人教A版高中数学选修4-5_《不等式选讲》全册教案

选修4 --5




不等式选讲










1

一、课程目标解读
选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括 ：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、
不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小 ）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等 量关系，不等关系
和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学 生了
解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的
逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
二、教材内容分析
作为一个选修专题，虽然学生 已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教
材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保 持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，
结构如下图所示：
第一讲是“不等式和绝对值不 等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过
的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想 出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了
二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个 正数的情形，但教学中只要求
理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。
对于绝对值不 等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，
并用代数方法给出证明。通过讨 论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的
一般思想和方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式
的比较法、综合 法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的
课程标准才引入到中学数学教 学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学
过，此处再现也是为了专题的完整性，对 于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明
确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进 一些项，在分式中放大或缩小分子或
分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也 是本专题的一个基础内
容。
第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题 实质上的新增内容，
教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在 证明不
等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等
式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如
课本P41 页，习题3.2 第四题。

2

排序不等式只作了解， 建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究
——猜想——证明——应用”的研究过程， 初步认识排序不等式的有关知识。
第四讲是“数学归纳法证明不等式”．数学归纳法在选修2-2中也 学过，建议放在第二
讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及 其在数
学估算方面的初步运用。
三、教学目标要求
1．不等式的基本性质
掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。
2．含有绝对值的不等式
理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式。
3．不等式的证明 < br>通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放
缩法、数学 归纳法
4．几个著名的不等式
(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义 ，会用二维三维柯西不等式进
行简单的证明与求最值。
(2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。
(3)了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式
5．利用不等式求最大（小）值
会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
6．数学归纳法与不等式
了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。
会用数学归纳法证明贝努利不等式。
四、教学重点难点
1、本专题的教学重点：不 等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法
及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不 等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；
2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式 及其应用、绝对值不等式解法；
用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式 以及求最值等。
五、教学总体建议
1、回顾并重视学生已学知识

3

学习本专题，学生已掌握的知识有：
第一、初中课标要求的不等式与不等式组
(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
(2)解简单 的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成
的不等式组，并会用数轴确 定解集。
(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的
问题
第二、高中必修5不等式内容：
(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，了
解不等式（组）的实际背景。
(2)一元二次不等式。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。
(4)基本不等式及其应用（求最值）。
第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等
内容。
回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯
度 恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专
题复习，构建知 识体系。
2、控制难度不拓展
在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的 绝对值不超过两个；绝对值内的
关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和 有效的方法是分区
间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；
不等式 证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、
数学归纳法，应用 柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。
代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这 些技巧是极为重要的，但对大多数学生
来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等 式以及证明的数学思想，
对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技 巧之中。
3、重视不等式的应用

4

不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最
值问题主要是用二 个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过3个正
数的均值不等式和柯西不等式； 排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。
4、重视展现著名不等式的背景
几个重 要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义
和几何背景，使学生在学 习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是
对于n元柯西不等式、排序不等式、贝 努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背景知
识。






















5

第一讲 不等式和绝对值不等式
课 题： 第01课时 不等式的基本性质
教学目标：
1． 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。
2． 掌握不等式的基 本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用
比较法，反证法证明简单的不等式。
教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
教学难点：灵活应用不等式的基本性质。
教学过程：
一、引入：
不等 关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩
日”：“远者小而近者 大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛
存在；日常生活中息息相关的问 题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的
呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最 亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各
剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的 盒子的容积最大，应当剪去多大的小
正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识 才能得到解决。而且，
不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的 不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、
排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法 和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等 都表
现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相
对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转 化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若
再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什 么?
分析：起初的糖水浓度为
即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示

6
b
b?m
b?m
b
，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证>
a
a?m
a?m
a

可知：
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c
?
a>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b
?
a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

?
a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac⑤、如果a>b >0，那么
a?b
⑥、如果a>b >0，那么
n
a?
三、典型例题：
例1、比较
(x?3)(x?7)
和
(x?4)(x?6)
的大小。
分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。
例2、已知
a?b,c?d
，求证：
a?c?b?d
．
例3、已知a>b>0，c>d>0，求证：
四、课堂练习：
1：已知
x? 3
，比较
x?11x
与
6x?6
的大小。
2：已知a>b>0，c五、课后作业：
课本
P
9
第1、2、3、4题
六、教学后记：

32
n
nn

(n
?
N，且n>1)
b

(n
?
N，且n>1)。
a
?
d
b
c
。
ba
。
?
a?cb?d



7

课 题： 第02课时 基本不等式
教学目标：
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程：
一、知识学习：
定理1：如果
a
、
b∈R，那么
a
＋
b
≥2
ab
（当且仅当
a
＝
b
时取“＝”号）
证明 ：
a
＋
b
－2
ab
＝（
a
－
b< br>）
当
a
≠
b
时，（
a
－
b
）＞0，当
a
＝
b
时，（
a
－
b
）＝0
所以，（
a
－
b
）≥0 即
a
＋
b
≥2
ab

由上面的结论，我们又可得到
定理2（基本不等式）：如果
a
，
b
是正数，那么
号）
证明：∵（
a
）＋（
b
）≥2
ab

∴
a
＋
b
≥2
ab
，即

22
2 2 2
22
2 22
2 2
a

＋
b
2
≥
ab
（当且仅当
a
＝
b
时取“＝”
a

＋
b
2
2
≥
ab

＝
ab
显然，当且仅当
a
＝
b
时，
说明：1）我们称
a

＋
b
a

＋
b
2
为
a
，
b
的算术平均数，称
ab
为
a
，
b
的几何平均数，因而，
此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数.
2）
a
＋
b
≥2
ab
和
2 2
a

＋
b
2
≥
ab
成立的条件是不 同的：前者只要求
a
，
b
都是实数，而
后者要求
a
，
b
都是正数.
3）“当且仅当”的含义是充要条件.
4）几何意义.
二、例题讲解：
例1 已知
x
，
y
都是正数，求证： < br>（1）如果积
xy
是定值
P
，那么当
x
＝
y
时，和
x
＋
y
有最小值2
P
；

