高中数学改错本怎么用-高中数学大题归纳
计数原理
知识讲解
一、基本计数原理
1.加法原理
分
类计数原理：
做一件事，完成它有
n
类办法，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第
二类办法中有
m
2
种方法，……，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N?m
1
?m
2
??m
n
种不同的方法．又称加法原理．
2.乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成
n
个子步骤，做第
一个步骤有
m
1
种不同的方法，
做第二个步骤有
m
2
种不同方法，……，做第
n
个步骤有
m
n
种不同的方法．那么完成
这件事
共有
N?m
1
?m
2
??m
n
种不
同的方法．又称乘法原理．
3.加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法
是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类
计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互
联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完
成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
注：
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．（2018?南开
区一模）如图所示的几何体是由一个三棱锥P﹣ABC与三棱柱ABC
﹣A
1
B
1
C
1
组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A
1<
br>B
1
C
1
不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（
）
A．6种 B．9种 C．12种 D．36种
【解答】解
：先涂三棱锥P﹣ABC的三个侧面，有C
1
3
×C
1
2
种
情况；
然后涂三棱柱的三个侧面，有C
1
1
×C
1
2
种情况；
共有C
1
3
×C
1
2×C
1
1
×C
1
2
=3×2×1×2=12种不同的涂
法．
故选：C．
2．（2018?汉中二模）《爸
爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作
组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求
将6户家庭分成4组，其中2
组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（
）
A．216 B．420 C．720 D．1080
【解答】解：将
6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1
户家庭，有=45种方法，
种，
再分配到4个村庄体验农村生活，共有
∴不同的分配方案种数为45×
24=1080种．
故选：D．
3．（2017秋?凉州区校级期末）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位
数中
，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数．
A．6 B．9
C．10 D．8
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
首位
是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A
3
3
=6个，
前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A
2
2<
br>=2
种结果，
前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，
∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，
数字本身就是第十个数字，
故选：C．
4
．（2018春?琼海校级期末）现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题
词（如图）涂色，要
求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（ ）
A．27 B．54
C．108 D．144
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先给最左边一块涂色，有4种结果，
再给左边第二块涂色有3种结果，
以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果，
∴根据分步计数原理知共有4×3×3×3=108．
故选：C．
5．（2017?清新区校级一模）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人
员，
将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种
数为（
）
A．1080 B．480 C．1560 D．300
【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．
若4个组
的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有
若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方
案有
故所有的分组方法共有20+45=65种．
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65
故选：C．
?
=20种不同的方法．
=45种不同的方法．
=1560种，
6．（2017春?浉河区校级期末）从5名志愿者中选派4人在星
期六和星期日参加
公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、从5名志愿者中选派4人参加活动，有C
5
4
=5种选法，
<
br>②、将4人分为2组，有C
4
2
C
2
2
=3种分法，
③、将2组进行全排列，对应星期六和星期天，有A
2
2
=2种情
况，
则共有5×3×2=30种方法；
故选：C．
7．（2017春?鸡泽县校级期中）将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使
同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色的方法数
为（ ）
A．24 B．60 C．48 D．72
【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD．
下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，
（1）P的着色方法种数为C
4
1
，A的着色方法种数为C
3
1
，B的着色方法种数为C
2
1
，
C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C
2
1
．
（2）P的着色方法种数为C
4
1
，A的着色方法种数为C
3
1
，B的着色方法种数为C
2
1
，
C与B不同色时C的
着色方法种数为C
1
1
，D的着色方法种数为C
1
1
．
综上两类共有C
4
1
?C
3
1
．2?C2
1
+C
4
1
?C
3
1
?2=48+
24=72种结果．
故选：D．
8
．（2017春?中山市校级月考）某体育彩票规定：从01到36个号中抽出7个号
为一注，每注2元
．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3
个连续的号，从19到29个号中选出2
个连续的号，从30到36个号中选出1
个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱
数为（ ）
A．2000元 B．3200元 C．1800元 D．2100元
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；
第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；
第3步从30到36中选1个号有7种选法．
由分步计数原理可知：
满足要求的注数共有15×10×7=1050注，
故至少要花1050×2=2100，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
9．（2018?上海二模）设x
1
，x
2
，x
3
，x
4
∈{﹣1，0，2}，那么满足2≤|x
1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|
≤
4的所有有序数对（x
1
，x
2
，x
3
，x
4）的组数为 45
【解答】解：①|x
1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|=2，0+0+0+2=2，有4种，1+0+1
+0=2，有6
种，故有10组；
②：|x
1
|+|x
2
|+|x
3
|+|x
4
|=3，0+1+1+1=3，有4种，0+
1+2+0=3，有C
4
1
C
3
1
=12种，
故有
16组；
③：|x
1
|+|x
2
|+|x
3|+|x
4
|=4，1+1+1+1=4，有1种，0+1+1+2=4，有C
4
1
C
3
1
=12种，
0+0+2+2=4，有C
4
1
C
3
1
=6种，故有19组；
综上，共45组，
故答案为：45．
10．（2017春?福州期末）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和
编号为1，2，3，
4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，<
br>并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为
45 ．
<
br>【解答】解：先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C
5
1
=5种情况，
例如：
5号球放在5号盒子里，
其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3
，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，
2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），
（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，
1）共9种，
故将这五
个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球
的编号与盒子的编号相同，则这样
的投放方法总数为5×9=45种，
故答案为：45．
11．（2017春?南岗区校级期中）如图，从A→C有 6 种不同的走法．
【解答】解：A到C分两类，
第一类：A→B→C，分两步，第一步，A→B有2种
走法，第二步，B→C有2种走
法，故A→B→C有4种走法，
第二类：A→C有2种走法，
故A→C有4=2=6种走法，
故答案为：6．
12．（2017春?天门期中）某班准备了
5个节目将参加厦门一中音乐广场活动（此
次活动只有5个节目），节目顺序有如下要求：节目甲必须排
在前两位、节目乙
不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方
案共有 10 种．
【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：
一类
为甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有A
3
3
=6种，
<
br>另一类甲排在第二位，丙排在最后一位，从3，4位中排乙，其余2个节目排在
剩下的2个位置，
共有A
2
1
A
2
2
=4种，
∴故编排方案共有6+4=10种，
故答案为：10
13．（2018?梅州二模）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于
上课
时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的
选修方案种数是 98
．
【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，
第一类A，B，C三门课都不选，有C
7
3
=35种方案；
第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C
3
1
C
7
2
=63种方案．
∴根据分类计数原理知共有35+63=98种方案．
故答案为：98．
14．（2017秋?辽源期末）设n=
为 60 ．
【解答】解：∵n=dx=﹣6cosx=6，
dx，则二项式展开式中常数项
∴二项式展开式的通项为：，
令6﹣3r=0，解得r=2，
此时=60，
故答案为：60．
15．（2017?淄博一模）工人在悬挂
如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定
六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离
它最远的第二个螺丝，
再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和<
/p>
第六个以此类推，则不同的固定方式有 48 种．
【解答
】解：先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有
第三个螺丝，和其对角线上的，有
种方法；
再随意拧
种方法；然后随意拧第五个螺丝，和其对角
=48．
线上的，有种方法，所以总共的固定方式有：
故答案为48．
16．（2017?宝鸡三模）六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环
赛
制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，
C、D各参加了4局比赛
，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也
没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为
4 ．
【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，
所以与D赛过的是A、C、E、F四人；
与C赛过的是B、D、E、F四人；
又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，
所以与A赛过的是D、B、F；
而与B赛过的是A、C、F；
所以F共赛了4局．
故答案为：4．
17．（2017春?南岸区校级期中）《数
学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定
理”．问题起源于1852年的伦敦大学学院毕业生弗朗西斯
?加斯里．他给自己的
弟弟弗莱德里克写了一封信，信中提到了他认为应该很简单的一道小谜题．他一<
br>直尝试着给一张英国各郡的地图着色，在这个过程中，他发现使用四中颜色就可
以实现他的目的，
即使相邻的两个郡具有不同的颜色．“可以使用四种（或更少）
颜色为平面上画出的每张
地图着色，使任何相邻的两个地区的边界线具有不同的
颜色吗？”他写道．
回答他这
个问题用了124年．而且，即使现在，答案也依赖于大量的计算机辅
助．目前还不知道四色原理的简单
的概念性证明．但较简单的图形还是能够一步
步检查得出．如：
若用红、黄、蓝、绿四种颜色给右边的地图着色，共有 24 种着色方法．
【解答】解：第一步，给区域①涂色，共有4种选择方法；
第二步，给区域②涂色，共有3种选择方法；
第三步，给区域③涂色，共有2种选择方法；
第四部，给区域④涂色，只有1种选择方法；
∴共有4×3×2×1=24种方法．
故答案为24．
18．（2017春?殷都区校级期中）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，
从
{1，2，3}中随机选取一个数为b，则使得b≠a的不同取法共有 12 种．
【解答】解：当a=1、2、3时，b的取法分别有2种，故此时使得b≠a的不同
取法共有3×2=
6种．
当a=4或5时，b的取法分别有3种，故此时使得b≠a的不同取法共有2×3=6
种．
综上可得，使得b≠a的不同取法共有6+6=12种，
故答案为 12．
三．解答题（共1小题）
19．（2018春?南阳期末）如图所示，在以AB为直
径的半圆周上，有异于A，B
的六个点C
1
，C
2
，…，C
6
，直径AB上有异于A，B的四个点D
1
，D
2
，D
3<
br>，D
4
，则：
（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
（2
）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？
其中含点C
1的有多少个？
【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四
个点从C
1
，C
2
，…，C
6
中取出，有C
64
个四边形；
②三个点从C
1
，C
2
，…，
C
6
中取出，另一个点从D
1
，D
2
，D
3
，D
4
，A，B中取出，
有C
6
3
C
6
1
个四边形；
③二个点从C
1
，C
2
，…，C<
br>6
中取出，另外二个点从D
1
，D
2
，D
3
，D
4
，A，B中取
出，有C
6
2
C
6
2
个四边形．
故满足条件的四边形共有N=C
6
4
+C6
3
C
6
1
+C
6
2
C
6<
br>2
=360（个）．
（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C
6
3
+C
6
1
C
4
2
+C
6
2
C
4
1
=116（个）．
其中含点C1
的有C
5
2
+C
5
1
C
4
1
+C
4
2
=36（个）．
计数原理
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 某班有男生
有
A.
