高中数学选修4-5知识点

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高中数学 选修4--5知识点
1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a

②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
a
?
b

cd
（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
⑤
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b?0,c?0)

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
ba
??2
（当仅当a=b时取等号）
ab
ba

若ab?0,则???2
（当仅当a=b时取等号）
ab
bb?ma?na
⑦
?
（其中
?1??
，
aa?mb?nb
⑥
若ab ?0,则
a?b?0，m?0，n?0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
当a?0时，x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;

⑥（平方法则）
a?b? 0?a
n
?b
n
(n?N,且n?1)

⑦（开方法则）< br>a?b?0?
n
a?
n
b(n?N,且n?1)

⑧ （倒数法则）
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a.

⑨绝对值三角不等式
a?b?a?b?a?b.


3、几个著名不等式
①平均不等式：
a?b?0?
1111
?;a?b?0??

abab
2、几个重要不等式
①
a?b?2ab
?
a，b ?R
?
,（当且仅当
a?b
时取
22
2a?ba
2
?b
2
?
（a,b?R
，，
?ab??
?1?1< br>a?b22
当且仅当
a?b
时取
?
号）.
（即调和 平均
?
几何平均
?
算术平均
?
平方平均）.
变形公式：
22
?
a?b
?
a?b
ab?
?;
?
?
2
?
2
?
(a?b)
2
22
a?b?.

2
2
a
2
?b
2
.

?
号）. 变形公式：
ab?
2
a?b
②（基本不等式） （当
?ab

?
a，b?R
?
?
,
2且仅当
a?b
时取到等号）.

?
a?b
?
变形公式：
a?b?2ab

ab?
??
.

?
2
?
用基本不等式求最 值时（积定和最小，和定积最
大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）
2
②幂平均不等式：
1
a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
?(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2
.< br>
n
③二维形式的三角不等式：
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
(x
1
,y
1
,x
2
,y
2< br>?R).

④二维形式的柯西不等式：
22222
< br>(a?b)(c?d)?(ac?bd)(a,b,c,d?R).
当
a?b?c
3
?abc
(a、b、c?R
?
)
（当且仅当
3
a?b?c
时取到等号）.
④
a
2
?b
2
?c< br>2
?ab?bc?ca
?
a，b?R
?

1
且仅当
ad?bc
时，等号成立.
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⑤三维形式的柯西不等式：
(a?a2
?a
3
)(b?b
2
?b
3
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b< br>3
).

⑥一般形式的柯西不等式：
(a
1
2?a
2
2
?...?a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?...?b
n
2
)
2
1
222
1
222
如
11
?,
k
2k(k?1)
?

11
?,

k
2
k(k?1)
2
2k
212
??,

k?kkk?k?1
?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
)
2
.

⑦向量形式的柯西不等式：
设
?
,
?
是两个向量，则?
?
?
?
??
,
当且仅
当
?
是零向量，或存在实数
k
，使
?
?k
?
时，等号
成 立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
a
1
?a
2
?...?a
n
,b
1
?b
2
?...?b
n< br>为两组实
数.
c
1
,c
2
,...,c
n< br>是
b
1
,b
2
,...,b
n
的任一排列， 则
12
?(k?N
*
,k?1)
等.
kk?k?1
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(或?0)

(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
a
1
b< br>n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c
1
?a
2
c
2
?. ..?a
n
c
n
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
.
（反序和< br>?
乱序和
?
顺序
和），当且仅当
a
1
?a< br>2
?...?a
n
或
b
1
?b
2
? ...?b
n
时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数
f(x)
,对于定义域中
任意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
),
有
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?或
22
f(
x
1
?x
2
f (x
1
)?f(x
2
)
)?.
22
五解集：根据图 象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取
两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下
穿 （奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等
式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)
?0?f(x)?g(x) ?0
g(x)
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
（时同理）
“?或?”
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、
分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，
函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴

⑵
?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?

2
f(x)?a
?
?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?

2
f(x)?a
?
131
①舍去或加上一些项，如< br>(a?)
2
??(a?)
2
;

242
②将分子或分母放大（缩小），
2
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⑶
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?

f (x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
g(x)?0
?< br>f(x)?[g(x)]
2
?
?
?
f(x)?0
?< br>
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g( x)]
2
?
?
f(x)?0
?

f(x)?g(x )?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
③
f (x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)

④
f(x) ?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解
法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段
中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax
2
?bx?c?0
且含参数的不等式时，
要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论
a
与0的大小；
⑵讨论
?
与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
⑷
⑸
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍
在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当
a?1时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

⑵当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
14、恒成立问题
⑴不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒
成立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

②当
a?0
时
?
?
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
⑵当
0?a?1
时,
?
a?0

??0.
?
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x )?0.

?
f(x)?g(x)
?
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：
a?
?
⑵不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒
成立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

②当
a?0< br>时
?
?
?
a(a?0)
.

?a(a?0)
?
?
a?0

?
??0.
⑵平方法：
f(x)?g(x)?f
2
(x)?g
2
(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：
①
x?a??a?x?a(a?0);

②
x?a?x?a或x??a(a?0);

3
⑶
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

⑷
f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

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15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直 线
Ax?By?C?0
的同一侧的所有点
的坐标代入
Ax?By?C
后所得的实数的符号相同.
域，将直线
l
0
平行移动）确定最优解；第三步， 求
出最优解
(x,y)
；第四步，将最优解
(x,y)
代入目标函数
z?Ax?By
即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取
一特殊点
(x
0
, y
0
)
（如原点），由
Ax
0
?By
0
? C
的正
负即可判断出
Ax?By?C?0
(
或
?0)
表示直线哪
一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常
选原点.
法二：根据
Ax?B y?C?0
(
或
?0)
，观察
B
的符号与不等式开口的符号 ，若同号，
直线的纵截距最大的角点处，
z
取得最大值，使直
线的纵截距最小 的角点处，
z
取得最小值；
②若
B?0,
则使目标函数
z ?Ax?By
所表示
直线的纵截距最大的角点处，
z
取得最小值，使直
线的纵截距最小的角点处，
z
取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
z?Ax?By;

利用
z
的几何意义：
y??
的纵截距.
①若
B? 0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示
Azz
x?
,为直 线
BB
B
Ax?By?C?0
(
或
?0)
表示直线 上方的区域；若
异号，则表示直线上方的区域.
即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示
的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数
z?Ax?By(A,B
为常
数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数
z?Ax?By
（
x、y< br>即为公共区
域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最
值都在该公共区域的边界角 点处取得，将这些角点
的坐标代入目标函数，得到一组对应
z
值，最大的
那个 数为目标函数
z
的最大值，最小的那个数为目
标函数
z
的最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二
步， 作直线
l
0
:Ax?By?0
，平移直线
l
0
（据可行
4
②“斜率”型：
z?
yy?b
或
z?;

xx?a
③“距离”型：
z?x
2
?y
2
或
z?x
2
?y
2
;

z?(x?a)
2
?(y?b)2
或
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
.
< br>在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性
规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单 化.
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