人教版高中数学【选修4-5】[知识点整理及重点题型梳理]_不等关系与基本不等式_基础

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人教版高中数学选修4-5
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习

【巩固练习】
不得关系与基本不等式
【学习目标】
1．在复习不等式性质的基础上，介绍了含 有绝对值的不等式及其解法，平均值不等式及简单应用、证明不等式的
一些基本方法，以及不等式在实际 生活中的应用．
2．特别强调了不等式及证明的几何意义和背景，以加深学生对不等式的数学本质的理 解、提高学生的逻辑思维能
力和分析解决问题的能力．
【要点梳理】
要点一：不等式的性质
性质1 对称性：
a?b ? b?a
；
性质2 传递性：
a?b, b?c ? a?c
；
性质3 加法 法则（同向不等式可加性）：
a?b?a?c?b?c
?
c?R
?
；
推论：
a?b,c?d?a?c?b?d
．
?
c?0?ac?bc，
?
性质4 乘法法则：若
a?b
，则
?
c?0?ac?bc，

?
c?0?ac?bc.
?
推论1:
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；
推论2：
a?b?0n?N
*
?a
2
?b
2
?0
；
推理3：
a? b?0n?N
*
?a
n
?b
n
?0
；
推 理4：
a?b?0n?N
?
且n?1?
n
a?
n
b
．

要点二：含有绝对值的不等式
绝对值的几何意义
设
a
是一个实数，在数轴上|
a
|表示实数
a
对应的点与原点的距离 ；
|
x
-
a
|表示实数
x
对应的点与实数
a
对应的点之间的距离．

关于绝对值的几个结论
定理
对任意实数
a
和
b
，有

?
?
?
?
??
|a?b?a?b|

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推论
1．
a?b?a?b
；
2．
a?b?a?c?c?b
．
3
不等式
|
x
|<
a
的解集
|
x
|>
a
的解集
，可以把
．
a
>0
-
a
<
x
<
a

a
=0
a
<0
a?b?c?a?b?c
．
要点诠释：
（1）关于定理
?

?

R
x
>
a
或
x
<-
a

?
x?R|x?0
?

a?b?a?b?a+b
a
、
b
、
a+b
看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差 小于第三边，这样理解
便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意 义，有时也称其为“绝对值的三
角形不等式”．
（2）绝对值不等式|
a
＋
b
|≤|
a
|＋|
b
|或|
a
－
b
|≤|
a
－c|＋|c－
b
|，从左到右是一个不等式放大过程， 从右到左是缩
小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去 变量求最值．

绝对值不等式的解法
含绝对值的不等式|
x
|<
a
与|
x
|>
a
的解集






f
?
x
?
?c
?
c?0
?
和
f
?
x
?
?c
?
c? 0
?
型不等式的解法
1． 先去绝对值符号，化为不等式组：
f
?
x
?
?c
?
c?0
?
?
f
?< br>x
?
?c或f
?
x
?
??c
；
f
?
x
?
?c
?
c?0
?
?
?c? f
?
x
?
?c
．
2．解关于
x
的不等式．

不等式
f
?
x
?
?g
?
x
?
的解法
1．将不等式两边平方， 去绝对值：
?
?
f
?
x
?
?
?
?
?
?
g
?
x
?
?
?
；
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22

精品文档 用心整理 2．解不等式：
?
?
f
?
x
?
?
?< br>?
?
?
g
?
x
?
?
?
．
含有两个绝对值符号的不等式解法
一般有三种解法，分别是“零点划分法”、“利用绝对值的 几何意义法”和“利用函数图象法”．此外，有时还可采
用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正 的情况下才能使用．
“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：
(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；
(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n＋1个区间；
(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
要点三：平均值不等式
定理1 对任意实数
a，b
，有
a
2
?b
2
?2ab
（当且仅
a=b
时，取“=”号）．
定理2 对任意两个正数
a，b
，有
22
a?b
?ab
（当且仅
a=b
时，取“= ”号）．
2
定理3 对任意三个正数
a，b，c
，有
a
3
?b
3
?c
3
?3abc
（当且仅
a=b=c
时，取“=”号）．
定理4 对任意三个正数
a，b，c
，有
a?b?c
3
．
?abc
（当且仅
a=b=c
时，取“=”号）
3
推广 对于n个正数
a
1
，a
2
，a
n
?
n?2
?
，有
a
1
?a
2
??a
n
n
．
?a
1
a
2
a
n
（当且仅当
a
1
=a
2
==a
n
时取“=”号）
n
a?a
2
? ?a
n
其中，
1
、
n
a
1
a
2
a
n
叫作这n个正数的算术平均值和几何平均值， 因此这个结论也可以阐
n
述为n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

