选修4-5 《不等式选讲》全册教案讲解

选修4--5 不等式选讲
一、课程目标解读
选修系列 4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、
不等式的证明、几个著名 的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
通过本专题的教学，使学生理解在自然 界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系
和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和 数学应用中起着重要的作用；使学生了
解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学 本质的理解，提高学生的
逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。
二、教材内容分析 作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教
材内容仍以初 中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，
结构如下图所示： 第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过
的不等式6个 基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了
二元基本不等式，突出几何 背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求
理解掌握并会应用二个和三个正数的均值 不等式。
对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，
并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的
一般思想和 方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证 明不等式
的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学
过，此 处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明
确不等式放缩的几个 简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或
分母，应用基本不等式进行放缩等 （见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内
容。
第三讲是“柯西不等式和排序不 等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，
教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和 实际应用。其中柯西不等式及其在证明不
等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学 的重点。事实上，柯西不等

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式和均值不等式在求最 值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如
课本P41页，习题3.2 第四题。
排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究
——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。
第四讲是“数学归纳法证 明不等式”．数学归纳法在选修2-2中也学过，建议放在第二
讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归 纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数
学估算方面的初步运用。
三、教学目标要求
1．不等式的基本性质
掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。
2．含有绝对值的不等式
理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式。
3．不等式的证明 < br>通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放
缩法、数学 归纳法
4．几个著名的不等式
(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义 ，会用二维三维柯西不等式进
行简单的证明与求最值。
(2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。
(3)了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式
5．利用不等式求最大（小）值
会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。
6．数学归纳法与不等式
了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。
会用数学归纳法证明贝努利不等式。
四、教学重点难点
1、本专题的教学重点：不 等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法
及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不 等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；
2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式 及其应用、绝对值不等式解法；
用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式 以及求最值等。

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五、教学总体建议
1、回顾并重视学生已学知识
学习本专题，学生已掌握的知识有：
第一、初中课标要求的不等式与不等式组
(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
(2)解简单 的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成
的不等式组，并会用数轴确 定解集。
(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的
问题
第二、高中必修5不等式内容：
(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，了
解不等式（组）的实际背景。
(2)一元二次不等式。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。
(4)基本不等式及其应用（求最值）。
第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等
内容。
回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯
度 恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专
题复习，构建知 识体系。
2、控制难度不拓展
在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的 绝对值不超过两个；绝对值内的
关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和 有效的方法是分区
间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；
不等式 证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、
数学归纳法，应用 柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。
代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这 些技巧是极为重要的，但对大多数学生
来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等 式以及证明的数学思想，
对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技 巧之中。
3、重视不等式的应用

18

不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最
值问题主要是用二 个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过3个正
数的均值不等式和柯西不等式； 排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。
4、重视展现著名不等式的背景
几个重 要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义
和几何背景，使学生在学 习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是
对于n元柯西不等式、排序不等式、贝 努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背景知
识。






















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第一讲 不等式和绝对值不等式
课 题： 第01课时 不等式的基本性质
教学目标：
1． 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。
2． 掌握不等式的基 本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用
比较法，反证法证明简单的不等式。
教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
教学难点：灵活应用不等式的基本性质。
教学过程：
一、引入：
不等 关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩
日”：“远者小而近者 大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛
存在；日常生活中息息相关的问 题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的
呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最 亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各
剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的 盒子的容积最大，应当剪去多大的小
正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识 才能得到解决。而且，
不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的 不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、
排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法 和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等 都表
现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相
对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转 化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若
再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什 么?
分析：起初的糖水浓度为
即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示

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b
b?m
b?m
b
，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证>
a
a?m
a?m
a

可知：
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c
?
a>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b
?
a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

?
a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac⑤、如果a>b >0，那么
a?b
⑥、如果a>b >0，那么
n
a?
三、典型例题：
例1、比较
(x?3)(x?7)
和
(x?4)(x?6)
的大小。
分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。
例2、已知
a?b,c?d
，求证：
a?c?b?d
．
例3、已知a>b>0，c>d>0，求证：
四、课堂练习：
1：已知
x? 3
，比较
x?11x
与
6x?6
的大小。
2：已知a>b>0，c五、课后作业：
课本
P
9
第1、2、3、4题
六、教学后记：

32
n
nn

(n
?
N，且n>1)
b

(n
?
N，且n>1)。
a
?
d
b
c
。
ba
。
?
a?cb?d



18

课 题： 第02课时 基本不等式
教学目标：
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程：
一、知识学习：
定理1：如果
a
、
b∈R，那么
a
＋
b
≥2
ab
（当且仅当
a
＝
b
时取“＝”号）
证明 ：
a
＋
b
－2
ab
＝（
a
－
b< br>）
当
a
≠
b
时，（
a
－
b
）＞0，当
a
＝
b
时，（
a
－
b
）＝0
所以，（
a
－
b
）≥0 即
a
＋
b
≥2
ab

由上面的结论，我们又可得到
定理2（基本不等式）：如果
a
，
b
是正数，那么
号）
证明：∵（
a
）＋（
b
）≥2
ab

∴
a
＋
b
≥2
ab
，即

22
2 2 2
22
2 22
2 2
a

＋
b
2
≥
ab
（当且仅当
a
＝
b
时取“＝”
a

＋
b
2
2
≥
ab

＝
ab
显然，当且仅当
a
＝
b
时，
说明：1）我们称
a

＋
b
a

＋
b
2
为
a
，
b
的算术平均数，称
ab
为
a
，
b
的几何平均数，因而，
此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数.
2）
a
＋
b
≥2
ab
和
2 2
a

＋
b
2
≥
ab
成立的条件是不 同的：前者只要求
a
，
b
都是实数，而
后者要求
a
，
b
都是正数.
3）“当且仅当”的含义是充要条件.
4）几何意义.
二、例题讲解：
例1 已知
x
，
y
都是正数，求证： < br>（1）如果积
xy
是定值
P
，那么当
x
＝
y
时，和
x
＋
y
有最小值2
P
；

18

1
2
（2）如果和
x
＋< br>y
是定值
S
，那么当
x
＝
y
时，积
xy
有最大值
S

4
证明：因为
x
，
y
都是正数，所以
（1）积< br>xy
为定值
P
时，有
x
＋
y
2
≥
xy

x
＋
y
2
≥
P
∴
x
＋
y
≥2
P

上式当
x
＝
y
时，取“＝”号，因此，当
x
＝y
时，和
x
＋
y
有最小值2
P
.
S
1
2
（2）和
x
＋
y
为定值
S
时，有
xy
≤ ∴
xy
≤
S
24
1
2
上式当
x=y
时取“＝”号，因此， 当
x=y
时，积
xy
有最大值
S
.
4
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
ⅲ）等号成立条件必须存在。
例2 ：已知
a
、
b
、
c
、
d
都是正数，求证：
（
ab
＋
cd
）（
ac
＋
bd
） ≥4
abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而 正确运用，同时
加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由
a
、
b
、
c
、
d
都是正数，得
ab
＋
cd
2
∴
≥
ab
·
cd
＞0，
ac
＋
bd
2
≥
ac
·
bd
＞0，
（
ab
＋
cd< br>）（
ac
＋
bd
）
≥
abcd

4
即（
ab
＋
cd
）（
ac
＋
bd
）≥4
abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m，深为3m，如果池底每
1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使 总造价最低，最低总
造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立 函数关系式，然后求函数的最
值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为
x
m，水池的总造价为
l
元，根据题意，得
22
3
l
＝240000＋720（
x
＋
1600
）≥240000＋720×2
x
x
·
1600

x
＝240000＋720×2×40＝297600

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