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高中数学联赛培训讲义

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 05:31
tags:高中数学培训班

河南高中数学解析-2019年新编高中数学人教A版课本目录

2020年10月7日发(作者:耿湋)


高中数学联赛培训讲义


第一讲 集合、函数、方程
例1.集合{x|-1≤log
1
10<-
x
1
,12
【分析】先求出所给集合的元素个数,那么真子集的个数为2
n
-1
【解】





【小结】运用对数运算法则和解不等式,掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。
11
练习①.已知集合A={y|211
log
1
log
1
33
25




②(93年)若M={(x,y)||tgπy|+sin
2
πx=0},N={(x,y)|x
2
+y
2
≤2},则|M∩N|
= 。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 附:|A|表示A的元素个数 (93年)






③若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A
?
A∩B成立的所
有a的集合是 。 (98年)



例2.f(x) (x∈R)是以2为周期的偶函数,当
f(
1
x∈[0,1]时,f(x)=x
1998
,则:f(
98
)、
19
101104
)、f()由小到大的排列是 。 (98年全国高中联赛)
17
15
【分析】利用周期函数、偶函数的性质, 将函数自变量转化到区间[0,1],再比大小。
【解】
【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性;转化思想。
练习①设f(x)是定义 在实数集上的周期为2的周期函数,且是偶函数,已知当x∈[2,3]时,
f(x)=x,则当x∈[ -2,0]时,f(x)的解析式是 。 (90年)


A. f(x)=x+4 B. f(x)=2-x C. f(x)=3-|x+1| D. f(x)=2+|x+1|



②若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a-1)+lg(b-1)的值 。 (98年)
A.等于lg2 B.等于1 C.等于0 D.不是与a、b无关的常数



③设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足下列关系:f(10+x)=f(10-x),
f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是 。 (92年)
A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数



例3.设x与y为实数,满足(x-1)
3
+1997(x-1)=-1,(y-1)
3
+1997(y-1)=1,则
x+y= 。 (97年全国高中联赛)
【分析】构造函数f(t)=t
3
+1997t,将两等式 变成函数值,再利用函数性质。
【解】


【小结】巧妙地构造函数,利用函数的奇偶性、单调性;简单的函数方程。
练习①已知方程|x-2n|=k
x
(n∈N)在区间(2n-1,2n+1)上有两个不相等的实数根,
则k的取值范围是 。 (95年)
A. k>0 B. 0
②用[x]表示不大于实数x的最大整数。方程lg
2
x-[lgx]-2=0的实根个数
是 。 (95年)



③设函数y=f( x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不
同的根,则这6 个实根的和为 。 (91年)
1
2n?1
C.
1
1
2n?1
2n?1
第二讲 三角变换、三角不等式
例1.设x∈(-
1
,0),以下三数a=cos(sinxπ)、b=sin(cosxπ)、c=cos(x+1) π的
2


大小关系是 (96年全国高中联赛)
A. c【分析】先判别符号,再比较同符号的几个。
【解】



【小结】比大小,可以先与0、1比较,先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法。 < br>?
练习①.已知0log
b
cos
?
、y=(cosα)
log
b
cos
?< br>、
4
z=(sinα)
log
b
sin
?
的从小到大排列为 。 (94年)



??
②.设α∈(,),则(cosα)
cos
?
、 (sinα)
cos
?
、 (cosα)
sin
?
从小到大的排列
42
为 。 (90年)


③.四个数log
sin1
cos1、lo g
sin1
tg1、log
cos1
sin1、log
cos1tg1从小到大的排列
为 。 (95年)



例2. 在△ABC中,角A、B、C的对边边长分 别是a、b、c,若c-a等于AC边上的高h,
C?A
C?A
则sin+cos的值 等于 。 (9年全国高中联赛)
2
2
【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,通过三角变换解决问题。
【解】





【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。
练习①. cos
2
10°+cos
2
50°-sin40°sin80°= 。 (91年)


②.在△ABC中,角A、B、C的对边边长分别是a、b、c ,已知三内角成等差数列,且c
C?A
-a等于AC边上的高h,则sin的值等于 。 (91年)
2
C
sinB
③. 在△ABC中,角A、B、C的对边边长分别是a、b、c (b≠1),且、都是方
A
si nA
程log
b
x=log
b
(4x-4)的根,则△ABC 。 (92年)


A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形
C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形





例3.设x≥y≥z≥
【解】









【小结】积化和差;放缩法。
?
练习①.已知0<θ<π,则sin(1+cosθ)的最大值是 。 (94年)
2



②.已知f(x)=asinx+b
3
x
+4 (a、b为实数),且f(lglog
3
10)=5,则f(lglg3)= 。
A. –5 B. –3 C. 3 D.随a、b取不同值而取不同值 (93年)




③.设a、b、c是实数,那么对任意实数x ,不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条
件是 。 (94年)
A. a与b同时为0,且c>0 B.
a
2
?b
2
=c C.
a
2
?b
2
a
2
?b
2
>c



3?
six?2a?0
??
?
x?n
④.已知x、y∈[-,], a∈R,且
?
,则cos(x+2y)= 。
3
44
?
4y?nsiycosy?a?0
?
?
12
,且x+y+z=< br>?
,求cosxsinycosz的最大值和最小值。(97年)
2
(提示:构造函数法) (94年)
第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例1.等比数列{a
n
}首项a
1
=1536,公比q=-
1
。用π
2
n
表示它的前n项之积,则π
n
(n

< p>
∈N)最大是 。 A. π
9
B. π
11
C. π
12
D. π
13
(96年全国高中联赛)
【分析】先求出π
n
的表达式,再讨论该式的最大值问题。
【解】



