高中数学人教A版选修4-5习题：第四讲4.1归纳法 Word版含答案

第四讲 数学归纳法证明不等式
4.1 数学归纳法

A级 基础巩固
一、选择题
1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2
n
＋1)＝(
n
＋1)·(2
n
＋1)时，在验证
n＝1成立
时，左边所得的代数式为( )
A．1
C．1＋2＋3
B．1＋3
D．1＋2＋3＋4
解析：当
n
＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.
答案：C
1
2．在应用数学归纳法证明凸
n
边形的对角线为
n
(
n－3)条时，第一步检验第一个值
n
0
2
等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：边数最少的凸
n
边形是三角形．
答案：C
13
a
n
3．已知
a
1
＝，< br>a
n
＋1
＝，猜想
a
n
等于( )
2
a
n
＋3
A.
C.
3

n
＋2
3

n
＋4
B.
D.
3
a
1
33
a
2
3
＝，
a
3＝＝，
a
1
＋37
a
2
＋38
3

n
＋3
3

n
＋5
解析：
a
2< br>＝
3
a
3
13
a
4
＝＝＝，
a
3
＋339
猜想
a
n
＝
答案：D 4．一个与自然数
n
有关的命题，当
n
＝2时命题成立，且由
n
＝
k
时命题成立推得当
n
＝
k
＋2时命题也成立， 则( )
A．该命题对于
n
＞2的自然数
n
都成立
3
.
n
＋5
- 1 -

B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与
k
取什么值无关
D．以上答案都不对
解析：由题意当
n
＝2时成立可推得
n
＝4，6，8，…都成立，因此该命题对所有正偶数都
成立．
答案：B
5．记凸
k
边形的内角和为
f
(
k
)，则凸(
k
＋ 1)边形的内角和
f
(
k
＋1)等于
f
(
k
)加上( )
A．2π
C.
π

2
B．π
3
D.π
2
解析：从
n
＝
k
到
n
＝
k
＋1时，内角和增加π.
答案：B
二、填空题
11111
6．当
f
(
k
)＝1－＋－＋…＋－，则
f(
k
＋1)＝
f
(
k
)＋________．
2342
k
－12
k
1111111
解析：
f
(
k
＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，
2342
k
－12
k
2
k
＋12（
k
＋1）
11
所以
f
(
k
＋1)＝
f
(
k
)＋－.
2
k
＋12（
k
＋1）
答案：
11
－ < br>2
k
＋12
k
＋2
332333233332
7．观 察下列等式：1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，根据上述规律，猜
想1＋2＋3＋ 4＋5＋6＝________．
解析：已知等式可写为：1＋2＝3＝(1＋2)，1＋2＋3＝6 ＝(1＋2＋3)，1＋2＋3
3223333332
332233322333
33 3333
＋4＝10＝(1＋2＋3＋4)，根据上述规律，猜想1＋2＋3＋4＋5＋6＝(1＋2＋ …＋6)＝
21.
答案：21
8．用数学归纳法证明“
n
∈N时 ，1＋2＋2＋2＋…＋2
*235
n
－1
2
2
是31的倍 数”时，
n
＝1时的
原式是________，从
k
到
k< br>＋1时需添加的项是________．
答案：1＋2＋2＋2＋2，2＋2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
2345
k
5
k
＋1
＋2
5
k
＋2
＋2
5
k
＋3
＋2
5
k
＋4

?
1－
1
??
1－
1
??
1－
1
?
…
?
1－
1
2
?
＝
n
＋1(
n
≥2，
n
∈N)．
?
4
??
9
??
16
??
n
?
2
n
＋
??? ?????
13
证明：(1)当
n
＝2时，左边＝1－＝，
44
- 1 -

