最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案

最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案
第一讲 不等式和绝对值不等式 < br>一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合< br>题目要求的)
1．设集合A＝{x|y＝log
2
A．{x|－1B．{x|－3C．{x|－1D．{x|－1－5解析： 不等式4－2x－x
2
>0可转化为
x
2
＋2x－4<0，解得－1－5∵A＝{x|－1－5x－2
3
不等式
≥1可转化为≤0，
x＋1x＋1
解得－1∴A∩B＝{x|－1答案： A
2．不等式
?
(4－2x－x
2
)}，B＝
?
x
?
?
?
??
?
3
≥1
?
?
，则A∩B等于( )
?
x＋1
?
?

?
x＋1
?
<1的解集为( )
?
?
x－1
?
B．{x|0D．{x|x<0}
A．{x|01}
C．{x|－1解析： 方法一：特值法：显然x＝－1是不等式的解，故选D.
方法二：不等式等价于|x＋1|<|x－1|，
即(x＋1)
2
<(x－1)
2
，解得x<0，故选D.
答案： D
3．设a，b是正实数，以下不等式
2ab
①ab>，②a>|a－b|－b，
a＋b
③a
2
＋b
2
>4ab－3b
2
，④ab＋
恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④
2
>2
ab

C．②③
解析：
D．②④
2ab2ab2ab2
≤
＝ab，即ab≥，故 ①不正确，排除A、B；∵ab＋
≥22>2，即④正确．
ab
a＋b
2ab
a＋b
答案： D
11
4．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是( )
ab
A．2
C．4
B．22
D．5
112
解析： ∵a>b，b>0，∴
＋
≥
，当且仅当a＝b时取等号，
ab
ab
112
∴＋＋2ab≥＋2ab≥2
ab
ab
当且仅当a＝b＝1且
答案： C
5．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2
B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
D．不可能比较大小
解析： 当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2，
当(a＋b)(a－b)＜0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
答案： B 11
6．设x，y∈R，a>1，b>1.若a
x
＝b
y
＝3， a＋b＝23，则＋的最大值为( )
xy
A．2
C．1
3
B.
2
1
D.
2
2
·2ab＝4.
ab
211
＝2ab时成立，能取等号，故＋＋2ab的最小值为4，故选C.
ab
ab
解析： ∵a
x
＝b
y
＝3，∴x＝lo g
a
3，y＝log
b
3，
1111
∴＋＝＋＝log
3
a＋log
3
b
x ylog
a
3log
b
3
?a＋b?
2
＝log< br>3
ab≤log
3
＝log
3
3＝1，故选C.
4
答案： C

7．0A．|log
1
＋
a
(1－a)|＋|log
(1
－
a)
(1＋a)|>2
B．|log
1
＋
a
( 1－a)|<|log
(1
－
a)
(1＋a)|
C．|log(1
＋
a)
(1－a)＋log
(1
－
a)
( 1＋a)|<|log
(1
＋
a)
(1－a)|＋|log
(1－
a)
(1＋a)|
D．|log
(1
＋
a)
(1－a)－log
(1
－
a)
(1＋a)|>|log
(1＋
a)
(1－a)|－|log
(1
－
a)
(1＋a) |
1
解析： 令a＝
，代入可排除B、C、D.
2
答案： A
8．若实数a，b满足a＋b＝2，则3
a
＋3
b
的最小值是( )
A．18
C．23
解析： 3
a
＋3
b≥23
a
·3
b
＝2
答案： B
9．已知|a|≠|b|，m＝
A．m＞n
C．m＝n
解析： ∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，
|a|－|b||a|－|b|
∴m＝
≤
＝1，
|a－b||a| －|b|
|a|＋|b||a|＋|b|
n＝≥
＝1，∴m≤1≤n.
|a＋b||a|＋|b|
答案： D
10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百 分率为p
1
，第三年比第二年增长的百分率为p
2
，第四年比
第三年 增长的百分率为p
3
，则年平均增长率p的最大值为( )
3
A.p
1
p
2
p
3

p
1
p
2
p
3
C.
3
解析： ∵(1＋p)
3
＝(1＋p
1
)(1＋p
2
)(1＋p3
)，
∴1＋p＝
3
1＋p
1
＋1＋p
2< br>＋1＋p
3
?1＋p
1
??1＋p
2
??1＋p3
?≤
，
3
p
1
＋p
2
＋p
3
B.
3< br>?1＋p
1
??1＋p
2
??1＋p
3
?
D ．2
3
|a|－|b||a|＋|b|
，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
|a－b||a＋b|
B．m＜n
D．m≤n
B．6
4
D.3
3
a
＋
b
＝23
2
＝6.
p
1
＋p
2
＋p
3
∴p≤
.
3
答案： B

11．若a，b，c>0，且a
2
＋ 2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是( )
A．23
C．2
解析： a
2
＋2ab＋2ac＋4bc
＝a(a＋2c)＋2b(a＋2c)
＝(a＋2c)(a＋2b)
≤
?
B．3
D.3
?
?a＋2c?＋?a＋2b?
?
2
?
，
2
??
∴(a＋b＋c)
2
≥12，又a，b，c>0，
∴a＋b＋c≥23.
答案： A
1＋cos 2x＋8sin
2
x
π
12．当02sin 2x
A．2
C．4
B．23
D．43
2cos
2
x＋8 sin
2
x1＋4tan
2
x
解析： 方法一：f(x)＝
＝

2sin xcos xtan x
1
＝4tan x＋
≥4.
tan x
1
这里tan x>0，且tan x＝时取等号．
2
1＋cos 2x＋8sin
2
x5－3cos 2x
方法二：f(x)＝
＝
(0<2x<π)．
sin 2xsin 2x
5－3cos 2x
令μ＝，有μsin 2x＋3cos 2x＝5.
sin 2x
μ
2
＋9sin(2x＋φ)＝5,
∴sin(2x＋φ)＝
5
μ
2
＋9
.
?
5
?
∴
??
≤1，得μ
2
≥16.
2
?
μ
＋9
?
∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

α－β
ππ
13．已知－≤α＜β≤，则的取值范围是________．
222
ππ
解析： 利用不等式的性质进行求解．由－≤α＜β≤
可得．
22
π
α－β
答案： －≤＜0.
22
14．设集合S＝ {x||x－2|>3}，T＝{x|a解析: ∵|x－2|>3，
∴x－2>3或x－2<－3，
∴x>5或x<－1，
即S＝{x|x>5或x<－1}．
又∵T＝{x|a?
?
a<－1
∴画数轴可知a需满足
?
，
?
?
a＋8>5
∴－3
答案： －3?x＋5??x＋2?
15．设x>－1，求函数y＝的最小值为________．
x＋1
解析： ∵x>－1，∴x＋1>0，
?x＋5??x＋2?[?x＋1?＋4][?x＋1?＋1]
y＝
＝
x＋1x＋1
＝(x＋1)＋5＋
4
≥2·
x＋1
4
? x＋1?·
＋5＝9.
x＋1

4
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
x＋1
∴y的最小值是9.
答案： 9
16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50< x≤80时，每天售出的件数P
10
5
＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应 定为____________元．
?x－40?
2
解析： 设销售价格定为每件x元(50

10
5
?x－50?
y＝(x－50)·P＝
，
?x－40?
2
设x－50＝t，则010
5
t10
5
t
∴y＝＝
2

2
?t＋10?t
＋20t＋100
10
5
10
5
＝
≤
＝2 500.
100
t＋
＋20
20＋20
t
当且仅当t＝10，即x＝60时，y
max
＝2 500.
答案： 60
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
x
17．(12分)已知30＜x＜42,16＜y＜24，求x＋y，x－2y，的取值范围 ．
y
解析： ∵30＜x＜42,16＜y＜24，
∴46＜x＋y＜66.
∵16＜y＜24，
∴－48＜－2y＜－32，
∴－18＜x－2y＜10.
∵30＜x＜42，
111
∴＜＜
.
24y16
5x21
∴＜＜
.
4y8
ab
18． (12分)已知a，b，x，y∈R
＋
，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝ 1，x＋y的最小
xy
值为18，求a，b.
ab
?
解析： ∵x＋y＝(x＋y)
?
?
x
＋
y
?

bxay
＝a＋b＋＋
≥a＋b＋2ab
yx
＝(a＋b)
2
，
bxay
当且仅当＝时取等号．
yx
又(x＋y)
min
＝(a＋b)
2
＝18，
即a＋b＋2ab＝18 ①

又a＋b＝10 ②
??< br>?
a＝2
?
a＝8
由①②可得
?
或
?
.
??
?
b＝8
?
b＝2
19．(12分)解不等式| x＋1|＋|x|<2.
解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法．
3
当x≤－1时，－x－1－x<2，解得－
2
当－11
当x≥0时，x＋1＋x<2，解得0≤x<
.
2
31
??
因此，原不等式的解集为
?
x|－
2
2
?
.
??