B.
C. D.
人，女生 人，从中选—位同学为数学课代表，则不同选法的种数
2.
位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队，要求每位同学只能选报一个球
队，则所有的报名数有
A. B.
，
，从
C. D.
3. 已知集合 ， 这两个集合中各选一个元素分
别作为点的横坐
标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内
不同的点的个数是
A.
B. C. D.
4. 某班小张等
位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个
小组，且小张不能报A小组，则不
同的报名方法有
A.
5. 已知
A.
种
，
B.
B. 种
，则
C.
种 D.
D.
种
可表示不同的值的个数为
C.
6. 如图，小明从街道的 处出发，先到
处与小红会合，再一起到位于
处的老年
公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A. B. C. D.
7. 有 位教师在同一年级的
个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师
不能在本班监考，则不同的监考方法有
A. 种 B. 种
C. 种
C.
种 D. 种
D. 种
8. 把 封信投到 个信箱，所有可能的投法共有
A. 种 B. 种
9.
已知集合 ，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐
D.
标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数是
A.
B. C.
10. 如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点
向
结点 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，
结点之间
的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的最大信息量为
A. B. C. D.
是11.
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设
正六棱柱的一条侧棱，如图．若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以
形的一边，则这样的阳马的个数是
为底面矩
A. B. C. D.
12. 从 ，，，， 中每次取出不同的
个数字组成三位数，那么这些三位数的个
位数字之和为
A.
B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱
型纸盒中，正视图如图所示，若随
机从一头取出一个乒乓球，分
次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数
是 （用数字作答）．
14. 如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆 个，一堆 个，现需
要全部装运，每次
只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数
是
（用数字作答）．
15. 现有某类病毒记作
，其中正整数 可以任意选取，则
都取到奇数的概率为
．
16. 在某艺术团体组织的“微视频展示”活动中，该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评<
br>分”两个角度来进行评优，若A视频的“点击量”和“专家评分”中至少有一项高于B视
频，则称
A视频不亚于B视频，已知共有 部视频参展，如果某视频不亚于其他
部视频，就称此视频为优秀视频，那么在这 部微视频中，最多可能
有
个优秀视频．
17.
如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角
形有
个．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为
个部分（如图）．现要栽种 种不
同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则
不同的栽种方法
有多少种（用数字作答）?
19. 已知直线
中的 ，， 是取自集合 中的
个
不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数．
20. 如图，一个地区分为
个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种
颜色．现有
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种?
20. 个人要坐在一排
个空座位上，若每个人左右都有空座位，不同的坐法有多少种?
22. 某小组 个人排队照相留念．
（1）若分成两排照相，前排
人，后排 人，有多少种不同的排法?
（2）若分成两排照相，前排 人，后排
人，但其中甲必须在前排，乙必须在后
排，有多少种排法?
（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法?
（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法?
（5）若排成一排照相，其中有 名男生、
名女生，且男生不能相邻，有多少种
排法?
（6）若排成一排照相，且甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法?
排列组合
知识讲解
一、排列
1.
排列：
一般地，从<
br>n
个不同的元素中任取
m(m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元
素）
2.
排列数：
从
n
个不同的元素中取出
m(
m≤n)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同
元素中取出
m<
br>个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示．
(n?m?
1)
，
m，n?N
?
，并且
m≤n
．
3
.
排列数公式：
A
m
n
?n(n?1)(n?2)
4.
全排列：
一般地，
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的一个全排列．
5.
n
的阶乘：
正整数由
1到
n
的连乘积，叫作
n
的阶乘，用
n!
表示．规定：<
br>0!?1
．
二、组合
1.
组合：
一般
地，从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素并成一组，叫
做从
n
个元
素中任取
m
个元素的一个组合．
2.
组合数：
从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个
不同元素中，任意取出
m
个
元素的组合数，用符号
C
m
表示．
n
3.
组合数
公式：
，
m,n?N
，并且
m≤n
．
n(n?1
)(n?2)(n?m?1)n!
?
C??
m!m!(n?m)!
m
n
组合数的两个性质：
n?m
①
C
m
；
n?C
n
mm?1
②
C
m
．（规定
C
0
n?1
?C
n
?C
nn
?1
）
三、排列组合一些常用方法
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2.分类分步法：
对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分
类明确，层次清楚，不重不漏．
3.排除法，
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4.捆
绑法：
某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进
行排列，
然后再给那“一捆元素”内部排列．
5.插空法：
某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6.插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的分组问题
——把
n
个元素排
1
成一排，从
n?1
个空中选
m
?1
个空，各插一个隔板，有
C
n
m
?
?
1
．
7.分组、分配法：
分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一
般
地平均分成
n
堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！
8.错位法：
编号为1至
n
的
n
个小球放入编号为1到
n
的
n
个盒子里，每
个盒子放一个小球，
要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当
n?2，3，4，5时的错位
数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用
剔除法转化为2个、
3个、4个元素的错位排列的问题．
四、实际问题的解题策略
1.排列与组合应用题
三种解决途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
注意：
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分
类计数
原理还是 分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出
式子计算作答．
2.具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
典型例题
一．选择题（共15小题）
1．（2018?上海）《九章算术》中，
称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥
为阳马，设AA
1
是正六棱柱的一条侧棱
，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶
点、以AA
1
为底面矩形的一边，则这样的阳
马的个数是（ ）
A．4
B．8 C．12
D．16
2．（2018?浙江三模）三位数中，如果百位数字，十位数字，个位数字刚好能
构
成等差数列，则称为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等等，等差三
位数的总个数为（ ）
A．32 B．36 C．40 D．45
3．（2018?余姚市校级模拟）用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要<
br>求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足
条件的不同五位
数的个数是（ ）
A．48 B．60 C．72 D．120
4．（2018?遂宁模拟）要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、
化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2
节），不同排法种数为
（ ）
A．144 B．192 C．360 D．720
5．（2018?濮阳三模）《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片
讲述了中国
海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们
依
次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三
位，且任务E、F必须排在
一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．188种
C．156种 D．120种
6．（2018?衡阳三模）《中国诗
词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有
一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人
团齐声朗诵，别有韵味．若
《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗
词排
在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居
秋暝》与
《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排
法有（ ）
A．144种 B．48种
7．（2018?德阳模拟）从5名学生
中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物
四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种
数为（ ）
A．48 B．72 C．90 D．96
8．（2018?保山二模）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向
左或只向
右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单
位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数
轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的
飞行方式有多少种？（ ）
A．5
9．（2018?凯里市校级四模）集合A={1，2，3，4，5}，B={
3，4，5，6，7，8，
9}，从集合A，B中各取一个数，能组成（
）个没有重复数字的两位数？
A．52 B．58 C．64 D．70
B．25 C．55 D．75
C．36种 D．72种
10．（2018?丰台区一模）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评
选出2位男生
和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同
学不能相邻，不同的排法种数为（ ）
A．4
11．（
2018?合肥三模）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两
个端点不能同色，现有4
种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
（ ）
B．8 C．12
D．24
A．24 B．48 C．96 D．120
12．（2018?朝阳区二模）某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0
分，平局两人各得1分
．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人
都少，则本次比赛的参赛人数至少为（
）
A．4
13．（2018?朝阳区一模）某单位安排甲
、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五
值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天
值班，则不同的
安排方法种数为（ ）
A．18 B．24 C．48
D．96
B．5 C．6 D．7
14．（2018?宜宾模拟）学校田径队有男运动员28人，女运动员21
人，用分层抽
样的方法从全体运动员中抽取7人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训
队
中抽取3人代表学校参加比赛，则这3人中男、女运动员都有的选法种数为
（ ）
A．60 B．35 C．31 D．30
15．（201
8?重庆模拟）山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5
块并成一排的试验田里，其中A
，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田
里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法
数为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
二．解答题（共3小题）
16．（2018春?陆川县校级月考）4个不同的红球和6个不同
的白球放入同一个袋
中，现从中取出4个球．
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？
（2）取出
一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不少于5
分，则有多少种不同的取法？
17．（2017?天心区校级学业考试）有下列问题：
（1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
（2）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
18．（2017?山西二模）（1）求（﹣x）
5
的展开式中x
3
的系数及展开式中各项系
数之和；
（2）从0，2，3，4，5，6这6个数中任取
4个组成一个无重复数字的四位数，
求满足条件的四位数的个数．
排列组合
一、选择题（共12小题；共60分）
1.
A.
B. C. D.
2. 把 个不同的黑球，
个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同
的排法种数是
不对
3. 把三张游园票分给
A. 种
个人中的 人，分法有
B. 种
C.
种 D.
种
A.
B. C. D. 以上都
4.
