高一一班数学研究性学习结题报告表

数学研究性课题












课题名称：数学的发展历史
班 级：高一（1）班
组员组成：朱圆圆 王倩倩 徐博龙
赵宏博 李向阳
指导老师：



王恩惠王浩桢

平泉中学学生研究性学习课题活动计划表
编号： 班级： 高一（1)班 时间：2013年10月20日
主题名称

课题名称
小组成员
数学的发展进程

数学的发展历史

朱圆圆 王倩倩 徐博龙 王恩惠 王浩桢 赵宏朱圆圆
组长
博 李向阳

研究背景 数学是研究现实世界的图形和数量关系的科学，包括代
(课题立论依据)

数、几何、三角、微函数等。它来源于生产服务与生活。
研究目标 对数学有更新的 认识，大家通过查找数学，名人趣事，数
(课题研究的目的与意
学常识等资料。对数学的功用问 题有一个正确的认识从而使我
义)
们对数学产生兴趣，提高数学成绩。

研究内容、拟解决的 研究内容：1数学研究方法讨论问题；2总的科学发展史、数
关键问题及创新之处 学史通史；3数学各分支的分科史。
研究方法、条件及可 研究方法：1课题报告结构；2课题报告的基本要求；3困难
能遇到的困难与对策 ：所研究的结果。对策：探讨生活继续研究。
姓名

研究
小组
朱圆圆
成员
朱圆圆
分工


王倩倩
王恩惠
徐博龙


研究阶段
课题生成与小组建立
形成小组研究方案
研究
的预
期进
展
开题论证与交流
研究方案的实施
中期班级交流
资料整理与分析
形成研究成果
成果交流与展示




赵宏博
李向阳
王浩桢


时间安排(周次)
1
2 --3
4--5
6--10
11
12--13
14--16
17


承担任务
收集资料
筛选资料
收集图片并检查订正


活动的主要内容及目标
成立研究性学习并确立课题
确立研究方案
讨论课题,交流想法
开时实施研究
数学历史及其意义
完善并补充内容
整理汇编完成研究
展示成果并并修订

平泉中学学生研究性学习课题研究成果汇报表
2013年10月21日
编号 课题名称
数学的发展历史

朱圆圆 王倩倩 徐博龙
王恩惠 王浩桢 赵宏博
李向阳


导师
报告执笔
徐克位

组长
朱圆圆

组员
结题报告
课题申请表 1 份，活动计划 1 份， 活动记录表 8 份，
附录材料 访谈表 5 份， 调查表 10 份，
其他材料：
成果概述 通过研究，学生更加了解数学的发展历史
相关科
学述语

成果体
现依据
学生数学知识普遍提高。
编号
实物
材料
名 称 制作者 内容与功能 数量
数学读本 了解数学历史 10
相关
统计
社会调查 1 次，调查人数 25 人，访问专家 2 人回收调查
表 20 份，活动经费 20 元，上网 20 小时。

参考书目及资料清单：
浏览相关网站：
课题展示方式及其相关说明:
班内学生查找资料。
实物材料：如制作的图片、模型、照片、实物样本、音像资料等。

平泉中学学生研究性学习课题研究成果汇报表（一）
编号
导 师
计划
执行
课题名称 数学的发展历史
徐克位 组 长 朱圆圆 参加人数 7


组长能够很好地带领组员按计划实施活动
活动
记录
活动过程中组员积极配合，积极活动，兴趣浓厚
任务
完成
完成良好
组员
合作
合作默契，团结一致
成果
评估
收获较大，成果优秀
综合评价：
姓 名
朱圆圆
组员
成绩李向阳
评定



王倩倩
等 级
良好
良好
良好



姓 名
王恩惠
徐博龙
等 级
良好
一般
姓 名
赵宏博





等 级
一般













王浩桢 良好






★等级分优秀、良好、一般。

平泉中学学生研究性学习课题实施评价表(二)
（由评审组填写）
2013年 10 月 21 日
编 号
组 长
课题名称
朱圆圆
数学的发展历史
参加人数 7 导 师 徐克位
得分








实践性（6）
逻辑性（6）















类 别
开题报告(5)
陈 述 （3）
答 辩 （2）
计划是否合理 （10）
计划实施情况 （10）
记 录 情 况 （5）
完整情况（材料是否齐全）（10）
科学性、实际水平（10）
展 示 效 果（5）
完整性（6）
结题报告
（30）
科学性（6）
计划实施情况（20）
材料完整性（15）
成果体现（15）
应 用 性（6）
陈 述
（5）
成果答辩
（15）
语言、仪表、正确性、时间运用
应答能力
（3）
小组合作
（2）
3
2
正 确 性
（3）
时间运用
（2）
答 辩
（10）
突出贡献
（课题是否有创新意识，学生能力及成果是否特别显著）
（10）
课题成果总分

评审组（签名）:
课题综合等级 A(100) B(90) C(80) D(70) E(60)