方法二：利用方程和函数的思想方法．

令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2
2x－1?x≥0?，
?
?
＝
?
－1?－1≤x<0?，
?
?
－2x－3?x<－1?.


作函数f(x)的图象(如图)，

31
知当f(x)<0时，－
22
故原不等式的解集为
31
??
?
x|－?
.
22
??
方法三：利用数形结合的思想方法．
由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)
的距离 ．
由条件知，这两个距离之和小于2.
作数轴(如图)，知原不等式的解集为
31
??
?
x|－?
.
22
??

方法四：利用等价转化的思想方法．
原不等式? 0≤|x＋1|＜2－|x|，
∴(x＋1)
2
＜(2－|x|)
2
，且|x|＜2，
即0≤4|x|＜3－2x，且|x|＜2.
∴16x
2
＜(3－2x)
2
，且－2＜x＜2.
31
解得－＜x＜
.故原不等式的解集为
22
?
?
31
?
?
x
－＜x＜
?
.
2
??
?
2

4
20．(12分)求函数y＝3x＋
2
(x>0)的最值．
x
解析： 由已知x>0，
43x3x4
∴y＝3x＋
2
＝＋＋
2

x22x
3
3x3x4
3
≥3··
2
＝3
9，
2 2x
3
3x3x429
当且仅当＝＝
2
，即x＝时，取等号． 22x3
3
294
3
∴当x＝时，函数y＝3x＋
2
的 最小值为3
9.
3x
21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段 内的车距d(m)正比于车速v(kmh)的平方与
车身长s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身 长，假定车身长均为s(m)，且车速为50 kmh时车距恰为
车身长s，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q最大？
解析： 由题意，知车身长s为常量，车距d为变量．且
11
d＝kv
2< br>s，把v＝50，d＝s代入，得k＝
，把d＝
s代入
2 5002
1
d＝ v
2
s，得v＝252.所以
2 500
?
2
s?0d＝
?
1
?
2 500
v
s?v>252?.
2
1

则车流量

?
1 000v
?
Q＝
＝
d＋s
?
1 000v
?v>25
v
?
?
s?1＋
2 500
?
2
1 000v
?03
s
2
2?.


当01 000v
50 0002
Q
1
＝
＝
.
33s
s
2
当v>252时，
Q
2
＝
1 000v
1 000
＝
2
v
?

v
?
?
1
?
s
1＋
2 500
s
v
＋
2 500
??
??
≤
1 00025 000
＝
.
s
1
v
s·2
v
·
2 500
v
125 000
当且仅当
v
＝，即v＝50时，等号成立． 即当v＝50时，Q取得最大值Q
2
＝.因为Q
2
>Q
1
，
2 500s
所以车速规定为50kmh时，该地段的车流量Q最大．
22．(14 分)已知函数f(x)＝ax
2
－4(a
?
?
f?x? ?x>0?
为非零实数)，设函数F(x)＝
?
.
?
－f?x? ?x<0?
?

(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F(x)|≤2；
(3)设mn<0，m＋n>0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解析： (1)∵f(－2)＝0，∴4a＋4＝0，
得a＝－1，∴f(x)＝－x
2
＋4，
2
?
?
－x＋4 ?x>0?
F(x)＝
?
.
2
?
x
－4 ?x<0?
?

(2)∵|F(－x)|＝|F(x)|，
∴|F(x)|是偶函数，
故可以先求x>0的情况．
当x>0时，由|F(2)|＝0，
故当0解不等式1≤－x
2
＋4≤2，得2≤x≤3；

x>2时，解不等式1≤x
2
－4≤2，得5≤x≤6；
综合上述可知原不等式的解集为
{x|2≤x≤3或5≤x≤6或－3≤x≤－2或－6≤x≤－5}．
(3)∵f(x)＝ax
2
＋4，
2
?
?
ax
＋4 ?x>0?
∴F(x)＝
?
，
2
?
－ax－4 ?x<0?
?

∵mn<0，不妨设m>0，则n<0.
又m＋n>0，∴m>－n>0，∴m
2
>n
2
，
∴F(m)＋F(n)＝am
2
＋4－an
2
－4
＝a(m
2
－n
2
)，
所以：当a>0时，F(m)＋F(n)能大于0，
当a<0时，F(m)＋F(n)不能大于0.
第二讲 证明不等式的基本方法
一 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题 目要求的)
ab
1．已知
2
>
2
，则下列不等式一定成立的是( )
cc
A．a
2
>b
2

11
C.>
bc
B．lg a>lg b
1
?b
?
1
?
a
D.
?
?
3
?< br>>
?
3
?

ab
解析： 从已知不等式入手：
2
>
2
?a>b(c≠0)，其中a，b可异号或其中一个为0，由此否定A、B、
cc
C，应选D.
答案： D
11
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
ab
A．a
2
2

ba
C.＋>2
ab
B．ab2

D．|a|＋|b|>|a＋b|
11
b－a
?
?
－
<0
?
<0
11
ab
ab
解析： 因为<<0?
?
?
?
ab
?< br>?
a<0且b<0
?
a<0，b<0


?b

由此判定A、B、C正确，应选D.
答案： D
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x
3
＋ax＋b＝0至少有一个实根 ”时，要做的假设是( )
A．方程x
3
＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x
3
＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x
3
＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x
3
＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析： 反证法证明问题时， 反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程
x
2
＋ax＋ b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x
2
＋ax＋b＝0没有实根．故应选A.
答案： A
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析： 至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°.所以，反设
应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度．
答案： B
5．设x>0，y>0，x＋y＝1，x＋y的最大值是( )
A．1
C.
2

2
B.2
D.
3

2
解析： ∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy，
1
∴
≥xy，
2
∴x＋y≤
答案： B
6．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件
C．充要条件
B．必要条件
D．既不充分也不必要条件
1
2?x＋y?＝2(当且仅当x＝y＝时取“＝”)．
2
解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②?①，所以①是②的必要条件．
答案： B
7．已知0

A．log
2
a>0
C．log
2
a＋log
2
b<－2
1
－
B．2
ab
<
2
1
＋
D．2
ba
<
2
ab
12
解析： 方法一：特值法令a＝
，b＝代入可得．
33
方法二：因为0所以02
a<0.
1
－1<2
a
－
b
<1， 2
ba
ba
又因为＋
>2所以2
a
＋
b
>4，
ab
而ab<
?
?
a＋b
?
2
1
?
＝，
?
2
?
4
所以log
2
a＋log
2
b<－2成立．
答案： C
11
8．a>0，b>0，则“a>b”是“a－>b－”成立的( )
ab
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
a－b
1
11
1＋
?
. 解析： a－
－b＋＝a －b＋＝(a－b)
?
?
ab
?
abab
∵a>0，b>0 ，
1
11
1＋
?
>0?a－>b－.
∴a>b?(a－ b)
?
?
ab
?
ab
11
可得“a>b”是“a－
>b－”成立的充要条件．
ab
答案： C
9．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )
11
?
A． (a＋b)
?
?
a
＋
b
?
≥4
C．a
2
＋b
2
＋2≥2a＋2b
11
?
解析： 因为(a＋b)
?
2
?
a
＋
b
?
≥2ab·
B．a
3
＋b
3
≥2a b
2