【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。
练习①.设x≠y,且两数列x,a
1
,a
2
,a
3
,y 和b
1
,x,b
2
,b
3
,y,b
4
均为 等差数列,
那么



②. 设x,y,z是实数,3x、4y、5 z成等比数列,且
1
1x
1z
、、成等差数列,则+的
y
z z
xx
b
4
?b
3
= 。 (88年)
a
2
?a
1
值是 。 (92年)



③.设等差数列{a
n
}满足3a8
=5a
13
,且a
1
>0,S
n
为前n项之和。则S
n
(n∈N)中最大
的是 。 A. S
10
B. S
11
C. S
20
D. S
21
(95年)




例2.已知数列{a
n
}满足3a
n?1
+a
n
=4 ( n≥1),且a
1
=9,其前n项之和为S
n
,则满
足不等式|S< br>n
-n-6|<
【解】





【小结】构造法。数列前n项和公式。
练习①.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数 不少于3,且各项的和为97
2
,则这样的
数列共有 。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (97年)


②.对于每个自然数n,抛物线y=(n
2
+n)x
2
-(2n+1)x+1 与x轴交于A
n
、B
n
两点,
以|A
n
B
n
|表示该两点间距离,则|A
1
B
1
|+|A
2
B
2
|+…+|A
1992
B
1992
|= 。 (92年)
1
的最小整数n是 。 (94年全国高中联赛)
125
【分析】先求S
n






③.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 。(89年)




例3.设正数列a
0
,a
1
,a
2
,…,a
n
,… 满足
a
na
n?2

a
n?1
a
n?2
=2a
n?1
(n≥2),
且a
0
=a
1
=1,求a
100
a
99
的值。
【分析】将已知的代数式进行变形,构造一个新的数列使问题简化。
【解】








【小结】构造法。
练习①.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第n组有(2n-1 )个奇数进行分组:第一组{1}、
第二组{3,5,7}、第三组{9,11,13,15,17}、 …。则1991位于第 组中。 (91年)




②. 已知数列{x
n
}满足x
n?1
=x
n
-x
n?1
(n≥2),x
1
=a,x
2
=b,记S
n
=x
1
+x
2
+…
+x
n
。则下列结论 正确的是 。 (97年)
A. x
100
=-a, S
100
=2b-a B. x
100
=-b, S
100
=2b-a
C. x
100
=-b, S
100
=b-a B. x
100
=-a, S
100
=b-a




③.已知集合M ={x,xy,lg(xy)},N={0,|x|,y},并且M=N,那么(x+
+(x
3



1
y
3
1
1
)+(x2

2

y
y
)+…+(x
2001

1
y
2001
)的值等于 。 (87年)






第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例1.等比数列{a
n
} (96年全国高中联赛)

【分析】
【解】



【小结】
练习①.



②.


③.



例2.
【分析】
【解】





【小结】
练习①.


②.
③.




例3.
【解】











【小结】
练习①.



②.




③.


第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例1.等比数列{a
n
} (96年全国高中联赛)

【分析】
【解】



【小结】
练习①.



②.


③.



例2.
【分析】


【解】





【小结】
练习①.


②.
③.




例3.
【解】









【小结】
练习①.



②.




③.




2001年全国高中数学联合竞赛试题
第一试


(2001年10月14日 8:00—9:40)
一、选择题(每小题6分,满分36分)
1. 已知a为给定的实数,那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子集的个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.不确定
2. 命题1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中,必存在到各棱离相等的点;
命题1 长方体中,必存在到各面离相等的点;
以上三个命题中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3. 在四个函数y=sin|x|,y=cos |x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以π为周期、在(0,
?
)上单调
2
递增的偶函数是( )
A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
4. 如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( )
A.k=8
3
B.0<k≤12 C.k≥12 D. 0<k≤12或k=8
3

5. 若(1+x+x
2
)
10 00
的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+……+a
2000
x
2000
,则a
0
+a3
+a
6
+a
9
+……+
a
1998
的值为( )
A.3
333
B.3
666
C.3
999
D.3
2001

6. 已知6枝玫瑰花与3枝康乃 馨的价格之和大于24元,二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格
之和小于22元,则2枝玫瑰花的价格和3 枝康乃馨的价格比较结果是( )
A.2枝玫瑰花价格高 B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同 D.不确定
二、填空题(每小题9分,满分54分)
7. 椭圆ρ=
1
的短轴长等于______________.
2?cos?
3
-i,则z
1
z
2
=_____________.
2
8. 若复数z
1
,z
2
满足|z
1
| =2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2

9. 正 方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为1,则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是________ _____.
10. 不等式
13
?2?
的解集为________________.
log
1
x2
2
11. 函数y=x+
x
2
?3x?2
的值域为_______________.
A
F B
12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块 种种植一
种植物,相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,
E C
D
则有________种栽种方案.
三、解答题(每小题20分,满分60分)
13. 设{a
n
}为等差数列,{b
n
}为等比数列,且b
1
=a
1
2
, b
2
=a
2
2
, b
3
=a
3
2
(a
1
<a
2
),又



li m
(b
1
+b
2
+……+b
n
)=
2+1,试求{a
n
}的首项与公差.
n??








x
2
14. 设曲线C
1

2
?y
2
=1(a为正常数)与C
2
:y< br>2
=2(x+m)在x轴上方仅有一个公共点P
a
(1)求实数m的取值范围(用a表示)
(2)O为原点,若C
1
与x轴的负半轴交于点A,当0<a<
大值(用a表示)
1
时,试求△OAP的面积的最
2










15. 用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、 a
6
(a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
)的电阻组装成一个如图的
组件,组装中应该 如何选取电阻,才能使该组件的总电阻值最小?证明你的结论.










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