高中数学选修4-5综合测试

选修4-5不等式选讲综合测试
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若
|a?c|?|b|
，则下列不等式中正确的是（ ）．
A．
a?b?c
B．
a?c?b
C．
|a|?|b|?|c|
D．
|a|?|b|?|c|

1．D
c?|b|?a?c?|b|?|c|?|b|
．
2．设
x?0,y?0,A?
x?yxy
?
,
B?
，则
A,B
的大小关系是（ ）．
1?x?y1?x1?y
A．
A?B
B．
A?B
C．
A?B
D．
A?B

2．B
B?
xyxyx?y
?????A
，即
A?B
．
1?x1?y1?x?y1?y?x1?x?y
通过放大分母使得分母一样，整个分式值变小
3．设命题甲：
|x?1|?2
，命题乙：
x?3
，则甲是乙的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． A 命题甲：
x?3
，或
x??1
，甲可推出乙．
4．已知
a ,b,c
为非零实数，则
(a?b?c)(
222
111
?
2
?
2
)
最小值为( ) ．
2
abc
A．
7
B．
9
C．
12
D．
18

4．B
(a?b?c)(
222111111
2
??)?(a??b??c?)?(1?1?1)
2
?9
，
222
abcabc
∴所求最小值为
9
．
5 ．正数
a,b,c,d
满足
a?d?b?c
，
|a?d|?|b?c |
，则有（ ）．
A．
ad?bc
B．
ad?bc
C．
ad?bc
D．
ad
与
bc
大小不定
5．C 特殊值：正数
a?2,b?1,c?4,d?3
，满足
|a?d|?|b?c|
，得
ad? bc
．
或由
a?d?b?c
得
a?2ad?d?b?2bc?c
，
∴
(a?d)?(b?c)?2bc?2ad
，（1）
由
|a?d |?|b?c|
得
a?2ad?d?b?2bc?c
，（2）
将（1）代入 （2）得
2bc?2ad??2bc?2ad
，即
4bc?4ad
，∴
ad?bc
．
6．如果关于
x
的不等式
5x?a?0
的 非负整数解是
0,1,2,3
，那么实数
a
的取值
范围是（ ）．
1 8
2
2222
2222
2222

A．
45?a?80
B．
50?a?80
C．
a?80
D．
a?45

6．A
5x? a?0
，得
?
2
a
?x?
5
a
，而正整数 解是
1,2,3
，则
3?
5
a
?4
．
5
7．设
a,b,c?1
，则
log
a
b?2log
b
c?4log
c
a
的最小值为（ ）．
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

7．C
log< br>a
b,log
b
c,log
c
a?0
，
l og
a
b?2log
b
c?4log
c
a?3
3< br>log
a
b?2log
b
c?4log
c
a?33
8
2
lgblgclga
???6
．
lgalgb lgc
8．已知
|2x?3|?2
的解集与
{x|x?ax?b?0}
的解集相同，则（ ）．
55517
B．
a??3,b?
C．
a?3,b?
D．
a?b?

4444
15
2
8．Ｂ 由
|2x?3|?2
解得?x?
，因为
|2x?3|?2
的解集与
{x|x?ax?b?0}
22
15
2
的解集相同，那么
x?
或
x?< br>为方程
x?ax?b?0
的解，则分别代入该方程，得
22
A．
a?3,b??
?
11
?a?b?0
?
a??3
?
?
42
?
?
??
5
．
b?
?
25
?
5
a?b?0
?
?4
?
?42
9． 已知不等式
(x?y)(?
1
x
a
)?9
对任意正实数x,y
恒成立，则正实数
a
的最小值为（ ）．
y
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

9．B ∵
(x ?y)(?
1
x
2
ayax
)?1?a???(a?1)
2
，∴
(a?1)
2
?9
，∴
a?4
．
y xy
22
10．设
a,b,c?0,a?b?c?3
，则
ab?bc ?ca
的最大值为（ ）．
3
A．
0
B．
1
C．
3
D．
222
3

3
10．C 由排序不等式
a?b?c?ab?bc?ac
，所以
ab?bc?ca?3
．
11．已知
f(x)?3
2x
?(k?1)?3
x
?2，当
x?R
时，
f(x)
恒为正，则
k
的取值范围是（ ）．
A．
(??,?1)
B．
(??,22?1)
C．
(?1,22?1)
D．
(?22?1,22?1)