D.|a－b|≥a－b
1
＝4，所以A正确．
ab
a
3
＋b
3
≥2ab
2
?(a－b)(a2
＋ab－b
2
)≥0，但a，b大小不确定，所以B错误．

< br>(a
2
＋b
2
＋2)－(2a＋2b)＝(a－1)
2
＋(b－1)
2
≥0，所以C正确．
|a－b|≥a－b?
答案： B
a
2
b
2
10．设a，b∈R
＋
，且a≠b，P＝ ＋，Q＝a＋b，则( )
ba
A．P>Q
C．PB．P≥Q
D．P≤Q
|a－b|＋b≥a?b?a－b?≥0，所以D正确．
a
3
＋b
3
－ab?a＋b?
?a＋b??a
2< br>＋b
2
－2ab?
?a＋b??a－b?
2
a
2b
2
解析： P－Q＝
＋－(a＋b)＝＝＝
.
baababab
∵a，b都是正实数，且 a≠b，
?a＋b??a－b?
2
∴
>0，∴P>Q.
ab
答案： A
11．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e< br>x
，则有( )
A．f(2)C．f(2)B．g(0)D．g(0)解析： 因为函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数．
所以f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)＝e
－
x
，
f(x)－g(x)＝e
x
，
①②联立，解之得
e
x< br>－e
－
x
e
x
＋e
－
x
f(x)＝
，g(x)＝－代入数值比较可得．
22
答案： D
1a
12．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( )
8x
A．充分不必要条件
C．充要条件
a
解析： 因为2x＋≥2
x
1
当a＝时22a＝1.
8
a
但当a＝2时，22a＝4，当然有2x＋
≥1所以是充分不必要条件．
x
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
a
2x·
＝22a，
x



①
②

13．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序 是__________．
解析： 用分析法比较，a>b?3＋5>2＋6?8＋215>8＋212，同理可比较得b>c.
答案： a>b>c
14．已知三个不等式：
cd
(1)ab>0；(2)－<－；(3)bc>ad.
ab
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．
解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系．
cdcdcd
－
<－
?
>
?
－
>0
ababab
?
bc－ad
>0?ab·(bc－ad)>0.
ab
答案： (1)、(3)?(2)；(1)、(2)?(3)；(2)、(3)?(1)
1
15．若f(n)＝n
2
＋1－n，g(n)＝n－n
2
－1，φ(n)＝，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小顺序为________．
2n
解析： 因为f(n)＝n
2
＋1－n＝
1
n
2
－1＋n
1
n
2
＋1＋n
，
g(n)＝n－n
2
－1＝
.
又因为n
2
－1＋n<2n2
＋1＋n，
所以f(n)<φ(n)答案： g(n)>φ(n)>f(n)
16．完成反证法整体的全过程．
题目：设a
1
，a
2
， …，a
7
是1,2,3，……，7的一个排列，
求证：乘积p＝(a
1－1)(a
2
－2)…(a
7
－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝________.
＝________.
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析： 反设p为奇数，则(a
1
－1)，(a
2
－2)，…，(a
7
－7)均为奇数．
因为数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝(a
1
－1)＋(a
2
－2)＋…＋(a
7
－7)




②
③
①

＝(a
1
＋a
2
＋…＋ a
7
)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
答案： (a
1
－1)，(a
2
－2)，…，(a
7
－7)
(a
1
－1)＋(a
2
－2)＋…＋(a
7
－7)
(a
1
＋a
2
＋…＋a
7
)－(1＋2＋3＋…＋ 7)
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) < br>17．(12分)若a2
b＋b
2
c＋c
2
a2
c＋b
2
a＋c
2
b.
证明： ∵a∴a－b<0，b－c<0，a－c<0，
于是：a2
b＋b
2
c＋c
2
a－(a
2
c＋b
2
a＋c
2
b)
＝(a
2
b－a
2
c )＋(b
2
c－b
2
a)＋(c
2
a－c
2
b)
＝a
2
(b－c)＋b
2
(c－a)＋c
2
(a－b)
＝a
2
(b－c)－b
2
(b－c)＋c
2
(a－b)－b
2
(a－b)
＝(b－c)(a
2
－b< br>2
)＋(a－b)(c
2
－b
2
)
＝(b－c)(a－b)(a＋b)＋(a－b)(c－b)(c＋b)
＝(b－c)(a－b)[a＋b－(c＋b)]
＝(b－c)(a－b)(a－c)<0，
∴a
2
b＋b
2
c＋c
2
a2＋bc
2
＋ca
2
.
18．(12分)已知a，b，c∈R
＋
，且a＋b＋c＝1.
1
??
1
??
1
?
求证：
?
?
a
－ 1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥8.
证明： ∵a，b，c∈R
＋
，a＋b＋c＝1，
1－ab＋c
bc2bc1
∴－1＝＝＝＋
≥
，
aaaaaa
12ac12ab
同理－1≥，－1≥
.
bbcc
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
1
??
1< br>??
1
?
2bc2ac2ab
∴
?
?
a－1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥a
·
b
·
c
＝8.
1
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3
19．(12分)求证：3＋8>1＋10.

证明： 用分析法证明
8＋3>1＋10
?8＋3＋224>1＋10＋210
?224>210
?24>10.
最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．
1＋y1＋x
20．(12分)若x，y>0，且x＋y>2，则和中至少有一个小于2.
xy
1＋y1＋x
证明： 反设≥2且≥2，
xy
∵x，y>0，
∴1＋y≥2x,1＋x≥2y两边相加，则
2＋(x＋y)≥2(x＋y)，可得x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
1＋y1＋x
∴和中至少有一个小于2.
xy
21．(12分)已知a，b ，c，d都是实数，且a
2
＋b
2
＝1，c
2
＋d
2
＝1，求证|ac＋bd|≤1.
证明： 证法一(综合法) 因为a，b，c，d都是实数，所以
a
2
＋c
2
b
2＋d
2
|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤
＋

22
a
2
＋b
2
＋c
2
＋d
2
＝
.
2
又因为a
2
＋b
2
＝1，c
2
＋d2
＝1.
所以|ac＋bd|≤1.
证法二(比较法) 显然有
|ac＋bd|≤1?－1≤ac＋bd≤1.
先证明ac＋bd≥－1.
∵ac＋bd－(－1)
11
＝ac＋bd＋＋

22
a
2
＋b
2
c
2
＋d
2
＝ac＋bd＋＋< br>
22

?a＋c?
2
＋?b＋d?
2
＝
≥0.
2
∴ac＋bd≥－1.
再证明ac＋bd≤1.
11
∵1－(ac＋bd)＝＋－(ac＋bd)
22
a
2
＋b
2
c
2
＋d
2
＝＋－ac－bd
22
?a－c?
2
＋?b－d?
2
＝
≥0，
2
∴ac＋bd≤1.
综上得|ac＋bd|≤1.
证法三(分析法) 要证|ac＋bd|≤1.
只需证明(ac＋bd)
2
≤1.
即只需证明 a
2
c
2
＋2abcd＋b
2
d
2
≤1. ①
由于a
2
＋b
2
＝1，c
2
＋d
2< br>＝1，因此①式等价于
a
2
c
2
＋2abcd＋b
2
d
2
≤(a
2
＋b
2
)(c
2
＋d
2
)
将②式展开、化简，得(ad－bc)
2
≥0.




