小学 初中 高中数学的区别-高中数学基本函数求导公式大全
参考答案
选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
1
针对训练
一、选择题
1、D 2、A 3、B 4、B
5、D 6、D 7、C 8、C
9、B 10、B
11、C 12、C 13、B 14、D 15．（D） 16．（B）
17．（D）18．（C）19．（D）20．（A）
二、填空题
1、＜，＜，＞，＞
2、
(?
7
?
4
?
b
,)
3、a
+ b＞b + c
4、
log
1
b?a?log
b
a
63
a
5、b＞a＞C 6．[0，784）
7．－x
1、
ba11
???
a
2
b
2
ab
333 333
2、当a＞b时，a＞b；当a = b时，a= b ；当a＜b时，a＜b
3、－1≤f(
3 ) ≤20
4、[f(－2)]
min
=5，[f(－2)]
max
=10
5、a + b + c＜2(ab + bc + ca)
6、共有7种
7、0≤a＜1
8、
|log
a
(1?x)|?|log
a
(1?x)|
9．－1< a+b <9；－4
a
<7；
b
aa
当－2 bb
当0≤a
<7时，0≤
10．自己证明
22
43
x
3
11．≤lg≤。
3
y
9
9
12．当a，b，c，d中至少有三个正数时，ac>bd；
当a，b，c，d中至少有三个负数时，ac
2
针对训练
一．选择题
1、A 2、C 3、C 4、C 5、A
6、C 7、A 8、A 9、C
二、填空题
10、－2＜x＜0
11、{x | －2＜x＜2} 12、{－2，0} 13、5，0
14、{x
| 1≤x≤3或x = －2} 15、a＜5
三、解答题
16、证明：由于
有
，
即x?0,
有x与
1
x
1
的符号相同
x
x?
|x?
11111
?2x?(x?0)
：
|x?|
??x??2(?x)?()?21?2(x?0),
即
xxxx?x
1
|?
2
x
17、证明：
∵
|x?a|?1,?|f(x)?f(a)
|?|x?x?a?a|?|(x?a)(x?a?1)|?|x?a?1|
22
?
|(x?a)?(2a?1)|?|x?a|?|2a?1|?1?|2a|?1?2(|a|?1)
18、
{x|0?x?
85
或x?}
52
19、{
R|2?R?8}
一、 综合题
1、
要证
|
a?b
|?1只需证|a?b|?|1?ab|也只需证a
2
?2ab?b
2
?1?2ab?a
2
b
2
,
<
br>1?ab
22222
即
(1?a)?b(1?a)?0,即(1?a)(1?b
)?0;
又∵
|a|?1,|b|?1,有1?a?0,1?b?0
,有|
22
a?b
|?1
1?ab
2、 证明：当a +
b = 0时，不等式显然成立；
当a +
b≠0时，∵
|a?b|?|a|?|b|,?
11
?
|a?b||a|?|b|
?
|a|?|b||a|
?
1?|a|?|b|1?|a|?|b|
于是
|a?b|
?
1?|a
?b|
1
1?
1
|a?b|
?
1?
1
1<
br>|a|?|b|
+
|b||a||b||a?b||a||b|
∴
????
1?|a|?|b|1?|a|1?|b|1?|a?b|1?|a|1?|b|6
5
2
3
3、
(??,?)?(,??)
二、应用题
4、20km／h，最小为36元。
三、创新题
|c|?1
①又∵
2b?f(1)?f(?1)
5、证明：由已知
|f(0)?1?
|b|?1
②∵
2a?f(1)?f(?1)?2c
∴<
br>|2b|?|f(1)?f(?1)|?|f(1)?|f(?1)?2?
|a|?2
③
∴
|2a|?|f(1)?f(?1)?2c|?|f(1)|?|f(?1)?2|c|?4?
由①②③知
|f(2)|?|4a?2b?c|?|f(1)|?3a?b?|f(1)|?3|a|
?|b|?1?6?1?8
6
22
、证明：
|a
2
?b
2
||a
2
?b
2
|
|1?a|
?1?b|?|???