下面几个问题中属于组合问题的是
①由 ，，， 构成的双元素集合；
②
个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由 ，， 构成两位数的方法；
④由 ，，
组合无重复数字的两位数的方法．
A. ①③ B. ②④ C. ①②
D. ①②④
5. 在某种信息传输过程中，用
个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，
不同排列表示不同信息，若所用数字只有 和
，则与信息
位置上的数字相同的信息个数为
A. B.
C. D.
至多有两个对应
6. 将 名教师，
名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 名教师和
名学生组成，不同的安排方案共有
A. 种 B. 种 C. 种
D. 种
7. 将 A，B，C，D 这
名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C
之间恰好有
名同学”的概率是
A. B. C. D.
8. 袋
中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”，“”，“”，“”．现从中随
机选取三个球，则
所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是
A. B. C.
D.
9. 已知
A.
，，，
C. ，
，则 为
，，
B. ，
D.
10. 个停车位置，有 辆汽车需要停放，若要使
个空位连在一起，则停放的方法
总数为
11.
A. B.
A.
B.
的值为
C. D.
C. D.
12. 已知一组曲线
，其中 为 ，，， 中的任意一个， 为 ，
，，
中的任意一个．现从这些曲线中任取两条，它们在
行的组数为
A.
B. C.
处的切线相互平
D.
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 设
14.
某艺校在一天的 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课
各
节，则在课表上两节文化课之间最多间隔 节艺术课的概率
，则方程 的解集是
．
为 （用数字作答）．
15. 现有
张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 张，从中任取 张，
要求这
张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 张，不同取法的种数
为
．
16. 有 个零件，其中 个一等品， 个二等品，若从 个零件中任意取
个，
那么至少有 个一等品的不同取法有 种．
17. 对有
和
个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总体
（ 是给定的正整数，且 ），再
从每个子总体中各随机抽取 个元素组成样本．用
在样本中的概率，则
于 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 全组
；所有
表示元素 和 同时出现
的和等
个同学，其中有
个女同学，现选出 个组成一个文娱小组，分别担任
不同的工作．
（1）至少一个女同学当选，有多少种不同的选法?
（2）至多两个女同学当选，有多少种不同的选法?
19.
本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙 人，每人 本；
（2）分为 份，每份 本；
（3）分为 份，一份 本，一份 本，一份
本；
（4）分给甲、乙、丙 人，一人 本，一人 本，一人 本；
（5）分给甲、乙、丙 人，每人至少 本．
20. 已知
止．
（1）若恰在第 次测试，才测试到第 件次品，第
则这样的不同测试方法数是多少?
（2）若恰在第
次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同的测试的方法数是多
少?
次才找到最后一件次品，
件不同的产品中有
件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有次品为
21. 张卡片上分别写着数字 ，，，，，从中取出 张排成一排组成 个三位
数，如果 可以当作 使用，问可以组成多少个三位数?
22. 已知 ，定义 ．
（1）记
（2）记
，求
，求
的值；
的所有可能值的集合．
二项式定理
知识讲解
一、二项式定理
a?b
?
1.二项式定理内容：
?
的定理叫做二项式定理．
n
0n1n?12n?22nn
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?...?C
n
b
?
n?N
?
?<
br>这个公式表示
2.二项式系数、二项式的通项
0n1n?12n?22nn
定
义：
C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?...?C<
br>n
b
叫做
?
a?b
?
的二项展开式，其中的系数
n
r
C
n
?
r?0,1,2,...,n
?
叫做二项式系数，式中的
C
n
r
a
n?r
b
r
叫做二项展开式的通项，用
T
r?1
表示，
rn?rr
ab
．
即通项为展开式的第
r?1
项：
T
r?
1
?C
n
3.二项式展开式的各项幂指数
?
a?b
?二项式
n
的展开式项数为
n?1
项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数
n
．
②字母
a
的按降幂排列，从第一项开始，次数由
n
逐项减1直到零，字母
b
按
升幂排列，从
第
一项起，次数由零逐项增1直到
n
．
4.几点需注意的问题：
rn?rr
ab
是
?
a?b?
的展开式的第
r?1
项，这里
r?0,1,2,...,n
．
①通项
T
r?1
?C
n
rn?rr
ba
是
有区别的，②二项式
?
a?b
?
的
r?1
项和
?<
br>b?a
?
的展开式的第
r?1
项
C
n
应用二
项式
nn
n
定理时，其中的
a
和
b
是不能随便交换
的．
③注意二项式系数（
C
n
r
）与展开式中对应项的系数不一定
相等，二项式系数一定为正，而
项的系数有时可为负．
④通项公式是
?
a?
b
?
这个标准形式下而言的，如
?
a?b
?
的二项展开式的
通项公式是
nn
rn?rr
rn?rr
T
r?1
?
?
?1
?
C
n
ab
（只须把
?b
看成b
代入二项式定理）这与
T
r?1
?C
n
ab
是不同的，在这
r
里对应项的二项式系数是相等的都是
C
n
r
，但项的系数一个是
?
?1
?
C
n
r
，一个是<
br>C
n
r
，可看出，
二项式系数与项的系数是不同的概念．
1
22rr
x?C
n
x?...?C
n
x?...?x
n．
⑤设
a?1,b?x
，则得公式：
?
1?x?
?1?C
n
n
r
rn?rr
ab
?
r?0,1,2,...,n
?
中含有
T
r?1
,a,b,n,r<
br>五个元素，只要知道其中四⑥通项是
T
r?1
?
C
n
个即可求第五个元素．
⑦当
n
不是很大，
x
比较小时可以用展开式
的前几项求
(1?x)
n
的近似值．
二、二项式系数的性质
1.杨辉三角形：
对于
n
是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去
套用二项式定理，二项式系数
也可以直接用杨辉三角计算．
“
左、
”
右两边斜行各数都是
1
．其余各数都等于它肩上
两个数字的和．
杨辉三角有如下规律：
2.二项式系数的性质：
?
a?b<
br>?
n
012n
,C
n
,C
n
,...,C<
br>n
展开式的二项式系数是：
C
n
，从函数的角度看
C
n
r
可以看成是
r
为自变量的函数
f
?r
?
，其定义域是：
?
0,1,2,3,...,n
?
．当
n?6
时，
f
?
r
?
的图象为下图：
这样我们利用
“
杨辉三角
”
和
n?6
时
f
?
r
?
的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端
“
等距离
”
的两个二项式系数相等．
mn?m
注：
事实上，这一性质可直接由公式
C
n
?Cn
得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
n
2
n
?
n?1
?
01
，
C
n
?1,C
n
?,C
n
?
11?2
n
?
n?1
??
n?2
?
3
，．．．，
C
n
?
1?2?3
k?1
C
n
?
n
?
n?1
??
n?2
?
...
?
n?k
?2
?
1?2?3?....?
?
k?1
?
k
，<
br>C
n
?
n
?
n?1
??
n?2
?<
br>...
?
n?k?2
??
n?k?1
?
1?2?3.
..?
?
k?1
?
k
，．．．，
n
C
n
?1
．
其中，后一个二项式系数的分子是
前一个二项式系数的分子乘以逐次减小
1
的数（如
n,n?1,n?2,...
），分母是乘以逐次增大的数（如
1
，
2
，
3
，
…
）．因为，一个自然数乘以一
个大于
1
的数则变大，而乘以一个小于
1
的数则变小，从而当
k
依次取
1
，
2
，
3
，
…
等值时，
C
n
r
的值转化为不递增而递减
了．又因为与首末两端
“
等距离
”
的两项的式系数相等，所以二
项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当
n
是
偶数时，
n?1
是奇数，展开式共有
n?1
项，所以展开式有中间一项，并且
这一
项的二项式系数最大，最大为
C
．
n
2
n<
/p>
当
n
是奇数时，
n?1
是偶数，展开式共有
n
?1
项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为
C<
br>n?1
2
n
?C
n?1
2
n
．
<
br>012rn
?C
n
?C
n
?...?C
n
?
...?C
n
?2
n
．
③二项式系数的和为
2<
br>n
，即
C
n
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，
即
024135
C
n
?C
n
?C
n?...?C
n
?C
n
?C
n
?...?2
n
?1
．
典型例题
一．选择题（共14小题）
1．（2018?新课标Ⅲ）（x
2
+）
5
的展开式中x
4
的系数为（ ）
A．10 B．20
C．40 D．80
2．（2018?株洲一模）（1+x﹣x2
）
10
展开式中x
3
的系数为（ ）
A．10 B．30 C．45 D．210
5
3
．（2018?肇庆三模）已知（1﹣ax）（1+x）的展开式中x
2
的系数为5，则a=（
）
A．1
B．2 C．﹣1 D．﹣2
10
4．（2018?枣庄二模）若（x
2
﹣a）（x+）的展开式x
6<
br>的系数为30，则a等于（ ）
A．
B．
C．1 D．2
5．（2018?揭阳二模）已知
为（ ）
A．2
6．（2018?成都模拟）（1++
B．﹣2
C．±2 D．4
的展开式中常数项为﹣40，则a的值
）（1+x
2）
5
展开式中x
2
的系数为（ ）
A．15
B．20 C．30 D．35
7．（2018?滨州二模）（x<
br>2
﹣2x﹣3）
4
的展开式中，x的系数为（ ）
A．92 B．216 C．292 D．384
8．（2018?广元模拟）已知函数f（x）=10sinx+在x=0处
的切线与直线nx﹣y=0
平行，则二项式（1+x+x
2
）（1﹣x）
n<
br>展开式中x
4
的系数为（ ）
A．120 B．135
C．140 D．100
9．（2018?吉林三模）若的展开式中
只有第7项的二项式系数最大，则展
开式中含x
2
项的系数是（ ）
A．﹣462 B．462 C．792 D．﹣792
10．（2018?上饶三模）
的值为（ ）
A．
11．（2018?孝义市一模）设
a
1
+a
4
=70，则a
5
=（ ）
A．﹣32
12．（2018?温州二模）在（
A．C
13．（2017
秋?滨州期末）（2﹣x）
n
的展开式中所有二项式系数和为64，则x
3
的
系数为（ ）
A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160
B．﹣C C．8C
）
9
的展开式中，常数项是（ ）
D．﹣8C
展开式中x
2
项的系数是40，则实数m
B．2 C． D．±2
，若
B．64 C．﹣128 D．256
14．（2018春?福州期末）（
有（
）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
﹣）
10
的展开式中的有理项且系数为正数的项
二．填空题（共4小题） <
br>15．（2018?宁城县一模）（1+x+x
2
）（1﹣x）
5
展开
式中x
3
系数为 ；
16．（2018?玉溪一模）在（
17．（2018?大武口区校级一模）已知
a= ．
18．（2018?中山市一模）（x
2
+
﹣2x
2
）
5
的展开式中，x
2
的系数是
．
展开式中常数项为1120，则正数
﹣2）
3
展开式中的常数项为
．
二项式定理
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是 ，则展开式中各项系数
的和为
A.