②
③
因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立，原命题得证．
22．(14分) 数列{a
n
}为等差数列，a
n
为正整数，其前n项和为S
n
，数列{b
n
}为等比数列，且a
1
＝3，b
1
＝1，数 列{ba
n
}是公比为64的等比数列，b
2
S
2
＝64.
(1)求a
n
，b
n
；
1113
(2)求证：＋＋…＋<.
S
1
S
2
S
n
4
解析： (1)设{a
n
}的公差为d，{b
n
}的公比为q，则d为正整数， a
n
＝3＋(n－1)d，b
n
＝q
n
－
1< br>，
?
?
依题意有
?
?
?
Sb＝?6＋d? q＝64，
22
ba
n
＋1q
3
＋
nd
＝
3?
n
1?
d
＝q
d
＝64＝2
6
，
ba
n
q
＋
－

①
由(6＋d)q＝64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8.

故a
n
＝3＋2(n－1)＝2n ＋1，b
n
＝8
n
－
1
.
(2)证明：∵S
n
＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
1111111
∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋

S
1
S
2
S
n
1×32×43×5
n?n＋2?
1
?
1－
1
＋
1
－
1
＋
1
－
1
＋ …＋
1
－
1
?
＝
?
32435n
n＋2< br>?

2
??
1
?
1＋
1
－
1
－
1
?
3
＝
?
2
n＋1n＋2
?
<
4
.
2
??


第三讲 柯西不等式与排序不等式

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1．若a，b∈R，且a
2
＋b
2
＝10，则a＋b的取值范围是( )
A．[－25，25]
C．[－10，10]
解析： 由(a
2
＋b
2
)(1＋1)≥(a＋b)
2
，
所以a＋b∈[－25，25]，故选A.
答案： A
2
＋x
2
＋…＋x
2
＝1，y
2
＋y
2
＋…＋y
2
＝1，则xy＋xy＋…＋xy的最大值是( ) 2．若x
12n12n1122nn
B．[－210，210]
D．[－5，5]
A．2
C．3
B．1
3
D.
3
3
2
＋x
2
＋…＋x
2
)(y
2
＋y
2
＋…＋y
2
)＝1，故选B. 解析： 由(x
1
y1
＋x
2
y
2
＋…＋x
n
y
n
)
2
≤(x
12n12n
答案： B
3．学校要开运动会，需要 买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、
2元的奖品，则至少要 花( )
A．300元
C．320元
B．360元
D．340元
解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C.
答案： C

111
4．已知a，b，c为非零实数，则(a
2
＋b
2
＋c
2
)
?
?
a
2
＋
b2
＋
c
2
?
?
的最小值为( )
A．7 B．9
C．12 D．18
解析： 由(a
2
＋b
2
＋c
2
)
?
111
?
a
2
＋
b< br>2
＋
c
2
?
?

≥
?
?< br>a·
1
a
＋b·
11
b
＋c·
c
?
?
2

＝(1＋1＋1)
2
＝9，
∴所求最小值为9，故选B.
答案： B
5．设a，b，c≥0，a
2< br>＋b
2
＋c
2
＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( )
A．0 B．1
3
C．3 D.
3
3

解析： 由排序不等式a
2
＋b
2
＋c
2
≥ab＋bc＋ac，
所以ab＋bc＋ca≤3.故应选C.
答案： C
6．表达式x1－y
2
＋y1－x
2
的最大值是( )
A．2 B．1
C.2 D.
3
2

解析： 因为x1－y
2
＋y1－x
2
≤
?x
2
＋1－x
2
??1－y
2
＋y
2
?＝1，故选B.
答案： B
7．已知不等式(x＋y)
?
11
?
x
＋
y< br>?
?
≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(
A．2 B．4
C.2 D．16
解析： 由(x＋y)
?
11
?
x< br>＋
y
?
?
≥(1＋1)
2
＝4，
因此不等 式(x＋y)(x＋y)
?
11
?
x
＋
y
?
?
≥a对任意正实数x，y恒成立，
即a≤4，故应选B.
答案： B
)

8．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( )
A.5
C．23
B.3
D.
3

2
解析： 1＝a＋b＋4c＝(a)
2
＋(b)
2
＋(2c)
2
< br>1
＝
[(a)
2
＋(b)
2
＋(2c)
2< br>]·(1
2
＋1
2
＋1
2
)
3
1
≥(a＋b＋2c)
2
·
，
3
∴(a＋b＋2c)
2
≤3，即所求为3.
答案： B
9．若a>b>c>d，x＝(a＋b)(c＋d)，y＝(a＋c)(b＋d)，
z＝(a＋d)(b＋c)，则x，y，z的大小顺序为( )
A．xC．x解析： 因a>d且b>c，
则(a＋b)(c＋d)<(a＋c)(b＋d)，
得xb且c>d，
则(a＋c)(b＋d)<(a＋d)(b＋c)，
得y答案： C
10．若0＜a
1
＜a
2,
0＜b
1
＜b2
且a
1
＋a
2
＝b
1
＋b
2
＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a
1
b
1
＋a
2
b
2

C．a
1
b
2
＋a
2
b
1

B．a
1
a
2
＋b
1
b
2

1
D.
2
B．yD．z解析： 利 用特值法，令a
1
＝0.4，a
2
＝0.6，b
1
＝0.3 ，b
2
＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和
最大．
答案： A
16
11．已知a，b，c，d均为实数，且a＋b＋c＋d＝4，a
2
＋b
2
＋c
2
＋d
2
＝，则a的最大值为( )
3
A．16
C．4
B．10
D．2
解析： 构造平面π：x＋y＋z＋(a－4)＝0，
16
球O：x
2
＋y
2
＋z
2
＝－a
2
，
3

则点(b，c，d)必为平面π与球O的公共点，
|a－4|
从而
≤
3
16
－a
2
，
3
即a
2
－2a≤0，解得0≤a≤2，
故实数a的最大值是2.
答案： D
12．x，y，z是非负实数，9x
2
＋12y
2＋5z
2
＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值是( )
A．9
C．14
解析： u
2
＝(3x＋6y＋5z)
2
< br>≤[(3x)
2
＋(23y)
2
＋(5z)
2
]·[ 1
2
＋(3)
2
＋(5)
2
]
＝9×9＝81，∴u≤9.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
11 1
13．已知a，b，c都是正数，且4a＋9b＋c＝3，则＋＋的最小值是________．
abc
4ac
解析： 由4a＋9b＋c＝3，∴
＋3b＋＝1，
33
111
∴＋＋

abc
4c4c4c
a＋3b ＋a＋3b＋a＋3b＋
333333
＝＋＋

abc
43bc4ac14a3b
＝＋＋＋3＋＋＋＋＋

3a3a 3b3b33cc
5
3b4a
??
c4a
??
c3b
?
＋
＋
＋
＋
＋

＝3＋＋
?
3
?
a3b
??
3a3c
??
3bc
?
54
≥3＋
＋4＋＋2＝12.
33
答案： 12
a
2b
2
14．已知a，b是给定的正数，则
2
＋
2
的最小 值是________．
sin
α
cos
α
a
2
b
2
解析：
＋

sin
2
α
cos2
α
＝(sin
2
α＋cos
2
α)
B．10
D．15
?
a
2
＋
b
2
?
≥( a＋b)
2
.
?
sin
α
cos
α
?
22
答案： (a＋b)
2

15．已知点P是边长为23的等边三角形内一点，它 到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足
的关系式为________，x
2＋y
2
＋z
2
的最小值是________．
解析： 利用三角形面积相等，得
13
×23(x＋y＋z)＝×(23)
2
，
24
即x＋y＋z＝3；
由(1＋1＋1)(x
2
＋y
2
＋z
2
)≥(x＋y＋z)
2
＝9，
则x
2
＋y
2
＋z
2
≥3.
答案： x＋y＋z＝3 3
16．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x
2
＋y
2
＋z
2
＝1的一切实数x，y，z恒成立，则实数a的取值
范围是 ________．
解析： 由柯西不等式可得(1
2
＋2
2
＋2
2
)(x
2
＋y
2
＋z
2
)≥(x＋2y ＋2z)
2
，所以x＋2y＋2z的最大值为3，故
有|a－1|≥3，
∴a≥4或a≤－2.
答案： a≥4或a≤－2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知a
2
＋b
2
＝1，x
2
＋y2
＝1.求证：ax＋by≤1.
证明： ∵a
2
＋b
2
＝1，x
2
＋y
2
＝1.
又由柯西不等式知
∴1＝(a
2
＋b
2
)(x
2
＋y
2
)≥(ax＋by)
2