2222
|a|?|b||a?b|
1?a?1?b1?a?1
?b
=
|a?b|
∴当
a?b时,|1?a
2
?
1?b
2
|?|a?b|
1?a
2
?(1?b)
2
|a
2
?b
2
|
当a?b时,|1?a
2
?1?b
2
?|a?b|
∴原不等式成立
四、高考题
7、C 8、D
3
针对训练
1. A
2. D 3 . A 4. C 5. B 6 . B 7. B 8. D
9. D 10．D 11．D
12．B 13．A
14．A
15.
2
2
16.(1)
a,b?R
(2
)
a,b?R
?
(3)
a,b
同号(4)
a?0
17.
?
18. 4 19.
22?2
20．12
3
9
21．8 22．
1
5
23．
24．
2?1
2
25.
6
3
4
26.(1)100平方米 (2)15米
27．解：显然，y≥0，且当x＝0时，有y＝0
x
2
12
1<
br>1?x
4
?
2
?
x
2
1?x
4?
1
2
?
2x
2
y＝
?
1
且
当x＝1时，有y
最大值
＝
21?x
4
2
2
故函
数y＝
x
2
1
1?x
4
的值域为［0，
2
］
28．解：∵x，y，z＞0，且2x＋3y＋５z＝６
∴2＝
2x?3y?5
z
3
4
3
?2x?3y?5z
∴30xyz≤８，即xyz≤
15
当且仅当2x＝3y＝５z＝2，即x＝1，y
＝
2
3
，z＝
24
5
时，xyz有最大值
15
故xyz的最大值为
4
15
29．解：∵0＜x＜a
∴a－x＞0，
依题意，得Ｖ＝x（2a－2x）
2
＝2·2x·（a－x）（a－x）
≤
2·［
2x?(a?x)?(a?x)
3
16
3
3
］＝27
a
当且仅当2x＝a－x，即x＝
a
3
时，盒子的容积最
大，且容积的最大值为
16
27
a
3
30．解：设直角△
ABＣ的两直角边为x、y，则斜边为
x
2
?y
2
则S＝
x
y
2
∴Ｌ＝x＋y＋
x
2
?y
2
≥2<
br>xy?2xy?22S?2S
1
2
L
2
2
222
∴4S≤，故4S≤（3－2）L <
br>2
?(2?1)L?(3?22)L
2
(2?1)
31．解：∵x，y
∈R
∴S＝x＋2xy＋3y＋2x＋６y＋4＝（x＋y＋1）＋2（y＋1）＋1≥1
当x＝0，y＝－1时，S取最小值1
故S＝x＋2xy＋3y＋2x＋６y＋4的最小值为1
2222
22
32．解：∵a＞0 ∴（1）当0＜a≤1时，y＝
x?a
?
当且仅当x＝±
1?a
时，y
最小值
＝2
2
1
x?a
2
≥2，
(2)当a＞1时，令
x
2
?a
＝t（t≥
a
），
则有y＝f（t）＝t＋ ，设t
2
＞t
1
≥
a
＞
1，则f（t
2
）－f（t
1
）＝
＞0
∴f（t）在［
a
，＋∞］上是增函数
∴y
最小值
＝f（
a
）＝
1
t
(t
2
?t
1
)(t
1
t
2
?1)
t
1
t
2
a?1<
br>，此时x＝0
a
综合(1)(2)可知：当0＜a≤1，x＝±
1?a
时，y
最小值
＝2，
当a＞1，x＝0时，y
最小值
＝
a?1
a
4
针对训练
一、选择题
ACABA
二、填空题：
13、<
15、1
16、9
三、解答题
17、（x＋y）（x－y）>（x－y）（x＋y）
2222
22
CCBBC AD
18、自己证明
19、118
20、自己证明
21、7
（1） 设x = cosA，y = sinA
（2） 设x = rcosA，y =r sinA (1≤r≤2)
23-26、DDAD 27、lgx>lgx>lglgx 28、“+”
29、M
?
N.
22
2
30、
x
n?1?y
n?1
?x
n
y?xy
n
5
针对训练
10
1~12、DAAAB BBDAB CB
13、
[,1)?(1,10].
