黄冈市高中数学选修2-1学习笔记(或培训辅导)集

黄冈市高中数学选修2-1学生培训辅导学案集
2-1第一章：命题与逻辑结构 1.命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题；
2.四种命题：






结论：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
因此，在判断四种命题的真 假时，只需判断两种命题的真假。因为原命题与逆否命题真假等价，逆命题与
否命题真假等价。
2.充分条件与必要条件：
①若
p?q
，但
q
?
p
，则
p
是
q
的充分不必要条件（也可以说
q
的充 分条件不必要条件是
p
）；
从集合的角度来看，若
pq
，则
p
是
q
的充分条件不必要条件。
②若
p?q
，但
q
?
p
，则
p
是
q
的必要不充分条件（也可以说
q
的必要不充分条件条是
p
）；
从集合的角度来看，若
q p
，则
p
是
q
的必要不充分条件。
③若
p?q< br>，且
q
?
p
，则
p
是
q
的充要条件 （也可以说
q
是
p
的充要条件），记作
p?q
；
从集合的角度来看，若
p?q
，则
p
是
q
的充分要条件。
④若
p?q
，且
q
?
p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件；
从集合的角度来看，若
p?q
，且< br>q?p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件。
注意 ：证明
p
是
q
的充要条件需分证明充分性（
p?q
）和必要 性（
q?p
）两步。
利用集合间的包含关系： 例如：若
A?B
， 则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要
条件；
3. 简单逻辑联结词
逻辑联结词：且、或、非；
复合命题三种形式：
p
且< br>q
(p?q)
，
p
或
q
(p?q)
，非p
(
?
p)

真假判断：
p、q
同真，
p?q
真，其余均为假；
p、q
同假，
p?q
假，其余均为真；< br>?
p
与
p
的真假相反
p?q

?p

p

p?q

q

真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
4.全称量词与存在量词：
?
?
全称命题
p
：
?x?M,p(x)
, 它的否定
p
：
?x
0
?M,p(x
0
)

特称命题
p
：
?x
0
?M,p(x
0
)< br>, 它的否定
?
p
：
?x?M,
?
p(x)

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系
典型例题：★1．下面四个条件中，使
a?b
成立的充分而不必要的条件是
A．
a?b?1
B．
a?b?1
C．
a
2
?b
2
D．
a
3
?b
3

★2．已知命题
P
：< br>?
n
∈N，2
n
＞1000，则
?
P
为
A．
?
n
∈N，2
n
≤1000 B．
?
n
∈N，2
n
＞1000 C．
?
n
∈N，2
n
≤1000 D．
?
n
∈N，2
n
＜1000
★３．
x?1是x|?1
的
A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

第二章：圆锥曲线
①．椭圆：平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的距离的和等于常数2
a
（大于
|F
1
F
2
|
）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点
叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆 的焦距。若
M
为椭圆上任意一点，则有
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
。
x
2
y
2
y
2
x
2
椭圆的标准方程为：
2
?
2
?1
（
a? b?0
）（焦点在x轴上）或
2
?
2
?1
（
a?b ?0
）（焦点在y轴上）。
ab
ab
注：①以上方程中
a,b的大小
a?b?0
，其中
b
2
?a
2
?c2
；
x
2
y
2
y
2
x
2< br>②在
2
?
2
?1
和
2
?
2
?1
两个方程中都有
a?b?0
的条件，要分清焦点的位置，只要看
x
2
和
y
2
的分母的大
abab
x
2
y< br>2
??1
（
m?0
，
n?0
，
m?n
）当
m?n
时表示焦点在
x
轴上的椭圆；当
m?n
时表小 。例如椭圆
mn
示焦点在
y
轴上的椭圆。
②. 椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
离心率
③焦半径：
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
x
2
y
2
i. 设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的一点，
F
1
,F
2
为左、右焦点，
ab
则 由椭圆方程的第二定义可以推出：
PF
1
?a?ex
0
，
P F
2
?a?ex
0

x
2
y
2
ii.设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的一点，
F
1
,F2
为上、下焦点，
ba
则由椭圆方程的第二定义可以推出：
PF
1
?a?ey
0
，
PF
2
?a?ey
0

归结起来为“左加右减”、“下加上减”.
2．双曲线：平面上与两点距离的差的绝对值为非 零常数的动点轨迹是双曲线（
||PF
1
|?|PF
2
||?2a< br>）。
注意：①式中是差的绝对值，在
0?2a?|F
1
F
2
|
条件下；
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
时为双曲线的一支；
|PF
2
|?|PF
1
|?2a
时为 双曲线的另一支（含
F
1
的一支）；②当
2a?|F
1
F< br>2
|
时，
||PF
1
|?|PF
2
||?2 a
表示两条射线；
③当
2a?|F
1
F
2
|
时，
||PF
1
|?|PF
2
||?2a
不表示任何图形 ；④两定点
F
1
,F
2
叫做双曲线的焦点，
|F
1
F
2
|
叫做焦距。
①. 双曲线的第一定义：
PF1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线< br>PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线

②. 双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2< br>?
0,c
?

