高中数学必修五-数列通项公式常见求法培训资料

高中数学必修五-数列
通项公式常见求法

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求数列通项公式的方法
1. 叠加法
a
n?1
?a
n
?f(n)
，且
f(1)?f(2)???f(n)
比较好求.
【例题】数列
?
a
n
?
的首项为< br>3
，
?
b
n
?
为等差数列且
b
n< br>?a
n?1
?a
n
(n?N*)
．若则
b
3
??2
，
b
10
?12
，则
a
8
?
.
11
★练习 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?,a
n?1
?a
n
?
2
，求数列
?
a
n
?
的通项公式.
2n?n
2. 叠乘法
a
n?1
?f(n)a
n
，且
f(1)?f(2)???f(n)
比较好求.
a
n?1
=n ·
a
n
，则
?
a
n
?
的通项公式
【例题】在数列｛
a
n
｝中，
a
1

=1, (n+1)·
为 .
a
n
，则
?
a
n
?
的通项公式为 . ★练习 在数列｛
a
n
｝中，
a
1

=1,
a
n?1
=
2
n
·
3. 待定系数法
(1)a
n
=qa
n-1
+p(q、p为常数,q≠1且p≠0），可化为a
n
+λ=q(a
n-1
+λ).构造出一个以
q为公比的等比数列{a
n
+λ}，然后化简用待定系数法求λ，从而求出
a
n
.
(2)对于
a
n?1
?qa
n
?f(n)(其中q为常数)
这种形式, 一般我们讨论两种情况：
①当f(n)为多项式时，可化为
a
n?1
?g< br>?
n?1
?
?q
?
?
a
n
+g?
n
?
?
?
的形式来求通项，其
中g(n)是f(n) 的齐次式.
【例题】设数列
?
a
n
?
中，
a1
?1,a
n?1
?3a
n
?2n?1
，求
?
a
n
?
的通项公式.
★练习 设数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?n
2
?n
，求
?
a
n
?
的通项 公式.
②当f(n)为指数幂即递推公式为
a
n?1
?qa
n?r?p
n
(q、r、p为常数)
，可两边同时除以
p
n?1< br>化为
?a
n
?
a
n?1
q
a
nr
???
的形式，可以求出数列
?
n
?
的通项公式，从 而求出
a
n
.
p
n?1
pp
n
p
?
p
?
【例题】设数列
?
a
n
?
中，< br>a
1
?1,a
n?1
?4a
n
?2
n
，求
?
a
n
?
的通项公式.
★练习 设数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?3a
n
?2?3
n
，求
?
a
n
?
的通项公式.
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4. 倒数法
a
n
?
a
n?1
，可以两边取倒数 ；
a
n
?a
n?1
?a
n?1
?a
n，可以两边同时除以
a
n
a
n?1
.
ka
n ?1
?b
【例题】已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?1,a
n
?
★练习 在数列{
a
n
}中，
a
1
?
5. 对数法
a
n?1
，求
?
a
n
?
的通项公式.
3a
n?1
?1
1
，
a
n
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
，求数列{
a
n
}的通项公式.
3
a
n?1
?qa
n
p
(q、p 为常数)
，两边分别取对数，进行降次.
2
【例题】已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?3,
a
n?1
?a
n
，求
?
a
n
?
的通项公式.
2< br>?2a
n
，求
?
a
n
?
的通项公式. ★练习 已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
? 2,
a
n?1
?a
n
6. 特征方程法
(1)a
n+2
=A a
n+1
+B a
n
(A、B是常数），特征方程为x
2
-Ax-B=0,
①当方程有两个相异 的实根p、q时，有：
a
n
?c
1
?p
n
?c2
?q
n
，其中c
1
与c
2
由
a1
和a
2
确定；
②当方程有两个相同的实根p时，有
a
n
?(c
1
?n?c
2
)p
n
，其中c
1
与c
2
由
a
1
和a
2
确
定.
【例题】已知数列
{
a
n
}
满足
a
1?2,a
2
?3,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
(n?N
*
)
，求
{a
n
}
的通项公式.
★练习 已知数列
{a
n
}
满足a
1
=2，a
2
=3，
a
n?2
?2a
n?1
?a< br>n
，求
{a
n
}
的通项公式.

(2)
a
n?1
?
a?a
n
?b
ax?b
（a、 b、c、d为常数），特征方程为
x?
，
c?a
n
?d
c x?d
?
a?p
?
a
1
?pa?cp
①当方程有两 个相异的实根p、q时，数列
?
n
是以为首项，
?
a
1?qa?cq
a?q
?
n
?
为公比的等比数列；
?< br>1
?
1
2c
②当方程有两个相同的实根p时，数列
?
是以为首项，为公
?
a
1
?p
a?d
?
a
n
?p
?
差的等差数列.
a?2
(n?2)
，求数列{
a
n
}
的通项
a
n
．
【例题】已 知数列
{
a
n
}
满足
a
1
?2,a
n
?
n?1
2a
n?1
?1
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