要点四：不等式的证明
不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据．但是由于不等式 的形式多样，因此不等式的证明方法也很多．
比较法
有两种：
1．求差比较法：
任意两个代数式
a
、
b
，可以作差
a?b
后比较< br>a?b
与0的关系，进一步比较
a
与
b
的大小．
①
a?b?0?a?b
；
②
a?b?0?a?b
；
③
a?b?0?a?b
．
2．求商比较法：
任意两个值为正的代 数式
a
、
b
，可以作商
a?b
后比较
a
与 1的关系，进一步比较
a
与
b
的大小．
b
a
?1?a?b
；
b
a
②
?1?a?b
；
b
①
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③
a
?1?a?b
．
b
要点诠释：
（1）比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断．
（2）若代数式
a
、
b
均为负数，也可以用求商比较法．

综合法和分析法
综合法和分析法是直接证明的两种常用的思维方法．
1．综合法
一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证 明的
结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法．
2．分析法
一 般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所
寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的 一
种证明方法，叫做分析法．
要点诠释：综合法的基本思路：执因索果；分析法的基本思路： 执果索因．它们是思维方向互逆的两种推理方法．

放缩法
通过缩小（或放大）分 式的分母（或分子），或通过放大（或缩小）被减式（或减式）来证明不等式，这种证
明不等式的方法称 为放缩法．
要点诠释：放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找．
几何法
通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．

反证法
反证法是间接证明的一种基本方法．一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结 论的反面成立，然后利
用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定 理、定义及明显成立的事实等矛
盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法．
反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定
要点五：不等式的应用
不等式的应用十分广泛，不仅可以解决一些数学问题，而且也可以解决其他学科中以及生产生活中的一些 问题。
在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．

【典型例题】
类型一： 绝对值不等式
例1．解下列关于
x
的不等式：
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（1）
x
2
?3x?8?10
； （2）
x?1
?1
；
x?1
（3）|
x
－4|－|2
x
+5|<1； （4）
mx?1?3
．
【思路点拨】去绝对值，转化为解一元一次（二次）不等式（组）的形式．
【解析】
（1）原不等式等价于
?10?x
2
?3x?8?10
，
?
x
2
?3x?8??10
?
x??1或x??2
即
?
2

?
?
?
?6?x?3
?
x?3x?8?10
∴ 原不等式的解集为
(?6,?2)?(?1,3)

（2）解法一：原不等式等价于
x?1?x?1
，
两边平方得
?< br>x?1
?
?
?
x?1
?
，解得
x?0
，
∴原不等式的解集为
?
0，+?
?
．
解法二：原不等式等价于
x?1?x?1
，
22
x?1
表 示数轴上
x
与-1对应的点的距离；
x?1
表示数轴上
x
与 1对应的点的距离．
由于数轴上0与-1对应的点的距离和它到1对应的点的距离相等，所以若要使< br>x
与-1对应的点的距离和它到1
对应的点的距离相等，那么
x
应满足 ：
x?0
．