F
1
?
?c,0
?< br>、
F
2
?
c,0
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
离心率
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
x
2
a
2
渐近线方程
y??
y
2
b
2
a
x

b
③. 双曲线标准方程：
1). 焦半径公式：对于双曲线方程
上下焦点）“长加短减”原则：
??1
（
F< br>1
,F
2
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的
MF
1
?ex
0
?a
MF
2
?ex
0
?a 构成满足
MF
1
?MF
2
?2a

M?
F
1
??ex
0
?a
M
?
F
2
??ex
0
?a
▲
y
▲
y
F
1
M

F
1
M'
M
x
F
2
M'
x

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
MF
1
?ey
0
?a
MF
2
?ey
0
?a

?
M
?
F
1
??ey
0
?a
M
?
F< br>2
??ey
0
?a
?

2). 等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方 程为
y??x
，离心率
e?2
.
①定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：
a?b
；
②等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：
y??x
；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时 其
他几个亦成立。
③注意到等轴双曲线的特征
a?b
，则等轴双曲线可以设 为：
x
2
?y
2
?
?
(
?
?0)
，当
?
?0
时交点在
x
轴，
当
?
?0
时焦点在
y
轴上。
3). 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的
x
2y
2
x
2
y
2
x
2
y
2共轭双曲线.
2
?
2
?
?
与
2
?2
??
?
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
2
?
2
?0
.
abab
ab
4). 共渐近线的双曲线系方程：x
2
a
2
?
y
2
b
2
??
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
,因此，如果双曲线的渐近线为
x
2
y
2
x
y
??0
时，它的双曲线方程 可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
.
ab
ab
例如：若双曲线一条渐近线为
y?
1
1
x
且过
p(3,?)
，求双曲线的方程？
2
2
x
2
y
2
1
x
2
2
解：令双曲线的方程为：
? y?
?
(
?
?0)
，代入
(3,?)
得
? ?1
.
82
4
2
3．抛物线：
①定义：平面内与一定点 F和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线
l
上 )。定点F
叫做抛物线的焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线。方程
y
2
?2px
?
p?0
?
叫做抛物线的标准方程。
注意：它 表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（
②设
p?0
，抛物线的标准方 程、类型及其几何性质：

图形
y
2
?2px

▲
pp
,0），它的准线方程是
x??

2
2
y
2
??2px

▲
x
2
?2py

▲
x
2
??2py

▲
y
y
y< br>y
x
O
x
O
x
O
x
O

焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
p
F(,0)

2
p

2
x?0,y?R

x??
F(?
p
,0)

2

F(0,
p
)

2

F(0,?
p
)

2

p

2
x?0,y?R

x?
p

2
x?R,y?0

y??
p

2
x?R,y?0

y?
x
轴
（0，0）
e?1

y
轴

焦半径
PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1

2
注：①
y
2
?2px(p?0)
则焦点半径
PF?x?
pp
；
x
2
?2py(p?0)
则焦点半径为
PF?y?
.
22
②通径为2
p
，这是过焦点的所有弦中最短的.
说明：（1） 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶
点，一 个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调
p
的几何意义：是 焦点到准线
的距离。 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

外离 外切 相交 内切 内含
4．圆锥曲线的统一定义：平面 内到一个定点
F
的距离和它到一条定直线
l
的距离之比是一个常数
e
的点的轨迹是
圆锥曲线，并且
当
0?e?1
时，轨迹为椭圆；
当
e?1
时，轨迹为双曲线；
当
e?1
时，轨迹为抛物线.
其中，点
F
是它的焦点，直 线
l
是它的准线，比值
e
是它的离心率。
（四）直线与圆锥曲线的位置关系
1．点M(
x
0
,
y< br>0
)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

