2018-2019学年度第二学期期中试卷 高二实验班文科数学

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2018-2019学年度第二学期期中试卷
高二实验班文科数学


一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)


1.已知复数
z?1?i
（
i
为虚数单位），则
z
?z
2
的共轭复数是（ ）
2
A.
1?3i
B.
1?3i
C.
?1?3i
D.
?1?3i

2.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听
力测试中的成绩，已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中
位数为16，则
x,y
的值分别为（ ）


A. 8，6 B. 8，5 C. 5，8
D. 8，8

3.以下四个命题，其中正确的个数有（ ）

①由独立性检验可知，有
99%
的把握认为物理成绩与数学成绩有
关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀 .

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

??0.2x?12
中，当解释变量
x
每增加一个单位③在线性回归方程
y
?
平均增加0.2个单位；

时，预报变量
y

1

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④对分类变量
X
与
Y
，它们的随机变量
K
2
的观测值
k
来说， k
越
小，“
X
与
Y
有关系”的把握程度越大.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.某五所大学进行 自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成
绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单. 若这
五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学
生录取到同一所大学(其余 三人在其他学校各选一所不同大学)
的概率是( )

A. B. C. D.

5.下表是某单位1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份
x

用水量
y


1

6

2

4

3

3

4

3

由散点图可知，用水量
y
与月份
x
之间有较好的线性相关关系，
?
??0.6x?a
，则
a
等于（ ）

其回归方程是
y
A. 5.85 B. 5.75 C. 5.5 D. 5.25

6.已知函数
f
?
x
?
是偶函数，当
x?0
时，
f
?
x
?
?
?
2x?1
?
lnx
，则曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?1,f
?
?1
?
?
处的切线斜率为（ ）


2

页眉内容

A. B.


C. D.
i
37.复数
z?
，则其共轭复数
z
i?1

在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限

8.已知
?ABC
中，
?
4
?A?B?C?
?
，
f
?
x
?
?cosx?e
，则下列结论一
2
x
定成立的是（ ）

A.
f
?
A
?
?f
?
B< br>?
?f
?
C
?
B.
f
?
A
?
?f
?
B
?
?f
?
C
?
C.
f
?
A
?
?f
?
C
?
?f
?
B
?
D.
f
?
B?
?f
?
A
?
?f
?
C
?

9.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴
国的数学家赵爽创制了一幅“ 勾股圆方图”，用数形结合的方法
给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四
个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大
正方形，若直角三角形中较小的锐角?
?
?
6
，现在向该正方形区

域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）

A.
1?

33
B.
22
C.
4?3
4
D.
3

4
3

页眉内容

10.已知
f
?
x
?< br>?
4
x
2
?cosx
，
f
?
?< br>x
?
为
f
?
x
?
的导函数，则
f< br>?
?
x
?
的图象
是（ ）

1
1 1.函数
y?f
?
x
?
的导函数的图象如图所示，给出下列判断：< br>
??
?
?
内单调递增；②函数
y?f
?
x
?
在区间①函数
y?f
?
x
?
在区间
?< br>?3，
2
??
1
?
1
?
③函数
y? f
?
x
?
在区间
?
4,5
?
内单调递增； ④当
?
?,3
?
内单调递减；
2
??
x?2
时，函数
y?f
?
x
?
有极小值；⑤当
x??
1
时，函数
y?f
?
x
?
有极
2
大值．则上 述判断中正确的是( )


A. ①② B. ③ C. ②③ D.
③④⑤

?
1
?y?x?alnx
12.设
a?R
，若函数在区间
?
e
,e
?
有极值点，则
a
取值范
??
围为（ ）

A.
?
e
,e
?
B.
?
?e,?
e
?

?

?
1
?
?
?
?
?
1
?
4

页眉内容

1
?
?
?
1
?
C.
?
??,
e
?
?
?
e,??
?
D.
?
??,?e
?
?
?
?
e
,??< br>?

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

13.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400
名年年龄为17岁～18岁的男 生体重
?
kg
?
，得到频率分布直方图
如图5所示：

?
?
?
?

根据图2可得这200名学生中体重在[64. 5,76.5]的学生人数是
__________．

1?i
?
1 4.复数
z?
?
??
?2i
的共轭复数
z?
___ _______．

?
1?i
?
2
15.已知曲线
y?x?lnx
在点
?
1,1
?
处的切线与曲线
y?ax?
?
a?2
?
x?1
4
相切，则
a?
．

16.函数
f
(
x
)＝
ax
2
＋4
x
－3在
x
∈[0,2]上有最大值
f
(2)，则实
数
a
的取值范围为________．

三、解答题(共6小题,第17小题10分，其它每小题12分，共
70分)


5

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17.已知
A< br>?
1,2
?
,B
?
a,1
?
,C
?
2,3
?
,D
?
?1,b
?

