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第四讲函数方程和函数迭代问题
在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题
者的青睐形式灵活多变,结构变化无穷,大
致可分为如下三类:⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶
讨论函数的性质.
一. 探求函数的解析式
函数方程的求解事实上也是一个探求函数解析式
的过程,而函数方程常见的初等解法有许多,下面对
其作进一步详尽的介绍.
1,换元法 <
br>换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的
定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解.
例1 解函数方程
f(x)+f(
x?1
)=1+x
(x≠0,x≠1)
x
例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(
x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c为实常数,求f(x)
2.赋值法
赋值
法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原
方程
,从而简化函数方程,以达到求解的目的.
例3 已知定义在R的函数满足
⑴ f(x
1
+x
2
)+f(x
1
-x
2
)=2f(
x
1
)cos2x
2
+4asin
2
x
2
(x
1
,x
2
∈R,a为常数)
?
)=1
4
?
⑶ 当x∈[0, ]时,f(x)≤2
4
⑵
f(0)=f(
试求⑴函数f(x)的解析式;
⑵常数a的取值范围.
例4
f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x)
⑴
f[xf(y)]f(y)=f(x+y);
⑵ f(2)=0
⑶ 当0≤x<2
f(x)≠0
3递推法
这一方法的其本思想是:当f(x)是定义在自然数集上
的函数(实际上就是通项为a
n
=f(n)的数列)时,可
根据题中所给函数方程,通
过持殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系求出(即数列{a
n}
的通项
表达式)
例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=
3
,且对
任意x,y∈N,有
2
f(x+y)=(1+
y
x
)f(x)+(
1+)f(y)+x
2
y+xy+xy
2
,求f(x)
x?1
y?1
4. 柯西法
柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+
y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他
的方法是,依次求出所有自然数
值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解
例6 设f(x)
是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y有
f(x+y)=f(x)+f(y),
试求f(x)
5, 待定系数法
这一方法的其本思想是:当
f(x)是多顸式时,可设f(x)=a
0
x
n
+a
1
x<
br>n-1
+….+a
n
(a
0
≠0),代入函数方程的
两端,然后比较方程两端x最高次幂的指数和x同次幂的系数,便可得出关于n及a
0
a1
…a
n
.的方程组,解这
个方程组便可确定n及a
0
a
1
…a
n
的值,从而得到函数方程的解
例7
确定符合下列条件的所有多项式f(x)
f(x+1)=
13
f[f(x)]+
22
6 , 利用不等式夹逼
利用不等式夹逼求解函数方程,主要是利用下列几个明显的结论:
⑴
若对任意x∈I, 有f(x)≥g(x) 及f(x)≤g(x)则对任意x∈I,有f(x)=g(x)
⑵ 若对任意x,y∈I,有f(x)≤g(y)则交换x,y得f(y)≤g(x)于是对
任意的x,y∈I有f(x)=g(y)由
此可得f(x)=常数(x∈I).
⑶
若f:N→N满足m≤f(n)<m+1或m-1<f(n)≤m或m-1<f(n)<m+1(m,n∈N)则
f(n)=m,
例8 设f(x) 是具有下列性质的函数
⑴
f(n)对每一正整数n有定义;
⑵ f(n)是正整数;
⑶ f(2)=2
⑷ f(mn)=f(m)f(n),对一切m,n成立;
⑸
f(m)>f(n),当m>n时
试证: f(m)=f(n)
例9 设f(n )是
定义在自然数集N上的函数,它的值域也是全体自然数所成的集N,并且对任意
两个自然m与n,只要m
≥n就有f(m) ≥n, 试证: f(m)= m对任意的自然数m成立.
例10 设f(n
)是定义在自然数集N上的函数,满足: ⑴f(n )的值域为整数;⑵当m<n时,f(m)
<f(
n);⑶当m,n互素时,f(mn)=f(m)f(n),试求符合上述条件的一切函数f(x).
二. 探求函数的值
在各级各类数学竞赛中除了求函数方程的解以外,还经常遇到由函数方程
给出的特殊定义
的抽象函数,要求参赛者探求其函数的特殊的函数值.
例11.
设N是自然数集, f(x)是定义在N上并在N内取值的函数,且对x,y∈N,有
f[f(x)+y]=x+y,
求f(1988)的所有可能的值
例12.
设f(n )对所有正整数有定义,取非负整数值,并且对所有正整数m,n有f(m+n)-f(m)-f(n
)=0
或1.
又f(2)=0.f(3)>0,f(9999)=3333,
求f(1982).
例13. 设f(x),g(x)是定义在正整数集Z
+
上并取整数的严格递增函数,如果它们满足:⑴f(Z
+)
∪
g
(
Z
+) =
Z
+
?
(
⑵f(Z
+)
∩ g
(
Z
+) =
⑶g(n)=f(f(n))+1
试求f(240).
三.讨论函数的性质 探求讨论函数的有关性质,历年来都是数学竞赛的命题热点之一,例如探求函数的周期
性,函数的不
等式证明,以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题
的办法就是要“穿
脱”函数符号“f”,下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.