8

1
2
（2）如果和
x
＋y
是定值
S
，那么当
x
＝
y
时，积
x y
有最大值
S

4
证明：因为
x
，
y
都是正数，所以
（1）积< br>xy
为定值
P
时，有
x
＋
y
2
≥
xy

x
＋
y
2
≥
P
∴
x
＋
y
≥2
P

上式当
x
＝
y
时，取“＝”号，因此，当
x
＝y
时，和
x
＋
y
有最小值2
P
.
S
1
2
（2）和
x
＋
y
为定值
S
时，有
xy
≤ ∴
xy
≤
S
24
1
2
上式当
x=y
时取“＝”号，因此， 当
x=y
时，积
xy
有最大值
S
.
4
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
ⅲ）等号成立条件必须存在。
例2 ：已知
a
、
b
、
c
、
d
都是正数，求证：
（
ab
＋
cd
）（
ac
＋
bd
） ≥4
abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而 正确运用，同时
加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由
a
、
b
、
c
、
d
都是正数，得
ab
＋
cd
2
∴
≥
ab
·
cd
＞0，
ac
＋
bd
2
≥
ac
·
bd
＞0，
（
ab
＋
cd< br>）（
ac
＋
bd
）
≥
abcd

4
即（
ab
＋
cd
）（
ac
＋
bd
）≥4
abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m，深为3m，如果池底每
1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使 总造价最低，最低总
造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立 函数关系式，然后求函数的最
值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为
x
m，水池的总造价为
l
元，根据题意，得
22
3
l
＝240000＋720（
x
＋
1600
）≥240000＋720×2
x
x
·
1600

x
＝240000＋720×2×40＝297600

9

1600
当
x
＝ ，即
x
＝40时，
l
有最小值297600
x
因此，当水 池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600
元.
评 述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建
立，又是不等式性质 在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
三、课堂练习：课本P
91
练习1，2，3，4.
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，
并会应用它证明 一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
五、课后作业
课本P
10
习题1.1第5，6，7题
六、教学后记：


















10

课 题： 第03课时 三个正数的算术-几何平均不等式
教学目标：
1．能利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；
2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式
教学难点：利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题
教学过程：
一、知识学习：
定理3：如果
a,b,c?R
?
，那么
推广：
a?b?c
3
?abc
。当且仅当
a?b?c
时，等号成立。
3a
1
?a
2
???a
n
n
≥
a
1
a
2
?a
n
。当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
时，等号成立。
n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等 式，是否存在：如果
a,b,c?R
?
，那么
a?b?c?3abc
（当且仅
当
a?b?c
时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析： 例1：求函数
y?2x?
2
333
2
3
(x?0)的最小值。
x
解一：
y?2x?
31212
?2x
2
???3
3
2x
2
???3
3
4
∴y
min
?3
3
4

xxxxx
3
3
12
3
2
3
2
解二：
y?2x??22x??26 x
当
2x?
即
x?
时
xx
2
x
2
3
∴
y
min
?2 6?
12
?23
3
12?2
6
324

2
上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？
变式训练1
若a,b?R
?
且a?b,求a?
1
的最小值。
(a?b )b
由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要____________________ _
例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的
边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容
积最大？

11

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，
它的体积最大，求出这个最大值．
由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 _ _______，三者缺一不可。另外，由不等
号的方向也可以知道：积定____________， 和定______________.
三、巩固练习
1.函数
y?3x?
12
(x?0)
的最小值是 ( )
2
x
A.6 B.
66
C.9 D.12
2.函数
y?4x?
2
16
的最小值是____________
22
(x?1)
2)
的最大值是（ ）
42
3．函数
y?x(2?x)(0?x?
A.0 B.1 C.
1632
D.
2727
xyz
2
4.(2009浙江自选)已知正数
x,y,z< br>满足
x?y?z?1
，求
4?4?4
的最小值。
5（2008，江苏，21）设
a,b,c
为正实数，求证：
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，
并会应用 它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
五、课后作业
P
10
习题1.1第11，12，13题
六、教学后记：





12
111
???abc?23

333
abc

课 题： 第04课时 绝对值三角不等式
教学目标：
1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简
单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合 的数
学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程：
一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式， 另一类是证明不等
式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
?
x，如果x?0
?

x?
?
0，如果x?0
。
?
?x，如果x?0
?
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值 的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常
还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性 质：
（1）
a?a
，当且仅当
a?0
时等号成立，
a?? a.
当且仅当
a?0
时等号成立。
2
（2）
a?a
， （3）
a?b?a?b
， （4）
a
b
?
a
(b?0)

b
那么
a?b?a?b?a?b?a?b?

二、讲解新课：


结论：
a?b≤a?b
（当且仅当
ab≥0
时，等号成立.） 已知
a,b
是实数，试证明：
a?b≤a?b
（当且仅当
ab≥ 0
时，等号成立.）
方法一：证明:1 .当
ab
≥0时, 2. 当
ab
<0时,

13
00
探究:
a,b,a?b
,
a?b
之间的什么关系?

ab??|ab|,
ab?|ab|,
|a?b|?(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
?|a|
2
?2 |a||b|?|b|
2
?(|a|?|b|)
2
?|a|?|b|
|a?b|?(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
?|a|
2
?2|ab|?|b|
2
?|a|
2
?2|a||b|? |b|
2
?(|a|?|b|)
2
?|a|?|b|
综合1, 2知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果
a,b
是实数，则
a?b≤a?b
（当且仅当
ab≥0
时，等号成立.）
00
?
?
（1）若把
a,b
换为向量
a,b
情形又 怎样呢？

a?b
a








根据定理1，有
a?b??b?a?b?b
，就是 ，
a?b?b?a
。 所以，
a?b?a?b
。
定理（绝对值三角形不等式）
如果
a,b
是实数，则
a?b≤a?b≤a?b

注：当
a,b
为复数或向量时结论也成立.
推论1：
a
1
?a
2
?
ab
a?b
?a
n
≤a
1
?a
2
??a
n


14

推论2：如果
a、b、c
是实数,那么
a?c≤a ?b?b?c
,当且仅当
(a?b)(b?c)≥0
时,
等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数 a，b，c，则线段
AB?AC?CB.
当且
仅当C在A，B之间时，等号成立。这就 是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就
得到例2的后半部分。）
三、典型例题：
例1、已知
x?a?
cc
,y?b?
，求证
(x?y)?(a?b)?c.