10
14、
(?5,?2)(7,??).
15、3个.
16、
V
a
?V
b
?V
c
17、
?
x|3?
?
?
1
?
log
2
3?x?
4
?
2
?
18、
[,??)(a?2)
或
(a?1?2a,??)(0?a?2)
19、
a?[2?1,]
a
2
1
2
真题演练
1~5 CABDC
6、
7
7、9
4
x?y?0
y
x?3
x?y?3?0
O
x
A(3,?3)
x?2y?0
7题图
8、解：设公司在甲电视
台和乙电视台做广告的时间分别为
x
分钟和
y
分钟，总收益为
z?
x?y≤300，
?
元，由题意得
?
500x?200y≤9
0000，
?
x≥0，y≥0.
?
目标函数为
z?3000x?2000y
．
y
500
?
x?y≤300，
?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤9
00，
?
x≥0，y≥0.
?
l
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
400
300
200
100
M
如图：
作直线
l:3000x?2000y?0
，
即
3x?2y?0
．
0 100 200 300
x
平移直线
l
，从图中可知，当直线
l
过
M
点时，目标函数取
得最大值．
联立
?
?
x?y?300，
解得
x?100
，y?200
．
?
5x?2y?900.
200)
．
?
点
M
的坐标为
(100，
?z
max
?3000x?2000y?700000
（元）
答：该公司在
甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，
最大收益是70万元．
9答案 C
ab
解析
因为
3?3?3
，所以
a?b?1
，
ba
1111bab
a
??(a?b)(?)?2???2?2??4
，当且仅当
?
即
a
b
abababab
a?b?
1
时“=”成立，故选择C
2
10答案 C
解析 因为
11
??2ab
?2
ab
11
当
4
且仅当
?2ab?2(?ab)?
abab
11
?
，且 ，即
a?b
时，取“=”号
ab
11.答案
22
2
解析
x?0
?x?
22
?22
，当且仅当
x??x?2
时取等号
.
xx
12解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则
y
2
-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=
360
,
x
360
2
?360(
x?
0)
所以y=225x+
x
360
2
?2225?360
2
?1
0800
(II)
?x?0,?225x?
x
360
2
3
60
2
?y?225x??360?10440
.当且仅当225x=时，等号成立.
xx
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
13答案 A
14答案 A
【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条
件，由于给出的是不完全提干，必须结
合选择支，才能得出正确的结论。
15答案 C
解析
运用排除法，C选项
a?b?
1
?2
，当a-b<0时不成立。
a?b
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件
如果
a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取?号)
如果a,b是正数，那么
16答案 B
22
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).
2
解析 不等式(
x
+
y
)(
1
ayax
?
)≥9对任意正实数
x
，
y
恒成立，则
1?a??
≥
xyxy
a?2a?1
≥9，∴
a
≥2或<
br>a
≤－4(舍去)，所以正实数
a
的最小值为4，选
B
．
17.答案 B
解析
x
，
y
为正数，(
x
+
y
)(
答案 A
18解析
方法1：代入判断
法，将
x?2,x?0
分别代入不等式中，判断关于
k
的不等式解集
是否为
R
；
方法2：求出不等式的解集：
(1?k
2
)x
≤
k
＋4
4
14
y4x
≥9，选
B
.
?
)≥1?4??
xy
xy
4
k
?x?
2
?4
?(k
2
?1)?
2
5
?2?x?[(k
2
?1
)?
2
5
?2]
min
?25?2
；
k?1k?1k?1
答案 D
19解析
若
a,b,c?0
且
a(a?b?c)?bc?4?23,
所以
，
a
2
?a?ba?4c?2b3c?
4?23?a
2
?ab
?ac?bc?
11
(4a
2
?4ab?4ac?2bc?2bc)≤(4a
2
?4ab?4ac?2bc?b
2
?c
2
)
44
∴
(23?2)
2
≤(2a?b?c)
2
，则(
2a?b?c
)≥
23?2
，选D.
