2013高中数学奥数培训资料之奇数偶数

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料
（内部资料）
§25奇数偶数
将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数.因此，任一偶数可
表为2m（m∈ Z），任一奇数可表为2m+1或2m－1的形式.奇、偶数具有如下性质：
（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；
奇数±偶数=奇数；偶数×偶数=偶数；
奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数；
（2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（m∈Z）.
（3）任何一个正整数n，都可以写成
n?2l
的形式，其中m为非负整数，l为奇数.
这些性质既简单又明显，然而它却能解决数学竞赛中一些难题.
m
例题讲解
1．
下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几
个偶数？
□+□=□，□-□=□，□×□＝□，□÷□＝□.



< br>?
x?1988y?n
?
x?p
2．
已知n是偶数，m是奇数 ，方程组
?
的解
?
是整数，那么( )
11x?27y?my?q
??
（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.
（C）p是偶数，q是奇数 （D）p是奇数，q是偶数



3．
在1，2，3…，19 92前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶
数.

4．
70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数 的3倍都恰好等于它两边两
个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问 最右边的一个
数被6除余几？



5．
设a、b是自然数，且有关系式
123456789=（11111+a）（11111-b）， ①
证明a-b是4的倍数.



6．
在3×3的正方格（ a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表
中任一行或一列的各格全部变化试问重复 若干次这样的“变号”程序后，能否从一
张表变化为另一张表.
-
+
+
-
+
+
-
-
-
+
- +
-
+
+ -
- -
a
b




7．设正整数d不等于2，5，13.证明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到两个元素a,b，使 得
ab－1不是完全平方数.

8．设a
、
b
、
c
、
d为奇数，
0?a?b?c?d,并且ad?bc
，证明：如果a+d=2
k
，b+c=2
m
，
k,m为整数，那么a=1.





9．设
a
1
,a2
,
?
,a
n
是一组数，它们中的每一个都取1或－1，而且a
1
a
2
a
3
a
4
+a
2
a
3
a
4
a
5
+
…
+a
n
a
1
a
2
a
3
=0，证明：n必须是4的倍数.







课后练习
1.填空题
（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的 积
是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.
（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的
偶数之和是____.
多18，这五个
（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.
2.选择题
（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（ ）
①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；

③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若n是大于1的整数，则的值（ ）.
（A）一定是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数
（ 3）已知关于x的二次三项式ax+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，
二次三 项式的值都是奇数，那么a（ ）
（A）不能确定奇数还是偶数 （B）必然是非零偶数
（C）必然是奇数 （D）必然是零 3.试证明1
1986
2
+9
1986
+8
1986< br>+6
1986
是一个偶数.
4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.
5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除
6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这 些点之间以及这些点与凸n边形顶
点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形 分为只朋角
形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.
7.一个四位数是奇 数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各
位数字，第三位数字等于首末两位数字的 和的两倍，求这四位数.
8.试证：3
n
+1能被2或2
2
整除，而不能被2的更高次幂整除.

课后练习答案
１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）
（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，
ｘ＋８．
（３）不能．
２．Ｂ．Ｂ．Ａ

３．１是奇数１，９
故最后为偶数．
１９８６１９８６
的个 位数字是奇数１，而８
１９８６
，６
１９８６
都是偶数，
４．仿例５ １２０３４６５８７９．
５．设ａ
１
，ａ
２
，…，ａ
ｎ< br>满足题设即ａ
１
＋ａ
２
＋…＋ａ
ｎ
＝０ ①
ａ
１
·ａ
２
……ａ
ｎ
＝ｎ ②。假如ｎ为奇数，由 ②，所有ａ
ｉ
皆为奇数，但奇数个奇
数之和为奇数，故这时①不成立，可见ｎ只能为偶 数．由于ｎ为偶数，由②知ａ
ｉ
中必有一个偶数，由①知ａ
ｉ
中必有另一个偶 数．于是ａ
ｉ
中必有两个偶数，因而由
②知ｎ必能被４整除．
６．设小三角 形的个数为ｋ，则ｋ个小三角形共有３ｋ条边，减去ｎ边形的ｎ条边
及重复计算的边数扣共有（３ｋ＋ｎ ）条线段，显然只有当ｋ与ｎ有相同的奇偶
性时，（３ｋ－ｎ）才是整数．
７．设这个四位数 是由于１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇数所以ｄ≥３于是ｃ＝２（ａ＋
ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶数， 所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又
因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此该数为１９８３．
８．当 ｎ为奇数时，考虑（４－１）
ｎ
＋１的展开式；当ｎ为偶数时，考虑（２
＋１）
ｎ
＋１的展开式．