22
证明
(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)

?x?a?y?b
（1）
?x?a?
cc
,y?b?
，
22
cc
∴
x?a?y?b???c
（2）
22
由（1），（2）得：
(x?y)?(a?b)?c

例2、已知
x?
aa
,y?.
求证：
2x?3y?a
。
46
aaaa
证明
?x?,y?
，∴
2x?,3y?
，
4622
aa
由例1及上式，
2x?3y?2x?3y???a
。
22
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个 地点分别位于公路路
碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区, 每个施工队
每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区< br>应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
·
10
四、课堂练习：

·
x
·
20

15

1.(课本
P
20
习题1.2第1题)求证:
⑴
a?b?a?b≥2a
;⑵
a?b?a?b≤2b

2. (课本P
19
习题1.2第3题)求证:
⑴
x?a?x?b≥a?b
;⑵
x?a?x?b≤a?b

3．（1）、已知
A?a?
cc
,B?b?.
求证：
(A?B)?( a?b)?c
。
22
cc
（2）、已知
x?a?,y?b?.求证：
2x?3y?2a?3b?c
。
46
五、课堂小结：
1．实数
a
的绝对值的意义:
?
a(a?0)
?
⑴
a?
?
0(a?0)
;（定义）
?
?a(a?0)
?
⑵
a
的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果
a,b
是实数，则
a?b≤a?b≤a?b
注意取等的条件。
六、课后作业：课本P
19
第2，4，5题


七．教学后记：











16

课 题： 第05课时 绝对值不等式的解法
教学目标：
1：理解并掌握
x?a与x?a(a?0)
型不等式的解法.
2：掌握
ax?b?c与ax?b?c(c?0)
型不等式的解法.
教学重点：
x?a与x?a(a?0)
型不等式的解法.
教学难点：把绝对值不等式转化为一次不等式(组)来求解.
教学过程：
一、复习引入：
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
?
x，如果x?0
?

x?
?
0，如果x?0
。
?
?x，如果x?0
?
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
二、新课学习：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是 证明不等
式。下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（ 也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值
符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
x?a
的解集是
{x|?a?x?a}
，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－ a，
a），如图所示。


图1-1
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

17

第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
x?a
的解集是
{< br>x|
x?a
或
x??a
}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a的点的集合是两个开
区间
(??,?a),(a,?)
的并集。如图1-2所示。



–
a

a

图1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
3、
ax?b?c
和
ax?b?c
型不等式的解法。
ax?b?c??c?ax?b?c

ax?b?c?ax?b??c或ax?b?c

4、
x?a?x?b?c< br>和
x?a?x?b?c
型不等式的解法。（三种思路）
三、典型例题：
例1、解不等式
3x?1?x?2
。
例2、解不等式
3x?1?2?x
。
方法1：分类讨论。
方法2 ：依题意，原不等式等价于
3x?1?2?x
或
3x?1?x?2
，然后去解 。
例3、解不等式
2x?1?3x?2?5
。
例4、解不等式
x?2?x?1?5
。
解：本题可以按照例3的方法解，但 更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴
上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的 距离为1，所以x在2的右边，与2
的距离大于等于2（＝（5－1）
?2)
；或者x 在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是
说，
x?4
或
x??1.

例5、不等式
x?1?x?3
>
a
，对一切实数
x< br>都成立，求实数
a
的取值范围。

18

四、课堂练习：解下列不等式：
1、
22x?1?1.
2、
41?3x?1?0
3、
3?2x?x?4
.
4、
x?1?2?x
. 5、
x
2
?2x?4?1
6、
x
2
?1?x?2
.
7、
x?x?2?4
8、
x?1?x?3?6.
9、
x?x?1?2

10、
x?x?4?2.

五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。
六、教学后记：






















19

第二讲 证明不等式的基本方法
课 题： 第01课时 不等式的证明方法之一：比较法
教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学过程：
一、新课学习：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

二、典型例题：
例1、设
a,b
都 是正数，且
a?b
，求证：
a?b?ab?ab
。
例2、若实数
x?1
，求证：
3(1?x?x)?(1?x?x).

证明：采用差值比较法：
2422
3322
3(1?x
2
?x
4
)?(1?x?x
2
)
2

=
3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

=
2(x?x?x?1)

=
2(x?1)(x?x?1)

=
2(x?1)[(x?)?].

2
22
242423
43
1
2
2
3
4
13
?x?1,从而(x ?1)
2
?0,且(x?)
2
??0,

24
∴
2(x?1)[(x?)?]?0,

∴
3(1?x?x)?(1?x?x).

讨论：若题设中去掉
x?1
这一限制条件，要求证的结论如何变换？
2422
2
1
2
2
3
4

20

abba
例3、已知
a,b?R,
求证
ab?ab.

?
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于
a,b
对称，不妨设
a?b?0.
< br>?a?b?0
?ab?ab?ab(a
abbabba?b
?b
a?b
)?0
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
a?b?0,

a
a
b
b
a
a
?
?1,a?b?0,
?
ba
?()
a?b
?1.
故原不等式得证。 b
ab
b
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速 度
m
行走，另一半
时间以速度
n
行走；乙有一半路程以速度
m
行走，另一半路程以速度
n
行走。如果
m?n
，
问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是
S
，甲、乙两人走 完这段路程所用的时间分别为
t
1
,t
2
。要回答题目中的问题，只 要比较
t
1
,t
2
的大小就可以了。
解：设从出发地点至 指定地点的路程是
S
，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t
1
,t
2
，根据题意有
t
1
t
SS2SS(m?n)
m?
1
n?S
，，
t
2
?
，
??t< br>2
，可得
t
1
?
22
2m2nm?n2mn
S(m?n)
2
2SS(m?n)
S[4mn?(m?n)
2
]???
从而
t
1
?t
2
?
，
?2(m?n)mn2(m?n)mn
m?n2mn
其中
S,m,n
都是正 数，且
m?n
。于是
t
1
?t
2
?0
，即
t
1
?t
2
。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果
m?n
，甲、乙两人谁先到达指定地点？
三、课堂练习：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）
x
与
x?x?1
；（2）
x?x?1
与
(x?1)
.
2
22
2

21

2．已知
a?1.
求证：（1）
a?2a?1;
（2）
a?b?c
3
2
2a
?1.

1?a
2
3．若
a?b?c?0
，求证
abc?(abc)
四、课时小结 ：
abc
.

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法 证明不等式的步骤是：作
差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分 解、配方、凑
成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
五、课后作业：
课本23页第1、2、3、4题。
六、教学后记：
















22

课 题：第02课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法
教学目标：
1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。
2、 了解分析法和综合法的思考过程。
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。
教学过程：
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由
于两者 在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比
研究两种思路方法的 特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证
的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知
中。前一种 是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援
人员从驻地出发，逐步 寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻
地，这是“分析法”。
二、典型例题：
例1、已知
a,b,c?0
，且不全相等。求证：

a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

分析：用综合法。
例2、设
a?0,b?0
，求证
a?b?ab?ab.

