人教版高中数学《排列组合》教案培训讲学

人教版高中数学《排
列组合》教案

精品文档
排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问
题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和
解决问题的能力
二、教材分析
1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得
到一般的结论．
2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的
方法比较它们的异同．
三、活动设计
1.活动：思考，讨论，对比，练习．
2.教具：多媒体课件．
四、教学过程正
1．新课导入
随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多 样化，高
标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方
法完成，或几个过程 才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计
数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原 理是排列
组合的关键．
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档

2．新课
我们先看下面两个问题．
(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮
船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘
坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
板书：图

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有
3 种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐
这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它 可以有n类办法，在第一类办
法中有m
1
种不同的方法，在第二类办法中有m
2
种不同的方
法，……，在第n类办法中有m
n
种不同的方法．那么完成这件 事共
有N＝m
1
十m
2
十…十m
n
种不同的方法．
(2) 我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从
A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
板书：图

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
这里，从A村 到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每
一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走 法．因
此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方 法，做第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n
种不同的方法．那 么完成这件事共有N＝m
1
m
2
…m
n
种不同的方法．
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的
语文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从
上层取数学书，可以从6本书中 任取一本，有6种方法；第二类办
法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本 ，可以分成两个步骤
完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，
有5种方 法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝
30．
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．
练习： 一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古
币各一枚，有多少种不同取法？

例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复
三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位
数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复
三位数？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确
定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字， 共有5种选法；第
二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定 个位上的数字，同理，它也有5
种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是
N=5 X5X5=125．
答：可以组成125个三位数．
练习：
1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可
走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水 路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被
加数；在另一个黄口袋中装 着10张分别标有数1、2、…、9、1O的
黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一 共可以
列出多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位
数？
小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类
时用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一
种方法完成，另有4人会用第二 种方法完成．选出一个人来完成这
件工作，共有多少种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、
3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b 2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展
开后共有多少项？
4．从甲地到乙地 有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；
从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通． 从甲地
到丙地共有多少种不同的走法？
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所
有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
作业：
排列
【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法
中有m
1
种不同的方法，第二办法中有m
2
种不同的方法……，第n办法中有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m
1
+m
2
+m
3
+…m
n

种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一
步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n
种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m
1
?m
2
?m
3
?…?m
n

种不同的方法.
3.两个原理的区别：
【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多
少种不同的机票？
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一
一列出.
【基本概念】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(
m?n
)个 元素
（这里的被取元素各不相同）按照
一定的顺序
排成一列，叫做从n
．．． ．．
个不同元素中取出m个元素的
一个排列

．．．．
2.
3.
4.
什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
什么叫一个排列？
【例题与练习】
1.
数？
2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1. 定义：从n个不同元素 中，任取m(
m?n
)个元素的所有
由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字 的三位
m
排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号
p
n表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2.
m
排列数公式：
p
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
3
12
?
；
p
n
?
；
p
n
?
；
p
n
4
p
n
?
；
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
计算：
p
5
2
= ；
p
5
4
= ；
2
p
15
= ；
【课后检测】
1.
①
写出：
从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素
的所有排列；
②
③
2.
①
p
3
100
由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
计算：
8
p
12
②
p
③
p?2p
④
7

