高中数学一题多解题-高中数学面试试讲备课教案
北京师范大学高中骨干教师培训讲座:
智能数学挑战高考
齐 智 华
讲三个问题:
问1 新高考的变革与备考误区?
解
新高考的变革:
(1) 新课标的合情推理,使高考要考查数学猜想.
(2) 新课标的
“推理与证明” “几何证明选讲” “不等式选讲”,使高考加强考查演绎推
理.
(3)
新课标的“算法”,使高考加强考查问题解决的程序化思想.
(4)
新课标“三视图”,使高考加强考查立体化归与实际应用.
(5)
新课标的“微积分,向量,概率统计和规划模型”,使高考强调考查高等数学思维和
现代数学应用.
高考考应用,几乎完全转向考查现代数学应用,不考无用的初等应
用难题.
备考误区:
[误1] 演绎魔圈: “只会证明推理,不会合情推理” .
[解决]
加强讲授“合情推理”和“演绎推理”,掌握猜证结合的数学思想.
[误2] 忽略“算法”.
[解决] 加强讲授算法思想,使算法选填小题也是 “ 1分钟1道题!”.
[误3] 立体几何降调.
[解决] 不对,立体几何始终是高考试卷中的“四大难”之一,
文科理科都要强化
立体几何的复习.
[误4]
新课标高考降低难度,只考基础,高考重点是五个模块.
[解决] 不对,
要知道: 高考命题的中心是数学思想,而不是基础知识(考基础很
重要,但不是中心).特别注意:选修是高考的重点和难点.要批判伪重点.
[误5]
熟做难题三百千,不会解题也成仙! 所以题海战术是必须的.
[解决]
题海战术根本不必要,而且题海战术是高考的大敌.
我们要精选范例,加
强自我总结,要彻底地摧毁题海战术.
问2
什么是智能数学?怎样用智能数学的新理念新方法挑战高考?
解
旧数学是以“基础知识—题海战术”为中心的三步学习:
S1
机械记忆(死记硬背)
S2 机械模仿(照猫画虎)
S3 机械练习(题海战术)
美国人称旧社会的“机械数学”,中国人称旧社会的“传统数学”.
时至今日的新社会(信息社会), 我国仍有很多学校, 更有很多重点高中,他们留恋传
统数学, 还在顽固地操作这种落后于时代的老办法, 题海战术愈炒愈烈,
致使风华正茂
的少年天天演解无数的烂题和没有实际价值的人造难题, 挣扎在水深火热之中.
对此严
重危害我国向前发展的考试逆流, 令我怒发冲冠, 于是, 我们就反抗,
就斗争,就创立适
合新社会所需要的新方法,新数学——智能数学.
智能数学是以“数学思想方法”为中心的三步学习:
S1 问题与解题
S2 探究
S3
总结与反思(自我总结是打败题海战术的法宝).
1
进而, 我们将智能数学的新方法新理念概括为一个中心和两个基本点:
一个中心是数学思想方法
两个基本点是 (1) 基础知识傻瓜化; (2)
解题方法明确化.
高考数学命题的中心是数学思想方法,
因此高中数学教学的中心也是数学思想方法.
于是数学教学的最重要的问题是掌握数学思想方法.
我们问: 数学思想有几种?
近年来,大家共识的数学思想有七种:
(1)
函数与方程的思想 (2) 数形结合的思想
(3) 分类与整合的思想
(4) 化归与转化的思想
(5) 特殊与一般的思想 (6)
有限与无限的思想
(7) 或然与必然的思想
在我看来,
高考问题解决的数学思想应概括为六种数学思想:
(1)猜证结合
(2)化归思想
(3)分合思想 (4)数形结合
(5)函数思想 (6)高等思想
问3
高考数学四大难?
解
难点1 高速选填.
为什么高速选择与填空是四大难点之一? 怎样高速选填?
难点2
飞越立体陷阱,化慢为快.
为什么立体几何始终是竞争难点? 难在何处? 怎样解决?
难点3 巧破解析几何运算迷阵
解析几何综合题往往是高考压轴题之一,为什么解析几何有运算迷阵? 怎样突破?
难点4
代数综合难题探路
代数综合难题是高考压轴题, 它难在何处? 怎样分步攻克最难压轴题?
智能数学高速解题示例(批判傻解与慢解)
难点1 高速选填
1.
(辽宁)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,
则m的范围
是
A.
(1, 2) B. (2, +?) C.
[3,??)
D. (3, +?)
y
2
5<
br>x
2
x
2
y
2
2
??1
,
③
x?
2.
(北京)给定四条曲线:①
x?y?
, ②
?1
, ④
?y
2
?1
.
2
94
44
其中与直线
x?y?5?0
仅有一个交点的曲线是
22
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④
D. ①③④
3.
(湖南)如图, OM∥AB, 点P在由射线
OM 、线段OB及AB的延长线组成
的阴影区域内(不含边界)运动, 且
OP?xOA?yOB
, 则x的取值范围
1
是____________; 当
x??
时, y的取
2
M
O
P
B
A
值范围是___________.