2 8

3
2x
?2
?k?1
， 11．B
3?(k?1)?3?2?0
，
3?2?(k?1)?3
，即< br>3
x
2xx2xx
2
?22?k?1
，即
k?22? 1
．
x
3
111113
(n?2,n?N
?
)< br>的过程12．用数学归纳法证明不等式
????????
n?1n?2n?32n24< br>中，由
n?k
逆推到
n?k?1
时的不等式左边（ ）．
得
3?
x
A． 增加了
1
项
111
1
?
B．增加了“”，又减少了“”
2(k?1)2k?12(k?1)
k?1
111
1
?
D．增加了，减少了
2k?12(k?1)2(k?1)
k?1
C．增加了
2
项
12．B 注意分母是连续正整数．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．不等式
|
x?2
|?1
的解集为 ．
x
22
13．
{x|x??1}
∵
x?0
，∴
|x?2|?|x|
，即
(x?2)?x
，∴
x?1? 0
，
x??1
，
∴原不等式的解集为
{x|x??1}
．
14．已知函数
f(x)?x?ax?1
，且
|f(1)|?1
，那 么
a
的取值范围是 ．
14．
1?a?3

f(x)?x?ax?1
，f(1)?2?a
，而
|f(1)|?1
，即
|a?2|?1
．
15．函数
f(x)?3x?
2
2
12
(x?0)
的最小值为_____________．
x
2
123x3x123x3x123
????3???9
．
x
2
22x
2
22x
2
15．
9

f(x)?3x?
?
16．若
a,b,c?R
，且
a?b? c?1
，则
a?b?c
的最大值是 ．
2222
16．
3

(1?a?1?b?1?c)?(1?1?1)(a?b?c)?3
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
a
2
?b
2
?c
2
a?b?c
求证：．
?
33
17．证明：∵
(1?1?1)(a?b?c)?(a?b?c)，
2222222
a
2
?b
2
?c
2
(a?b?c)
2
?
∴，
39
3 8

a
2
?b
2
?c
2
a?b?c 即．
?
33
18．（本小题满分10分）
无论< br>x,y
取任何非零实数，试证明等式
111
??
总不成立．
xyx?y
111
??
成立，
x
1
y
1
x
1
?y
1
18．证明：设存在非零实数
x
1,y
1
，使得等式
则
y
1
(x
1
?y
1
)?x
1
(x
1
?y
1
)?x
1
y
1
，
22
∴
x
1
?y
1< br>?x
1
y
1
?0
，即
(x
1
?y
1
2
3
2
)?y
1
?0
，
24
但是
y
1
?0
，即
(x
1
?
故原命题成立．
19．（本小题满分12分）
已知
a
，
b，
c
为
y
1
2
3
2
)?y
1
?0
，从而得出矛盾．
24
ABC
的三边，求证：
a2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ca)
．
222222
19．证明：由余弦定理得
2bccosA?b?c?a
，
2 accosB?a?c?b
，

2abcosC?a?b?c
，
三式相加得
2bccosA?2accosB?2abcosC?a?b?c
，
而
cosA?1,cosB?1,cosC?1
，且三者至多一个可等于
1
，
即
2bccosA?2accosB?2abcosC?2bc?2ac?2ab
，
所以
a?b?c?2(ab?bc?ca)
．
20．（本小题满分12分）
222
222
222
a?ba?b?c
3
?ab)?3(?abc )
．
23
a?ba?b?c
3
?ab)?3(?abc)
， 20．证明 ：要证
2(
23
已知
a,b,c
都是正数，求证：
2(只需证
a?b?2ab?a?b?c?3
3
abc
，即
?2ab ?c?3
3
abc
，
移项得
c?2ab?3
3
abc
，
∵
a,b,c
都是正数，
∴
c?2ab?c?ab?ab?33
c?ab?ab?3
3
abc
，
4 8

∴原不等式成立．
21．（本小题满分12分）

某单位决 定投资
3200
元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正
面 用铁栅，每米造价
40
元，两侧墙砌砖，每米造价
45
元，顶部每平方米造价
20
元，试
问：（1）仓库面积
S
的最大允许值是多少？（2）为使
S
达到最大，而实际投资又不超过
预算，那么正面铁栅应设计为多长？
21 ．解：如图，设铁栅长为
x
米，一堵砖墙长为
y
米，则有
S?xy< br>，
由题意得
40x?2?45y?20xy?3200
，
应用二元均值不等式，
得
3200?240x?90y?20xy


?120xy?20xy


?120S?20S

∴
S?6S?160
，即
(S?16)(S?10)?0
，
∵
S?16?0
，∴
S?10?0
，∴
S?100
． < br>因此，
S
的最大允许值是
100
平方米，取得此最大值的条件是
40x?90y
，
而
xy?100
，求得
x?15
，即 铁栅的长应是
15
米．
22．（本小题满分12分）
已知
f(x )
是定义在
(0,??)
上的单调递增函数，对于任意的
m,n?0
满足
f(m)?f(n)?f(mn)
，且
a
，
b
(0? a?b)
满足
|f(a)|?|f(b)|?2|f(
（1）求
f(1)；
（2）若
f(2)?1
，解不等式
f(x)?2
；
（3）求证：
3?b?2?2
．
22．解：（1）因为任意的
m, n?0
满足
f(m)?f(n)?f(mn)
，
令
m?n?1
，则
f(1)?f(1)?f(1)
，得
f(1)?0
；
（2）
f(x)?2?1?1?f(2)?f(2)
，
而
f(2)?f(2)?f(4)
，
a?b
)|
．
2
5 8