B

数学的发展历史

数学古称算学 ，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特
点，可以分为五个时期：萌芽；体系的 形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽
原始公社末期，私有 制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，
仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1 234的符号。到原始公社末期，已开始用
文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土 的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正
方形的图案，半坡遗址的房屋基址 都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们
还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记 ·夏本纪》记载，夏禹治水时
已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套 十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；
与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑 、丙寅、丁卯等60个名称来
记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物 发展为六十
四卦，表示64种事物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、 深、广、远的方法，并举出
勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到 西周贵族
子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，
作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹 算记数法已使用十进位值制，这种记
数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生 产上有了广泛应
用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤 其是对于正名和一些命题的争论直接与
数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不 同，他们提出“矩
不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷 小)
定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认 为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些墨家
不同意“一尺之棰”的命题，提 出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半
一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的 “非半”，这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指 出了这种无限分

割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论， 对中国古代数学理论的
发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成
封建社会的上 升时期，经济
到迅速发展。中国古代数学
成于这个时期，它的主要标
成为一个专门的学 科，以及
术》为代表的数学著作的出
《九章算术》是战国、
社会创立并巩固时期数学发
秦汉是
和文化均得
体系正是形
志是算术已
以《九章算
现。
秦、汉封建
展的总结，
就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术( 西方称三率法)、
开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和 体积
公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾
股数 的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展
上是遥遥领先的。就其 特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不
同的独立体系。
《九章 算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是
从筹算记数法发展起来的；以算 术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏
理论阐述等。
这些特点是同当时社会条件 与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为
当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服 务，强调数学的应用性。最后成书于
东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家 和墨家重视名词定
义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当< br>时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为 这些国家当时的数学教科书。
它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并 通过印度、
阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
中国古代数学的发展
魏、晋 时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用
逻辑思维，分析义理，这些 都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，

汉末魏初徐岳撰 《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都
是出现在这个时期。赵爽与刘徽的 工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导 的最早的数学家之一。他在《周
髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的 数学文献。
在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日
高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创
性的，在中国古代数 学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些 数学名
词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能
使数 学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、
公式和定理进行一般的 解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割
圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式， 并首次用理论的方法算得圆周率为 15750
和 39271250。
徽用无穷分割的方法 证明了直角方锥与
面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体
关键问题。在证明方锥、圆柱、圆 锥、
体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出
途径。
晋以后，中国长期处于战争和南北分裂
刘
直角四
体积的
圆台的
了正确
东
的状
态。 祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，
他们在刘徽注《九章算术 》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学
工作主要有：计算出圆周率在3.14159 26～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出
二次与三次方程的解法等。
据推 测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面
积，从而得到了 这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率227和密
率355113。祖冲之这一工作 ，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；
祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的 有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等
高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立 体体积相等，这就是著名的
祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公 式。
隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算

经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反
映了这个时期数 学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不
仅解决了当时社会的需要，也为后来 天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形
解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。
唐 初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30
人。由太史令李 淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试
亦以这些算书为准。李淳风等编纂 的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究
提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经 》、《九章算术》以及《海岛算经》
所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算 学家创立了二次
函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。
算筹是中国古代的主要 计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布
筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而 造成错误等缺点，因此很早就开始进
行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在 技术上是重要的
改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列
中进行。算珠还 没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切 要求改革计算方法，从《新唐书》
等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算 法，唐代的算
法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

中国古代数学的繁荣
960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的 农业、手工业、商业
空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨
的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀
之 又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。
从11～14世纪约300年期间，出现了一批著 名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九
章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》 ，李冶的《测圆海镜》和《益
古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰 的《算学启蒙》
《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。
从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就

是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；
在《详解九章算 法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增
乘开方法开四次方的例子。根据这些 记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增
乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响， 其中贾宪三角比西方的帕斯
卡三角形早提出600多年。
把增乘开方法推广到数字高次方程( 包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》
中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二 次方程和 1个四次方程，后者是用
增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方
法解高次方程(最高次 数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数
项规定为负数，把高次方程解法分成 各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取
继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为 分母，常数为分子来表示根
的非整数
理无理数
秦九韶还
第二位数
早5 00多
元代
中解决了
部分，这是《九章算术》和刘徽注处
方法的发展 。在求根的第二位数时，
提出以一次项系数除常数项为根的
的试除法，这比西方最早的霍纳方法
年。
天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》
三次函数的内插值问题。秦九韶在
“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差
术)，朱世杰得 到一个四次函数的内插公式。
用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程，古代称为 天元术，这是中国数
学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最
早 的天元术
著作是李冶的《测圆海镜》
。
从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立 方程组，是宋元数学家的又一项杰出的
创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《 四元玉鉴》。
朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱
世杰的最大贡献 是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项
式作为这未知数的系数，列成若干个 一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去

这一未知数。重复这一步骤便 可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这是线性
方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400 多年。
勾股形解
《算学启蒙》卷
形的方法，补充
圆海镜》对勾股< br>个容圆公式，大
已知黄道
点运行的黄经
个解球面直角
法在宋元 时期有新的发展，朱世杰在
下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股
了《九章算术》的不足。李冶在 《测
容圆问题进行了详细的研究，得到九
大丰富了中国古代几何学的内容。
与赤道的 夹角和太阳从冬至点向春分
余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一
三角形的问题，传统历法都是用 内插
法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解
决了这 个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个推算
步骤是正确无误的，从数学 意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
中国古代计算技术改革的高潮也是出现在 宋元时期。宋元明的历史文献中载有大
量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改革的主要内 容仍是乘除法。与
算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算< br>盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。
宋元数学的繁荣，是社会经济 发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必
然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也 是十分重要的。宋元数学家都在不
同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出 一源，但他后
来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；
杨辉对纵横图结 构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有
这些，无疑是促进数学发展的重要因 素。