∴1≥(ax＋by)
2
，
∴1≥|ax＋by|≥ax＋by，
∴所以不等式得证．
18．(12分)设x
2
＋2y
2
＝1，求μ＝x＋2y的最值．
解析： 由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x
2
＋2y
2
＝3.
x2y3
当且仅当＝，即x＝y＝±时取等号．
13
2
所以，当x ＝y＝
当x＝y＝－
3
时，μ
max
＝3.
3
3
时，μ
min
＝－3.
3
19．(12分) 设a≥b＞0，求证：3a
3
＋2b
3
≥3a
2
b＋2ab
2
.

证明： ∵a≥b＞0，
∴a≥a≥a≥b≥b＞0 ，a
2
≥a
2
≥a
2
≥b
2
≥b
2
＞0，
由顺序和≥乱序和，得
a
3
＋a
3
＋ a
3
＋b
3
＋b
3
≥a
2
b＋a
2
b＋a
2
a＋ab
2
＋ab
2
.
又a
2
b＋a
2
b＋a
2
a＋ab
2
＋ab< br>2
≥3a
2
b＋2ab
2
.
则3a
3＋2b
3
≥3a
2
b＋2ab
2
.
20．( 12分)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3，求x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值．
解析： 方法一：注意到x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3为定值，
利用柯西不等式得到(x
2
＋y
2
＋z
2
)(1
2
＋1
2
＋1
2
)≥(x·1＋y·1＋z·1)
2
＝9，
从而x
2
＋y
2
＋z
2
≥3，当且仅当 x＝y＝z＝1时取“＝”号，
所以x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值为3.
方法二：可考虑利用基本不等式“a
2
＋b
2
≥2ab”进行求解，
由x
2
＋y
2
＋z
2
＝(x＋y＋z)
2
－(2xy＋2xz＋2yz)
≥9－(x
2
＋y
2
＋x
2
＋z
2
＋y
2
＋z
2
)，
从 而求得x
2
＋y
2
＋z
2
≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时 取“＝”号，
所以x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值为3.
21．(12分)设a，b，c为正数，且不全相等，求证：
2229
a＋b
＋
b＋c
＋
c＋a
＞
a＋b＋c
.
证明： 构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；
1
a＋b
，
11
b＋c，
c＋a
，则由柯西不等式得
(a＋b＋b＋c＋c＋a)
?
?
1
?
a＋b
＋
1
b＋c
＋
1
?
c＋a
?
?
≥(1＋1＋1)
2
，
即2(a＋ b＋c)
?
?
1
?
a＋b
＋
1
b＋c＋
1
?
c＋a
?
?
≥9.
于是
22 29
a＋b
＋
b＋c
＋
c＋a
≥
a＋b＋c
.
于是
2
a＋b
＋
2
b＋c
＋
29< br>c＋a
≥
a＋b＋c
.
①

由柯西不等式知，
①中有等号成立?
a＋b
＝
1< br>a＋b
?a＋b＝b＋c＝c＋a
?a＝b＝c.
因题设a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是
2229
＋＋＞
. < br>a＋bb＋cc＋aa＋b＋c
b＋c
＝
1
b＋c
c＋a
1
c＋a
x
2
x
2
x
2
1
12n
22．(14分)设x
1
，x
2
，…，x
n
∈R
＋
，且x
1
＋x
2
＋…＋x
n
＝1，求证：＋＋…＋≥.
1＋x
1
1＋x
2
1＋x
n
n＋1
证明： 因为x
1
＋x
2
＋…＋x
n
＝1，
所以n＋1＝ (1＋x
1
)＋(1＋x
2
)＋…＋(1＋x
n
)． ?
x
1
＋
x
2
＋……＋
x
n
?
又
?
1＋x1＋x
(n＋1)
1＋x
n
?12
??
?
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
?
＝
?
[(1＋x
1
)＋(1＋x
2
)＋…＋(1＋x
n
)]
1＋x
n
?
?
1＋x
1
1＋x
2
?
≥(x
1
＋x
2< br>＋…＋x
n
)
2
＝1，
2
x
2
x
2
x
n
1
12
所以＋＋…＋
≥.
1＋x
1
1＋x
2
1＋x
n
n＋1
222
222


第四讲 数学归纳法证明不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小 题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
111
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
n
*
，n>1)时，第一 步应验证不等式( )
23
2－1
1
A．1＋<2
2
11
C．1＋＋<3
23
11
B．1＋＋<2
23
111
D．1＋＋＋<3
234
11
＝，故选B.
2
2
－1
3
解析： n∈N
*
，n>1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为
答案： B < br>1
2．用数学归纳法证明1
2
＋3
2
＋5
2
＋…＋(2n－1)
2
＝n(4n
2
－1)的过程中，由n＝k递推到n＝k ＋1时，
3

等式左边增加的项为( )
A．(2k)
2

C．(2k＋1)
2

B．(2k＋3)
2

D．(2k＋2)
2

解析： 把k＋1代入(2n－1)
2
得(2k＋2－1)
2

即(2k＋1)
2
，选C.
答案： C
3．设凸n边形有f(n )条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角
线的条数f(n＋1) 为( )
A．f(n)＋n＋1
C．f(n)＋n－1
B．f(n)＋n
D．f(n)＋n－2
解析： 凸n＋1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数， 加上多的那个点向其他点引的
对角线的条数(n－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n) ＋n－1条对角线，故选C.
答案： C
－2
26537110
4．观察 下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以
2－46－45－43－47－41－410－ 4－2－4
上各式成立的规律，得一般性的等式为( )
8－n
n
A.＋＝2
n－4?8－n?－4
n＋1?n＋1?＋5
B.＋＝2
?n＋1?－4?n＋1?－4
n＋4
n
C.＋＝2
n－4?n＋4?－4
n＋1n＋5
D.＋＝2
?n＋1?－4?n＋5?－4
解析： 观察归纳知选A.
答案： A
5 ．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2
n
＞n
3
，那么验证 不等式成立所取的第一个n
的最小值应该是( )
A．1
C．10
B．9
D．n＞10，且n∈N
＋

解析： 由2
10
＝1 024＞10
3
知，故应选C.
答案： C 1111
6．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1(n∈N
*
，n≥2)时，由“ k到k＋1”，不等式左端的
n
n＋1n＋2
2n
变化是( )

1
A．增加一项
2?k＋1?
11
B．增加和两项
2k＋12?k＋1?
111
C．增加和两项，同时减少一项
k
2k＋12?k＋1?
D．以上都不对
1111
解析： 因f(k)＝
＋＋＋…＋，
k
k＋1k＋2k＋k
而f(k＋1)＝
11111
＋＋…＋＋＋，
k＋1k＋2k＋kk＋k＋1k＋k＋2
111
故f(k＋1)－f(k)＝＋－， 故选C.
2k＋12k＋2
k
答案： C
7．用数学归纳法证明3
4
n
1
＋5
2
n
1
(n∈N
＋
)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时
命题成立，对于3
4(
k
＋
＋
1)
＋
1
＋＋
＋5
2(
k
＋
＋
1)
＋
1
＋
可变形为( )
A． 56×3
4
k
1
＋25(3
4
k
1
＋5< br>2
k
1
)
B．3
4
×3
4
k1
＋5
2
×5
2
k

