2018届高三文科数学 选修4-4,4-5测试卷

选修4-4，4-5测试卷
解答题
1．【2018河北衡水联考】在平面 直角坐标系
xOy
中，已知曲线
C
：
{
x?3cos
?
,
y?sin
?

（
?
为参数），以原
点
O
为极点，
x
轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
（1）求曲线
C
的普通方程和直线
l
的直角坐标方程；
2
?
??
?cos
?
?
?
?
??1
．
24
??
（2）过点
M
?
?1,0
?
，且与直线
l
平行的直线
l
1
交曲线
C
于
A
，
B
两点，求点
M
到
A
，
B
两点的距离
之积．
2．在直角坐标系
xOy
中，直线
C
1
;x??2
，圆
C
2
:
?
x ?1
?
?
?
y?2
?
?1
,以坐标原点为极点,< br>x
轴正半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求
C
1
，
C
2
的极坐标方程；
（ 2）若直线
C
3
的极坐标方程为
?
?
22
?
4
?
?
?R
?
，设
C
2
,C
3
的交点为
M,N
，求
?C
2
MN
的面积．
【解析】（1）因为
x?
?
cos
?
,y?
?
s in
?
,?C
1
的极坐标方程为
?
cos
?
??2
,
C
2
的极坐标方程为
?
2
?2
?
cos
?
?4
?
sin
?
?4?0
．
（2）将
?
?
?
4
2
代入
?
?2
?
cos
?
?4
?
sin
?
?4?0,得
?
?32
?
?4?0
，解得
2
?
1
?22,
?
2
?2,MN?
?
1
?
?< br>2
?2
,因为
C
2
的半径为
1
，则
?C
2
MN
的面积
11
?2?1?sin45?
． 22

3．【2018华大新高考联盟】在直角坐标系
xOy
中，曲 线
C
的参数方程为
{
x?2cos
?
,
y?2si n
?
，以

（
?
为参数）
O
为极点, < br>x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
?
cos
?
?3
?
sin
?
?m?0
.
（1）若
m?1
，求直线
l
交曲线
C
所得的弦长；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最小值为1，求
m
.
?
?
x?3?10cos
?
4．已知曲线
C
的参数方程为
?
（
?
为参数），以直角坐标系原点为极点，
x
轴正半轴为
?
?
y?1?10sin
?
极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线
C
的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．
（Ⅱ）若直线的极 坐标方程为
sin
?
?cos
?
?
1
?
， 求直线被曲线C截得的弦长．
?
?
x?3?10cos
?
【解析】 （I）曲线
C
的参数方程为
?
（
?
为参数），
?< br>曲线
C
的普通方程为
?
?
y?1?10sin
??
x?3
?
2?
?
y?1
?
2?10
，曲线
C
表示以
?
3,1
?
为圆心，
?
x ?
?
cos
?
10
为半径的圆．将
?
代入并化简< br>y?
?
sin
?
?
得：
?
?6cos
?
?2sin
?
，即曲线
c
的极坐标方程为
?
? 6cos
?
?2sin
?
．
直线的直角坐标方程为
y?x ?1
，
?
圆心
C
到直线的距离为
d?
（II）32
?
弦长为
2
210?
9
?22
．
2

?
?
x
x?
?
?
x?3?3c os
?
?
3
5．在平面直角坐标系中，曲线
C
1
:
?
（
?
为参数）经过伸缩变换
?
，后的曲线为
C< br>2
，
y
y?2sin
?
?
?
y
?< br>?
?
?2
以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系 ．
（Ⅰ）求
C
2
的极坐标方程；
?
?
?
（Ⅱ）设曲线
C
3
的极坐标方程为
?
sin
?
?
?
?
?1
，且曲线
C
3
与曲线
C
2
相交于
P
，
Q
两点，求
PQ
的值．
?
6
?
6．【2018东北名校联考】 已知曲线
C
1< br>的极坐标方程为
?
?1
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
为x
的正半轴，建立平面直角坐标系
xOy
.
（1）若曲线
C
2
:{
x?1?t
y?2?t
( t
为参数）与曲线
C
1
相交于两点
A,B
，求
AB
；
（2）若
M
是曲线
C
1
上的动点，且点
M
的直角坐标为
?
x,y
?
，求
?
x?1
??
y?1
?
的最大值.
22
【解析】（1）
C
1
:
?
?1
化为直角坐标方程为
C
1
:x?y? 1
，
C
2
:{
x?1?t
(t
为参数）可化为y?2?t
2
22
t
????
22
2
(t22
t?2?t
?
C
2
:{
为参数），代入
C
1
:x?y?1
，得的
?
1?
??
????
?1
，化简得
22
2
????
y?2?t
2
x? 1?
t
2
?32t?4?0
，设
A,B
对应的参数为
t
1
,t
2
，则
t
1
?t
2
? ?32,t
1
t
2
?4
，所以
AB?t
1
?t
2
?
?
t
1
?t
2
?
2?4t
1
t
2
?2
.