20答案 3
21答案
1
16
22答案 8
23解析 由
x
＋
25＋|
x
－5
x
|≥
ax,1?x?12?a?x?
25
?|x
2
?5x|
，而
232
x
x?
2
5
?2x
25
?10
，等号当且仅当
x?5?[1,12]
时成立；且
|x
2
?5x|?0
，等号
xx
当且仅当
x?5?[1,12]
时成立；所以，
a?[x?
25
?|x
2<
br>?5x|]
min
?10
，等号当且仅当
x
x?5?[1,1
2]
时成立；故
a?(??,10]
；
24答案（－∞，10）
解析 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买
x
吨，则需要购
买
400
次，运费
x
为4万元次，一年的总存储费用为
4x
万元，一年的总运费与总存储费用之和为
4004001600
?4?4x
万元，?4?4x
≥160，当
?4x
即
x?
20吨时，一年的总运费
与总
xxx
存储费用之和最小。
25答案 2
单元检测
一选择题：1、A；2、D；3、D；4、C；5、A；6、B；7、A；8、A；9、C；10、C。
二、填空题：11、
三、解答题：
15、解：（I）
a?3
时，由
(x?1)(x?3)?0
，得
P?x?1?x?3
．
（II）
Q?xx?1≤1?x0≤x≤2
．
由
a?0
，
得
P?x?1?x?a
，又
Q?P
，所以
a?2
，
173
；12、
[1,??)
；13、
(??,]
；14、4。
2
4
??
??
??
??
??)
． 即a
的取值范围是
(2，
3
的解集为
{x|2?x?m}
2
3
2
得：
x
1
?2,x
2
?m
分别是方程
x?ax?
的两个根，
2
331
2
由
x?2
代入
x?ax?
得：
2?4a??a?
，
228
1
2
3
2
方程为
x?x?
，即
x
?8x?12?0
，两根为
x
1
?2,x
2
?6
，
故
82
16、解：由关于x的不等式
x?ax?
2
m?6?m?36
，
151
?
不等式
ax
2
?(5a?1)x?m
a?0
即为
x
2
?(?1)x?36??0
，
8882
即
x?13x?36?0
，解得
x?4
或
x?9，
即不等式
ax?(5a?1)x?ma?0
的解集为
{x|x?4或x?9}
2
3411
11
?f(x)?
，所以
?1?2f(x)?<
br>，故
?1?2f(x)?
.
94
8932
111
2
令
1?2f(x)?t(?t?)
,则
f(x)?(1?t)
32
2
17、解：因为
1111
(1?t
2
)?t??(
t?1)
2
?1
在
?t?
上是增函数，
2232
717
1
所以当
t?
时，y有最小值，当
t?
时，y有最大值。
928
3
所以
y?
18.解：（1）
A?<
br>?
x2?
?
?
x?7
??
x?3
?
?0
?
?
?
x?0
?
?
?
??,?2?
?
?
3,??
?
x?2
??
x?2
?
b1
或x??
，
2a
（2）
?
2x?b
??
ax?1
??0
，由
A?B
，得
a?0
，则
x?
即
B?
?
??,?
?
?
1
??
b
?
?
?
?
,??
?
a
??
2
?
b
?
1
0??3
?
?
?
?
a?<
br>2
?
?
?
2
?
?2??
1
?0
?
0?b?6
?
?
a
?<
br>19、解：设生产甲、乙两种棉纱分别为
x
吨、
y
吨，利润总额为
甲种
消耗量
资源
产品 棉纱
（1
吨）
一级子棉
（吨）
二级子棉
（吨）
利
润（元）
2
乙种
棉纱
（1
吨）
1
资源
限额
（吨
）
300
?
2x?y?300
?
那么
?
x?2y?250
①
?
?
x?0
?
?
y?0
50
50
x+2y=250
x
2x+y=300
y
z
元，
1
600
2
900
250
z
=600
x
+900
y
．
作出不等式组①表示的可行域（如右图阴影部分），以及目
标函数对应的直线600
x
+900
y=0
，………11分
如图可看出在点M处
z
=600
x
+900
y
取得最大值
，
2x?y?300
由
?