C．3
4
k
1
＋5
2
k
1
D．25(3
4
k
1
＋5
2
k
1
)
解析： 由3
4(
k
＋
1)
＋
1
＋52(
k
＋
1)
＋
1

＝81×3
4< br>k
＋
1
＋25×5
2
k
＋
1
＋25 ×3
4
k
＋
1
－25×3
4
k
＋
1

＝56×3
4
k
＋
1
＋25(3
4< br>k
＋
1
＋5
2
k
＋
1
)，故选A.
答案： A
8．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2
n< br>·1·3·5·(2n－1)(n∈N
*
)”时，从n＝k到n＝k＋1等
式的 左边需增乘代数式为( )
A．2k＋1
?2k＋1??2k＋2?
C.
k＋1
解析： 左边当n＝k时最后一项为2k.
左边当n＝k＋1时最后一项为2k＋2，又第一项变为k＋2，
?2k＋1??2k＋2?
∴需乘
.
k＋1
答案： C
2k＋1
B.
k＋1
2k＋3
D.
k＋1
＋＋
＋＋
＋

9．数列a
n
中，已知a
1
＝1，当n≥2时，a
n
－a
n
－
1
＝2n－1，依次计算 a
2
，a
3
，a
4
后，猜想a
n
的表达式
是( )
A．3n－2
C．3
n
1

－
B．n
2

D．4n－3
解析： 计算出a
1
＝1，a
2
＝4，a
3
＝9，a
4
＝16.
可猜a
n
＝n
2
故应选B.
答案： B
10．用数学归纳法证明
A．k
2

B．(k＋1)
2

?k＋1?
4
＋?k＋1?
2
C.
2
D．(k< br>2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2

解析： ∵当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k
2
，
当n＝k＋1 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k
2
＋(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2
.
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2
，故应选D.
答案： D
11．用数学归纳法证明“n
2
＋n *
)”的第二步证n＝k＋1时(n＝1已验证，n＝k已假设成
立)这样证明：?k＋1?< br>2
＋?k＋1?＝k
2
＋3k＋22
＋4k＋4＝(k＋ 1)＋1，则当n＝k＋1时，命题成立，此种
证法( )
A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
解析： 经过观察显然选D.
答案： D
12．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 006到2 008的箭头方向依次为( )

A．↓→
C．↑→
B．→↓
D．→↑
1＋2 ＋3＋…＋n
2
＝
n
4
＋n
2
，则当n＝k＋1时 左端应在n＝k的基础上加上( )
2
解析： 由2 006＝4×501＋2，而an
＝4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数，故应选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

13．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n
2
(n∈N< br>*
)时，从n＝k到n＝k＋1时，该式
左边应添加的代数式是___________ _____．
解析： 当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k＋…＋3＋2＋1.当n＝k＋1时， 左边＝1＋2＋3＋…＋k＋
k＋1＋k＋…＋3＋2＋1.所以左边应添加的代数式为k＋1＋k＝2 k＋1.
答案： 2k＋1
14．数列{a
n
}中，a
1
＝1，且S
n
，S
n
＋
1,
2S
1
成等 差数列，则S
2
，S
3
，S
4
分别为________，猜 想 S
n
＝________.
解析： 由题意得，a
1
＝1
2S
n＋1
＝S
n
＋2S
1

3
当n＝1时，2S
2
＝S
1
＋2S
1
∴S
2
＝
2
7
当n＝2时，2S
3
＝S
2
＋2S
1
∴S
3
＝
4
15
当n＝3 时，2S
4
＝S
3
＋2S
1
∴S
4
＝
8
2
n
－1
归纳猜想：S
n
＝
n
1

2
－
3715
2
n
－1
答案：
n
－
1

248
2
15．如下图所示，第n个图形 是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2个图形中共有
________个 顶点．

解析： 第一个图形是由正三角形扩展得到，三边扩展得3个顶点，加上三角形的三 个顶点共6个；
第二个图形是由正方形扩展得到，四边扩展得4个顶点，每个顶点变为两个，故增加8个 顶点，因此共有
12个顶点；第三个图形是由正五边形扩展得到，五边扩展得5个顶点，每个顶点变为3 个，故增加15个
顶点，因此共有20个顶点；…第n－2个图形是由正n边形扩展得到，n边扩展得n 个顶点，每个顶点变
为n－2个，故增加(n－2)n个顶点，因此共有n＋n(n－2)＝n
2
－n个顶点．
答案： n
2
－n
16．有以下四个命题：
(1)2
n
＞2n＋1(n≥3)；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n
2
＋n＋2(n≥1)；
(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；
(4)凸n边形对角线条数f(n)＝
n?n－2?
(n≥4)．
2
其中满足“假设n＝k(k∈N
＋
，k≥n
0
)时命题成立，则当n＝k＋ 1时命题也成立．”但不满足“当n＝

n
0
(n
0
是 题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．
解析： 当n取第一个值时经 验证(2)(3)(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n＝k(k∈N
＋
，k ≥n
0
)
时命题成立，则当n＝k＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确．
答案： (2)(3)
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)用数学法归纳证明：
111111
＋＋…＋＝＋＋…＋.
1×23×4?2n－1?·2nn＋1n＋2n＋n
11
证明： (1)当n＝1时，左边＝
＝，
1×2
2
1
右边＝，等式成立．
2
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
111
＋＋…＋

1×23×4
?2k－1?·2k
＝
111
＋＋…＋，
2k
k＋1k＋2
则当n＝k＋1时，
1111
＋＋…＋＋

1×23×4
?2k－1?·2k?2k＋1 ??2k＋2?
＝
1111
＋＋…＋＋

2k
?2k＋1? ?2k＋2?k＋1k＋2
1
?
111
?
1
1
＋＋ …＋＋
?
2k＋1
－
2k＋2
?
＋

2k
??
k＋1k＋2k＋3
11111
＋＋…＋＋＋

2k
2k＋12k＋2k＋2k＋3
11
＋＋…
?k＋1?＋1?k＋1?＋2
11
＋，
?k＋1?＋k?k＋1?＋?k ＋1?
＝
＝
＝
＋
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N
＋
等式成立．
18．(12分)用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
证明： (1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N
＋
)时，命题成立．
即k(k＋1)(2k＋1)＝2k
3
＋3k
2
＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)
＝2k
3
＋3k
2
＋k＋6(k
2
＋2k＋1)，
结合假设可知，2k
3
＋3k
2
＋k,6(k
2
＋ 2k＋1)都能被6整除，所以2k
3
＋3k
2
＋k＋6(k
2＋2k＋1)能被6整除，
即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N
＋
原命题成立．
19．(12分)证明凸n边形的对角线条数：
1
f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
2
1
证明： ①当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2.四边形有两条对角线，命题成立．
2
1< br>②假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝
k(k－3)( k≥4)．当n＝k＋1时，
2
凸k＋1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点 A
k＋1
，增加的对角线条数是顶点A
k＋1
与不
相邻顶点连线再加 上原k边形的一边A
1
A
k
，增加的对角线条数为[(k＋1)－3＋1]＝ k－1，
11
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k
2
－k－2)
22
1
＝
(k＋1)(k－2)
2
1
＝
(k＋1)[(k＋1)－3]．
2
故n＝k＋1时，命题也成立．
故①②可知，对任何n∈N
＋
，n≥4命题成立．
1
?
1 1
1＋
??
1＋
?
…
?
1＋
20．(12 分)求证：(1＋1)
?
2n－1
>2n＋1.
?
3
??
5
?
??
?
1＋
1
?
2
证明： 利用贝努利不等式(1＋x)>1＋nx(n∈N
＋
，n≥2，x>－1，x≠0)的一个特例
??
>1＋
?
2k－1
?
n
1
?
此处n＝2，x＝
1
?
1
2·
，得1＋
>
??2k－1
?
2k－1
?
2k－1
1
?
?
1＋
1
?
?
相乘，得(1＋1)
?
1＋
3
?
…
?
2n－1
?
>
??
2k＋1
，k 分别取1,2,3，…，n时，n个不等式左右两边
2k－1
35
2n＋1
· ….
13
2n－1
1
??
1
?
?
1＋< br>1
?
?
即(1＋1)
?
1＋
3
??
1＋
5
?
…
?
2n－1
?
>2n＋1成立． ??