4.
(广东)已知函数
f(x)?(sinx?cosx)sinx,x?R,
则f
(x)的最小正周期是__________.
2
5.
(2009全国Ⅰ)函数
f(x)
的定义域为R,若
f(x?1)
与
f(x?1)
都是奇函数,则
A.
f(x)
是偶函数 B.
f(x)
是奇函数
C.
f(x)?f(x?2)
D.
f(x?3)
是奇函数
6.
(2005.全国)过三棱柱任意两个顶点的直线15条, 其中异面直线有
A. 18对
B. 24对 C. 30对 D. 36对
7.
如图所示, J
1
, J
2
, J
3
表示3种开关, 若在某段时间
它们正常工作的概率依次是 0.9, 0.8, 0.7,
那么此系
统的可靠性是
A. 0.504 B.
0.994
C. 0.894 D. 0.060
J
1
J
2
J
3
8.
(2009北京)点
P
在直线
l:y?x?1
上,
若存在过
P
的直线交抛物线
y?x
2
于
A,B
两
点,且
|PA?|AB|
,则称点
P
为“点”,那么下列结论中正确
的是
A.直线
l
上的所有点都是“点”
B.直线
l
上仅有有限个点是“点”
C.直线
l
上的所有点都不是“点”
D.直线
l
上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”
9.
(2011.北京海淀)在平面直角坐标系
xOy
中,
O
为坐标原点
. 定义
P
(
x
1
,y
1
)
,
Q
(
x
2
,y
2
)
两点之间的
“直角距离”
为
d(P,Q)=x
1
-x
2
+y
1
-y
2
.若点
A
(
-1,3
)
,
则
d(A,O)
=
已知点
B
(
1,0<
br>)
,点M是直线
kx-y+k+3=0(k>0)
上的动点,
d(B,
M)
的最小值为 .
10.
(2011广东)设S是整数集Z的
非空子集,如果
?a,b?S,
有
ab?S
,则称S关于数的乘法是封
闭的. 若T, V是Z的两个不相交的非空子集,
TV?Z
,
且
?a,b,c?T,
有
abc?T;?x,y,z?V,
有
xyz?V
,则下列结论恒成立的是
A.
T,V
中至少有一个关于乘法是封闭的 B.
T,V
中至多有一个关于乘法是封闭的
C.
T,V
中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.
T,V
中每一个关于乘法都是封闭的
难点2 飞越立体陷阱,化慢为快
11.
(海南宁夏)一个棱锥的三视图如图,
则该棱锥的全面积 (单位: cm
)为
A. 48+12
2
B. 48+24
2
C. 36+12
2
D. 36+24
2
6
3
6
P
6
2
3
4
6
3
4
12.
如图,
平面PAC?平面ABC, 且AB=BC=
3,
PA=PC=AC=3,
则点C到平面PAB的距离
为__________.
C
A
B
3
13.
(全国)已知四棱锥P
?
ABCD的底面为直角梯
形,
AB∥CD, ∠DAB=90?, PA?底面ABCD,
且PA=AD=CD=
P
M
A
B
1
AB=1, M是PB的中点.
2
(1) 证明:面PAD?面PCD;
(2) 求AC与PB所成的角;
(3) 求面AMC与面BMC所
成二面角的大小.
D
C
难点3 巧破解析几何运算迷阵
14.
(2009全国Ⅱ)已知AC、
BD为圆O:
x
2
?y
2
?4
的两条相互垂直的弦,
垂足为
M(1,2),
则四
边形ABCD的面积的最大值为__________.
15.
(2010全国课程标准)已知双曲线
E
的中心为原点,
P(3,0)
是
E
的焦点,
过F的直线
l
与
E
相交
于A, B两点,
且AB的中点为
N(?12,?15)
, 则
E
的方程式为
x2
y
2
x
2
y
2
x
2
y2
x
2
y
2
C.
D.A.??1
B.??1
??1
??1
36456354
16.
(北京西城) 给定抛物线C
: y
2
= 4x, F是C的焦点, 过点F的直线l与C交于A、B两点,
O为坐
标原点.
(1) 求
OA?OB
的值;
(2)
设
AF?
?
FB
,当?OAB的面积
S?[2,5]
时,
求
?
的取值范围.
难点4 代数综合难题探路
17.
设
f(x)?x
3
?
1
2
x?2x?5.
2
(1) ?x?[?1, 2], 不等式f (x)?m<0成立,
求实数m的取值范围.
(2) ?x?[?1, 2], 不等式f (x)?m<0成立,
求实数m的取值范围.
18.
(2009广东)已知曲线
C
n
:x
2
?2nx?y
2
?0(n?1,2,)
.从点
P(?1,0)
向曲线
C
n
引斜率为
k
n
(k<
br>n
?0)
的切线
l
n
,切点为
P
n
(x
n
,y
n
)
.
(1)
求数列
{x
n
}与{y
n
}
的通项公式;
(2)
证明:
x
1
?x
3
?x
5
?
?
x
2n?1
?
1?x
n
x
?2sin
n
1?x
n
y
n
4