2．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。
直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与 交
点的个数是一样的。
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来 说，平行于对称轴的直线与抛物线相
交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种
位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线
l
:y=kx+b，圆锥曲线： F(x,y)=0，它们的交点为P
1
(x
1
,y
1
)，P
2
(x
2
,y
2
)，
且由
?
?
F(x,y )?0
，消去y得ax
2
+bx+c=0（a≠0），令Δ=b
2
－4ac。
?
y?kx?b
2222
(1?k
2
)ΔΔ
2
则弦长公式为：d=
(x
1
?x
2
)?( y
1
?y
2
)
=
(1?k)(x
1
?x< br>2
)
==。
1?k
2
a
|a|
|PF|
。
?e
（点
P
是圆锥曲线上的任意一点，
F
是焦点，
d
是
P< br>到相应于焦点
F
的准线的距离，
e
是离心率）
d
考点 ：1、圆锥曲线方程的求解 2、直线与圆锥曲线综合性问题 3、圆锥曲线的离心率问题
直线与圆锥曲线一弦长公式：
|AB|?1?k
2|x
1
?x
2
|?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?1?k
2
?
其中,
A,?
分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程
的判别式和
x
2
的系数
求弦长步 骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程
?< br>
|A|
Ax
2
?Bx?C?0,
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，由韦达定理求出
x
1
?x
2
??
BC
，
x
1
x
2
?
；（3）代入弦长公式计算。
AA< br>法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程
Ay
2
?By?C ?0,
则相应的弦长公式是：
111?

|AB|?1?()
2|y
1
?y
2
|?1?()
2
?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
?1?()< br>2
?
kkk|A|
注意（1）上面用到了关系式
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x< br>1
x
2
?
?
和
|A|
y
1
?y
2
?(y
1
?y
2
)
2
?4y1
y
2
?
?

|A|
注意（2）求与弦长有关 的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形
被过顶点的一条线段分 成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
直线与圆锥曲线二、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方 程
Ax
2
?Bx?C?0,
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，由韦达定理 求出
x
1
?x
2
??
标公式得
x
0
?
B
；（3）设中点
M(x
0
,y
0
)
，由中点坐
A
x
1
?x
2
；再把
x?x
0
代入直线方程求出
y?y
0
。
2

法（二） ：用点差法，设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，中点
M(x
0
,y
0)
，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过
A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相 减，代入等变形，求出
x
0
,y
0
。
直线与圆锥曲线三、求离心率的常用方法：
法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值
范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
典型例题：
★★1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于
A,B
两点，左焦点在以
AB
为直径的圆内，则该双曲线的离心率的
取值范围为
A．
(0,2)
B．
(1,2)
C．
(
2
,1)

2
D．
(2
，
??)

x
2
y< br>2
★★★2．设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左 、右焦点分别为F
1
，F
2
。点
P(a,b)
满足
|PF
2
|?|F
1
F
2
|.
（Ⅰ）求
ab
椭圆的离心率
e
；
（Ⅱ）设直线PF
2
与椭圆相交于A，B两点，若直线PF
2
与圆
(x?1)
2
?(y?3)
2
?16
相交于M，N两点，且
|MN|?



























5
|AB|
，求椭圆的方程。
8

第三章：一 空间向量基本知识点：
1、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
2、三 个向量
a
，
b
，
c
不共面，则所有空间向量组成的集合是
?
pp?xa?yb?zc,x,y,z?R
?
．这个集合可看作是由向量< br>a
，
b
，
c
生成的，

?
a,b ,c
?
称为空间的一个基底，
a
，
b
，
c
称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
3、设
e
1，
e
2
，
e
3
为有公共起点
?
的三个 两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以
e
1
，
e
2，
e
3
的公共
起点
?
为原点，分别以
e
1
，
e
2
，
e
3
的方向为
x
轴 ，
y
轴，
z
轴的正方向建立空间直角坐标系
?xyz
．则对 于空间
任意一个向量
p
，一定可以把它平移，使它的起点与原点
?
重 合，得到向量
???p
．存在有序实数组
?
x,y,z
?
，
使得
p?xe
1
?ye
2
?ze
3
．把< br>x
，
y
，
z
称作向量
p
在单位正交基底e
1
，
e
2
，
e
3
下的坐标，记作< br>p?
?
x,y,z
?
．此
时，向量
p
的坐标 是点
?
在空间直角坐标系
?xyz
中的坐标
?
x,y,z< br>?
．
4、设
a?
?
x
1
,y
1< br>,z
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
, z
1
?z
2
?
．
?
2
?
a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1,
?
z
1
?
．
?
4
?
a? b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
?
5
?
若
a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
?7
?
a?a?a?x
1
2
?y
1
2
? z
1
2
．
?
8
?
cos?a,b??
a? b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y2
?z
1
z
2
x?y?z?x?y?z
22
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
．
?
9
?
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
??
?
x
2< br>,y
2
,z
2
?
，则
d
??
??? ?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1< br>?
2
．
5、在空间中，取一定点
?
作为基点，那么空间中任 意一点
?
的位置可以用向量
??
来表示．向量
??
称为点< br>?
的
位置向量．
6、空间中任意一条直线
l
的位置可以由< br>l
上一个定点
?
以及一个定方向确定．点
?
是直线
l
上一点，向量
a
表示
直线
l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
?
，有
???ta
，这样点
?
和 向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置，
还可以具体表示出直线
l
上的任意一点．
7、空间中平面
?
的位置可以由
?
内的 两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点
?
，它们的方向向量分
别为
a
，
b
．
?
为平面
?
上任意一点，存在有序实数对
?
x,y
?
，使得
???xa?yb
，这样点
?< br>与向量
a
，
b
就确
定了平面
?
的位置． < br>8、直线
l
垂直
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．