21．(12分)是否存在常数a，b，c使等式(n
2
－1
2
)＋2(n
2
－2
2
)＋…＋n(n
2
－n
2
)＝an
4
＋bn
2
＋c对一切正整
数n成 立？证明你的结论．
解析： 存在．分别有用n＝1,2,3代入，解方程组
a＋b＋c＝ 0，
?
?
?
16a＋4b＋c＝3，
?
?
81a＋ 9b＋c＝18

?
?
?
b＝－
1
，
4< br>?
c＝0
1
a＝
，
4


下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)
2
－1
2
]＋2[(k＋1)
2
－2
2
]＋…＋k[(k＋ 1)
2
－k
2
]＋(k＋1)·[(k＋1)
2
－(k＋1 )
2
]＝(k
2
－1
2
)＋2(k
2
－< br>k?k＋1?
1
1
11
4
－
(k＋
－
?
k
2
＋(2k＋1)·
2
2
)＋…＋k(k
2
－k
2
)＋(2k－1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k
4＋
?
＝
(k＋1)
?
4
?
4244
1 )
2
.
由(1)(2)得等式对一切的n∈N
＋
均成立．
11
22．(14分)对于数列{a
n
}，若a
1
＝a＋(a>0 ，且a≠1)，a
n
＋
1
＝a
1
－.
aa
n
(1)求a
2
，a
3
，a
4
，并猜想{an
}的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
11
解析： ( 1)∵a
1
＝a＋
，a
n＋1
＝a
1
－
，
aa
n
111
∴a
2
＝a
1
－
＝ a＋－

a
1
a1
a＋
a
a
2
＋ 1
a
4
＋a
2
＋1
a
＝－
2
＝，
a
a
＋1
a?a
2
＋1?
1
a
3
＝a
1
－
a
2
a
2
＋1
a?a
2
＋1?
＝－
42

a
a
＋a＋1
a
6
＋a
4
＋a
2
＋1
＝，
a?a< br>4
＋a
2
＋1?
a
8
＋a
6
＋a< br>4
＋a
2
＋1
同理可得a
4
＝
a?a6
＋a
4
＋a
2
＋1?

猜想a
n
＝
2
n
2

a?a
－
＋a
2< br>n
－
4
＋…＋1?
a
2
n
＋
2－1
＝
a
2
－1
a
2
n
－
1
a·
2
a
－1
＝
2
n
.
a?a
－1?
a
2
n
＋
2
－1
a
2n
＋a
2
n
－
2
＋…＋a
2
＋1a
2
＋1－1
(2)①当n＝1时，右边＝
2
＝＝a
1
，等式成立．
a
a?a
－1?
②假设当n＝k时(k∈N
*
)，等式成立，即
a
k
＝
2
k
，则当n＝k＋1时，
a?a
－1?
22
k
1
a
＋1
a?a
－1?
a
k＋1
＝a
1
－
＝－
2
k
2
< br>a
k
a
a
＋
－1
a
4
－1
a
2
k
＋
2
－1
?a
2
＋1??a
2
k
＋
2
－1?－a
2
?a
2
k
－1?
＝

a?a
2
k
＋
2
－1?
＝，
a?a2?
k
＋
1?
－1?
a
2?
k
＋2?
－1
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①②可知，对于一切n∈N
*
，
a
n
＝
2
n
成立．
a?a
－1?


a
2
n
＋
2
－1


全册质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1．已知：a＋b>0，b<0，那么( )
A．a>b>－a>－b
C．a>－b>b>－a
解析： ∵a＋b>0∴a>－b，b>－a
B．a>－a>b>－b
D．－a>－b>a>b

∵b<0∴－b>0>b
∴a>－b>b>－a
答案： C
2．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )
A．必要不充分条件
C．充分必要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>d且c>d，选A.
答案： A
3．a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤
1
2
B．ab≥
1
2

C．a
2
＋b
2
≥2 D．a
2
＋b
2
≤3
解析： 由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，
∵4＝(a＋b)
2
＝a
2
＋b
2
＋2ab≤2( a
2
＋b
2
)，
∴a
2
＋b
2
≥2.选C.
答案： C
4．若 不等式|2x－3|>4与不等式x
2
＋px＋q>0的解集相同，则p∶q等于(
A ．12∶7 B．7∶12
C．(－12)∶7 D．(－3)∶4
解析： |2x－3|>4?2x－3>4或2x－3<－4?x>
7
2
或
x<－< br>1
2
，∴
7
2
－
1
2
＝－p，p＝ －3，
7
2
×
?
1
?
－
?
?< br>＝q，q＝－
7
2
4
，
∴p∶q＝12∶7.
答案： A
5．若不等式x
2
＋ax＋1≥0对一切x∈
?
?
0，
1
2
?
?
恒成立，则a的最小值为(
A．0 B．－2
C．－
5
2
D．－3
解析： ∵x
2
＋ax＋1≥0
∴a≥－
?
?
x＋
1x
?
?
，x∈
?
?
0，
1
2
?
?
，
)
)

1
5
x＋
?
的最大值为－， 又∵－
??
x
?
2
5
∴a
min
＝－.
2
答案： C
6．如果P＝17，Q＝1＋15，R＝5＋7，那么有( )
A．P>Q>R
C．Q>R>P
解析： P
2
＝17，Q
2
＝16＋215，
R
2
＝12＋235，
∴Q
2
－P
2
＝215－1>0，
R
2
－P
2
＝235－5>0，
∴P最小．
Q
2
－R
2
＝215＋4－235，
又(215＋4)
2
＝16＋60＋1615
＝76＋1615<76＋1616＝140，
(235)
2
＝4×35＝140，
∴235>215＋4，
∴Q
2
2
，∴Q∴选D.
答案： D
111
－－
7．用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有x
n
＋x
n
2
＋x
n
4
＋…＋
n
－
4
＋
n
－
2
＋
n
≥n＋1”
x< br>xx
时，需验证的使命题成立的最小正整数值n
0
应为( )
A．n
0
＝1
C．n
0
＝1,2
B．n
0
＝2
D．以上答案均不正确
B．R>P>Q
D．R>Q>P
1
解析： n
0
＝1时，x＋≥1＋1成立，再用数学归纳法证明．
x
答案： A < br>1
8．函数y＝log
2
?
x＋
x－1
＋5
?
(x>1)的最小值为( )
??
A．－3
C．4
B．3
D．－4

解析： ∵x>1，∴x－1>0，
?
?
x－1＋
1
＋6
?
∴y＝log
2
?< br>≥log
?
2
?
2
x－1
??
?
＝ log
2
8＝3，
1
?
?x－1?·
＋6
?

x－1
?
1
当且仅当x－1＝时等号成立，又x>0，
x－1
∴x＝2时，y有最小值3，选B.
答案： B
9．“|x－1|<2”是x<3的( )
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析： ∵|x－1|<2?－2∵－1从而得出“|x－1|<2”是“x<3”的充分不必要条件．
答案： A
10． 设实数x
1
，x
2
，…，x
n
的算术平均值是x，a≠x( a∈R)，并记p＝(x
1
－x)
2
＋…＋(x
n
－x)< br>2
，q
＝(x
1
－a)
2
＋…＋(x
n－a)
2
，则p与q的大小关系是( )
A．p>q
C．p＝q
B．pD．不确定
222
解析： ∵p＝(x
2
1
＋x
2
＋…＋x
n
)－2(x
1
＋x
2< br>＋…＋x
n
)·x＋n·x
2
＋x
2
＋…＋x
2
)－nx
2
， ＝( x
12n
222
q＝(x
2
1
＋x
2
＋… ＋x
n
)－2a(x
1
＋x
2
＋…＋x
n
)＋na
，
∴q－p＝－2a·n·x＋na
2
＋nx
2