∴原不等式的解集为
?
0，+?
?
．
（3）原不等式可化为：
5
?
x??，
?
当
?
①
2
?
－
?
(x－4) ?
?
2x ?5
?
?1
解不等式组①得：
x
<－8．
解不等式组②得：
?
?
5
?
?
x?4 ，
?
??x?4，
② 或③
2
?
?
?
?
(x－4)－
?
2x ? 5
?
?1
?
－(x－4)－2x ? 5?1
??
?
2
?x?4
．
3
2
}．
3
解不等式组③得：
x
>4
综上所述，原不等式的解集为{
x
|
x
<－8或
x
>－
（4）
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当
m?0
时，原不等式可化为：1<3，恒成立，故解集为全体实数；
?< br>mx?1??3,
当
m?0
时，原不等式可化为
?3?mx?1?3< br>，即
?
①
mx?1?3.
?
24
当
m?0
时，不等式①的解为：
??x?
；
mm
当
m?0
时，不等式①的解为：
42
?x??
．
mm
24
?
?x?
?
；
mm
?
综上所述， 当
m?0
时，不等式的解集为
R
；
当
m?0
时， 不等式的解集为
?
x|?
?
?
当
m?0
时，不等式 的解集为
?
x
2
??
4
?x??
?
． < br>m
??
m
【总结升华】解含有绝对值的不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理 的方法通常是利用绝对值的定义与几何意义
或平方等方法．对含多个绝对值符号的不等式一般利用“零点 划分”法，分类讨论．如本题（3）中，分别令
x
-4=0，
2
x
+5=0，得两个零点
x
1
=4，x
2
=?
举一反三：
【变式1】集合
A＝{x?R||x－2|?5}
中的最小整数为________．
【答案】-3．
555
． 故分
x??
、
??x?4
和
x
>4三种情况．
222

【变式2】解下列关于
x
的不等式：
【答案】当< br>x??3
时，得
?
2x?1?x?x?3?1
．
?
x??3
，无解
?(2x?1)?x??(x?3)?1
?1
?
131
?
?3?x?，
??x?
当
?3?x?
，得
?
解得：
2
242
?
?(2x?1)?x?x?3?1，
?
?
11
?
x?， 当
x?
时，得
?
解得：
x?

2
22
?
2x?1?x?x?3?1，
?
综上所述，原不等式的解集为
(?，+?)
．
【变式3】解下列关于
x的不等式：
1
3
4
2x?1?2m?1
(m?R)
．
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【答案】
当
2m?1?0
时，即
m?
?
1
，因
2x ?1?0
，故原不等式的解集是空集。
2
1
，原不等式等价于
?( 2m?1)?2x?1?2m?1
，解得：
1?m?x?m

2
当< br>2m?1?0
时，即
m
综上，当
m?
11
时，原不等 式解集为空集；当
m?
时，不等式解集为
?
x1?m?x?m
?．
22

例2．（2016 中山市模拟）已知函数f（x）=|x-a|.
（1） 若f（x）≤m的解集为{x |-1≤x≤5}，求实数a，m的值；
（2） 当a=2且0≤t<2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）
【思维点拨】（1）根据绝对值 不等式的解法建立关系即可求实数a，m的值；
（2）根据绝对值不等式的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集。
【解析】
（1）因为f（x）≤m，所以|x-a|≤m，
即a-m≤x≤a+m，
因为f（x）≤m的解集为{x |-1≤x≤5}，
所以a-m=-1，a+m=5，解得a=2，m=3；
（2）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价于|x-2|+t≥|x|，
当x≥2时，x-2+t≥x，即t≥2与条件0≤t<2矛盾，
当0≤x<2时，2-x+t≥x，即0≤x≤
t?2
，成立，
2
当x<0时，2-x+t≥x，即t≥-2恒成立。
综上不等式的解集为
?
-?，
?
?
t?2
?
。
2
?
?
【总结升华】本题考查绝对值函数，考查解不等式，解题的关键是进行分段讨论。


举一反三：
【变式1】若存在实数
x
使|
x
－
a
|＋|
x
－1|≤3成立，求实数
a
的取值范围． 【解析】由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点
x
到
a
点与1点的距 离的和小于等于3．由图可得－2≤
a
≤4．