2. 二项式
A.
B.
的展开式中各项的系数之和是
B. C.
C.
D.
D.
3. 以下关于
的二项展开式中不正确的一项为
A.
B.
C.
D.
4. 在二项式
的展开式中，下列结论中正确的是
A.
中间一项的二项式系数最大
B. 中间两项的二项式系数相等并且最小
C.
中间两项的二项式系数相等并且最大
D. 中间两项的二项式系数互为相反数
5. 已知
，那么 展开式中含 项的系数为
6.
7.
A. B.
的二项展开式中，第
项的系数是
C.
B.
D.
A.
C.
D.
的展开式中，常数项等于
8.
A. B. C. D.
展开式中的常数项为
A. B.
C. D.
9. 在二项式
的展开式中，所有二项式系数的和是 ，则展开式中各项系数
的和为
A.
B. C. D.
10. 在
A.
的二项展开式中，
B.
的系数为
C.
D.
11. 在 的展开式中，若二项式系数的和为 ，则
的系数为
12.
A. B. C. D.
的展开式中 的系数为
A.
B. C. D.
二、填空题（共5小题；共26分）
13. 在
14. 二项式系数的性质．
（）
（）
， ．
的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
．
．
项的二项式系数最大； 是奇数时， 与
项的（） 是偶数时，
二项式系数相等且最大．
15.
二项式定理：
（） ．
16. 已知
17. 二项式 的展开式的常数项是 ．
，则
的展开式中常数项为 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 求
除以 的余数．
19. 设
，试问
， 为何值时，含
，若展开式中关于 的一次项系数和为
项的系数取得最小值?
20. 求证：
21. 已知
22. 若
是多少?
，则 的结果
能被
整除，求正整数 的最小值．
能被 整除．
离散型随机变量及分布列
知识讲解
一、离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量
定义：如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量
X<
br>来表示，并且
X
是随着试验
的结果的不同而变化的，我们把这样的变量
X
叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母
X,Y,
表示．如果随机变量
X
的所有可能的取值都能一一列举出来，则称
X
为离散型随
机变量．
2.离散型随机变量的分布列
定义：将离散型随机变量
X
所有可能的取值<
br>x
i
与该取值对应的概率
p
i
(i?1,2,
示：
,n)
列表表
X
P
x
1
p
1
x
2
p
2
…
…
x
i
p
i
…
…
x
n
p
n
我们称这个表为离散型随机变量X
的概率分布，或称为离散型随机变量
X
的分布列．
二、几类典型的随机分布
1.两点分布
如果随机变量
X
的分布列为
X
P
1
p
0
q
其中
0?p?1
，
q?1?p
，则称离散型随机变量
X
服从参数为
p
的两点分布．
两点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为
1
，
不合格记为
0
，已知产品的合格率
为
80%
，随机变量
X<
br>为任意抽取一件产品得到的结果，则
X
的分布列满足点分布．
X
P
1
0.8
0
0.2
两点分布又称
0?1
分布，由于只有两个可
能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分
布又称为伯努利分布．
2.超几何分布 定义：
一般地，设有总数为
N
件的两类物品，其中一类有
M
件，
从所有物品中任取
n
件
(n≤N)
，这
n
件中所含这类物品
件数
X
是一个离散型随机变量，它取值为
m
时的概率
n?m
C
m
M
C
N?M
为
P(X?m)?
(0≤m≤l<
br>，
l
为
n
和
M
中较小的一个
)
．我
们称离散型随机变量
n
C
N
n
的超几何分布．也称
X
服从参数为
N
，在
X
的这种形式的概率分布为超几何分布，
M，
超几何分布中，只要知道
N
，
M
和
n
，就可
以根据公式求出
X
取不同值时的概率
P(X?m)
，从而列出
X的分布列．
3.二项分布
1）独立重复试验
定义：
如果每次试验，
只考虑有两个可能的结果
A
及
A
，并且事件
A
发生的概率相
同．在
相同的条件下，重复地做
n
次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它
们为
n
次
独立重复试验．
n
次独立重复试验中，事件
A恰好发生
k
次的概率为
kn?k
P
n
(k)?C
k
(k?0,1,2,
n
p(1?p)
,n)
．
2）二项分布
定义：
若将事件
A
发生的次数设为
X
，事件
A
不发生的概率为
q?1?p
，那么在
n
次独kk?nk
pq
，其中立重复试验中，事件
A
恰好发生
k
次的概率是
P(X?k)?C
n
k?0,1,2,n
．于是得到
,
X
的分布列
X
P
0
0n
C
0
n
pq
1
1n?1
C
1
n
pq
…
…
行恰
k
kn?k
C
k
n
pq
…
…
二项
n
n0
C
n
n
pq
由于表中的第二好是展开式0n11n?1
(q?p)
n
?C
0
?
n
pq
?C
n
pq
k
?C
n
p
k
q
n?
k
?
n
C
n
p
n
q
0
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量
X
服从参数为
n
，
p的二项分布，
记作
X~B(n,p)
．
二项分布的均值与方差： <
br>若离散型随机变量
X
服从参数为
n
和
p
的二项分布，
则
E(X)?np
，
D(x)?npq(q?1?p)
．
4.正态分布
1）概率密度曲线
定义：
样本数
据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近
的曲线．在随机变量中，如果把
样本中的任一数据看作随机变量
X
，则这条曲线称为
X
的概率密度曲线． <
br>注：
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是
1
，而随机
x
=μ
y
变量
X
落在指定的两个数
a，b
之间的概率就是对应
的曲边梯形的面
积．
2）正态分布
定义：
如果随机现象是由一些互相独立
的偶然因素所引起的，而且每
O
x
一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小
的作用，则表示这样的随机现象的
随机变量的概率分布近似服从正态分布．
正太变量：
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
各元素含义
：
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
f(x)?
1
2π?
?e
?
(x?
?
)
2
2
?
2
，
x?R
，其中
?
，
?
是参数，且
?
?0<
br>，
???
?
???
．式中的参数
?
和
?分别为正态变量的数学期望
和标准差．期望为
?
、标准差为
?
的
正态分布通常记作
N(
?
,
?
2
)
．
正态曲线：
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
标准正态分布：
我们把数学期望为
0
，标准差为
1
的正态分布叫做标准正态分布．
重要结论：
①正态变量在区间
(
?
?<
br>?
,
?
?
?
)
，
(
?
?2
?
,
?
?2
?
)
，
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
内，取值的概率分
别
是
68.3%
，
95.4%
，
99.7%
．
②正
态变量在
(??，
在区间
(
?
?3
?
，??)内的取值的概率为
1
，
?
?3
?
)
之外的取值
的概率
是
0.3%
，故正态变量的取值几乎都在距
x?
?
三
倍标准差之内，这就是正态分布的
3
?
原
则．
?
2
)
，
f(x)
为其概率密度函数，则称
F(x)?P(
?
≤x)?
?
补充：
若
?
~N(
?
，
x??
f(t)dt
为概率
分布函数
x
1
?
t
2
?
?
?
x?
?
2
edt
为标准
正态分布函数．
P(
?
?x)?
?
(
注意：
称?
(x)?
?
~N(0，1)
，
)
．
??
?
?
