高中数学奥数培训资料之递推数列

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料
（内部资料）
§12递推数列
1、概念：①、递归式：一个数列
{a
n
}
中的第
n
项< br>a
n
与它前面若干项
a
n?1
，…，（
k?n
）
a
n?2
，
a
n?k
的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：
类型Ⅰ：
?
?
a
n?1
?p (n)a
n
?q(n)(p(n)?0)
（一阶递归）
a?a(a为常数）
1
?
其特例为：（1）
a
n?1
?pa
n
?q(p?0)
（2）
a
n?1
?pa
n
?q(n)(p?0)

（3）
a
n?1
?p(n)a
n
?q(p?0)

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：
?
?
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
(p?0,q? 0)
（二阶递归）
a?a,a?b(a,b为常数）
12
?
解题方 法：利用特征方程
x
2
?px?q
，求其根
?
、
?
，构造
a
n
?A
?
n
?B
?
n< br>，代入初始值
求得
A,B
。
类型Ⅲ：
a
n?1?f(a
n
)
其中函数
f(x)
为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
例题讲解
1．已知数列
{a
n
}
满足以下递归关系
?



2．已知数列
{a
n
}
满足
?



3．已知数列
{a
n
}
满足
?



4．已知数列
{a
n
}
满足
?


?
a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
，求通项a
n
。
a?1,a?2
2
?
1
?
a
n?1
?na
n
?2(n?2)
，求通项
a
n。
a?1
1
?
?
a
n?1
?2a
n
?(2n?1)
?
a
1
?2
?
a
n?1< br>?3a
n
?4
，求通项
a
n
。
?
a
1
?1
，求通项
a
n
。

5．由自然数组成的数列
{a
n
}
，满足
a
1
?1
，
a
m?n
?a
m
?a
n
?mn
，求
a
n
。


6． 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?10
，a
n?1
?
n?1
a
n
4
（
n?1< br>），求
a
n
。
n
4





7．已知
f(x)?
求
x
n
。





8．已知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?
1
(1?4a
n
?1?24a
n
)
，求
a
n
。
16
x
，且
f(x
0
)?
1
，方程
f(x)?x
有唯一解，设
x
n
?f(x
n?1)
（
n?N
），
a(x?2)
2




2
?a
n
?a
n?1
，证明
a
n
?
1
（
n?2
，
3
，
4
，…） 9．设正数列
{a
n
}
满足
a
n
n?2

课后练习
1．已知数列
{a
n
}
满足以下递归 关系，求
a
n
。
（1）
a
1
?1
，a
n?1
?5a
n
?12
（
n?N
）

（2）
a
1
?1
，
a
n?1
? 2a
n
?n?1
（
n?N
）

（3）
a
1
?2
，
a
n?1
?
n
a
n?1
（
n?N
）
n?1

（4）
a
1
?2
，
a
n?1
?
n?1
a
n
?
2
（
n?N
）
nn

（5）
a1
?1
，
S
n
?n
2
a
n
（
S
n
为前
n
项和）

（6）
a
1
?10
，
a
n?1
?
4
10a
n
（
n?2,n?N
）

（7）
?
?
a
n?2
?2a
n?1
?3a
n

a?a?1
12
?



2．已知数列
{ a
n
}
和
{b
n
}
中，
a
1??10
，
b
1
??13
，且
a
n?1
??2a
n
?4b
n
，
b
n?1
??5a
n
?7b
n
，求
a
n
和
b
n
。




2
?1
（
n?0
，1， 2，3，4，…），证明
x
n
?N
（
n?N
）。3．已知< br>x
0
?0
，
x
n?1
?5x
n
?1 4x
n





4．已知数列
{an
}
满足：
a
n
?3
n
cosn(arcco s
1
)
，证明
a
n
是不能被3整除的整数。
3