9、若 空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，则
ab?ab?

a?
?
b
?
??R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
10、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且< br>a?
?
，则
a
?
?a
?

?a?n ?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?< br>n
．
11、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向 量分别为
a
，
b
，则
?

?
?ab?

a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b ?0
．
12、设直线
l
的方向向量为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?，
l
与
n
的夹角为
?
，则有
sin
?
?cos
?
?
l?n
ln
．
13、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的 两个面
?
，
?
的法向量，则向量
n
1
，
n
2
的夹角（或其补角）就是二面角的平
面角的大小．若二面角
?
?l ?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?
n1
?n
2
n
1
n
2
．
14、点?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??
的模
??
计算．
15、在直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定点
?
到直线< br>l
的距离为
d???cos???n,??
???n
n
??? n
n
．
16、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量， 则点
?
到平面
?
的距离为
d???cos???,n??
．
17、设异面直线
a
，
b
的夹角为
?
，方向向量为
a
，
b
，其夹角为
?
，则有
cos
??cos
?
?
a?b
ab
．
考点： 1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直
2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题
典型例题：
★★1．已知正方体ABC D—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为C
1
D
1
的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 。
★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=
90?
，
ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
★★★3.如图，在五棱锥P —ABCDE中，
PA?
平面ABCDE，ABCD，ACED，
AEBC，
?ABC?45?,AB?22,BC?2AE?4
，三角形PAB是等腰
三角形。
（Ⅰ）求证：平面PCD
?
平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

第三章：二 空间中的夹角和距离
1．距离
空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距， 线线距，线面距，面面
距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点 、线、面之间距离的概念，理
解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之 间的转化关系，所有这些都是十分重
要的。
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距 离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点
到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平 面的距离。
（1）两条异面直线的距离
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的 长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条
异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长 度。
（2）点到平面的距离
平面外一点
P
在该平面上的射影为
P
′，则线段
PP
′的长度就是点到平面的距离；求法：1“一找二证三求”，
○
三步都必须要清楚地写出来。
○
2等体积法。
（3）直线与平面的距离 ：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和
平面的距离；
（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距 离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为
点 点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式 ，
如果两条异面直线
a
、
b
所成的角为
?
，它们的公垂线
AA
′的长度为
d
，在
a
上有线段
A
′
E
＝
m
，
b
上有线
段
AF
＝
n
，那么
EF
＝
d
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?
（“±”符号由实际情况选定）
2．夹角
空间中的各 种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范
围，其范 围依次为
(
0°，90°
]
、[0°，90°]和[0°，180°]。
（1）两条异面直线所成的角
求法：
○
1先通过其中一条直线或者两条直线 的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求
得；
○
2通过两条异面 直线的方向向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是
(0,
角范围是
[0,
?
]
，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角
求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位 置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，
根据定义采用“射影转化法”。
（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的
解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形 入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作
法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理 或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线
所成的角，俗称垂面法．此外，当作 二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos
?
＝
?
2
]
，向量所成的
S
?
，其中
S
为斜
S

面面积，
S
′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角。
3．等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
第三章：三 空间向量的应用
E
（1）用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a、b是两异面直线，
n
是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，
a
则异面直线 a与b之间的距离是
d?
EF?n
n
；
b
F
（2）用法向量求点到平面的距离
如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，
n
为平面α的法向量，则 A
A
到平面α的距离为
d?
AB?n
n
；
α
n

C
B
（3）用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（4）用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面 上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面
的距离问题。
（5）用法向量求二面角
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量
n
1
与
n2
，则平面α
与β所成的角跟法向量
n
1
与
n
2
所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是
锐角还是钝角。
（6）法向量求直线与平面所成的角
要求直线
a
与平面α所成的角θ，先求 这个平面α的法向量
n
与直线a的夹角的余弦
cosn,a
，易知
θ =
n,a
或者




α
n
1

n
2

β
?
2
?n,a
。