2π
2
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
典型例题
一．选择题（共5小题）
1．（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形
而有一侧棱垂直于底面的四棱锥
为阳马，设AA
1
是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳
马以该正六棱柱的顶点为顶
点、以AA
1
为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．4
B．8 C．12
D．16
2．（2018?杭州二模）已知 0＜a＜，随机变量 ξ
的分布列如下：
ξ
P
﹣a
﹣1
0
1
a
当 a
增大时，（ ）
A．E（ξ）增大，D（ξ）增大
C．E（ξ）增大，D（ξ）减小
3．（2018春?静宁县校级期末）若随机变量X的分布列为：
X
P
0
0.2
1
m
B．E（ξ）减小，D（ξ）增大
D．E（ξ）减小，D（ξ）减小
已知随机变量Y=aX+b（a，b∈R，a＞0
），且E（Y）=10，D（Y）=4，则a与b
的值为（ ）
A．a=10，b=3 B．a=3，b=10 C．a=5，b=6
D．a=6，b=5
4．（2018春?大武口区校级期中）设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：
x
P（ξ=x）
0
a
1
b
2
c
其中a，b，c成等差数列，若随机变量ξ的均值为，则ξ的方差为（ ）
A．
B． C． D．
5．（2018?金华模拟）随机变量ξ的分布列如下：
ξ
P
﹣1
a
0
b
1
c
其中a，b，c成等差数列，则Dξ的最大值为（
）
A．
B． C． D．
二．解答题（共6小题）
6．（2018?丰台区二模）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽
车的“实际平均续航
里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位
归为A组，从年
龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他
们的电动汽车的“实际平均续航里程数
”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，
“⊙”表示B组的客户．
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
（Ⅰ）
记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，
n，根据图中数据，试比较
m，n的大小（结论不要求证明）；
（Ⅱ）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概
率；
（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户
为“驾
驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，
求随机变量ξ的分布列
及其数学期望Eξ．
7．（2018?丰台区一模）某地区工会利用
“健步行APP”开展健步走积分奖励活
动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），
每多走2千步再积
20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于
40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A，B两类会员中各
随
机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为[3，5），
[5，7），[7，9
），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，
2
1]九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样
本数据绘制成频率分布表
．
分组
[3，5）
[5，7）
[7，9）
[9，11）
[11，13）
[13，15）
[15，17）
[17，19）
[19，21]
合计
频数
10
20
20
30
a
200
n
100
20
m
频率
0.01
0.02
0.02
0.03
b
0.2
0.2
c
0.02
1.00
（Ⅰ）求m和a的值；
（Ⅱ）从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健
步走的步数在13
千步以上（含13千步）的人数为x，求x的分布列和数学期望；
（Ⅲ）设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为
大小（只需写出结论）．
和，试比较和的
8．（
2018?延庆县一模）某车险的基本保费为a（单位：元），继续购买车险的投
保人称为续保人，续保
人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
0
1
2
3
4
≥5
随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
频数
0
400
1
270
2
200
3
80
4
40
≥5
10
（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基
本保费”，求P（A）的估
计值；
（Ⅱ）某公司有三辆汽车，基本保费均为a，根据
随机调查表的出险情况，记X
为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X的分布列；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
9
．（2018?商洛模拟）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周
末时间进行了一次社
会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，
学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，
该班的A、B两个小组所有同学所
得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损
，但知道
B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．
（Ⅰ）若在A，B两组学生中各随机选1人，求其得分均超过86分的概率；
（Ⅱ）
若校团委会在该班A，B两组学生得分超过80分的同学中随机挑选3人
参加下一轮的参观学习活动，设
B组中得分超过85分的同学被选中的个数为随
机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
10．（2018?南充模拟）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，<
br>从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，
15]，（
15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如
图）．
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X
的分布列和数学期
望．（以直方图中的频率作为概率）
11．（2018?石景山区一模）抢“微信红包”已
经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱
的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x
（元）如下
（四舍五入取整数）：
102 52 41
121 72
162 50
43 136
99 22
22 158
95 192
68 98
46
59
79
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别
A
B
C
D
E
红包金额分组
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
160≤x＜200
频数
2
9
m
3
n
（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个
组别；
（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为v
1
、，E组红包金额的平均数与
方差分别为v
2
、，试分别比较v
1
与v
2
、与的大小；
（只需写出结论）
（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值
为ξ，
求ξ的分布列和数学期望．
离散型随机变量及分布列
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 设某项试验的成功率是失败率的 倍，用随机变量 去描述
次试验的成功次数，
则
A. B. C. D.
2. 从 名男生和 名女生中，任选
名同学参加文艺节目排练，其中男女都有的概
率是
A. B.
C. D.
3. 袋中有大小相同的红球 个，白球 个，从袋中每次任意取出
个球，直到取出
的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能取值为
，
4. 若随机变量 的分布列为
A. ，，，， B.
，，，， C. ，，，，
D. ，，
则当
A.
时，实数 的取值范围是
B. C.
D.
5. 袋中装有大小和颜色均相同的 个乒乓球，分别标有数字 ，，，，，现从中
任意抽取
个，设两个球上的数字之积为 ，则 所有可能值的个数是
A. B.
C. D.
6. 设 是一个离散型随机变量，其分布列为
则
A. B. C.
D.
7. 设实数 ，记随机变量 ，则不等式 的解集所对应
的 的值为
A.
B. C. D. 或
8.
现有语文、数学课本共 本（其中语文课本不少于 本），从中任取 本，至多
有
本语文课本的概率是 ，则语文课本的本数为
A. 本 B. 本
C. 本 D. 本
9. 在 件产品中，有 件一等品和 件二等品，从中任取
件，那么以 为概率
的事件是
B.
恰有一件一等品
D. 至多有一件一等品
个黑球， 个红球， 个白球，从中任取
个，
A. 都不是一等品
C. 至少有一件一等品
10.
一个盒子里装有相同大小的
其中白球的个数记为 ，则下列概率等于 的是
A.
C.
B.
D.
11. 已知随机变量 的分布列为 ，则 等于
A. B. C. D.
12. 已知随机变量 的分布列为：，，，，，其中
是常
数，则 的值为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 某次产品检验，在可能含有次品的
次品件数可能是 ．
14. 若离散型随机变量
的分布列为：
件产品中任意抽取 件，那么其中含有的
则常数
15. 袋中装有大小相同的 个球，分别标有 ，，，，
五个号码，现在在有放回
取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 ，则
所有可能取
值的个数是 ．
16.
李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的 道题
．
中，李明能答对其中的 道，规定考试从备选题中随机地抽出 题进行测试，至
少答对
题才能入选．则李明入选的概率为 ．
17.
袋中有 个编号不同的黑球和 个编号不同的白球，这
个球的大小及质地都相
同，现从该袋中随机摸取
个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总
数是
．设摸取的这三个球中所含的黑球数为 ，则
大值时， 的值为 ．
取最
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 已知随机变量 的分布列为
求随机变量 的分布列．
19. 袋中有 个小球，其中有 个红球，
个白球，若取到一个红球记 分，取到
个球中取出 个，用
表示得到的分值，列表写一个白球记 分，那么从这
出可能出现的结果与对应的 的值．
20. 一位摆地摊的人拿了 个白球、
个黑球放在一个口袋里，规定凡愿意摸奖的人
每人交一元手续费，然后一次从口袋里摸出
个球，中奖情况如下：
求：
（1）获得
元奖金的概率；
（2）获得 元奖金的概率；
（3）获得
元奖金的概率；
（4）无奖的概率．
20. 某小旅店共有 个房间，其门牌号分别为0
1，02，03，04，05，06，其中有两间不
是空调间，其余均为空调间．今有
个旅游者住宿，每人可以任选一房间，但任何
两人不同住，试求空调间被选住的间数的分布列．
22. 某射手对目标进行射击，直到第一次命中或将子弹打光，每次命中率为
子弹 发，命中后尚剩余子弹 发，求 的分布列．
，现共有
二项分布及其应用
知识讲解
一、条件概率
1.条件概率的定义：
对于任何两个事件
A
和
B
，在已知事
件
A
发生的条件下，事件
B
发
生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)
”来表示．
2.条件概率公式：
P
?
BA
?
?
P
?
AB
?
P
?
A
?A
其中
P
?
A
?
?0，B
称为事件
A
与
B
的积或交（或
积）．把由事件
A
与
B
的交（或积），记做
D?AB
（或
D?AB
）．
3.条件概率的求法：
1）利用定义，分别求出
P
?
A
?
和
P
?
BA
?
，得
P
?
BA?
?
P
?
AB
?
P
?
A
?<
br>．
B
?
，得 2）借助古典概型概率公式，先求事件
A
包含
的基本事件数，即
n
?
A
?
再求事件
n
?
A
P
?
BA
?
?
n
?
AB
?n
?
A
?
．
二、事件的独立性
概念：
如果
事件
A
是否发生对事件
B
发生的概率没有影响，即
P(B|A)?P
(B)
，这时，我
们称两个事件
A
，
B
相互独立，并把这两
个事件叫做相互独立事件．如果事件
A
1
，
A
2
，…，A
n
相互独立，那么这
n
个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率
的积，即
P(A
1
A
2
A
n
)?P(A
1
)?PA(
2
?)
件后等式仍成立．
A
i
换成其
对立事
?PA(
n
，并且上式中任意多个事件
)
三、独立重复试验与
二项分布
1.独立重复试验
定义：如果每次试验，只考虑有两个可能的结果
A及
A
，并且事件
A
发生的概率相同．在
相同的条件下，重复地做
n
次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为
n
次独
立
重复试验．
注：
n
次独立重复试验中，事件
A
恰好发生
k
次的概率为
kn?k
P
n
(k)?C
k(k?0,1,2,
n
p(1?p)
,n)
．
2.二项分布
定义：若将事件
A
发生的次数设为
X
，事件
A
不发生的概率为
q?1?p
，那么在
n
次独立重
kn?k
复试验中，事件
A
恰好发生
k
次
的概率是
P(X?k)?C
k
，其中
k?0,1,2,
n
p
q
是得到
X
的分布列
,n
．于
X
P
0
0n
C
0
n
pq
1
1n?1
C
1
n
pq
…
…
k
kn?k
C
k
n
pq
…
…
n
n0
C
n
n
pq
0n11n?1
由于表中第二行恰好是二项展开式
(q?p)
n
?C0
?
n
pq?C
n
pq
k
?C
np
k
q
n?k
?