＝(x－a)
2
·n>0，∴q>p.
答案： B
11．已知实 数x，y满足x
2
＋y
2
＝1，则(1－xy)(1＋xy)有( )
1
A．最小值和最大值1
2
13
C．最小值和最大值
24
解析： 1＝x
2
＋y
2
≥|2xy|，
3
B．最小值和最大值1
4
D．最小值1

1
∴|xy|≤，
2
(1－xy)·(1＋xy)＝1－(xy)
2
，
3
∴ 1－x
2
y
2
≥
且1－x
2
y
2
≤1.
4
答案： B
1
12．在数列{a
n
}中，a< br>1
＝，且S
n
＝n(2n－1)a
n
，通过求a
2< br>，a
3
，a
4
，猜想a
n
的表达式为( )
3
1
A.
?n－1??n＋1?
1
C.
?2n－1??2n＋1?
1
B.
2n?2n＋1?
1
D.
?2n＋1??2n＋2?
111
解析： 经过a
1
＝
可算 出a
2
＝
，a
3
＝
，所以选C.
3
3×55×7
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13 ．若不等式|x－1|解析： |x－1|?
?
1－a≤0.
∴
?
.
?
?
1＋a≥4
故a≥3.
答案： [3，＋∞)
14．如果x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值为________．
解析： 由x＋y＋xy＝2得2－(x＋y)＝xy，
∴2－(x＋y)≤
?

?
x＋y
?
2
?
，
?
2
?
即(x＋y)
2
＋4(x＋y)－8≥0，
∴x＋y≤－2－23或x＋y≥23－2，
又∵x>0，y>0，
∴(x＋y)
min
＝23－2
答案： 23－2
1
1 5．若f(n)＝n
2
＋1－n，g(n)＝，n∈N
＋
，则f(n)与g( n)的大小关系为________．
2n
解析： f(n)＝n
2
＋1－n＝
11
<
＝＝g(n)．
2n
n
2
＋1＋n
n＋n
1

答案： g(n)>f(n)
111n
＋
16．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
*
)，用数学归纳法证明f(2
n
)>时，f(2
k
1
) －f(2
k
)＝________.
23n2
111
解析： ∵f(n)＝1＋
＋＋…＋

23n
111
∴f(2
k)＝1＋
＋＋…＋
k

232
111111
f(2k
＋
1
)＝1＋
＋＋…＋
k
＋
k
＋< br>k
＋…＋
k
1

232
2
＋1
2< br>＋2
2
＋
111
∴f(2
k
＋
1
) －f(2
k
)＝
k
＋
k
＋…＋
k
1

2
＋1
2
＋2
2
＋
答案：
111
＋
k
＋…＋
k
＋
1

2＋ 12＋22
k
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤)
17．(12分)设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≤5，求x的取值范围．
解析： f(x)＝|x－4|＋|x－1|
2x－5 ?x≥4?
?
?
＝
?
3 ?1?
?
5－2x ?x≤1?


作出y＝f(x)的图象，如图所示．

则(1)f(x)的最小值为3.
(2)若f(x)≤5，则2x－5≤5，∴4≤x≤5
∴3≤5，∴1由5－2x≤5，∴0≤x≤1
∴x的取值范围为[0,5]．
14
18．(12分)已知0a
1－a
证明： ∵(3a－1)
2
≥0，
∴9a
2
－6a＋1≥0，
∴1＋3a≥9a(1－a)．

∵01＋3a
∴
≥9，
a?1－a?
1－a＋4a
14
即
≥9，即
＋
≥9.
a
1－aa?1－a?
19．(12分)若0证明： 假设三数能同时大于1，
即(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，
?2－a?＋b
那么
≥
2
?2－a?b>1， ①
?2－b?＋c
同理
>1，
2
?2－c?＋a
>1.
2
由①＋②＋③得3>3，
上式显然是错误的，
∴该假设不成立．
②
③
∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.
20．(12分)若n是不小于2的正整数，试证：
4111112
<1－＋－＋…＋－<.
7234
2n－1
2n2
111
证明： 1－
＋－＋…＋－ ＝(1＋＋＋…＋
)－2(
＋＋…＋
)＝
＋＋…＋，
234232 n242n
n＋1n＋2
2n
2n－1
2n
所以求证式等价于
41112
<
＋＋…＋
<.
7
n＋1n＋2
2n2
由柯西不等式，有
?
1
＋
1
＋…＋
1
?
2
?
n＋1n＋2
2n?
[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n)]>n
，
??
111
于是＋＋…＋

2n
n＋1n＋2

n
2
2n
>
＝

?n＋1?＋?n＋2?＋…＋2n3n＋1
＝
24
≥
＝
.
117
3＋3＋
n2
2
又由柯西不等式，有
111
＋＋…＋
<
2n
n＋1n＋2
111
?1
2
＋1
2
＋…＋1
2
?[
＋＋…＋
] < br>?2n?
2
?n＋1?
2
?n＋2?
2
<
1 1
?
2
－
＝
. n
?
?
n2n
?
2
故不等式得证．
111
21．(12分)设n为正整数且n＞1，f(n)＝1＋＋＋…＋.
23n
n＋2
求证：f(2
n
)＞.
2
证明： 用数学归纳法．
11125
2＋2
①当n＝2时，f(2
2
)＝1 ＋
＋＋＝＞，所以命题成立．
234122
k＋2
1111
②设n ＝k(k≥2)时，命题成立，即f(2
k
)＞
，那么当n＝k＋1时，f(2
k
＋
1
)＝1＋
＋＋…＋
k
＋
k
223 2
2
＋1
k＋2
11111
＋
k
＋…＋
k
1
＞＋
k
1
＋
k
1
＋…＋
k1

2
2
＋2
2
＋
2
＋
2< br>＋
2
＋
k＋2
2
k
k＋3?k＋1?＋2
＝ ＋
k
＋
1
＝＝， 2
k
个
222
2
所以当n＝k＋1时，命题成立，根据①及②，由数学归纳法知，原命题对任何大于1的正整 数n都成
立．
1
1＋
?
2
·22．(14分)已知数列{ a
n
}满足a
1
＝2，a
n
＋
1
＝2?
?
n
?
a
n
(n∈N
＋
)， (1)求a
2
，a
3
，并求数列{a
n
}的通项公式；
n7
(2)设c
n
＝，求证：c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c
n
<.
a
n
10
解析： (1)∵a
1
＝2，
1
1＋
?
2
·a
n ＋1
＝2
?
?
n
?
a
n
(n∈N
＋
)，

1
1＋
?
2
·
∴a
2
＝2
?
?
1
?
a
1
＝16，
1
1＋
?
2
·a
3
＝2
?
?
2
?
a
2
＝72.
a
n
又∵＝2·，n∈N
＋
，
n
2
?n ＋1?
2
?
a
n
?
∴
?
n
2?
为等比数列．
??
a
n＋1
a
n
a
1
n
－
1
∴
2
＝
2
·2
＝2< br>n
，∴a
n
＝n
2
·2
n
.
n1
n1
(2)c
n
＝
＝
n
，
a
n
n·2
∴c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c
n

＝
1111
＋
2
＋
3
＋…＋
n

1·22·23·2n·2
1
1111
?
11
＋
5
＋…＋
n
?
<
＋＋＋
·
4
2
?
28244
?
22
1
?
1
?
n
－
3
][1－
?
2
?
21
2
4
＝＋
·
341
1－
2
1
21
2
4
2 1
<
＋
·
＝＋

341332
1－
2＝
67670
96×7
7
＝
<
＝，
96960
96×10
10
所以结论成立．

.