证法一 分析法
要证
a?b?ab?ab
成立.
只需证
(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)
成立，又因
a?b?0
，
只需证
a?ab?b?ab
成立，又需证
a?2ab?b?0
成立，
即需证
(a?b)?0
成立.而
(a?b)?0
显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
22
22
222222
3322
3322
2222

23

(a?b)?0?a?2ab?b?0?a?ab?b?ab

22222
注意到
a?0,b?0
，即
a?b?0
，
3322
由上式 即得
(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)
，从而
a?b?ab?ab
成立。
22
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3、已知a，b，m都是正数，并且
a?b.
求证：
a?ma
?.
（1）
b?mb
证法一 要证（1），只需证
b(a?m)?a(b?m)
（2）
要证（2），只需证
bm?am
（3）
要证（3），只需证
b?a
（4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为
b?a,m
是正数，所以
bm?am
两边同时加上
ab
得
b(a?m)?a(b?m)
两边同时除以正数b(b?m)
得（1）。
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的 周长相等，那么横截面
是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时 ，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长
L
L
?
L
?
为
L
，则周长为
L
的圆的半径为，截面积为
?
?
；周长为的正方形为，截面
L
?
2
?
4
?
2
?
?
2
?
L
?
?
L
??
L
?
积为
??
。所以本题只需证明
?
??
???
。
?
4
?
?
2
?
??
4
?
?
L
?
证明：设截面的周长为
L
，则截面是圆 的水管的截面面积为
?
??
，截面是正方形
?
2
?
?
?
L
?
?
L
??
L
?
的水管的 截面面积为
??
。只需证明：
?
??
?
??
。 < br>?
4
?
?
2
?
??
4
?
2 22
2
222
?
L
2
L
2
?
为了 证明上式成立，只需证明。
2
16
4
?
两边同乘以正数
4 11
?
。因此，只需证明
4?
?
。 ，得：
?
4
L
2

24

?
L
??
L
?
上式显然成立，所以
?
??
?
??
。
?
2
?
??
4
?
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截
面是圆的水管比横截 面是正方形的水管流量大。
例5、证明：
a?b?c?ab?bc?ca
。
证法一： 因为
a?b?2ab
（2）

b?c?2bc
（3）

c?a?2ca
（4）
所以三式相加得
2(a?b?c)?2(ab?bc?ca)
（5）
两边同时除以2即得（1）。
证法二：
222
22< br>222
22
22
22
a
2
?b
2
? c
2
?(ab?bc?ca)?
所以（1）成立。
111
(a?b )
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0,

222
例6、证明：
(a?b)(c?d)?(ac?bd).
（1）
证明 （1）
?
(a?b)(c?d)?(ac?bd)?0
（2）
22222
22222
?
a
2
c
2
?b
2
c
2
?a
2
d
2
?b
2
d
2
?(a
2
c
2
?2abcd?b
2< br>d
2
)?0
（3）
?

b
2
c
2
?a
2
d
2
?2abcd?0
（4）
?

(bc?ad)
2
?0
（5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例7、已知
a,b,c
都是正 数，求证
a?b?c?3abc.
并指出等号在什么时候成立？
分析：本题可以考虑利用因式分解公式

a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
着手。
证明：
a?b?c?3abc

=
(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)

222
333222
333
333

25

=
1
(a?b?c)[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
].

2
222
由于
a,b,c
都是正数，所以
a?b? c?0.
而
(a?b)?(b?c)?(c?a)?0
，
可知
a?b?c?3abc?0

即
a?b?c?3abc
（等号在
a?b?c
时成立）
333探究：如果将不等式
a?b?c?3abc
中的
a,b,c
分别用
a,b,c
来代替，并在两
333
333
333
边同除以3，会得 到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1?a?b)(1?b?c)( 1?c?a)?27
，其中
a,b,c
是互不相等的正数，且
abc?1.
三、课堂小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时 加上（或减去）
一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式 ，
得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常
常 用到的技巧。
四、课堂练习：
1、已知
x?0,
求证：
x?
1
?2.

x
114
??.

xyx?y
a?b.

2、已知
x?0,y?0,x?y,
求证
3、已知
a?b?0,
求证
a?b?
4、已知
a?0,b?0.
求证：
（1）
(a? b)(a
?1
?b
?1
)?4.
（2）
(a?b)(a< br>2
?b
2
)(a
3
?b
3
)?8a
3
b
3
.

5、已知
a,b,c,d
都是正数。求证：
（1）
a?b?c?da?b?c?d
4
?ab?cd;
（2）
?abcd.

24
6、已知
a,b,c
都是互不相 等的正数，求证
(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.

五、课后作业：
课本25页第1、2、3、4题。
六、教学后记：

26

课 题： 第03课时 不等式的证明方法之三：反证法
教学目标：
通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法 证
明简单的命题。
教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。
教学难点：会用反证法证明简单的命题。
教学过程:
一、引入：
前面所 讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系
列的逻辑推理，证明不等 式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这
时可考虑采用间接证明的方法。所谓间 接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是
证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真 ，以间接地达到目的。其中，反证法是
间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命 题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证
法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命 题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过
合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确 的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题： 例1、已知
a?b?0
，求证：
n
a?
33
n
b
（
n?N
且
n?1
）
例1、设
a?b?2
，求证
a?b?2.

证明：假设
a?b?2
，则有
a?2?b
，从而

a
3
?8?12b?6b
2
?b
3
,
a? b?6b?12b?8?6(b?1)?2.
2
3322

3333
因为
6(b?1)?2?2
，所以
a?b?2
，这与题设条件
a?b ?2
矛盾，所以，
原不等式
a?b?2
成立。

27

例2、设二次函数
f(x)?x?px?q
，求证：
f(1),f(2),f(3)
中至少有一个不小
于
2
1
.
2
1
，则
2
证明：假设
f(1),f(2),f(3)
都小于

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f( 1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q )?(9?3p?q)?2
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要 证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通
常采用反证法进行。
议一议：一般来说 ，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推
出的结果与已知公理、定义、定理或已 知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情
况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有 什么特点？
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
证：设(1 ? a)b >
1

4
111
, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >,
444
1
①
64
2
则三式相乘：ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <
1
?
(1?a)?a
?
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
0?(1?a)a?
?

?
?
24
??
同理：
(1?b)b?
11
,
(1?c)c?

44
1
与①矛盾∴原式成立
64
以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤
例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾，
∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
三、课堂练习：

28

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且
a?b
，则
a?ma
?.

b?mb
2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1
3、若x, y > 0，且x + y >2，则
1?y
1?x
和中至少有一个小于2。
y
x
提示：反设
1?x
1?y
≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
y
x
四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
五、课后作业：
课本29页第1、4题。
六、教学后记：
















29

课 题： 第04课时 不等式的证明方法之四：放缩法
教学目标：
1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。
2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
教学重、难点：
1．掌握证明不等式的两种放缩技巧。
2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程：
一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小 ），使之得出明显的不等量
关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种 方法是证明不
等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：
例1、若< br>n
是自然数，求证
1111
???
?
??2.
1
2
2
2
3
2
n
2
证明：
?
1111
??
?
,k
?
2,3,4,
?
, n.

k
2
k(k?1)k?1k
11111111
???
?
?????
?
?