n
C
n
p
n
q
0
各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量
X
服从参数为n
，
p
的二项分布，记作
X~B(n,p)
．
四、二项分布的期望与方差
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量
X
服从参数为
n
和
p
的二项分布，则
E(X)?np
，
D(x)?npq(q?1?p)
．
一．选择题（共12小题）
1．（2018?唐山二模）甲乙等4人参加4×100
米接力赛，在甲不跑第一棒的条件
下，乙不跑第二棒的概率是（ ）
A．
2．（2018?西宁一模）先后掷子（子的六个面上分别标有1，2，3，4
，5，6个点）
两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P（B|A）=（ ）
A．
3．（2018?二模拟）袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无
放回地
各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（ ）
A．
4．（2018?马鞍山三模）从集合U={x∈Z|1≤
x≤15}中任取2个不同的元素，事
件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均
为偶数”，则P（B|A）
=（ ）
A．
5．
（2018?聊城模拟）已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不
放回地依次抽取2个球
，那么在已知第一次抽到
红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
B． C． D．
B． C．
D．
B． C． D．
B． C． D．
6．（2017秋?扶余县校级期末
）掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的
点数和为8”为事件A，“小骰子出现的点数小于大骰
子出现的点数”为事件B，则
P（A|B），P（B|A）分别为（ ）
A．
7．（2017春?聊城期末）某校自主招生面试共有7道题，其
中4道理科题，3道
文科题，要求不放回地依次任取3道题作答，则某考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（ ）
A．
<
br>8．（2017春?赤峰期末）将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至
少出现一个6点”，则条件概率P（A|B），P（B|A）分别等于（ ）
A．
9．（2017春?泰安期末）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A表示
“至少一次出现
反面”，事件B表示“恰有一次出现正面”，则P（B|A）值等于（ ）
A．
10．（2017春?滨州期末）从1，2，
3，4，5中任取2个不同的数字，设“取到的
2个数字之和为偶数”为事件A，“取到的2个数字均为
奇数”为事件B，则P（B|A）
=（ ）
A． B． C． D．
B． C． D．
， B．， C．， D．，
B． C．
D．
B． C． D．
11．（2017春?洛阳期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=
{两次的点数
均为奇数}，B={两次的点数之和小于7}，则P（B|A）=（ ）
A．
12．（2016?沈阳校级模拟）甲、乙两地都位于长江下游
，根据天气预报的记录知，
一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市
为雨天，
乙市也为雨天的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8
D．0.66
二．填空题（共3小题）
13．（
2018春?金凤区校级期末）如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一
点P，用A表示事件“
点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲
B． C． D．
边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）= ．
14．（2017?枣庄二模）一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可
能的，已
知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是 ．
15．（2017春?辛集市校级月考）盒中有除颜色外完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个．从中先后取出2个球，若在已知第二次取出的为红球的条件下，
第一次取出的也是红
球的概率为 ．
三．解答题（共2小题）
16．（2018?包河区校级模拟）深受广大球迷喜爱的
某支欧洲足球队．在对球员的
使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统
计：
球队胜
22
c
b
12
球队负
30
d
总计
甲参加
甲未参
加
总计
30
e
n
（1）求
b，c，d，e，n的值，据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员
参赛有关；
<
br>（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个
位置，且出场率分
别为：0.2，0.5，0.2，0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门
员时，球队输球的概率依次
为：0.4，0.2，0.6，0.2．则：
1）当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
2）当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
3）如果你是教练员，应用概率统计有关知识．该如何使用乙球员？
附表及公式：
P（K
2
≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2235671
......
8
0
.
8
07806
704237
2
6
1
4
5
9
2
8
．
17．（2017春?潍坊期中）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2
人，任选3
人参加学校的义务劳动．
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女
生乙被选中”为事件B，求P（A）和P（B|A）．
二项分布及其应用
一、选择题（共12小题；共60分）
1.
抛掷两颗骰子，至少有一个 点或 点出现时，就说这次试验成功，则在
验中，成功次数
的期望是
次试
A. B. C. D.
2. 设随机变量 服从二项分布
A.
B.
C.
D.
，
，
，
，
，则
3. 在某次试验中，事件 出现的概率为
，则在 次试验中 出现 次的概率为
A.
C.
B.
D.
个机4.
某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的
械元件情况如下：
若以频率为概率，先从该批次机械元件中随机抽取 个，则至少有
个元件的使用寿
命在 天以上的概率为
A. B. C.
D.
5. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列
，，如果 为数列 的前 项和，那么
的概率为
A. B.
C. D.
6. 位于坐标原点的一个质点
按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向
为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
，质点 移动五次后位于点
的概率是
A. B.
C. D.
7. 已知离散型随机变量 服从二项分布
与 的值分别为
且 ，，则
A. B. C. D.
8.
一袋中有 个白球， 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，
直到红球出现
次时停止，设停止时共取了 次球，则 等于
A. B. C. D.
9. 已知随机变量 服从二项分布 ，则
A. B. C. D.
10. 每次试验的成功率为
其余
次都成功的概率为
A.
B.
，重复进行 次试验，其中前 次都未成功后，
C. D.
11. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球
次，一旦发球成功，
则停止发球，否则一直发到 次为止．设学生一次发球成功的概率为
球次数为 ，若 的数学期望 ，则 的取值范围是
，发
A. B. C. D.
12. 已知随机变量
A. 和
，若
B. 和
，则 ， 分别是
D. 和 C. 和
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制
，无论哪一方先胜三局则比赛结束，
假定甲每局比赛获胜的概率均为
为
．
14. 甲从学校乘车回家，途中有
个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立
，则乙以 的比分获胜的概率
的，并且概率都是 ，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 ．
15. 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区
的房
源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的 位申请人中恰有 人申
请A片区房源的概率为 ．
16.
假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 ，现有
次投篮机会，并规定
连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完
次投篮机会的概率是 ，则 的值是 ．
17. 小波玩一种闯关游戏，有 次挑战机会，若连续二次挑战胜利停止挑战，闯关
成功；
否则，闯关失败．若小波每次挑战胜利的概率均为
，且各次挑战相互独立，那么
小波恰好挑战 次闯关成功的概率为
．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 某地区为下岗人
员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每
名下岗人员可以选择参加一项培训、参
加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培
训的有 ，参加过计算机培训的有
，假设每个人对培训项目的选择是相互独
立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选一名下岗人员，求此人参加过培训的概率；
（2）任选 名下岗人员，记 为
人中参加过培训的人数，求 的分布列．
19.
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 棵．设甲、乙两种大树移栽的成活
率分别为 和
，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的 棵大树中．
（1）至少有 棵成活的概率；
（2）两种大树各成活 棵的概率．
20. 一个口袋中装有大小相同的 个白球和
个红球，从中有放回地摸球，每次摸出
一个，若有 次摸到红球即停止．
（1）求恰好摸
次停止的概率；
（2）记 次之内（含 次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列
21. 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队
人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得
分，答错得 分．假设甲队中每人答对的概率均为
，乙队中 人答对的概率分别
为 ，，，且各人正确与否相互之间没有影响．用
表示甲队的总得分．
（1）求随机变量 分布列；
（2）用
表示“甲、乙两个队总得分之和等于 ”这一事件，用
分大于乙队总得分”这一事件，求
．
表示“甲队总得
22. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（
单位：万元），将所得数据绘制成频
率分布直方图（如图），年上缴税收范围是
．
，样本数据分组为 ，
（1）求直方图中 的值；
（2）如果年上缴税收不少于 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业
个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（3）从企业中任选 个，这
个企业年上缴税收少于 万元的个数记为 ，求
的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
离散型随机变量的期
望与方差
知识讲解
一、离散型随机变量的期望与方差
1.离散型随机变量的数学期望
定义：
一般地，设一个离散型随机变量
X
所有可能的取的值是
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，这些值对
应的概率是
p
1
，
p
2
，
…
，
p
n
，则
E(x)?x
1
p
1
?x
2
p
2
?
的均值或数学期望（简称期望）．
注：
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
?x
n
p
n
，叫做这个离散型随机变量
X
2.离散型随机变量的方差
定义：
一般地，设一个离散型随机变量
X
所有可能取的值是
x
1
，
x
2
，
…
，<
br>x
n
，这些值对应
的概率是
p
1
，
p
2
，
…
，
p
n
，则
D(X)?(x
1<
br>?E(x))
2
p
1
?(x
2
?E(x))
2
p
2
?
2
?(x
n
?E(x))p
n<
br>叫
做这个离散型随机变量
X
的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量
的取值相对
D(X)
的算术平方根
D(x)
叫做离散型随机变量
X<
br>的于期望的平均波动的大小（离散程度）．
标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量
．
3.
期望的计算：
X
为随机变量
，
a，b为常数
，
则
E(aX?b)?aE(X)?b，D(aX?b)?a
2<
br>D(X)
；
4.典型分布的期望与方差：
1）二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量
X
的期望取值为
p
，在
n
次二
点分布试验中，离散型随机变量
X
的期望取值为
np
．
2）二项分布：若离散型随机变量
X
服从参数为
n
和
p
的二项分布，则
E(X)?np
，
D(x)?npq(q?1?
p)
．
3）超几何分布：若离散型随机变量
X
服从参数为
N，M，
n
的超几何分布，
则
E(X)?
n(N?n)(N?M)M
nM<
br>，
D(X)?