右边＝
2＋13
＝.
2×24
所以等式成立．
(2)假设当
n
＝
k
(
k
≥2，
k
∈N
＋
)时，等式成立，
1
??
1
?
k
＋1
?
1
??
1
??
即
?
1－
??
1－
??
1－
?
…
?
1－
2
?
＝(
k
≥2，
k
∈N
＋
)．
?
4
??
9
??
16
? ?
k
?
2
k
当
n
＝
k
＋1时，
1
?
1－
1
??
1－
1
??
1－
1
?
…
?
1－
1
2
??
1－?
?
4
??
9
??
16
??
k
??
（
k
＋1）
2
?
＝
??????????
k
＋1（
k
＋1）
2
－1（
k
＋1）k
·（
k
＋2）
k
＋2（
k
＋1）＋1
·＝＝，
2
＝
2
2
k
（
k
＋1）2< br>k
·（
k
＋1）2（
k
＋1）2（
k
＋1）
所以当
n
＝
k
＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)知 ，对
n
≥2，
n
∈N
＋
时，等式成立．
10．用数学归纳法证明
n
＋5
n
能被6整除．
证明：(1)当
n
＝1时，左边＝1＋5×1＝6，能被6整除，结论正确．
(2)假设当
n
＝
k
时，结论正确，即
k
＋5
k
能被6整除．
则(
k
＋1)＋5(
k
＋1)＝
k
＋3
k
＋3
k
＋1＋5
k
＋5＝
k
＋5
k
＋3(
k
＋
k
＋2)＝
k
＋5< br>k
＋3(
k
＋
1)(
k
＋2)，
因为k
＋5
k
能被6整除，(
k
＋1)(
k
＋2) 必为偶数，3(
k
＋1)(
k
＋2)能被6整除，
因此，
k
＋5
k
＋3(
k
＋1)(
k
＋2)能被6整除．
即当
n
＝
k
＋1时结论正确．
根据(1)(2)可知，< br>n
＋5
n
对于任何
n
∈N
＋
都能被6整除．
B级 能力提升
1．用数学归纳法证明等式(
n
＋1)(
n
＋2)…(
n
＋
n
)＝2×1×3×…×(2
n
－1)(
n
∈N
＋
)时，
从“
n
＝
k
到< br>n
＝
k
＋1”左端需乘以的代数式为( )
A．2
k
＋1
C.
2
k
＋1

k
＋1
B．2(2
k
＋1)
D.
2
k
＋3

k
＋1
k
n3
3
3
332323
3
3
3
解析：当
n
＝
k
时，等式为(
k
＋1)(
k
＋2)…(k
＋
k
)＝2×1×3×…×(2
k
－1)．
当n
＝
k
＋1时，左边＝[(
k
＋1)＋1][(
k＋1)＋2]…[(
k
＋1)＋
k
]·[(
k
＋1)＋ (
k
＋1)]＝(
k
＋2)(
k
＋3)…(
k＋
k
)(2
k
＋1)(2
k
＋2)．
比较< br>n
＝
k
和
n
＝
k
＋1时等式的左边，可知左 端需乘以
答案：B
2．用数学归纳法证明3
＋1)＋1
4
n
＋1
（2
k
＋1）（2
k
＋2）
＝2(2
k＋1)．
k
＋1
＋5
2
n
＋1
(
n
∈N
＋
)能被14整除，当
n
＝
k
＋1时，对于3
4(
k
＋1)＋1
＋5
2(
k
应变形为_____ __________．
- 1 -

解析：3
56× 5
2
k
＋1
4(
k
＋1)＋1
＋5
2(< br>k
＋1)＋1
＝3
4
k
＋5
＋5
2
k
＋3
＝81·3
4
k
＋1
＋25×5
2
k
＋1
＝81×3
4
k
＋1
＋81×5
2
k
＋1
－
＝81×(3
4
k
＋1
＋5
2< br>k
＋1
)－56×5
2
k
＋1


22222242
答案：81·(3
4
k
＋1
＋5
2
k
＋1
)－56·5
2
k
＋1
3．是否存在常数
a
，
b
，
c
使等式(
n
－1)＋2(
n< br>－2)＋…＋
n
(
n
－
n
)＝
an
＋
bn
＋
c
对一
切正整数
n
成立？证明你的结论．
解：存在．分别用
n
＝1，2，3代入，
a
＋
b
＋
c
＝0，
?
?
1
解方程组
?
16a
＋4
b
＋
c
＝3，
得
b
＝－，?
4
?
81
a
＋9
b
＋
c
＝ 18，
n
4
n
2
?
?
?
?
?c
＝0，
a
＝，
1
4
故原等式右边＝－.
44
下面用数学归纳法证明．
(1)当
n
＝1时，由上式可知等式成立．
1
4222222(2)假设当
n
＝
k
(
k
∈N
＋
，< br>k
≥1)时等式成立，即(
k
－1)＋2(
k
－2)＋…＋< br>k
(
k
－
k
)＝
k
4
1
2
－
k
.
4
则当
n
＝
k
＋1时，
左边＝[(
k
＋1)－1]＋2[(
k
＋1)－2]＋…＋
k
[(
k
＋1)－
k
]＋(
k
＋1)·[(
k
＋1)－(
k
＋
1
4
1
222222221)]＝(
k
－1)＋2(
k
－2)＋…＋
k
(
k
－
k
)＋(2
k
＋1)＋2(2
k
＋1)＋… ＋
k
(2
k
＋1)＝
k
－
k
44
＋(2
k
＋1)·
2222222
k
（
k
＋1）1
2
1
42
＝(
k
＋1)－(
k
＋1)，
44
故
n
＝
k
＋1时，等式成立．
由(1)(2)得等式对一切
n
∈N
＋
均成立．


- 1 -