,得
M
的坐标为
x=
350
≈117，
y
=
200
≈67．
?
3
3
?
x?2y?250
答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱6
7吨，能使利润总额达到最大．
20、解：（I）由
f(1)??
aa3a
,
得
a?b?c???c???b
---------------⑴
222
由
3a?2c?2b
得
??
3a?2c????(2)
?
3a??3a?2b
，将(1)代入得:
?
?
2c?2b????(3)
?
?3a?2b?2b<
br>?
12a??4b
-----(4)
,两式相加得:
9a?0
,即
a?0
.
?
?
?
?3a?4b ------(5)
b
?
12??4?
?
b3
b3
?
a
?
?3???
,故
a?0且?3???
;
?
a4
a4
?
?3
?4?
b
?
a
?
3a
?b
,
2
331
f(0)?f(2)?(?a?b)(4a?2b?a?b)??
(3a?2b)(5a?2b)
,
224
b31
?
?3???
,
?
(3
a
?
2
b
)(5
a?
2
b
)
?
0<
br>,即
f(0)f(2)?0
,
a44
（Ⅱ）由⑴有
f(x)
?ax?bx?
2
?
函数
f(x)
在区间（0，2）内至少有一个零
点.
（III）
x
1
,x
2
是函数
f(x)
的两个零点,
则
3
?a?b
bcbbb
(x
1<
br>?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)2
?4x
1
x
2
?()
2
?4??()
2
?4?
2
?()
2
?4()?6
,
aaaa
aa
b3
222
令
t?
,则
t?(?3,?)
,且
(x
1
?x
2
)?t?4t?6?(t?2)?2
,
4
a
33
57
.
?
t?(?3,?
)
,
?2?(x
1
?x
2
)
2
?(??2)
2
?2
?
2≤|x
1
?x
2
|?
44
4
第二章 几个重要的不等式
1.
针对训练
1.
1
2.4
3.9 4.
3?22
5.36
6.
33
2
7.
2
22
8.5 9.
3
10.
2
133
11.
ab
3
12.
(a?b)
13.4 14. C 15. C
16. B
22222
17. 解：
a?b?c?d?8?e，
a?b?c?d?16?e
，根据柯西不等式有
(8?e)
2
?4(16?e
2
)
，解得
0?e?
16616
，当a?b?c?d?
时，
e
有最大值
e?
555
3·1
针对训练
k
1.C 2、5 3、
2
4—8、CCDCC
9.证：①
n?1
时
左
?1?
1
?
右
2
② 假设
n?k
时
成立
111k
????
k
?
23
2?1
2
当
n?k?1
时
1111k
111
?
k
?
?
?
k?1
??
k
?
k
?
?
?
k?
左
?1??
?
?
k
2
2?122?1
2
22?12?1
即：
1?
k111k2
k
k1k?1
?
k?1
?
?
?k?1
??
k?1
???
??
k?1
2
2?12?1
2
2?1
2
2?1
22
即：
n?k?1
命题成立
综上所述
由①②对一切
n?N
命题成立.
10. 分析：
（1）由递推式a
1
?2，a
n?1
?a
2
n
?na
n
?
1可求a
2
，a
3
，a
4
，再猜想证明。
（2）证?1?时要利用a
n?1
?a
n
(an
?n)，及归纳假设放缩。
证?2?时要充分利用?1?的结论，需将
1
向可求和方向放大，故由
1?a
k
?
a
k
?a
k?1
(a
k?
1
?k)?1?a
k?1
(k?1?2?k?1)?1入手。
;
15.