（2）
M
?
x,y
?
在曲线
C
1
上，设
{
x?cos
?
，则
(
?
为参数）
y?sin
?< br>?
x?1
??
y?1
?
?
?
cos
?
?1
??
sin
?
?1
?
?sin
?< br>cos
?
?sin
?
?cos
?
?1
，令< br>t
2
?1
?
??
，那么
sin
?
? cos
?
?2sin
?
?
?
?
??2,2
，则
sin
?
cos
?
?
4
?
2
?
??
t
2
?1111
2
1
?t?1?t
2
?t??
?
t?1
?
， 所以
?
x?1
??
y?1
?
max
?
?
x?1
??
y? 1
?
?
2222
2
?
2?1
.
?
2
?
x?tcos
?
7．建立极坐标系，直线
l
的参数方 程为
?
（
t
为参数，
?
为
l
的倾斜角）， 曲线
E
的极坐标
y?y?tsin
?
0
?
方程为< br>?
?4sin
?
，射线
?
=
?
,
?
?
?
?
（1）求证：
|OB|?|OC|?
（2）当
?
?
?
6
,
?
?
?
?
?
6
与曲线
E
分别交于不同于极点的三点
A
，
C
．
B
，
3|OA|
；
?
3
时 ，直线
l
过
B
，
C
两点，求
y
0
与
?
的值．

8．已知函数
f(x)?|x?1|?|x?a|
．
（1）若
a??1
，解不等式
f(x)?3
；
（2）如果
?x?R
，
f(x)?2
，求
a
的取值范围．

9．【2018四川德阳三校联考】（1）函数
f
?
x?
?x?3
，若存在实数
x
，使得
2f
?
x? 4
?
?m?f
?
x?1
?
成立，求实数
m
的取值范围；
（2）设
x,y,z?R
，若
x?2y?2z?4
， 求
x?4y?z
的最小值．
【解析】（1）令
g
?
x?
?2f
?
x?4
?
?f
?
x?1
?
，则
g
?
x
?
?2x?1?x?4
，即
2 22
?x?6
g
?
x
?
?{3x?2
?
x ??1
?
(?1?x?4)
，作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ，所以
m?g
?
x
?
min
??5
，
x?6?
x?4
?
实数的取值范围是
?5,??
?

?

222
22
?x
2
?
?
2y
?
?z
2
?
?
?
x?2y?2z
?
，即（2）由柯西不等式：
?
1?1?
?
?2
?
??< br>??

2
8x2yz
时，即
6x
2
?4 y
2
?z
2
?
?
x?2y?2z
?
?16
，故
x
2
?4y
2
?z
2
?
，当 且仅当
??
311?2
2148
x?,y?,z??
时等号成立，所 以
x
2
?4y
2
?z
2
的最小值为.
3 333
??
10．已知函数
f
?
x
?
?x?1?3 ?x,x??1
.
（1）求不等式
f
?
x
?
?6
的解集；
（2）若
f
?
x
?
的最小值为
n
，正数
a ,b
满足
2nab?a?2b
，求
2a?b
的最小值.
11．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知函数
f
?
x
?
?x ?2?2x?1
.
（1）求不等式
f
?
x
?
?4
的解集；
（2）若不等式
f
?
x
?
?2m?7m?4
对于
? x?R
恒成立，求实数
m
的取值范围.
2

12．设函数
f
?
x
?
?2x?2?x?2
．
（Ⅰ）求不等式
f
?
x
?
?2
的解集；
（Ⅱ）若
?x?R
，
f
?
x
?
?t
2?
7
t
恒成立，求实数
t
的取值范围．
2
?
?x?4,x??1
?
【解析】（I）
f
?
x
?< br>?
?
3x,?1?x?2
，当
x??1
，当
?1?x ?2
，
?x?4?2
，
x??6
，
∴x??6
，< br>3x?2
，
?
x?4,x?2
?
x?
22
，
∴?x?2

33
?
?
2
?
或x??6
?
．
3
?
当
x?2
，
x?4?2
，
x??2
，
∴x?2
，综上所述
?
x|x?
（II）易得
f
?
x
?
min
?f
?
?1
?
??3
，若
?x?R
，
f
?
x
?
?t
2
?
f
?
x
?
min
11
t
恒成立，则只需
2
733
??3?t
2
?t?2t
2
?7t?6? 0??t?2
，综上所述
?t?2
．
222
13．【2018河南 漯河中学三模】若关于
x
的不等式
3x?2?3x?1?t?0
的解集为R
，记实数
t
的最大值
为
a
.
（1）求
a
；
（2）若正实数
m,n
满足
4m? 5n?a
，求
y?
14
的最小值.
?
m?2n3m?3n

14．【2017届重庆市巴蜀中学高三上学 期期中】已知函数
f
?
x
?
?2x?1?2x?3
． （1）若
?x
0
?R
，使得不等式
f
?
x0
?
?m
成立，求实数
m
的最小值
M
； （2）在（1）的条件下，若正数
a,b
满足
3a?b?M
，证明：31
??3
．
ba
【解析】（1）由题意，不等式
2x?1? 2x?3?m
有解，又因为
2x?1?2x?3?2x?1?
?
2x?3?
?4
，
由题意只需
m?2x?1?2x?3
??
m in
?4
，所以实数
m
的最小值
M?4
；
（2） 由（1）得
3a?b?4
，所以
?
311b
?
1
?
9ab
9ab
?
31
?
1
?
9a
???
?
3a?b
?
?
?
?
?
??
?
?3?3?
?
?
?
2?6?3
，当且仅当
?< br>即
?
??
ba4a
?
4
?
ba
ba
?
ba
?
4
?
b
?
3a?b?2
时等号成立．