2222
11?22?3(n?1)?n
123n

?
111111
?)

1223n?1n
1
=
2??2.

n
1111
注意：实际上，我们在证明
2< br>?
2
?
2
?
?
?
2
?2
的 过程中，已经得到一个更强
123n
11111
的结论
2
?
2
?
2
???
2
?2?
，这恰恰在一定程度上体现了放缩法 的基本思想。
n
123n
1111
??
?
??3.

例 2、求证：
1??
11?21?2?31?2?3???n
111
??
k?1
,
（
k
是大于2的自然数） 证明：由
1?2?3???k 1?2?2???2
2
1111
??
?
?
得
1??

11?21?2?31?2?3?
?
?n
=
?(?)?(?)???(
1
1

30

1
n
11111
2

?1?1??
2< br>?
3
?
?
?
n?1
?1??3?
n?1?3.

1
2
2222
1?
2
abcd
例3、若a, b, c, d?R
+
，求证：
1?????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
abcd
证：记m = ∵a, b, c, d?R
+

???
a?b?db?c?ac?d?bd? a?c
abcd
∴
m?????1

a?b?c?da?b?c?a c?d?a?bd?a?b?c
abcd
m?????2
∴1 < m < 2 即原式成立。
a?ba?bc?dd?c
1?
例4、当 n > 2 时，求证：
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

证：∵n > 2 ∴
log
n
(n?1)?0,log
n
(n?1)?0
< br>2
2
?
log
n
(n
2
?1)
?< br>?
log
n
(n?1)?log
n
(n?1)
? ∴
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?
?< br>?

?
?
?
22
??
??
?
log
n
n
2
?

?
??
?1

?
2
?
∴n > 2时,
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

三、课堂练习：
2
11111
???
?
??.

n?1n?2n?32n2
1352n?11
2、设
n
为自然数，求 证
(2?)(2?)(2?)?(2?)?.

nnnnn!
1、设
n
为大于1的自然数，求证
四、课时小结：
常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，
（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；
（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。
五、课后作业：课本29页第2、3题。





31

第三讲 柯西不等式与排序不等式
课 题： 第01课时 二维形式的柯西不等式（一）
教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不
等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案：
a?b
?ab(a?0,b?0)
及几种变式.

2
2. 练习：已知
a
、
b
、
c
、
d
为实数，求证
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2

证法：（比较法）
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac ?bd)
2
=….=
(ad?bc)
2
?0

二、讲授新课：
1. 柯西不等式：
① 提出定理1：若
a
、< br>b
、
c
、
d
为实数，则
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
.
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：（综合法）
(a
2< br>?b
2
)(c
2
?d
2
)?a
2
c
2
?a
2
d
2
?b
2
c
2
?b
2
d
2


?( ac?bd)
2
?(ad?bc)
2
?(ac?bd)
2
. （要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量
m?(a,b)
，
n?(c,d)
，则
|m|?a
2
?b
2
，
|n| ?c
2
?d
2
.
∵
m?n?ac?bd
，且< br>m?n?|m||n|cos?m,n?
，则
|m?n|?|m||n|
. ∴ …..
证法四：（函数法）设
f(x)?(a
2
?b
2
)x
2
?2(ac?bd)x?c
2
?d
2
，则
f(x)?(ax?c)
2
?(bx?d)
2
≥0恒成立.
∴
??[?2(ac?bd)]
2
?4(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
≤0，即…..
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式：
a
2
?b
2
c
2
?d
2
?|ac?bd|
或
a
2
?b
2
c
2
?d
2
?|ac|?|bd|

或
a
2
?b
2
?c
2
?d2
?ac?bd
.
④ 提出定理2：设
?
,
?
是两个向量，则
|
?
?
?
|?|
?
||
?
|
.
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）
→ 讨论：上 面时候等号成立？（
?
是零向量，或者
?
,
?
共线）
⑤ 练习：已知
a
、
b
、
c
、
d
为实数，求证
a
2
?b
2
?c
2
?d
2< br>?(a?c)
2
?(b?d)
2
.

32

证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）
2. 教学三角不等式：
① 出示定理3：设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R
， 则
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
.
分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明
→ 变式：若
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
,x
3
,y
3
?R
，则 结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例：
例1：已知a,b为实数，求证
(a?b)(a?b)?(a?b)

442 2332
说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。
所 以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数
y?5x?1?10?2x
的最大值。
分析：利用不等式解 决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取
等号的条件。这个函数的解析式是 两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求
其最大值。（
|ac?bd|?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
）
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y?5?x?1?2?5?x

?5
2
?(2)
2
?(x?1)
2
?(5?x)< br>2

?27?4?63
当且仅当
2?x?1?5?5?x
时， 等号成立，即
x?
2442222
127
时，函数取最大值
63
27
课堂练习：1. 证明:
(x+y)(a+b)≥(ax+by)
2.求函数
y?3x?5?46?x
的最大值.
例3.设a,b是正实数， a+b=1，求证
分析：注意到
11
??4

ab
111111
??(a?b)(?)
，有了
(a?b)(?)
就可以用柯西不 等式了。
ab
abab
四、巩固练习：
1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2. 已知x+2y=1, 求x+y的最小值.
五、课堂小结：
二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）
六、布置作业：P37页，4，5， 7，8，9
七、教学后记：


33
22

课 题： 第02课时 二维形式的柯西不等式（二）
教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典 不等式的一般方法
——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等 关系.
教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.
教学过程：
一、复习引入：
1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？
答案：
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?b d)
2
；
x
1
2
?y
1
2
?x< br>2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2

2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3. 如何利用二维柯西不等式求函数
y?x?1?2?x
的最大值?
要点：利用变式
|ac?bd|?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
.
二、讲授新课：
1. 最大（小）值：
① 出示例1：求函数
y?3x?1?10?2x
的最大值？
分析：如何变形？
→ 构造柯西不等式的形式
→ 板演
→ 变式：
y?3x?1?10?2x

→ 推广：
y?abx?c?de?fx,(a,b,c,d,e,f?R
?
)

② 练习：已知
3x?2y?1
，求
x
2
?y
2< br>的最小值.
解答要点：（凑配法）
x
2
?y
2
?
1
2
11
(x?y
2
)(3
2
?2< br>2
)?(3x?2y)
2
?
.
131313
讨论：其它方法 （数形结合法）
2. 不等式的证明：
① 出示例2：若
x,y ?R
?
，
x?y?2
，求证：
11
??2
.
xy
分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：< br>1
?
1
?
1
(x?y)(
1
?
1< br>)?
1
[(x)
2
?(y)
2
][(
1)
2
?(
1
)
2
]?
…
xy2xy2
xy
讨论：其它证法（利用基本不等式）
② 练习：已 知
a
、
b?R
?
，求证：
(a?b)(
1
?
1
)?4
.
ab

34

三、应用举例：
例1已知a
1
,a
2
,…,a
n
都是实数，求证：
1
222
(a
1
?a
2
???a
n
)
2
?a
1
?a
2
???a< br>n

n
2 222
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例2已知
a，b，c，d
是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个 数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序
启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
例3、已知 x?2y?3z?1,求 x
2
?y
2
?z
2
的最小值.