得
f(x)?f(4)
，而
f(x)
是定义在
(0,??)
上的单调递增函数，

0?x?4
，得不等式
f(x)?2
的解集为
(0,4)
；
（3）∵
f(1)?0
，
f(x)
在
(0,??)
上的单调递增，
∴
x?(0,1)
时，
f(x)?f(1)?0
，
x?(1,??)
时，
f(x)?f(1)?0
．
又
|f (a)|?|f(b)|
，
f(a)?f(b)
或
f(a)??f(b)，
∵
0?a?b
，则
f(a)?f(b),f(a)?f(b)
，∴
f(a)??f(b)
，
∴
f(a)?f(b)?f(ab)?0?f(1)
，
∴
ab?1
，得
0?a?1?b
．
a?ba?ba?b
且
b?1
，
)|
，
?ab? 1
，
f(b)?0,f()?0
，
222
a?ba?ba?ba?b
2
∴
f
(
b
)
?
2
f
( )
，∴
f(b)?f()?f()?f[()]
，
2222
a?b
2
得
b?()
，∴
4b?a
2
?2ab?b
2
，
2
∵
|
f
(
b
)|
?< br>2|
f
(
即
4b?b?2?a
，而
0?a?1
，
∴
0?4b?b?2?1
，又
b?1
，
∴
3?b?2?2
．

答案与解析：
备用题：
1．已知
a?b
，
c?d
，则下列命题中正确的是（ ）．
A．
a?c?b?d
B．
2
22
ab
?
C．
ac?bd
D．
c?b?d?a

dc
1．D 令
a?1,b?0,c??1,d??2
，可验证知D成立，
事实上我们有
a?b??b??a
①，
c?d
②，①﹢②可得
c?b?d?a
．
|a?1|?h
且
|b?1|?h
，2．已知
a,b?R
，
h?0
．设命题甲：
a,b
满足
|a?b|?2h
；命题乙 ：
那么甲是乙的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
2．B < br>|a?1|?h
，
|b?1|?h
，则
|a?1|?|b?1|?2h
，而
|a?1|?|b?1|?|a?b|
，
即
| a?b|?2h
；命题甲：
|a?b|?2h
不能推出命题乙：
|a?1|? h
且
|b?1|?h
．
6 8

3．证明
1?
1111n
???????
n
?

(n?N
?
)
，假设
n?k
时成立，当
n?k?1
时，左
2342?12

k
端增加的项数是（ ）．
A．
1
项
k?1
B．
k?1
项 C．
k
项 D．
2
k
项
3．D 从
2?1?2?1
增加的项数是
2
k
．
4．如果
|x?2|?|x?5|?a
恒成立，则
a
的取值范围是 ．
4．
a?7

|x?2|?|x?5|?7
，而
| x?2|?|x?5|?a
恒成立，则
7?a
，即
a?7
．
5．已知函数
f(x)?log
m
(m?x)
在区间
[3,5]< br>上的最大值比最小值大
1
，则实数
m?
．
5．
3?6
显然
m?x?0
，而
x?[3,5]
，则
m?5
，
得
[3,5]
是函数
f(x)? log
m
(m?x)
的递减区间，
f(x)
max
?lo g
m
(m?3)
，
f(x)
min
?log
m(m?5)
，
即
log
m
(m?3)?log
m
(m?5)?1
，得
m?6m?3?0，

m?3?6
，而
m?1
，则
m?3?6
．
6．要制作如图所示的铝合金窗架，当窗户采光面积为
一常数
S
时（中间横梁面积忽略不计），要使所用的铝合
金材料最省，窗户的宽
AB
与高
AD
的比应为 ．






6．
2:3
设宽
AB
为
x
，高
AD
为
y
，则
xy?S
，所用的铝合金材料为
3x?2y
，
< br>3x?2y?26xy?26S
，此时
3x?2y
，
x:y?2:3< br>．
2
11
与
n?b?
的大小．
ab
11 11b?a
7．解：
m?n?a??(b?)?(a?b)?(?)?(a?b)?
，
ababab
11
)
，而
0?a?b?1
，则
0? ab?1,?1
， 即
m?n?(a?b)(1?
abab
1
得
a?b?0,1??0
，即
m?n?0
，所以
m?n
．
ab
7．若
0?a?b?1
，试比较
m?a?
7 8 < /p>

8．已知
c?0
，设
P
：函数
y?c
在
R
上单调递减，
Q
：不等式
x?|x?2c|?1
的解集
为
R
．如果
P
和
Q
有且仅有一个正确，求
c
的取值范围．
8．解：∵
y?c
在
R
上单调递减，∴< br>0?c?1
，
x
x
?
2x?2c(x?2c)
又∵
x?|x?2c|?
?
的最小值是
2c
，
2c(x?2c )
?
∴
2c?1
，即
c?
1
，
2
由题设，当
P
为真
Q
为假时，有
0?c?1
，且
0?c?
∴
0?c?
1
，
2
1
；
2
1
，∴
c?1
．
2
当
P
为假
Q
为真时，有
c?1
且
c?
故
c
的取值范 围是
(0,]U[1,??)
．


1
2
8 8