?
a,b?R
?
是复平面上的四个点，
且向量
AB,CD
对应的复数分 别为
z
1
,z
2
.

（1）若
z
1
?z
2
?1?i
，求
z
1
,z
2
；

（2）若
z
1
?z
2
?2
，
z
1
?z
2
为实数，求
a,b
的值.
< br>18.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取
M名学生作为样本，得到这M名 学生参加社区服务的次数，根据
此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.

分组

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30]

合计

频数

10

24

m

2

M

频率

0.25

n

p

0.05

1


（1）求出表中M，p及图中a的值；

6

页眉内容

（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参 加社区
服务的次数在区间[10,15)内的人数；
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均
数．

19. 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标
准型两种型号，某月产量如表（单位：辆） ：


轿车A

100

300

轿车B

150

450

轿车C

z

600

舒适型

标准型


按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中
有A类轿车10辆。

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本。
将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿
车的概率.

20.宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择
什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的 一个重要话题，为了解过
程奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了

7

页眉内容

某大型连锁超市2015年与201 6年这两年销售量前5名的五个品
牌奶粉的销量（单位：罐），绘制如下的管状图：


（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶
粉销量的前五强进行排名；
（2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个
品牌奶粉的总销量） 的百分比（百分数精确到各位），并将数据
填入如下饼状图中的括号内；


（3）已知该超市2014年飞鹤奶粉的销量为
1650
（单位：罐），
试以
2014,2015,2016
这3年的销量得出销量
y
关于
x
年份 的线性回
归方程，并据此预测2017年该超市飞鹤奶粉的销量.

?
xi
?x
??
y
i
?y
?
?
i?1x
i
y
i
?nxy
?
i?1
??

?
?y?bx?,a
相关公式：
b?
.
nn
2
22
?
i?1
?
x
i
?x
?
?< br>i?1
x
i
?nx

nn
8

页眉内容

21.微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微 信里由
腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过
关注“微信运动”公众号 查看自己每天行走的步数，同时也可以
和好友进行运动量的
PK
或点赞.现从小明的微 信朋友圈内随机
选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，
并将数据整 理如下表：


＞
步数

性别

男

女


0
?
2000

2001
?
5000

5001
?
8000

8001
?
10000

10000

1

0

2

3

4

9

7

6

6

2

若某人一天的 走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，
否则被系统评定为“懈怠型”.

（1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中
每日走路步数超过10000步的概率；

（2）根据题意完成下面的
2?2
列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？


9

页眉内容


积极型


懈怠型


总计


男

女

总计




附：
K
2
?
PK
2
?k

n
?
ad?bc
?
2
?
a?b
??
c?d
??
a?c
??
b?d
?
0.10

2.706

f
?
x
?
?

??
0.05

3.841

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

22.已知函数
1
2
x?ax?
?
a?1
?
lnx
。

2
（Ⅰ）当
a=2，求函数
f
（
x
）的图象在点（1，
f
(1) ）处的切线
方程；

（Ⅱ）当
a
>0时，求函数
f
（
x
）的单调区间。


10

页眉内容

高二实验班文科数学

参考答案

1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A 9.A
10.A 11.B 12.B

13.232 14.
16.[－1，＋∞)

17.（Ⅰ）
z
1
?4?i,z
2
??3?2i
；（Ⅱ）
{
解析

（Ⅰ）∵
AB?
?
a,1
??
?
1,2
?
?
?
a?1,?1
?
,

CD?
?
?1,b
?
?
?
2,3
?
?
?
?3,b?3
?
,

z
1
?
?
a?1
?
?i,z
2
??3?
?
b ?3
?
i,
?{
a?4
b?2
.

1?2i
15.
8


z
1
?z
2
?
?
a?4
??
?
b?4
?
i,
又
z
1
?z
2
?1?i,

a?4?1a?5
,?{ ,

?z
1
?4?i,z
2
??3?2i.

b?4? 1b?5
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
z
1
?z
2
?
?
a?4
?
?
?
b?4
?
i,

z
1
?z
2
?
?
a?2
?
?
?
2 ?b
?
i,

∵
z
1
?z
2
?2
，
z
1?z
2
为实数，∴
?
a?4
?
?
?
b ?4
?
{
2?b?0
22
?4

,∴
{
a?4
b?2
.