分析：由
x?2y?3z?1以及 x
2
?y
2
?z
2
的
形式，联系柯西不等式，可 以通过构造
（1
2
+2
2
+3
2
）作为一个因式而 解决问题。
四、巩固练习：
1. 练习：教材P
37
8、9题
练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求
2222
149
? ?
的最小值。
xyz
2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。
3．已知a，b，c为正实 数，且a+2b+3c=9，求
3a?
222
2b?c
的最大值。
选做：4．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）
5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求
111
（08东莞二模）
??
的最小值。
abc
222
6．已知x+y+z=< br>25
，则m=x+2y+z的最小值是____________.(08惠州调研)
五、布置作业：教材P
37
1、6、7题
① 已知
x,y,a ,b?R
?
，且
ab
??1
，则
x?y
的最小值.
xy
ab
要点：
x?y?(?)(x?y)?
…. → 其它证法
xy
② 若
x,y,z?R
?
，且
x?y? z?1
，求
x
2
?y
2
?z
2
的最小值. （要点：利用三维柯西不等
式）
变式：若
x,y,z?R
?
，且< br>x?y?z?1
，求
x?
六、课堂小结：
比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.
七、教学后记：


y?z
的最大值.

35

课 题： 第03课时 一般形式的柯西不等式
教学目标：
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法
教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程：
一、复习引入：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设
a,b,c,d
均为实数，则
(a< br>2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd )
2
，其中等号当且仅当
ad?bc
时成立。
定理2：（柯西不等 式的向量形式）设
?
，则
|
?
|?|
?
|?|?
?
?
|
，
?
为平面上的两个向量，
其中等号 当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
,x
3
,y
3
为任意实数，则：
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
?(y
2
?y
3
)
2
?(x
1
?x
3
)
2
?(y
1
?y
3
)
2

二、讲授新课：
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代
入，可得到
(a
1
?a
2
?a
3
)(b
1
?b
2
?b
3
)?(a
1
b
1
? a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
当且仅当 α ， β 共线时，
即 β?0 ，或存在一个实数k，使得a
i
? kb
i
(
i
?1,2,3)时，等号成立.
这就是三维形式的柯西不 等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：设
n
为大于1的自然数，
a
i
,b
i
（
i?
1，2，…，
n
）
22
为任意实 数，则：
(a
1
?a
2
?
222222
a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?b
n
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2< br>?a
n
b
n
)

即
?
a
i
i?1
n
2
?
b
i
?(
?
a< br>i
b
i
)
2
，其中等号当且仅当
2
i?1i ?1
nn
b
b
1
b
2
????
n
时成立（当
a
i
?0
a
1
a
2
a
n
时，约定
b
i
?0
，
i?
1，2，…，
n
）。

36

222
证明：构造二次 函数：
f(x)?(a
1
x?b
1
)?(a
2
x? b
2
)???(a
n
x?b
n
)

即构造了一个二次函数：
f(x)?(
?
a
i
2
)x
2
?2(
?
a
i
b
i
)x?
?
b
i
2

i?1i?1i?1
nnn
由于对任意实数
x
，
f(x)?0
恒成立，则其
??0
，
即：
??4(
?
a
i
b
i
)?4(
?
a
i
)(
?
b
i
2
)?0
，
2
2
i?1i?1
n
nnn
i?1
即：
(
?
a
i
b
i
)
2
?(
?
a
i
2
)(
?
b
i
2
)
，
i?1i?1i ?1
nn
等号当且仅当
a
1
x?b
1
?a
2
x?b
2
???a
n
x?b
n
?0
，
即等号当且仅当
b
1
?
b
2
???
bn
时成立（当
a
i
?0
时，约定
b
i
?0
，
i?
1，2，…，
n
）。
a
1
a
2
a
n
如果
a
i
（
1?i?n
） 全为0，结论显然成立。
三、应用举例：
1
例3 已知a
1
, a
2
,…,a
n
都是实数，求证：
(a
1
?a2
???a
n
)
2
?a
1
2
?a2
2
???a
n
2

n
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边 式子的字母排列顺序
启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例5、已知 x?2y?3z?1,求 x
2
?y
2
?z
2
的最小值.
2 222

分析：由
x?2y?3z?1以及 x
2
?y
2
?z
2
的
形式，联系柯西不等式，可以通过构造
（1+2+3）作为一个因式而解决问题。
四、巩固练习：
练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求
2222
222
149
??
的最小值。
xyz
2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。
3．已知a，b，c为正实 数，且a+2b+3c=9，求
3a?
五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5
七、教学后记：


2b?c
的最大值。

37

课 题： 第04课时 排序不等式
教学目标：
1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;
2. 体会运用经典不等式的一般思想方法
教学重点：应用排序不等式证明不等式
教学难点：排序不等式的证明思路
教学过程
一、复习准备：
1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）
2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.
二、讲授新课：
1. 教学排序不等式：
① 看书：P
41
~P
44
.
如 如图， 设
?AOB?
?
，自点
O
沿
OA
边依次取
n
个点
A
1
,A
2
,

OB
边依次取取
n
个点
B
1
,B
2
,
,A
n，
,B
n
，在
OA
边取某个点
A
i
与
OB
边
某个点
B
j
连接，得到
?AO B
ij
，这样一一搭配，一共可得到

n
个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的
?AOB
ij

不同，问：
OA
边上的点与
OB
边上的点如何搭配，才能使
n
个三角形的
面积和最大（或最小）？






设
OA
i
?a
i< br>,OB
j
?b
j
(i,j?1,2,,n)
，由已知条件，得

a
1
?a
2
? a
3
??a
n
,b
1
?b
2
?b
3
??b
n

因为
?AOB
ij
的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

38

代数问题：
设c
1
,c
2,,c
n
是数组b
1
,b
2
,,b
n
的任何一个排列,
则
S?a
1
c
1
?a
2
c
2
??a
n
c
n

何时取最大（或最小）值？
我们把
S?a
1
c
1
?a
2
c
2
??a
n
c
n
叫做数组(a
1
,a
2
,,a
n
)
与
(b1
,b
2
,,b
n
)
的乱序和.
其中,
S
1
?a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?a
3
b
n?2
?