例题答案：
1. 解 因为加法和减法算式中至少各 有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二
个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

2.
分析 由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数 ，将其
代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，< br>应选（C）

?2?64
k
?3?729
k
?15 625
k
?1
?2?(7?9?1)
k
?3?(7?104?1)< br>k
?(7?2232?1)
k
?1

?2?7?A?2?3? 7?B?3?7?C?1?1
?(2?3?1?1)(mod7)?0(mod7)
?对于?k ?0,且k?Z,
2
6k?1
?3
6k?1
?5
6k
?1
都能被7整除；

注：
a?1(modb)?a?1(modb),k?Z

k?
3.
分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字 前面
都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992=
为偶数 于是题设的代数和应为偶数.
=996×1993
4.
解 设70个数依次为a
1
,a
2
,a
3
据题意有
a
1
=0, 偶
a
2
=1 奇
a
3
=3a
2
-a
1
, 奇
a
4
=3a
3
-a2, 偶
a
5
=3a
4
-a3, 奇
a
6
=3a
5
-a4, 奇
………………
由此可知：
当n被3除余1时，a
n
是偶数；
当 n被3除余0时，或余2时，a
n
是奇数，显然a
70
是3k+1型偶数，所 以k必须是
奇数，令k=2n+1，则
a
70
=3k+1=3(2n+1)+ 1=6n+4.

5.
证明 由①式可知
11111（a-b）=ab+4×617 ②
∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0
首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇 数，从而知ab是奇数，进而知a、b
都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶 数，这与式①矛盾
其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而a b+4×617
是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.
6.
解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“ 变号”，“+”号或者不变，或
者变成两个.

表(a)中小正方形有四个“ +”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)
中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故 它不能从一个变化到另一个.
显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.
7.
解
由于2×5－1=3
2
，2×13－1=5
2< br>，5×13－1=8
2
，因此，只需证明2d－1，5d－1，13d
－1中至 少有一个不是完全平方数.
用反证法，假设它们都是完全平方数，令
2d－1=x
2
①
5d－1=y
2
②
13d－1=z
2
③
x,y,z∈N
*

由①知，x是奇数，设x=2k－1，于是2d－1=（ 2k－1）
2
，即d=2k
2
－2k+1，这说
明d也是奇数.因此，再由②，③知，y,z均是偶数.
设y=2m,z=2n,代入③、④ ，相减，除以4得，2d=n
2
－m
2
=(n+m)(n－m)，从而n2
－m
2
为偶数，n，m必同是偶数，于是m+n与m－n都是偶数，这样2d就 是4的倍数，即d为
偶数，这与上述d为奇数矛盾.故命题得证.
8.首先易证：
2 ?2.
从而
k?m(因为d?a?b?c,于是(a?d)
2
?(a?d)< br>2
?4ad

?(b?c)
2
?4bc?(b?c)
2
.再由
ad?bc,d?2
k
?a,c?2
m
?b可得b ?2
m
?a?2
k
?b
2
?a
2
,

km
因而
2
m
(b?a?2
k?m
)?(b? a)(b?a)
①
显然，
b?a,b?a
为偶数，
b?2
k?m
a
为奇数，并且
b?a和b?a
只能一个为4n型
偶数，一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数，然而它们的差等于2a不是4
的倍数），
因此,如果设
b?2
k?m
a?e?f
，其中e,f为奇数，那么由①式及
b?a,b?a
的特性就有
b?a?2
（Ⅰ）
?
?
e,
或（Ⅱ）
?
b?a?2f,
< br>?
m?1
b?a?2f.
?
b?a?2e.
?
m?1
由
ef?b?2
k?m
a?b?2a?b?a?2f
得e=1，
从而
f?b?2
k?m
a.
于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为
m?1
k?m
?
?
?
b?a?2,
?
b?a?2( b?2a),
或
?
?
k?m
m?1
?
?
b?a?2(b?2a)
?
?
b?a?2
解之，得
a?2
k ?m?1
?2
m?1
.因a为奇数，故只能a=1.
9.证明:由于每个< br>a
i
均为1和－1，从而题中所给的等式中每一项
a
i
ai?1
a
i?2
a
i?3
也只取1或－
1，而这样的n 项之和等于0，则取1或－1的个数必相等，因而n必须是偶数，设n=2m.
再进一步考察已知等式 左端n项之乘积=(
a
1
a
2
?a
n
)
4
=1，这说明，这n项中取－1的
项（共m项）也一定是偶数，即m=2k，从而n是4的倍数 .