=
n
+
n
个顶点
17、f
(k+1)
=f
(k)
+k-1
2
n(n?1)
2
; 16. 观察规律…第
n
－2个图
形有（
n
+2－2）+（
n
+2－2）
2
18、
19. ①n=1时，3
6
+5
3
=61×14能被14整除。
②假设n=k时命题成立，那么n=k+1时，
也能被14整除。
20．①当n=1时，等式左边=2，等式右边=2，∴等式成立。
②假设n=k
(k∈N′)等式成立，即(k+1)(k+2)……(k+k)=2
k
·1·3·5……(2
k-1)成立，
那么n=k+1时，(k+2)(k+3)……(k+k)(2k+1)(2k
+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)……(k+k)(2k+1)
=2
k+1
·1·3·5……(2k-1)[2(k+1)-1]
即n=k+1时等式成立。。
21．(1) ，
∈N′)
证明：①n=1，2时，已证。
②假设n=k及n=k-1 (k≥2)，命题成立，
即
则n=k+1时，
（注意这种证明方法与前面的方法不同）
，，
。
。 (2)
猜想 (n
3·2
针对训练
11. 1+
a
+
a
12.
81(3
13. 2+2
14. 1+
15.证明 (1)当
n
=1时,左边=2=4,右边=
2
5
k
5
k
+1
4
k
+2
2
+5
2
k
+1
)-56·5
2
k
+1
+25
k
+2
+2
5
k
+3
+2
5
k
+4
1112n?1
++…+＜(
n
≥2)
n
2
2
3
2
n
2
2
×1×2×3=4,
3
∴左边=右边,即
n
=1时,命题成立.
1分
(2)假设当
n
=
k
(
k
∈N*)时命题成立,即
2+4+6+…+(2
k
)=
那么当
n
=
k
+1时,
2+4+…+(2
k
)+(2
k
+2)=
22
22
2222
2
k
(
k
+1)(2
k
+1
), 2分
3
2
k
(
k
+1)(2
k
+1)+4(
k
+1)
2
3分
3
23
2
=
3
2
=
3
2
=
3=(
k
+1)［
k
(2
k
+1)+6(
k+1)］
(
k
+1)(2
k
+7
k
+6)
(
k
+1)(
k
+2)(2
k
+3)
(
k
+1)［(
k
+1)+1］［2(
k
+1)+1］,
6分
2
即
n
=
k
+1时,命题成立.
7分
由(1)、(2)可知,命题对所有
n
∈N*都成立. 8分
16.证明 (1)当
n
=1时,
a
+(
a+1)=
a
+
a
+1可被
a
+
a
+1
整除;
(2)假设
n
=
k
(
k
∈N*)时, <
br>a+(
a
+1)
k
+12
k
-1
222能被
a
+
a
+1整除, 2分
2
则当
n
=
k
+1时,
a
k
+
2
+(
a
+1)
2
k
+1
=
a
·
a
+(
a
+1)(
a
+1)
=
a
·
a
+
a
·(
a
+1)
=
a<
br>［
a
+(
a
+1)
k
+12
k
-1
k
+122
k
-1
22
k
-1
k
+12
k
-1
+(
a
+
a
+1)(a
+1)
2
5分
］+(
a
+a
+1)(
a
+1)
2
k
-1
2
k<
br>-1
,
由假设可知
a
［
a
+(
a
+1)
∴
a
+(
a
+1)
k
+22
k+12
k
+1
］能被
a
+
a
+1整除.
2
也能被
a
+
a
+1整除, 7分
即
n
=
k
+1时命题也成立.
∴对
n
∈N*原命题成立. 8分
11
=;
1?44
112
S
2
=+=;
4
4?7
7
17.解
S
1
=
213
+=;
77?1010
314
S
4
=+=.
1010?1313
S
3
=
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数
n
一致,分母可用项数
n
表示为3
n
+1.
于是可以猜想
S
n
?
n
. 2分
3n?1
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
1
,
4
n11
右边===,
3n?13?1?14
(1)当
n
=1时,左边=
S
1
=
猜想成立.
(2)假设当
n
=
k
(
k
∈N*)时猜想成立,即
1k
11
1
+++…+=, 4分
1?4
4?7
7?10
(3k?2)(3k?1)
3k?1
那么,
1
11
11
+++…++
1?4
4?7
7?10
(3k?2)(3k?1)[3(k?1)?2][3(k?1)?1]
?
k1
?
3k?1(3k?1)(3k?4)
3k
2
?4k?1
?
(3k?1)(3k?4)
(3k?1)(k?1)
?