S
2
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
?
?a
n
b
1< br>称为 序和.
?a
n
b
n
称为 序和.这样的三个和大小关系如何?
设有两个有序实数组:
a
1
?a
2
?
··········
c
1
,c
2,
·
?a
n
;
b
1
?b
2
?
·
?b
n
，
c
n
是
b
1
,b
2
，
,b
n
的任一排列,则有
··+
a
n
b
n
(同序和)
?a
1c
1
?a
2
c
2
+···+
a
nc
n
(乱序和)
?a
1
b
n
?a
2
b
n?1
+···+
a
n
b
1

a
1
b
1
?a
2
b
2
?
·
(反序和)
当且仅当
a
1
?a
2
?
··· =
a
n
或
b
1
?b
2
?
···=
b
n
时，反序和等于同序和.
（要点：理解其思想，记住其形式）
三、应用举例：
例1：设
a
1
,a
2
,???, a
n
是
n
个互不相同的正整数，求证：
1?
a
.
a
a
3
111
???????a
1
?
2< br>?
2
?????
n
2
23n23n
2
分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？
证明过程：
设
b
1
,b
2
,???,b
n
是
a
1
,a
2
,???,a
n
的一个排列，且
b
1
?b< br>2
?????b
n
，则
b
1
?1,b
2?2,???,b
n
?n
.
又
1?
1
2
?
1
2
?????
1
2
，由排序不等式，得
23n
a
3
a
n
b
n
…
b
2
b
3

a
1
?
a
2
???????b????????
1
222222
23n23n
小结：分析目标，构造有序排列.
四、巩固练习：
1. 练习：教材P
45
1题
2.已知
a,b,c
为正数，求证：< br>2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2
( b?c)?b
2
(a?c)?c
2
(a?b)
.
解 答要点：由对称性，假设
a?b?c
，则
a
2
?b
2
?c
2
，
于是
a
2
a?b
2
b?c
2
c?a
2
c?b
2
a?c
2
b
，
a
2
a?b
2
b?c
2
c?a
2
b?b
2
c?c
2
a
，
两式相加即得.
五、课堂小结：排序不等式的基本形式.
六、布置作业：教材P
45
3、4题
七、教学后记：

39

第四讲 数学归纳法证明不等式
课 题： 第01课时 数学归纳法（一）
教学目标：
1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：
一、创设情境，引出课题
（1）不完全归纳法：
今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我 在学校门口看到
第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。于 是
得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？
（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）
（2）完全归纳法：
一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红 色的，请问怎
样验证五根火柴都是红色的呢？
（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。）
注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有 关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此
有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法 ？（完全归纳法）
情境一：（播放多米诺骨牌视频）
问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？
二、讲授新课：
探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？
条件一：第一张骨牌倒下；
条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明

40

1
2
?2
2
?3
2
?… +n
2
?
n(n?1)(2n?1)
有些启发？
6
22 2
得出结论：证明
1?2?3?…+n?
（1）证明当
n?1
时，命 题成立；
2
n(n?1)(2n?1)
的两个步骤：
6
（2）假 设当
n?k(k?1,k?N)
时命题成立，证明当
n?k?1
时命题也成立 。
一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
（1） （归纳奠基）证明当
n
取第一个值
n
0
(n
0
?N )
时命题成立；
（2）（归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k? N)
时命题成立，证明当
n?k?1
时，命题
也成立。
只要完成以 上两个步骤，就可以判定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、应用举例：
例1用数学归纳法证明：
1?3?5?…+(2n-1)=n

证明：（1） 当
n?1
时，左边
?1
，右边
?1?1
，等式成立； （2）假设当
n?k
（k≥1,k
?
N*）时，
1?3?5?… +(2k-1)=k
2
，那么：
1?3?5?…+(2k-1)+(2k+1)=< br>[1?2(k?1)?1](k?1)
?(k?1)
2
，则当
n?k? 1
时也成立。
2
*
2
2
*
*
*
根据（1）和（2），可知等式对任何
n?N
都成立。
注：①对例1，首先说明在利 用数学归纳法证题时，当
n?k?1
时的证明必须利用
n?k
的归纳假设，
例2：用数学归纳法证明求证：
n?5n(n?N)
能被6 整除.
[证明]：
1?
. 当
n?1
时，1+5×1=6能被6整除，命题正确；
3
3?
2?
. 假设
n?k
时命题正确，即
k
3
?5k
能被6整除， ∴当
n?k?1
时，
(k?1)?5(k?1)?(k?3k?3k?1)?(5 k?5)?(k?5k)

3323
?3k(k?1)?6
，

41

∵两个连续的整数的乘积
k(k?1)
是偶 数，
?3k(k?1)
能被6整除，
?(k
3
?5k)?3k(k ?1)?6
能被6整除，即当
n?k?1
时命题也正确，
由
1?,2?
知命题时
n?N
都正确.
即：当
n?k?1
时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何
n?N
都成立。
注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。
四、巩固练习：P50练习题 第1、2题
五、课堂小结：
问：今天我们学习了 一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？
（学生总结，教师整理）
1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。
2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；
3、数学归纳法一般步骤：


*
?
*
验证
n?n
0
时命题成
立
若
n?k(k?n
0
,k?N)
时命题成
立，证明当
n? k?1
时命题也
成立

归纳奠基 归纳递推
?




