgx，arcctg(?x)?
?
?arcctgx

arctgx?arcctgx?
当
x
?
2
11
? 0时，有：tg(arcctgx)?，ctg(arctgx)?
。
xx
3、最简三角方程的解集：
a?1时，sinx?a的解集为
?
；
a?1时，sinx?a的解集为xx?n
?
?(?1)
n
?a rcsina，n?Z
a?1时，cosx?a的解集为
?
；
a?1时，co sx?a的解集为
?
xx?2n
?
?arccosa，n?Z
?；
a?R，方程tgx?a的解集为
?
xx?n
?
?arctg a，n?Z
?
；
a?R，方程ctgx?a的解集为
?
xx?n?
?arcctga，n?Z
?
。
四、 不等式
1、若n为正奇数，由
a
??

?b
可推出
a
n
?b
n
吗？ （ 能 ）
若n为正偶数呢？ （
仅当a、b
均为非负数时才能）
2、同向不等式能相减，相除吗 （不能）
能相加吗？ （ 能 ）
能相乘吗？ （能，但有条件）
a?b
?ab

2
a?b?c
3
三个正数的均值不等式是：
?abc

3
3、两个正数的均值不等式是：
n个正数的均值不等式是：
a
1
?a
2
???a
n
n
?a
1
a
2
?a
n
n

4、两个正数
a、b
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
a?ba
2
?b
2
?ab??
11
22
?
ab
2
6、 双向不等式是：

a?b?a?b?a?b

左边在
ab?0(?0)
时取得等号，右边在
ab?0(?0)
时取 得等号。
五、 数列
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1、等差数列的通项公式是
a
n
?a
1
?( n?1)d
，前n项和公式是：
S
n
?
?a
1
q< br>n?1
，
n(a
1
?a
n
)
1
=
na
1
?n(n?1)d
。
2
2
2、等比数列 的通项公式是
a
n
?
na
1
(q?1)
?
n
前n项和公式是：
S
n
?
?
a
1
(1? q)

(q?1)
?
?
1?q
3、当等比数列
?< br>a
n
?
的公比q满足
q
<1时，
limS
n
=S=
n??
a
1
。一般地，如果无穷数列
?
a< br>n
?
的前n项和的极限
limS
n
存在，就把这个
n ??
1?q
n??
极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用S表示，即S=< br>lim
4、若m、n、p、q∈N，且
m?n
有
a
m
5、
S
n
。
?p?q
，那么：当数列
?
an
?
是等差数列时，有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；当数列
?
a
n
?
是等比数列 时，
?a
n
?a
p
?a
q
。
等差数列< br>?
a
n
?
中，若S=10，S=30，则S=60；
n2n3n
n2n3n
6、等比数列
六、 复数
1、
?
a
n
?
中，若S=10，S=30，则S=70；
i< br>n
怎样计算？（先求n被4除所得的余数，
i
4k?r
?i
r
）
2、
?
1
???
1
2
313i、
?
2
???i
是1的两个虚立方根，并且：
222
1
?
?
2

1
?
?
1

32
?
1
3
?
?
2
?1

?
1
2
?
?
2

?
2
?
?
1

?
1
?
2

?
1
3、
?
?
2

?
2
?
?
1

?
1
?
?
2
??1

复数集内的三角形不 等式是：
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
，其中左边在复数z
1
、z
2对应的向量共线且反向（同向）时
取等号，右边在复数z
1
、z
2
对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
4、
5、
棣莫佛定理是：
若非零复数
z
?
r(cos
?
?isin
?
)?
n
?r
n
(cosn
?
?isinn
?)(n?Z)

?r(cos
?
?isin
?
)
，则z的n次方根有n个，即：
z
k
?
n
r(cos
2 k
?
?
?
2k
?
?
?
?isin)(k? 0，1，2，?，n?1)

nn
n
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？
都位于圆心在原点，半径为
r
的圆上，并且把这个圆n等分。
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6、 若
z
1
?2，z
2
?3(cos?isin)?z
1
，复数
3 3
??
z
1
、z
2
对应的点分别是A、B，则△AOB（O 为坐标原点）的面积是
1
?
?2?6?sin?33
。
23
7、
8、
z?z
=
z
2
。
复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：
①
argz
②
arg(z
③
④
⑤
?
?
(
?
为实常数)?
轨迹为一条射线。
?z
0
)?
?
(z
0
是复常数，
?
是实常数） ?
轨迹为一条射线。
z?z
0
?r(r是正的常数）?
轨迹是一个圆。
z?z
1
?z?z
2
(z
1
、z
2
是复常数)?
轨迹是一条直线。
a)当
2a?z
1
?z
2
z?z
1
?z?z
2
?2a(z
1
、z
2
是复常数，a 是正的常数）?
轨迹有三种可能情形：时，轨迹为椭圆；
b)当
2a
⑥
?z
1
?z
2
时，轨迹为一条线段；c)当
2a?z1
?z
2
时，轨迹不存在。
时，轨迹为双曲线；b) 当
z ?z
1
?z?z
2
?2a(a是正的常数)?
轨迹有三种可能情形： a)当
2a?z
1
?z
2
时，轨迹为两条射线；c) 当
2a2a?z
1
?z
2
1、
?z
1
?z
2
时，轨迹不存在。
七、 排列组合、二项式定理
加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？
加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。
2、排列数公式是：
P
n=
n(n?1)?
m
(n?m?1)
=
n！
；
(n?m)！
排列数与组合数的关系是：
P
n
m
mm
?m！?C
n

组合数公式是：
C
n
=n！
n(n?1)?(n?m?1)
=；
m！?(n?m)！
1?2???m
n?m
组合数性质：
C
n
=
C
n
m

Cn
+
C
n
m
m?1
=
C
n?1

m
?
C
r?0
n
r
n
=
2< br>
rC
n
=
nC
n?1

n< br>r
r?1
rr?1
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?C
n?1

0n1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)
n
? C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b
3、 二项式定理： 二项展开式的通项公式：
rn?rr
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)

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