【变式2】（2016 贵州校级模拟）已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：++≥3．
【解析】（1）∵函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|，
当x＜﹣1时，f（x）=﹣2（x+1）﹣（x﹣2）=﹣3x∈（3，+∞）；
当﹣1≤x＜2时，f（x）=2（x+1）﹣（x﹣2）=x+4∈[3，6）；
当x≥2时，f（x）=2（x+1）+（x﹣2）=3x∈[6，+∞）；
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综上，f（x）的最小值为m=3；
（2）a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m=3，
又因为+++（a+b+c）=（+a）+（+b）+（+c）
≥2（++）=2（a+b+c），
当且仅当a=b=c=1时，取“=”，
所以，
即+
+
+
+≥a+b+c，
≥3．
【变 式3】已知函数f(
x
)＝|
x
＋
a
|＋|
x－2|．
(1)当
a
＝－3时，求不等式f(
x
)≥3的解集；
( 2)若f(
x
)≤|
x
－4|的解集包含[1,2]，求
a
的取值范围．
【思路点拨】本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯 直接求解f(
x
)≤|
x
－4|的解集的错
误，应该是利用[1,2 ]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2]
?
[－2－
a
,2－
a
]这一问题，注意不要弄反．
?
?2 x?5，x?2，
?
2?x?3，
【解析】(1)当
a
＝－3时，< br>f
?
x
?
＝
?
1,

?
2 x5,x?3.
?
当
x
≤2时，由f(
x
)≥3得－2x
＋5≥3，解得
x
≤1；
当2<
x
<3时，f(
x
)≥3无解；
当
x≥3时，由f(
x
)≥3得2
x
－5≥3，解得
x
≥4 ；
所以f(
x
)≥3的解集为{
x
|
x
≤1}∪ {
x
|
x
≥4}．(5分)
(2)f(
x
)≤|
x
－4|
?
|
x
－4|－|
x
－2|≥|
x
＋
a
|．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
当
x< br>∈[1,2]时，|
x
－4|－|
x
－2|≥|
x
＋
a
|
?
4－
x
－(2－
x
)≥|
x
＋
a
|
?
－2－
a
≤
x
≤2－
a
．
由 条件得－2－
a
≤1且2－
a
≥2，即－3≤
a
≤0．
故满足条件的
a
的取值范围为[－3,0]．(10分)
cc
例3．
已知
x?a?,y?b?
，求证
(x?y)?(a?b)?c.

22
【思路点拨】利用绝对值的两个性质给予证明．
(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)

?x?a?y?b
?x?a?
cc
,y?b?
，
22
cc
∴
x?a?y?b???c
（2）
22
由（1），（2）得：
(x?y)?(a?b)?c


（1）
【总结升华】
在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种 写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

举一反三：
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aa
,y?.
求证：
2x?3y?a
．
46
aa
【证明】
?x?,y?
，
46
aa
∴
2x?,3y?
，
22
aa
∴
2x?3y?2x?3y???a
。
22【变式1】
x?
【变式2】若
?
,
?
为任意实数，c
为正数，求证：
?
?
?
2
1
22
? (1?c)
?
?(1?)
?
.

c
2
【证 明】
?
?
?
∴
?
?
?
2
2
?
?
?
?
?2
??
，而
??
?c
?
?
22
22
1
?
c
2
c
?< br>?
?
2
2
1
?
c
2
，
?
?
?
?
?c
?
?
2
1
2
1
22
?
=(1?c)
?
?(1?)
?
，得证．
cc
2
【变式3】
已知函数f
?
x
?
?1 ?x，设a，b?R，且a?b，

求证：|f
?
a
?
?f
?
b
?
?a?b|.

