培训体系高中数学竞赛培训资料函数

（培训体系）高中数学竞赛
培训资料函数

高中数学竞赛培训资料函数
定义于R上的函数f(x)满足:f(x－)=x2+（对所有x≠0）
则f(x)的表达式是
函数f(x)对任意正实数x，y满足f(xy)=f(x)+f(y )，且f(2)=1，求f()之值。
设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a，b， c，d是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(－
6) < br>对于每个实数x，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值 是多少？
（91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对壹切实数x均满足：f(3+x)=f(3－ x)，方程f(x)=0恰有
6个不同的实根，则这6个实根之和为
（A）18（B）12（C）9（D）0
例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第壹 个是y=，它的反函数就是第二个函数，而
第三个函数的图象和第二个函数图象关于直线x+y=0对称 ，那么第三个函数是
y=（B）y=－(C)y=－(D)y=－
例七．设f(x)=，求f()+f()+f()f()之值。
例八．定义于R上的函数y=f(x)具有以下性质
对任何xR均有f(x3)=f3(x)
对任何x1,x2R且x1≠x2均有f(x1)≠f(x2)
则f2（－1）+f2（0）+f2（1）=
例九．若a＞0,a≠1，F(x)是壹个奇函数，则G(x)=F(x)是
（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）和a的取值有关
例十．已知函数y=f (x)，xR，f(0)≠0，且对于任意实数x1，x2均有f(x1)+f(x2)=2f()×f()，则
此函数是
（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性不确定
例十壹．已知实数x,y满足(3x+y)2+x5+4x+y=0，求证：4x+y=0
例十二．已知函数f(x)满足：1）f()=1
2）值域为
3）严格递减,
4）f(xy)=f(x)+f(y)
试求不等式f－1(x)f－1()≤的解集。
例十三．对任意整数x，函数f(x)满足f(x+1)=，若f(1)=2，求f(2001)
例十四．（92年全国联赛试题）设f(x)是定义于R上的函数，且满足下列关系：
f(10+x)=f(10－x)，f(20+x)=－f(20－x)，则f(x)是
（A）偶函数又是周期函数（B）偶函数但非周期函数
（C）奇函数又是周期函数（D）奇函数但非周期函数
例十五．（90年全国联赛试题）设f (x)是定义于实数集上的周期函数且是偶函数，周期为2，
已知当x时f(x)=x，则当x时 （A）f(x)=x+4(B)f(x)=2－x(C)f(x)=3－|x+1|(D)f(x)=2+| x+1|
练习：
1．计算(log23)(log34)(log45)……(log6364)=
2．已知 f(x)=x2，g(x)=x+5，g－1(x)表示g(x)的反函数，设F(x)=f－g－1，则F(x )的最小值
是
3．对任意的函数f(x)，于同壹直角坐标系中，函数y=f(x－1)和函 数y=f(1－x)的图象
(A)关于x轴对称（B）关于直线x=1对称（C）关于直线x=－1对称（D）关于y轴对称
4．方程sinx=lgx的实根的个数是

(A)1(B)2(C)3(D)大于3
5．若F()=x，则下列等式中正确的是
(A)F(－2－x)=－2－F(x)(B)F (－x)=F()(C)F(x－1)=F(x)(D)F(F(x))=－x
6．已知函数f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5则f(3)满足
(A)－7≤f(3)≤26(B)－4≤f(3)≤15(C)－1≤f(3)≤20(D)－≤f( 3)≤
7．函数f(x)=sinx()是
（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）奇偶性不确定
8．已知偶函数f(x)于上是减函数，如果m=f(log2)，n=f
那么m,n的大小关系是
(A)m＞n(B)m＜n(C)m=n(D)不确定
9 ．定义域、值域均是R的函数y=f(x)是增函数，设方程f(x)=x的解集为P，方程x=f的解集
为Q，则有
(A)P=Q(B)PQ(C)QP(D)PQ且QP
10．函数y=的递增区间是(－∞，1－)则实数a是
2或1－(B)2－2或1－(C)2或2－2(D)－2或1－
11．求证：是整数。
12．设a＞0是实数，f(x)是定义于R上的实函数，对每壹实数x满足条件：
f(x+a)=
证明：是周期函数，实数2a是它的壹个正周期。
13．设f(x)是定义于R上以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区间(2k－1，2k+1),
已知：当xI0时，f(x)=x2
求：f(x)于Ik上的解析式。
14．函数 f(x)定义于R上，且对壹切实数x满足等式：f(x+2)=f(2－x),f(7+x)=f(7－x)
设：f(x)=0的壹个根是x=0，记f(x)=0于区间－1000≤x≤1000中根的个数为N
求：N的最小值。
15．设函数y=f(x)定义域为R，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意x，yR有：
F(x+y)=f(x)f(y)，当x≠y时，f(x)≠f(y)
证明：f(0)=1；
证明：f(x)于R上递增；
设A=｛(x,y)|f(x2)f(y2)满足的 条件。
16．实数集R上的函数y=f(x)满足：
f(x1+x2)+f(x1－x2) =2f(x1)cos2x2+4asin2x2（x1、x2R，a是常数）；
f(0)=f()=1；③当x时，|f(x)|≤2；
试求：函数y=f(x)的解析式，及常数a的取值范围。