高中数学选修4-5中的著名不等式

选修4-5中的著名不等式

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军 新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。
选修4-5中 给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下
介绍。

绝对值的三角不等式（

定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。
）：

绝对值的三角不等式一般形式：

，简记为

柯西不等式（

定理：（向量形式）设

当

当

定理：（代数形式）设
且仅当

柯西不等式的一般形式（

定理：设

为实数，则
）
时，等号成立。
均为实数，则
或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数
为平面上的两个向量，则
）
。
。
，使。
时，上式依然成立。
， 当

，

当且仅当

闵可夫斯基不等式（

定理：设
当且仅当存在非负实数
）
时，等号成立（当某时，认为）。
均为实数，则
（不同时为0），使时，等号成立。
，

闵可夫斯基不等式的一般形式：

定理：设

是两组正数，，则
或

，
当且仅当

排序不等式（

定理：设
的任一排列，则有

当且仅当
）
时，等号成立。
为两组实数为
。
或时，等号成立。

排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。

切比晓夫不等式（）：

定理：设

①如果

或，则有
为任意两组实数，


②如果

或，则有


①②两式，当且仅当

平均值不等式（

）
或时，等号成立。
定理：设为个正数，则
时，等号成立。
，当且仅当

当

时，，当且仅当时，等号成立。
加权平均不等式（

定理：设
那么

杨格不等式（）：
）
为正数，
。
都是正有理数，并且，

定理：设为有理数，满足条件（互称为共
轭指标），

为正数，则。
当

时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。
贝努利不等式（

定理：设
）：
，且，为大于1的自然数，则。

贝努利不等式的一般形式：

（1）设

（2）设，则①当
，①②当且仅当

时，有
时等号，成立。
；②当或时，有
，且同号，则；