【证明】因为
|f
?
a
?
?f
?
b
?
|?|1?a?1?b|

22
?
|(1?a
2
)(1?b2)|
1?a
2
1?b
2
|a
2
?b
2
|
?
|a||b|
|(a?b)(a?b)|
?

|ab|
?|a?b|，
所以原不等式成立．
类型二：平均值不等式
例4． 若
0? x?2
，求函数
y?4x
?
x?2
?
的最大值.
【思路点拨】适当拼凑，利用平均值不等式的定理求函数的最值．
【解析】
y?4x
?
x?2
?
=22x
?
2?x
??
2?x
?
，
因为
0?x?2
，所以
2x
和
2? x
都是正数，所以
2
2
?
2x+
?
2?x
?
+
?
2?x
?
?
128
y?22x
?
2?x
??
2?x
?
?2
?
，
?=
327
??
当且仅当
2x=2?x
，即
x?
3
2
时取等号．
3
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所以，该函数的最大值为
128
． < br>27
【总结升华】（1）当若干正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当若干正数的和为 定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”．
举一反三：
【变式1】已知
x?
【答案】1．
因
4x?5?0
，所以 首先要“调整”符号，又
(4x?2)
5
，求函数
y?4x?2?
1
的最大值．
4
4x?5
1
不是常数，所以对
4x?2
要进行拆、凑项，
4x?5
5
x?,?5?4x?0
，
4
1
?∴
y?4x?2?
1
??
?
?
5?4x?
?< br>?3
??2?3?1
．
4x?55?4x
??
当且仅当5?4x?
1
，即
x?1
时，上式等号成立，故当
x?1
时，
y
max
?1
。
5?4x
【变式2】已知
x?0,y?0
，且
【答案】16．
19
??1
，求
x?y
的最小值。
xy
19
x?0,y?0,??1
，
xy
?
19
?
y9x
?x?y?
?
x?y
?
?
??
???10?6?10?16

?
xy
?
xy
当且仅当
y9x
?
时，上式等号成立，
xy
又
19??1
，可得
x?4,y?12
时，
?
x?y
?
min
?16
。
xy
类型三：不等式的证明
例5．
设
x，y，z
为正数，用综合法证明：
2(x
3
＋y
3＋z
3
)?x
2
(y＋z)＋y
2
(x＋z)＋z2
(x＋y)
．
【思路点拨】将不等式从左向右给予证明.
【解析】
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【总结升华】本题是从已知条件出发，通过巧妙拼凑，利用平均值不等式的有关定理，进而证明结论，即“由因 寻
果”，运用了综合法这一基本的证明方法．
举一反三：
?
111
?
【变式1】已知
a
，
b
，c均为正数，利用综合法证明：
a?b+c+
?
++
?
?63
，并确定
a，b，c
为何值
?
abc
?
222
2
时，等号成立．
【证明】
证法一：因为
a
，
b
，c均为正数，
所以
a＋b＋c?3
?
abc
?
222
2
3
， ①
1
1111
?
++?3?
3
=3
?
abc
?
3
，
abcabc
?
?
111
?
将上式两边平方，得
?
++
?
?9
?
abc
?
3
， ②
?
abc
?
22
11
?
?
222?
1
将①②不等式两边相加，得
a?b+c+
?
++
?
?3
?
abc
?
3
＋9
?
abc?
3
．
?
abc
?
2
2
2
9
?
abc
?
又
3
?
abc
?
＋
2
3
?
2
3
?227＝63
， ③
所以原不等式成立．
当且仅当
a=b=c
时，①式和②式等号成立； 当且仅当
3
?
abc
?
=9
?
abc
?
1
4
2
3
?
2
3
时，③式等号成立．
即当且仅当
a=b=c=3
时，原式等号成立．
＋b
2
? 2ab，b
2
＋c
2
?2bc，c
2
＋a
2
?2ac
， 证法二：因为
a，b，c
均为正数，由基本不等式得
a
2
＋b
2
＋c
2
?ab＋bc＋ac
． ① 所以
a
2
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同理
111111
++?＋＋
， ②
222abcabbcac
2
22
111
?
111
?
故
a?b+c+
?
++
?
?ab＋bc＋ac＋3＋3＋3?63< br>． ③
abbcac
?
abc
?
2
所以原不等式成立．
当且仅当
a=b=c
时，①式和②式等号成立；
当且仅当
a=b= c
，
?
ab
?
=
?
bc
?
=?
ac
?
=3
时，③式等号成立．
即当且仅当
a
＝
b
＝c＝3时，原式等号成立．
【变式2 】设
a
、
b
、c三数成等比数列,而
x
、y分别为
a
、
b
和
b
、c的等差中项．
试证:
1
4
222
ac
??2

xy
ab
?
，
bc
【证明】依题意,
a
、
b
、c三数成等比数列,即
ab
．
?
a?bb?c
a?bb?c
又由题设:
x?
，
,y?
22
由比例性质有:
所以
ac2a2c2b2c2（b?c）
???????2.

