(完整版)高二数学分组与分配问题专题

超越文化培训高二数学寒假专题讲座


探讨排列组合中分组与分配问题
2017.3
分组与分配模型是排列组 合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。如何把有
关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型 ，可以帮助我们正确理解排列组合应用问
题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。从而能掌握 该节内容。下面就分组与
分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：
一、
分组与分配的相关概念：
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对
象，称为分
配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k
组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平
均分组、和部分平均分组三种情况。
二、分组与分配模型的分类：

①均匀分组
；
②非均匀分组； ③均匀分组与分配；
④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；
三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（
k?n
）个不同的对
象，每 个对象至少分配1个元素。
四、例题精选:
(一) 分组与分配问题的基本模型：
例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?
（1）平均分成三堆；
???????????
均匀分组
问题
（2）平均分给甲、乙、丙3人；
???????????
均匀分组
分配问题
（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；
???????????
非均匀分
组问题
（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
???????????
非均匀分
组定向分配
（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；
????????

非均匀分组
不定向分配
222
C
6
C
4
C
2
分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有种。注意：不
3
A
3
同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；
（2）6本不同的书平 均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。
222
C
6
C
4< br>C
2
可先对6本书进行分组，共有分组方法数种；然后再把三堆书分别分给
3< br>A
3

甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、 丙3人的
222
C
6
C
4
C
2
22
3
C
2
种。 方法数共有种 ，即
C
6
2
C4
?A
3
3
A
3
（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本 ，这是非均匀分组问题，分组方法数共有
123
C
6
C
5
C
3
种。
（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本，这是非均分组定向分配问题，先对< br>123
C
5
C
3
，然后再进行定向分配，由于6本书进行分组 ，分成三堆，共有方法数
C
6
甲、乙、丙指定了书堆的个数，因此，甲得1本，乙得2 本，丙得3本的方法
123
C
5
C
3
种。 数还是
C
6
(5) 一人得1本，一人得2本，一人得3本,这是非均匀分组不定向分 配问
123
C
5
C
3
；
题，先把6本书分成三堆， 一堆1本，一堆2本，一堆3 本，分堆方法数共有
C
6
1233
C
5
C
3
A
3
然后再分给三个人，一人得1本，一人得2本，一人得3 本的方法数共有
C
6
种
。

小结：

练习：
1、有
甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担， 现从
10人中选派4人承担这三项任务。则不同的选法种数有多少种?



2、有17个桃子，分成8堆，其中一堆1个，一堆4 个，另外6堆每堆都是2个，有多少
种不同的分堆方法?
(二) 分组与分配问题的综合应用：
例2、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有
多少种?
分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放2个小球，另外两个盒子各放1个小球；
因此，该题转化为4个不同的小球分成3组，然后将3组小球分别投入到4
个盒子中的任意3个盒子中。
211
C
4
C
2
C
1
解：第一步：4个小球分成3组的分组方法数共有
种；
2
A
2
第二步：再把3组分好的小球投入到4个盒子中的任意3个小盒中，
3
分配方法数共有
A
4
种；
所以，要完成
四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒 子中，需要

211
C
4
C
2
C
1< br>3
两步骤完成，利用乖法原理，
共有方法数
A
4
种。

2
A
2
变式题：四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个 盒子中，，则愉有2个空盒的
放法共有多少种?

例3、有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同的发法?
分析：5件不同的奖品发给4位先进工作者，至少有一位先进工作者要领2件不同的
奖品；因此，可以把 5件奖品分成4组，每组分别有2件、1件、1件，1件；
然后再把四组奖品分别发给4 个不同的先进工作者。
111
C
5
2
C
3
C2
C
1
解：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有
种；
3
A
3
第二步：再把4 个小组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法
数有
A
4
4
种；
所以，要 完成5件不同的奖品发给4位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原
111
C
5< br>2
C
3
C
2
C
1
4
理，
发 放奖品的方法数共有种。

?A
4
3
A
3
变式题：有5件不同的奖品发给3位先进工作者，每人至少1件，有多少种不同的发
放奖品的方法?

练习题：
1、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，有多少种不同的分配方案?
2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，
不同的分配方法共有多少种?
3、将
甲、乙、丙、丁四名学生分到两个 不同的班，每个班至少分到一名学生，
且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数有多少种 ?