p
12
3
6
4
8
2
8
排 列
课题：排列的简单应用(1)
目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算< br>公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
过程：
一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；
2．排列数的定义，排列数的计算公式 m
m
A
n
?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
或
A
n
?
n!
（其中m≤n m,n?Z）
(n?m)!
3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1
4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
二、新授：
例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列——
A
7
7
＝5040
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不
同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——
A
6
6
=720
⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少
种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有
A
2
2
种；第二
步 余下的5名同学进行全排列有
A
5
5
种 则共有
A
2
2
A
5
5
=240种排列方法
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有
多少种？
解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同
学中选2位同学站在排头和排尾有
A
5
2
种方法；第二步 从余下的5位
同学中选5位进行排列（全排列）有
A
5
5
种方法 所以一共有
A
5
2
A
5
5
＝
2400种排 列方法．
解法二：（排除法）若甲站在排头有
A
6
6
种方法；若 乙站在排
尾有
A
6
6
种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有
A
5
5
种方法．所以甲
不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有
A
7
7
－
2A
6
6
＋
A
5
5
=2400种．
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“ 排除
法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的5
个元素（同学）一起进行全排列有
A
6
6
种方法；再将甲、 乙两个同学
“松绑”进行排列有
A
2
2
种方法．所以这样的排法一共 有
A
6
6
A
2
2
＝1440
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解：方法同上，一共有
A
5
5
A
3
3
＝720种．
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法
有多少种？
解法一 ：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一
共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所 以可以从其余的5
个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有
A
5
2
种方法；将剩下的4
个元素进行全排列有
A
4
4
种方法；最后将甲、 乙两个同学“松绑”进行
排列有
A
2
2
种方法．所以这样的排法一共 有
A
5
2
A
4
4
A
2
2
＝960种方法．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一
共有6个元 素，若丙站在排头或排尾有2
A
5
5
种方法，所以丙不能站
在排头和 排尾的排法有
(
A
6
6
?
2
A
5
5
)
?A
2
2
?
960
种方法．
解法三 ：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一
共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所 以可以从其余的四
1
个位置选择共有
A
4
种方法，再将其余的5个元 素进行全排列共有
A
5
5
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有1
2
A
5
5
A
2
A
4
＝96 0种方法．
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）A
7
7
?A
6
6
?A
2
2
?
3600

解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有
A
5
5
种方法，此时
他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这
六个位置（空）有
A
6
2
种方法，所以一共有
A
5
5
A
6
2
?3600
种方法．
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有A
4
4
种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三个同学分别 插入这五个“空”有
A
5
3
种方法，所以一
共有
A
4
4
A
5
3
＝1440种．
小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考
虑）．
三、小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法：
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
⑴ 有特殊元 素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或
特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法 ）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元
素，与其他元素排列后，再 考虑相邻元素的内部排列，这种方法称
为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相
邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，
从而寻求有效的解题途径，这是 学好排列问题的根基．
四、作业：《课课练》之“排列 课时1—3”
课题：排列的简单应用(2)
目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问< br>题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题
多解．
过程：
一、复习：
1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；
2．常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．
3．分类、分布思想的应用．
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
二、新授：
示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，
如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上，则共
有多少种不同的排法？
15
A
9
?136080
解法一：（从特殊位置考虑）
A
9
解法二：（从特殊元素考虑）若选：
5?A
9
5
若不选：
A
9
6

则共有
5?A
9
5
＋
A
9
6
＝136080
65
?
A
9
?
136080
解法三：（间接法）
A
10
示例二：
⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，
丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？
1
略解：甲、乙排在前排
A
4
2
；丙排在后排
A< br>4
；其余进行全排列
A
5
5
．
1
A
5
5
＝5760种方法．
所以一共有
A
4
2
A
4
⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须
排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行
排列有
A
2
2
；
此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有
A
3
2
；最后将a, b
“松绑”有
A
2
2
．所以一共有
A
2
2< br>A
3
2
A
2
2
＝24种方法．
⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求
师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

精品文档
略解：（分类 ）若第一个为老师则有
A
3
3
A
3
3
；若第一个为 学生则
有
A
3
3
A
3
3

所以一共有2
A
3
3
A
3
3
＝72种方法．
示例三：
⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整
数？
135
?A
5
2
?A
5
?A
5
4
?A
5
?
325

略解：
A
5
⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且
比13 000大的正整数？
解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3
13
14
A
3< br>种方法；另一类是首位不为1，有
A
4
A
4
种方法．所以一共 有
有
A
3
13
14
A
3
A
3?A
4
A
4
?114
个数比13 000大．
解法二：（排除法）比13 000小的正整数有
A
3
3
个，所以比13
000大的正整数有< br>A
5
5
?A
3
3
＝114个．
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由
小到大排列．
⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A
5
3
?
60
个，所以第114
个数的千位数应该是“ 3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有
2
A
4
?12
个 ；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以
第114个数的前两位数必然 是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所
以“3 968” 是第114个数．
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除