．
N
2
(N?1)
N
典型例题
一．选择题（共9小题）
1．（2018?浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
P
0
1
2
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小
B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大
2．（20
18?绍兴二模）若随机变量ξ满足E（1﹣ξ）=4，D（1﹣ξ）=4，则下列说
法正确的是（
）
A．Eξ=﹣4，Dξ=4
3．（2018?温州模拟）随机变量X的分布列如下：
X
P
当D（X）取到最大值时，a=（ ）
A．
4．（2018?湖州二模）已知a，b∈R，随机变量ξ满足P（ξ=x）=ax+b（x
=﹣1，0，
1）．若Eξ=，则（Eξ）
2
+Dξ=（ ）
B． C． D．
0
a
1
b
B．Eξ=﹣3，Dξ=3 C．Eξ=﹣4，Dξ=﹣4
D．Eξ=﹣3，Dξ=4
D．D（ξ）先增大后减小
A．
B． C．1 D．
5．（2018?包河区
校级模拟）某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生
分别担任班长、副班长、团支部书记和体
育班委．男生当选的人数记为ξ，则ξ
的数学期望为（ ）
A．
6．（2017?丽水模拟）已知某口袋中有3个白球和a个黑球（a∈N
*
），现从中随
机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；
若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若Eξ=3，
则Dξ=（
）
A．
7．（2017?湖北模拟）已知随机变量η满足
E（1﹣η）=5，D（1﹣η）=5，则下列
说法正确的是（ ）
A．E（η）=﹣5，D（η）=5 B．E（η）=﹣4，D（η）=﹣4
（η）=﹣5
D．E（η）=﹣4，D（η）=5
8．（20
17?1模拟）现从甲、乙两个品牌共9个不同的空气净化器中选出3个分
别测试A、B、C三项指标，
若取出的3个空气净化器中既有甲品牌又有乙品牌
的概率为，那么9个空气净化器中甲、乙品牌个数分布
可能是（ ）
A．甲品牌1个，乙品牌8个
C．甲品牌3个，乙品牌6个
9．（2017春?临泉县校级期末）从一批含有11只正品，2只次品的产品
中，不放
回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为X，则E（5X+1）的值为（ ）
B．甲品牌2个，乙品牌7个
D．甲品牌4个，乙品牌5个
C．E（η）=﹣5，D
B．1 C． D．2
B． C．
D．
A．
B． C． D．
二．解答题（共3小题）
10．（2018?凯里市校级
二模）2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户
黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高
二社会实践小组就社区群众春晚节
目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄
分成6段：
[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[
70，80]，得到如图
所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；
（Ⅱ）将频率视为概率，现用随机抽样方法从
该社区群众中每次抽取1人，共抽
取3次，记被抽取的3人中年龄在[30，40）的人数为ξ，若每次
抽取的结果是
相互独立的，求ξ的分布列，及数学期望E（ξ）．
11．（2018?天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，<
br>16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有
4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取
3人做进一步的身体检查．
（
i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数
学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
求事件A发生的
概率．
12．（2018?大荔县模拟）2018“丝
绸之路?美丽大荔”中国渭南国际马拉松赛于5
月6日在大荔县开赛，期间正值周末，比赛结束后，某校
工会对全校教职工观看
马拉松比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
观看时间
（单位：小时）
观看人数
14
30
16
28
20
12
[0，1）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
[5，6）
（1）若把当天观看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”
，其他人
定义为“非体育达人”，请根据如下频数分布2×2QUOTE列联表判断：是否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
男
女
合
计
体
40
育
达
人
非
30
体
育
达
人
合
计
（
2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6人，再从这6名“体育达人”中
选取2人做马拉松比赛
知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求ξ的分布列与数
学期望．
※附表及公式
P（K
2
≥K
0
）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
离散型随机变量的期望与方差
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知 件产品中有
件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次
数为 ，则
A. B. C. D.
2. 甲、乙、丙 名射箭运动员在某次测试中各射箭
次， 人的测试成绩如下表：
，， 分别表示甲、乙、丙
名运动员这次测试成绩的标准差，则有
A.
B. C. D.
3. 随机变量 服从二项分布
A. B.
，那么
C.
，则
的值为
D.
和
4. 设随机变量 的概率分布列为
的值分别是
A. 和
C. 和
B. 和
D.
和
5. 如果随机变量 表示抛掷一个各面分别标有
，，，，， 的均匀的正方体向
上面的数字，那么随机变量 的均值为
A. B.
C. D.
6. 一篮球运动员投篮一次得
分的概率为 ，得 的概率为 ，不得分的概率为 ，
其中 ，，
则 的最大值为
，已知他投篮一次得分的数学期望为 （不计其他得分情况），
A. B. C. D.
7. 设
数学期望
A.
8. 有
件产品中有
B.
件次品，从中抽取 件进行检查，则查得次品数的
C. D.
张卡片，其中
张标有数字 ， 张标有数字 ，从中抽出 张卡片，设
C. D.
张卡片上数字之和为 ，则 的期望是
A. B.
9.
某班有 的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出 名学生，那么其中数学成
绩优秀的学生数
，则 的值为
A. B. C. D.
10.
已知随机变量 的分布列为 ，，，，则 等于
A.
11. 设
B.
，随机变量 的分布列是
C. D.
则当 在
A.
C.
内增大时，
减小
先减小后增大
B.
D.
增大
先增大后减小
12. 口袋中有
个形状和大小完全相同的小球，编号分别为 ，，，，，从中任取
个球，以
表示取出球的最小号码，则
A. B.
C.
D.
二、填空题（共5小题；共25分）
13.
已知 的分布列
且
14. 一个均匀小正方体的 个面中，
个面上标以数 ， 个面上标以数 ，一个面上
标以数
．将这个小正方体抛掷
次，则向上的数之积的数学期望
，，则 ．
是
．
15. 若随机变量 的分布列是 ，，则
．
16. 袋中有 个红球， 个白球，从中任取一个球，记住颜色后放回，连续摸取
次，
设 为取得红球的次数，则 的期望
17. 已知离散型随机变量
的分布列为
．
则变量
的数学期望 ，方差 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
18.
某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海遇好天气可收益
遇坏天气将损失
元，若不出海无论天气好坏将损失
，坏天气的为
元．出海后
元，据气象部门
预测，下个月好天气的概率为
19. 一篮球运动员投篮的命中率为
数学期望．
20. 一次数学测验由
，该公司如何决策?
，以 表示他首次投中时已投篮的次数，求 的
道选择题构成，每道选择题有 个选项，其中有且仅有一个选
分．某项是正确的，每个答案选择正确得 分，不作出选择或选错不得分，满分
学生选对任一题的概率为
，求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差．
21.
盒子中装有标号为 ，，， 的四张卡片， 盒子中装有标号为 ，，，
的
四张卡片．从中各取一张卡片，试求：
22.
一只袋中装有编号为 ，，，， 的
个小球，，这些小球除编号以外
（1）所取出的两张卡片上的数字之和的数学期望；
（2）所取出的两张卡片上的数字之积的数学期望．
无任何区别，现从袋中不重复地随机取出
个小球，记取得的 个小球的最大编
号与最小编号的差的绝对值为
的数学期望为
（1）求
（2）求
，
．
．
；
，如 ，，，记
统计案例之变量相关性
知识讲解
一、变量间的相关关系
1.两个变量之间的关系:
(1)常见的有两类：①确定性的函数关系；
②相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数
关系所要求的确定性，它
们的关系是带有一定随机性的．当一个变量取值一定时，另一个变量的
取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．
(2) 相关关系与函数关系的异同点：
相同点：两者均是指两个变量的关系．
不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2.散点图：
将样本中的
n
个点
(x
i
，y
i
)(i?1，2
，，n)
描在平面直角坐标系中，就得到了散
点图．散点图形象地反映了各个数据的密切程度，
根据散点图的分布趋势可以直观地判断分
析两个变量的关系．
3.正相关与负相关：
(1)正相关：如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也变大，则这种相关称为正相关;
此时，
散点图中的点在从左下角到右上角的区域．
(2)负相关：如果一个变量的值变大时，另一个变量的值
由大变小，这种相关称为负相关．此
时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域．
二、两个变量的线性相关
1.回归分析：
对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归
分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．
2.回归直线：
如果散点图
中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有
线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
3. 最小二乘法：
?
?a?bx
，称为变量
Y
对变量<
br>x
的回归直线方程，其中
a，
概念：记回归直线方程为：
y
b
叫
?
是为了区分
Y
的实际值
y
，当
x
取值
x
i
时，变量
Y
的相应观察值为
y
i
，而直做回归系数．
y
?
i
?a?bx
i
．
线上对应于
x
i
的纵坐标是
y
?
?a?bx
， 设
x，
y
i
)
，
i?1，Y
的一组观察值为
(x
i
，
2，，n
，且回归直线方程为
y
?
i(i?1，
当
x
取值
x
i
时，
Y
的相
应观察值为
y
i
，差
y
i
?y2，，n)
刻画了实
际观察值
y
i
与回归
直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差
．
我们希望这
n
个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点．
记
Q?
?
(y
i
?a?bx
i
)
2
，回归直线就是所有直线中
Q
取最小值的那条．这种使“离差平方和
i?1
n
为最小”的方法，叫做最小二乘法．
?
?
用最小二乘
法求回归系数
a，b
有如下的公式：
b
?
xy
i
i
?1
n
n
i
?nxy
?nx
2
?
，其中<
br>a，
?
?y?bx
，
a
b
上方
?
x
i?1
2
i
加“
^
”，表示由观察值按最小二乘法求得的回
归系数．
4. 线性回归系数的最佳估计值：
?
?
b
利用最小二乘法可以得到
a，
的计算公式为
b?
?
(x
i?1
n
n
i
?x)(y
i
?y)
?
i
?
xy
i
n
i
?nx
y
?
(x
i?1
?x)
2
?
x
i?1i?1
n
2
i
?n(x)
2
?
，其中
x?
1
x
，
y?
1
y
?
?y?
bx
，
a
?
i
?
i
n
i?1
n<
br>i?1
nn
?
?a
?
?bx
就称为回归直线，此直线
方程即为线性回归方程．其中
a
?
，
b
分由此得到的直线
y
?
称为回归值．
?