xya?bb?cb?cb?cb?c
原题得证．

22
?
a+mb
?
a+mb
例6．
已知
m?0，a，b?R
，用 分析法证明：
?
.
?
?
1+m
?
1+m
?
2
【证明】

【总结升华】分析法是由果索因，在用分析法证明问题时,一定要恰当运用“要证”、“只要 证”、“即证”、“也即证”等
用语．
举一反三：
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【变式1】已知函数
f?
x
?
?tanx,x?(0,　)
．
?
2
若
x
1
,x
2
?(0,　)
,且
x
1?x
2
，用分析法证明：
［f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
］?f（
?
2
1
2
x
1
?x
2
．
）
2
【证明】
x
1
?x
2
1

）
22
x?x
2
1
即证明
(tanx
1
?tanx
2
)?tan
1

22
要证
［f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
］?f（
只需证明
x?x
1
sin x
1
sinx
2
(?)?tan
12

2cosx
1
cosx
2
2
sin(x
1
?x
2)sin(x
1
?x
2
)
?
，
2cosx< br>1
cosx
2
1?cos(x
1
?x
2
)< br>只需证明
由于
x
1
,x
2
?(0,　)
,故
x
1
+x
2
?(0，
?
)
，
?
2
所以
cosx
1
cosx
2
?0,sin
?
x
1
?x
2
?
?0,1?cos(x
1
?x
2
)?0.

故只需证明
1?cos
?
x< br>1
?x
2
?
?2cosx
1
cosx
2，
－sinx
1
sinx
2
?2cosx
1
cosx
2
． 即证
1?cosx
1
cosx
2
－ x
2
)?1
， 即证
cos(x
1
因为
x
1
,x
2
?(0,　)
,且
x
1
?x
2< br>,所以上式成立．
?
2
所以
［f
?
x
1< br>?
?f
?
x
2
?
］?f（
1
2x
1
?x
2
．
）
2
【变式2】设
a ?0,b?0,2c?a?b
，用分析法证明：
c－c
2
－ab?a?c?c
2
－ab
．
【证明】
要证
c－c
2
－ab?a?c?c
2
－ab
，
只要证
－c
2
－ab?a－c?c
2
－ab
，
即证
|a－c|?c－ab
，
2
－c)?c－ab
， 也就是证
(a
－2ac?－a
，
b
只要证
a
2
即证
a
2
?ab?2ac
，
因为
a
>0，
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22

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也就是证
a?b?2c
，
由条件可知，显然成立．
故
c－c
2
－ab?a?c?c
2
－ab
．
a
2
?b
2
a?b
例7
． 用比较法证明：
2
．
?
a?b
2
a?b
.
【思路点拨】本题用比较法给予证明．
【证明】证法一：求差比较法：

解法二：求商比较法：

【总 结升华】比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（商）—变形—判断符号（比较与1的大小）—下结论。
举一反三：
【变式1】设不等式|2x－1|＜1的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若a ，b∈M，试比较
log
m
(ab+1)
与
log
m
(a+b)
(m＞0且m?1)
的大小．

【答案】（1）由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．
（2）由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1．
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0,
故ab＋1＞a＋b．
当m＞1时，y＝logX在(0，＋∞)上递增，
m
∴
log
m
(ab+1)?log
m
(a+b)

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当0＜m＜1时logX在(0，＋∞)上单调递减，
m
∴
log
m
(ab+1)＜log
m
(a+b)
．
【变式2】设
n?N，n?1
，试比较
log
n
(n?1)
与
log< br>(n+1)
(n＋2)
的大小．
【解析】

∵
l og
n
(n?1)?0
，
log
(n＋1)
(n＋2)?0
，
∴
log
n
(n+1)?log
(n+1)
( n+2)
.