中西方数学的融合

中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主
义哲学 ，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。
16世纪末以后，西方初等数学 陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通
的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国， 中国数学便转入一个以学习西方数
学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。

中国古代数学的成就与衰落

数学在
中国历史
久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括
从一 至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到
大禹治水
使用
了规、矩 、准、绳等作图和测量工具，而且知道“
勾三股四弦五
”；据说
《易经》
还包 含
组合数学
与二进制思想。2002年在湖南发掘的秦代古墓中，考古人员发现
了距今 大约2200多年的
九九乘法
表，与现代小学生使用的乘法口诀“小九九”十
分相似。
中国古代的计算工具，它在春秋时期
遍；使用算筹进行计算称为筹算。中
的最大特点是 建立在筹算基础之上，
阿拉伯数学
是明显不同的。

算筹
是
已经很普
国古代数学
这与西方及
但是，于自西汉至
成书于西汉
它是1984
的汉代竹简
真正意义上的中国古代数 学体系形成
南北朝的三、四百年期间。《算数书》
初年，是传世的中国最早的数学专著，
年由考古学家在湖北江陵张家山出土
中发现的。
《周髀算经》
编纂于西汉末年，它虽 然是一本关于“
盖天说
”的天文学著
作，但是包括两项数学成就——（1）
勾 股定理
的特例或普遍形式（“若求邪至日
者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除 之，得邪至日。”——这
是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法” 。

《九章算术》
在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多 人
整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，
主要内容 包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计
算等。在代数方面，《九章算术》 在世界
数学史
上最早提出负数概念及正负数加减
法法则；现在中学讲授的
线性 方程组
的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。
注重实际应用是《九章算术》的一个显著特 点。该书的一些知识还传播至印度和

阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。
《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成，中国古代
数学在三国 及两晋时期侧重于理论研究，其中以
赵爽
与
刘徽
为主要代表人物。
赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的
数学家之一，其学术成就体现 于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，
他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“ 割补原理”的方法。用几何
方法求解
二次方程
也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三 国时期魏人刘徽则注释
了《九章算术》，其著作
《九章算术注》
不仅对《九章算术》的 方法、公式和定理进
行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“
割圆术
”（圆内接正多边形面积无限逼近
圆面积
），为
圆
周率
的计算奠定了基
算出圆周础，同时刘徽还
率的近似值
——“39271250（3.1416）”。他设计的 “
牟合方盖
”的几何模型 为后人寻求
球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了
“阳 马术”。另外，
《海岛算经》
也是刘徽编撰的一部数学论著。
南北朝是中 国古代数学的蓬勃发展时期，计有
《孙子算经》
、
《夏侯阳算经》
、
《张
丘建算经》
等算学著作问世。
祖冲之、
祖暅
父子的工 作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和
数
学推理
，在前人刘徽《九章算术 注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作
《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小 数点后第六位，得到
3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为227，密率为 355113，其中密率
是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto ）和荷兰
人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球

体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积< br>不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一
定理… …祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。
隋唐时期的主要成就在于建立中国
数学教 育
制度，这大概主要与国子监设立算
学馆及科举制度有关。在当时的算学馆《
算经十书
》成为专用教材对学生讲授。《算
经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》 等10部数学著作。所以
当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。
公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二
次内插公式；唐代僧一行在 其《
大衍历
》中将其发展为不等间距二次内插公式。
从公元11世纪到14 世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数
学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的 数学家和数学著作。中国古代
数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯 数学
一道居于领先集团的。

贾宪
在《黄帝九章算法细草》中提出开 任意高次幂的“增乘开方法”，同样
的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的
二项式定 理
系数表与17世纪欧洲出
现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草 》书稿已佚。
秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开
方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高
次方程的解法 （最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解
法。另外，秦九韶还对一次同余式理 论进行过研究。
李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元 高
次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，
李冶公开批 判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的
士风谬论。
公元 1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”
求出几类高阶等差级数之和 。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九
归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元 1280年，元代王恂、郭守敬等制
订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法 求出相当于
现在球面三角的两个公式。
公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”

推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775
年法国人别朱（ Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题
进行了研究，在此基础上得出了高 次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格
里高利（Gregory）和公元1676一1678 年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般
公式。
14世纪中、后叶明王朝建立 以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，
在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古 代数学便开始呈现全面
衰退之势。
明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰 的《直指算法统宗》是一部集
珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础 之上
的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。
由于演算天文历法的需要，自16 世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一
些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学 习西方数学知识，
而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻< br>辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》
两篇著作。邓玉函 编译的《大测》〔2卷〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测
量全义》〔10卷〕是介绍西方三角 学的著作。
此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。