称为回归截距，
b
称为回归系数，y
别为
a
，
b
的估计值，
a
典型例题
一．选择题（共19小题）
1．（2018?丹东二模）已知某种商品的广告费支
出x（单位：万元）与销售额y
（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
y
2
30
4
40
5
50
，计算得
6
60
8
70
根据上表可得回归方程
销售额的预报值为（ ）
，则当投入10万元广告费时，
A．75万元 B．85万元 C．99万元
D．105万元
2．（2018?黑龙江模拟）某公司为了增加其商
品的销售利润，调查了该商品投入
的广告费用x与销售利润y的统计数据如表：
广告费用（x万元）
2
销售利润（y万元）
5
3
7
5
9
6
11
，=﹣x），由表中数据，得线性回归方程l：=x+（=
则下列结论错误的是（
）
A．
B． C．直线l过点（4，8）
D．直线l过点（2，5）
3．（2017春?眉山期末）四位同学根据各自的样本数据研究
变量x，y之间的相
关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下结论：
①y与x负相关且=﹣2.756x+7.325；
②y与x负相关且=3.476x+5.648；
③y与x正相关且=﹣1.226x﹣6.578；
④y与x正相关且=8.967x+8.163．
其中一定不正确的结论的序号是（
）
A．①②
4．（2017春?福州期末）下列说法：①
将一组数据中的每个数据都加上或减去同
一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，
变量x增加一个单位
时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过；④在吸烟与患肺B．②③ C．③④ D．①②
病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%
的把握认为吸烟与患肺病
有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是
（ ）
A．0
5．（2016秋?武汉期末）下列命题错误的是（ ）
A．在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好
B．线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C．由变量x和y的数据得到其回归直线方程l：=x+a，则l一定经过P（，）
B．1 C．2 D．3
D．在回归直线方程=0.1x+1中，当解释变量x每增
加一个单位时，预报变量增
加0.1个单位．
6．（201
7春?钦州期末）某地区根据2008年至2014年每年的生活垃圾无害化处
理量y（单位：万吨）的
数据，用线性回归模型拟合y关于t的回归方程为
=0.92+0.1t（t表示年份代码，自2008
年起，t的取值分别为1，2，3，…），则
下列的表述正确的是（ ）
A．自2008年起，每年的生活垃圾无害化处理量与年份代码负相关
B．自2008年起，每年的生活垃圾无害化处理量大约增加0.92万吨
C．由此模型预测出2017年该地区的生活垃圾无害化处理量约1.92万吨
D．由此模型预测出2017年该地区的生活垃圾无害化处理量约1.82万吨
7．（2017秋?岳阳期中）为了解某社区居民的家庭年收入与
年支出的关系，随机
调查了该社区5户家庭，得到如图统计数据表：
收入x（万元）
支出y（万元）
8.3
6.3
8.5
7.4
9.9
8.1
11.4
8.5
11.9
9.7
据上表得回归直线方程，其中b=0.76，=，据此估计，该社区
一户收入为15万元家庭的年支出为（ ）
A．11.4万元
<
br>8．（2017春?景德镇期中）第一组样本点为（﹣5，﹣8.9），（﹣4，﹣7.2），（﹣3，<
br>﹣4.8），（﹣2，﹣3.3），（﹣1，﹣0.9）
第二组样本点为（1，8.9
），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9）
第一组变量的线性
相关系数为r
1
，第一组变量的线性相关系数为r
2
，则（ ）
A．r
1
＞0＞r
2
9．（20
16?天门模拟）某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y
（单位：千元）的一组数据如
表：
使用年限x
维修费用y
2
2
3
3.4
4
5
5
6.6
B．r
2
＞0＞r
1
C．r
1
＜r
2
＜0
D．r
2
＞r
1
＞0
B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得
其线性回归方程：=x+
中的=1.54．由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是（
）
A．7.2千元 B．7.8千元 C．8.1千元 D．9.5千元
10．（2016春?锦州期末）变量x，y具有线性相关关系，当x取值为16，14，1
2，
8时，通过观测得到y的值分别为11，9，8，5．若在实际问题中，预测当y=10
时
，x的近似值为（ ）
（参考公式：
A．14 B．15
C．16 D．17
，=﹣）
11．（2016春?百色期末）已知x，y的取值如表：
X
y
2
2.2
3
3.8
4
5.5
5
6.5
从散点图分析，y与x线性相关，且回归直线方程为=1.46x+，则的值为（ ）
A．﹣0.71 B．﹣0.61 C．﹣0.72 D．﹣0.62
12．（2016春?邯郸期末）已知变量x，y的取值如表：
x
Y
0
1
3
4
2.2
4.3
4.8
6.7
利用散点图观察，y与x线性相关，其回归直线方程为=0.95x+a，则a的值为
（
）
A．0
13．（2016春?海淀区期末）某小型服装
厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单
价P（元）之间的关系为P=160﹣2x，生产x件所需成本
为C（元），其中C=500+30x
元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是
（ ）
A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30
D．15≤x≤45
14．（2016春?蚌埠期末）下列说法正确的是（ ）
A．线性回归模型y=bx+a+e是一次函数
B．在线性回归模型y=bx+a+e中，因变量y是由自变量x唯一确定的
C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较
合适
B．2.2 C．2.6 D．3.25
D．用R
2
=1﹣
来刻画回归方程，R
2
越小，拟合的效果越好
<
br>15．（2016春?兰考县校级期末）变量x、y具有线性相关关系，当x的取值为8，
12，
14，16时，通过观测知y的值分别为5，8，9，11，若在实际问题中，y的
预报值最大是10，
则x的最大取值不能超过（ ）
A．16 B．15 C．17 D．12
16．（2016春?雅安期末）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关
系，随
机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：
收
8.8.101111
入
2
6
.0
.3
.9
x
（
万
元
）
支
5.6.7.7.8.
出
2
5
0
5
8
y
（
万
元
）
根据上表可得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣
一户收入为15万元家庭年支出为（
）万元．
A．10.8 B．11.8 C．12.8 D．9.8
，据此估计，该社区
17．（2015?厦门一模）如表
给出的是某产品的产量x（吨）与生产能耗y（吨）
的对应数据：
x
y
3
2.5
4
3
5
4
6
4.5
根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+，试预测
当产量
x=8时，生产能耗y约为（ ）
A．4.95 B．5.57
C．5.95 D．6.75
18．（2015春?济宁期末）某饮
料销售点销售某品牌饮料，饮料的零售价x（元
瓶）与销量y（瓶）的关系统计如下：
零售价x（元瓶）
销量y（瓶）
3.0
50
3.2
44
3.4
43
3.6
40
3.8
35
4.0
28
由表中数据得线性回归方程
：=﹣20x+a，当零售价为每瓶3.7元时，估计该销
售点销售的这种饮料的瓶数为（
）
A．39 B．38 C．37 D．36
1
9．（2015春?枣庄期末）某学校开展一次研究活动，获得的一组实验数据如表
示数：
x
y
1
2
3
7
4
4
17
12
得到的回归方程为=bx+a，则有（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＞0
二．解答题（共4小题） 20．（2018?新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单
位
：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y
与时间变量t的两个
线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2
，…，
17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量
t
的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
21．（2018?珠海二模）一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了 7 组观
测数
据列于表中，现有模型①y=C
1
x+C
2
与模型②y=e
y
和温度 x 的回归方程来建立两个变量之间的关系．
温
20
22
24
26
28
30
32
度
x
℃
产
6
10
21
24
64
1132
卵
数
y
个
Z=l1.2.3.3.4.4.5.
ny
79
30
04
18
16
73
77
已知
参考公式
对于一组数
据（u
1
，v
1
），（u
2
，v
2
），（
u
3
，v
3
），……（u
n
，v
n
）其回
归直线方程为=u+
（l）根据表中数据，分别建立两个模型下 y 关于 x
的回归方程；
（2）假设根据模型①，②计算得出数据值分别为 0.33 与
0.02，
=21.37，=0.32，=80，=3.57
3
2
两种模型作为产卵数
试计算模型①、②的相关指数
R2，并根据相关指数选择出拟合效果较好的模型
（3）能否用第（2）问选择的模型来预测
在零上100摄氏度时一只红铃虫产卵数
个数，只给出
判断不用说明理由
22．（2018?内江三模）有一个同学
家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶
销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与
热奶茶销售杯数，如
表：
气温x（
o
C）
热奶茶销售杯数y
0
150
4
132
12
130
19
104
27
94
（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关
于气温的线性回归方程=x
天的气温为15
o
C，预测这天热奶茶的销售杯数；
（精确到0.1），若某
（Ⅱ）从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶
茶销售杯数大
于130的概率．
参考数据：4
2
+12
2
+19
2
+27
2
=1250，4×132+12×130+19×
104+27×94=6602．
参考公式：=
2
3．（2018?武邑县校级一模）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数
X依次为1，2，
3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进
行统计分析，得到频率分布表如下：
X
F
1
a
2
0.2
3
0.45
4
b
5
C
，=．
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5
的恰
有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件
日用品记为x
1
，x
2
，x
3
，等级系
数为5的2
件日用品记为y
1
，y
2
，现从x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
，这5件日用品中任取
两件
（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两
件日用品的等级系数恰好相等
的概率．
统计案例之变量的相关性
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在一组样本数据 ，，，（
不全相等）的散
点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本
数据的样本相关系数为
A. B. C. D.
2.
某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽
取了
名员工进行调查，所得的数据如表所示：
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出的结论是
（参考公式与数据：．当
时，有
的把握说事件 与 有关；当
关；当
A. 有
B. 有
C. 有
时，有
的把握说事件 与 有
时认为事件 与 无关．）
的把握说事件 与 有关
的把握说事件 与 有关
的把握说事件 与
有关
D. 事件 与 无关