例8． 用放缩法证明
：


【证明】



【总结升华】
在不等式的证明中，“放” 和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题
目分析得出的． 常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如上面不等式中k∈N
＋
，k＞1时，

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举一反三：
4
x
11
*
f1?f2???fn?n??(n?N)
． 【变式】函数
f
?
x
?
?
，用放缩法证明：
?? ????
x
n?1
1?4
22
4
x
11
? 1?，
【证明】
f
?
x
?
?
=1-
1? 4
x
1?4
n
2?2
n
得
f
?
1
?
?f
?
2
?
???f
?
n
?< br>?
?
1?
?
?
1
??
1
?
?1?
???
?
2?2
1
??
2?2
2
?
1
??
?
?
1?

n
?
2?2< br>??
111
?n?(??
224

例9．已知
a?1 ，b?1
，用反证法证明：
?
111
)?n??(n?N
*
)
．
nn?1
222
a+b
?1
．
1+ab
【思路点拨】首先假设结论的否命题成立，以此为条件推出一个错误的结论．
【解析】




【总结升华】结论中若有 “都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼，或直接从正面证明较为困难的问题，一般可
以考虑 使用反证法．
举一反三：
【变式1】试证一元二次方程至多有两个不同的实根．
【证明】假设一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两个以上的实数根，且各不相 等 。令
x
1
、x
2
、x
3
为方程的三
个相异 实根,则：
2
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这与
x
1
、x
2
、x
3各不相等矛盾。故原命题成立。
【变式2】若
a、b、c
为自然数，且
a
2
?b
2
?c
2
,则
a、b
中至少有一 个为偶数。
【证明】假定
a、b
均为奇数，令
a?2m?1,b?2n?1
，


类型四：不等式的应用
例10．某商场销售某种商品的经验表明，该商 品每日的销售量
y
（单位：千克）与销售价格
x
（单位：元千克）
满 足关系式
y=
品11千克.
（1）求
a
的千克；
（2） 若该商品的成品为3元千克，试确定销售价格
x
的值，使商场每日销售该商品所获得利润最大.
a
2
?10
?
x?6
?
，其中
3?x?6
，
a
为常数.已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商
x?3
a
?10=11
，解得
a
=2.
2
2
2
（ 2）由（1）可知，该商品每日销售量
y=
所以商场每日销售该商品所获得利润
f?
x
?
?10
?
x?6
?
，
?
3?x?6
?
，
x?3
【解析】（1）
x
=5时，
y=
为：
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2
?
2
?
2
f
?
x
?
?
?
x?3
?
?
?10
?
x?6
?
?
=2+10
?
x?3
??
x?6
?
?
x?3
?
?
?
2x?6
?
+
?
6 ?x
?
+
?
6?x
?
?
=2+5
?
2x?6
??
6?x
??
6?x
?
?2+5
??
=42
3
??
当且仅当
2x?6=6?x
，即
x< br>=4时取“=”号.
【总结升华】用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
3

所以，当销售价格为4元千克时，使商场每日销售该商品所获得利润最大，最大利润为42元.
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
举一反三：
【变式1】设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm
2
，画面的宽与高的比为< br>a
(
a
<1)，画面的上下各留出8cm的
空白，左右各留5cm的空 白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
【解析】设画面的宽为
x
cm，面积为S cm
2
，则

S?(x?10)(
48403025
?16)?5000?16(x?)
x x
3025
=6760
x

?5000+16?2x
当且仅 当
x?
3025
，即
x?55
取等号．
x
所以，当画面的宽为55 cm、高为88 cm时，宣传画所用纸张面积最小．
【变式2】用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短 的篱
笆是多少？
【解析】设矩形菜园的长为
x
m，宽为y m，则
x
y=100，篱笆的长为2（
x
+y）m．
x?y
?xy
可得
x?y?2xy?20
，
2
∴2（
x
+y）≥40，
由
当且仅当
x
=y时等号成立，此时
x
=y=10．
∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m．
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