18. 解：（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知
＝0.25，所以
M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，
p＝ ＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的
＝0.12
11

商，所以a＝

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（2）因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数
为60
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数是
因为n＝ ＝
0.6，所以样本中位数是15＋
社区服务人
数的中位数是17.1.样本平均人 数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋
22.5×0.1＋
27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数
是17.25

＝17.5.
≈17.1，估计这次学生参加
19.（1）
z ?400
；（2）
10
.

解：（1） 设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得，
5010
?,n?2000
3
n100?300
7
分

所以
z?2000?100?300?150?450?600?400
6分；

设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因用分层抽样的方法在C类轿
车中抽取一个容量为 5的样本，


12

页眉内容

400m
，解得
m?2
，也即抽取了
5
所以
1000
?
2辆舒适型轿车，3辆标
准型轿车 8分

所以从中任取2辆，至少有 1辆舒适型轿车的概率为
C
3
2
37
1?
2
?1? ?
12
C
5
1010
分．

20.解：（1）该超市这俩年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：

飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利内服，完全山奶粉，
（2）

< br>（3）
x?2015,y?1850,b?
?1?
?
?200
?
?0?1?250
1
2
?1
2
?
?1850?2 25?2015??451525?225,a
，

则销量
y
关于< br>x
年份的线性回归方程为
?
?2300
，

x?20 17,y
?
?225x?451525y
，当
故预测2017年该超市飞鹤奶 粉的销量为
2300
.

21.解：（1）根据表中数据可知，40位好友中走路步数超过10000

13

页眉内容

步的有8人，

∴利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走
路步数超过10000步

的概率
P?
40
?0.2
.

（2）根据题意完成下面的
2?2
列联表如下：


8
积极型

13

8

21
< br>40?
?
13?12?7?8
?
20?20?21?19
2< br>懈怠型

7

12

19

总计

20

20

40

男

女

总计

∴
K
2
??2.5?2.706
，

∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

22.

解：（1）当
a?2
时，
f
?
x
?
?< br>1
2
x?2x?lnx
，

2
113
?f'
?
x
?
?x?2?,?f
?
1
?
??2? ?,f'
?
1
?
?0
，

x22
?函数
f
?
x
?
的图象在点
?
1,f
?
1
?
?
处的切线方程为
y??
3
.

2
(2)由题知，函数
f
?
x
?
的定义域为?
0,??
?
，

2
a?1
x?ax??
a?1
??
x?1
??
x?1?a
?
f'< br>?
x
?
?x?a???
，

xxx

14

页眉内容

令
f'
?
x
?
?0
，解得
x
1
?1,x
2
?a? 1
,

（I） 当
a?2
时，所以
a?1?1
，在区间
?
0,1
?
和
?
a?1,??
?
上
f'
?
x
?
?0
；
在区间
?
1,a?1
?
上
f'
?
x
?
?0
，故函数
f
?
x
?
的单调递增区间是
?
0,1
?< br>和
?
a?1,??
?
，单调递减区间是
?
1,a?1
?
.-

（II）当a=2时，f’(x)>=0 恒成立，故函数f(x)的单调递增
区间是（0，+∞）

（III）当1＜a＜2时 ，a-1＜1,在区间（0，a-1），和（1，+∞）
上f’(x)>0 ；在（a-1，1）上f’(x)＜0 ，故函数
f
?
x
?
的单< br>调递增区间是（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间是（a-1，
1）

(IV)当a=1时，f’(x)=x-1, x＞1时f’(x)＞0， x＜1时f’(x)
＜0，

函数
f
?
x
?
的单调递增区间是 （1，+∞）， 单调递减区间是
?
0,1
?


（V）当0＜a＜1时，a -1＜0，函数
f
?
x
?
的单调递增区间是 （1，
+∞），

单调递减区间是
?
0,1
?
,

综上，（I）
a?2
时函数
f
?
x
?
的单调递增区间是
?
0,1
?
和
?
a?1,??
?
，
单调递减区间是
?
1,a?1
?


15

页眉内容

(II) a=2时，函数f(x)的单调递增区间是（0，+∞）-

(III) 当0＜a＜2时，函 数
f
?
x
?
的单调递增区间是（0，a-1），
（1，+∞ ），单调递减区间是（a-1，1）

（IV）当0＜a≤1时，函数
f
?
x
?
的单调递增区间是 （1，+∞），
单调递减区间是
?
0,1
?






16