命题对从
n
0
开始所有的正整数
n
都成立
4、应用数学归纳法要注意以下几点：
（1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；
（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；
（3）n0
是使命题成立的最小正整数，n
0
不一定取1，也可取其它一些正整数；
（4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。
六、布置作业：P50练习题 第1、2、3题
七、教学后记：

42

课 题： 第02课时 数学归纳法（二）
教学目标：
1.
掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.
2.
对数学归纳法的认识不断深化.
3.
掌握数学归纳法的应用：
教学重点：解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤
教学难点：数学归纳法证题有效性的理解
教学过程：
一、复习回顾：
数学归纳法两大步：
（
i）归纳奠基：证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；
（
ii
）归纳递推：假设
n
=
k
（
k
≥
n
0
，
k
∈N*）时命题成立，证明当
n
=
k
+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
练习：
1已知
f(n)?1?3?5??
?
2n?1
?
,n?N
*
，猜想
f(n)
的表达式，并给出证 明？
过程：试值
f(1)?1
，
f(2)?4
，…，→ 猜想
f(n)?n
2
→ 用数学归纳法证明.
2. 练习：是否存在常 数
a
、
b
、
c
使得等式
1?3?2?4?3?5? ......?n(n?2)?
对一切自然数
n
都成立，试证明你的结论.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法的应用：
例1：求证
1?
1
n(an
2
?bn?c)
6
11111111
????? ?????????,n?N
*

2342n?12nn?1n?22n
分析 ：第1步如何写？
n
=
k
的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？
关键：在假设
n
=
k
的式子上，如何同补？
证明：（略） 小结：证
n
=
k
+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，
朝目标进行变形.
例2：求证：
n
为奇数时，
x
+
y
能被
x
+
y
整除.
分析要点：（凑配）
x< br>+
y
=
x
·
x
+
y
·
y< br>=
x
(
x
+
y
)+
y
·
y
－
x
·
y
k
+2
k
+22
nn< br>k
2
k
2
kk
2
k
2
k

43

=
x
(
x
+
y< br>)+
y
(
y
－
x
)=
x
(
x
+
y
)+
y
·(
y
+
x
)(< br>y
－
x
).
证明：（略）
例3：平面内有
n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这
2
kkk
222
kkk
n
个圆将平面分成
f
(
n
)=
n
2
－
n
+2个部分.
分析要点：
n
=
k
+1时，在
k
+1个圆中任取一个圆
C
，剩下的
k个圆将平面分成
f
(
k
)个部
分，而圆
C
与< br>k
个圆有2
k
个交点，这2
k
个交点将圆
C
分成2
k
段弧，每段弧将它所在的平
面部分一分为二，故共增加了2
k
个平面部分.因此，
f
(
k
+1)=
f
(
k)+2
k
=
k
－
k
+2+2
k
=(< br>k
+1)－
(
k
+1)+2.
证明：（略）
三、巩固练习：：
（1） 求证:
(1?1)(1?)???(1?
（2） 用数学归纳法证明：
（Ⅰ）
7
2n
?4
2n
?297
能被264整除；
（Ⅱ）
a
n?1
?(a?1)
2n?1
能被
a
2
?a?1
整除（其中
n
，
a
为正整数）
（3） 是否存在正整数
m
，使得
f
（
n
）=（2
n
+7）·3+9对任意正整数
n
都能被
m
整除?若存在，求出最大的
m
值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（4）教材
50
1、2、5题
四、课堂小结：
两个 步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从
n
=
k
到
n
=
k
+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等 .
五、布置作业：
教材
50
4、5、6题.
六、教学后记：








44
n
22
1
3
1
)?2n?1
（
n
∈N
*）.
2n?1

课 题： 第03课时 用数学归纳法证明不等式（一）
教学目标：
1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，
2、理解数学归纳法的操作步骤，
3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的
格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.
教学难点：理解经典不等式的证明思路.
教学过程：
一、复习准备：
1
2
2
2
??
1. 求证：
1?33?5
2. 求证：
1?
n
2
n(n?1)
??,n?N
*
.
(2n?1)(2n?1)2(2n?1)
111
???
234
?< br>1
?n,n?N
*
.
n
2?1
二、讲授新课： < br>1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放
缩法，以及 类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．
（ 1）证明当n取第一个值n
0
时，结论正确，即验证P（n
0
）正确； （2）假设n=k（k∈N且k≥n
0
）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确， 即由P（k）
正确推出P（k+1）正确，
根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对 于从n
0
开始的所有自然数n都正确．
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
（1）在从n=k到n=k+1 的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也
就是要认清不等式的结构特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；
（3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换。
三、应用举例：
例1：比较
n
2
与
2
n
的大小，试证明你的结论.
分析：试值
n?1,2,3,4,5,6
→ 猜想结论 → 用数学归纳法证明
→ 要点：
(k?1)
2
?k
2
?2k?1?k
2
?2k?k?k
2
?3k?k
2
?k
2
?
….

45

证明：（略）
小结反思：试值→猜想→证明
11
巩固
练习1：
已知数列
?
a
n
?
的各项为正数，S
n
为前
n
项和 ，且
S
n
?(a
n
?)
，归纳出
a
n2a
n
的公式并证明你的结论.
解题要点提示：试值
n
=1,2,3,4， → 猜想
a
n
→ 数学归纳法证明
例2：证明不等式
|sinn
?
|?n|sin
?
|(n?N
?
)
.
要点：
|sin(k?1)?
|?|sink
?
cos
?
?cosk
?
s in
?
|?|sink
?
cos
?
|?|cosk
?
sin
?
|


?|sink
?
|?|sin
?
|?k|sin
?
|?|sin
?
|?(k?1)|sin
?
|

证明：（略）
例3：证明贝努利不等式.
(1?x)
n
?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

分析：贝努力不等式中涉及到两个字母，
x
表示大于-1且不等于0的任意实数，< br>n
是大
于1的自然数，用数学归纳法只能对
n
进行归纳
巩固
练习
2：试证明：不论正数
a
、
b
、
c
是 等差数列还是等比数列，当
n
＞1,
n
∈N且
a
、
b
、
*
c
互不相等时，均有
a
n
+
cn
＞2
b
n
.
解答要点：当
a
、
b
、
c
为等比数列时，设
a
=
b
nn
,
c
=
bq
(
q
＞0且
q
≠1). ∴
a
+
c
=….
q
a
n
?c
n
a?c
n
*
当
a
、
b
、
c
为等差数列时，有2
b
=a
+
c
，则需证＞()(
n
≥2且
n
∈N).
2
2
a
k?1
?c
k?1
1
k
+ 1
k
+1
k
+1
k
+1
1
k
+1
k
+1
kk
…. 当
n
=
k
+1时，?
(
a
+
c
+
a
+
c
)＞(
a
+
c
+
a
·
c
+
c
·
a
)
24
4
=
1
kk
a?c
k
a?ca?c
k
+1
(
a
+
c
)(
a
+
c
)＞()·()=() .
4
222
3. 小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.
四、巩固练习：
111tan(2
n
?
)
1. 用数学归纳法证明：
(1?
.
)(1?)....(1?)?
n
cos2
?< br>cos4
?
cos2
?
tan
?
2. 已知
n?N,n?2,证明：?
五、课堂小结：
六、布置作业：
教材P
53
3、5、8题.
七、教学后记：

1
2
11
??
n?1n?2
?
1
?1
.
2n

46