(3k?1)(3k?4)<
br>k?1
?.
3(k?1)?1
6分
所以,当
n
=
k
+1时猜想也成立.
根据(1)、(2),可知猜想对任何
n
∈N*都成立. 8分
.18证明
(1)当
n
=1时,左式=1+
右式=
1
,
2
1313
+1,∴≤1+≤,命题成立. 2分
2222
(2)假设当
n
=
k
(
k
∈N*)时命题成立,即
1+
k1111
≤1+++…+≤+k, 4分
2232k2
则当
n
=
k
+1时,
1+
分
又1+
111111k
k
1k?1
++…
++
k
+
k
+…+
k
＞1++2·=1+. 6
k
k?1
232k
2?12?2
22
2?2
2
1
11111111
++…++++…+＜+
k
+2
k
·=+(
k
+1), 8
232k
2
k
?12
k
?22
k
?2
k
22k2
分
即
n
=
k
+1时,命题成立.
由(1)、(2)可知,命题对所有
n
∈N*都成
10分
19.解 (1)
a
(n?1)(n?2)
k
ij
=
C
j?1
i
2
(2)2
(3)2
n
+1
-1 (4)11
n
(5)B
5
分
C
m?1
?C
m?1m?1m
(6)
m?1
m
???C
m?k?2
?C
m?k?1
事实上，C
m?1m?1m?1
m?1
?C
m
???C
m?k?2
?
(C
m
?C
m?111
mm
)?C
m?
m?1
???C
m?
m?k?2
?(C
mm?1m?1
m?
1
?C
m?1
)???C
m?k?2
??
?C
m<
br>
m＋k?2
?C
m?1
m?k?2
?C
m
m?k?1
单元检测
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.C
5.D 6.D
二、填空题
7.180°
8.1+
1
2
2
?
1
3
2
?????
1
(n?1)
2
?
2n?1
n?1
9.(1+
1
2k
?1
)(1?
1k
a?b
2k?2
)?
k?1
10.(2)（3） 11.两边同乘以
2
三、解答题
12.证明：(
1)当
n
=1时，
a
1
1
=
2
＜1，不等
式成立.
立.
1?2
2
?3
3
?????k
k
（2）假设
n
=
k
(
k<
br>≥1)时，不等式成立，即
a
k
=＜1
k
(k?1)
亦即1+2+3+…+
k
＜(
k
+1)
当
n
=
k
+1时
23
kk
1?2
2
?3
3
?????k
k
?(k?1)
k?1
(
k?1)
k
?(k?1)
k?1
a
k
+1
= ?
[(k?1)?1]
k?1
(k?2)
k?1
(k?1)k
(k?2)
k?1
k
==()＜1.
k?1
k?2
(k?2)
∴
n
=
k
+1时，不等式也成立.
由（1）、（2）知,对一切
n
∈N
*
，不等式都成立.
13.证明：（1）当
n
=1时，一个圆把平面分成两个区域，而1－1+2=2，命题成立.
（2）假设
n
=
k
(
k
≥1)时，命题成立，即<
br>k
个圆把平面分成
k
－
k
+2个区域.
当
n
=
k
+1时，第
k
+1个圆与原有的
k
个圆有2
k
个交点，这些交点把第
k
+1个圆分成了
2
k
段
弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2
k
个区域，共有
2
2
k
2
－
k
+2+2
k
=(
k
+1)
2
－(
k
+1)+2个区域.
∴
n
=
k
+1时，命题也成立.
由（1）、（2）知，对任意的
n
∈N
*
,命题都成立.
14.解：（1）∵log
2
x
+log
2
(3·2
k－1
－
x
)≥2
k
－1
?
x?0
?
k
－1
kkk
－1
k
－1
k?1
∴
?
3?2?x?0
,解得2≤
x
≤2,
∴
f
(
k
)=2－2+1=2+1
?
x(3?2
k?1
?x)?2
2k?1
?
(2)∵
S
n
=f
(1)+
f
(2)+…+
f
(
n
)=1+2
+2+…+2
∴
S
n
－
P
n
=2－
n
n
2
2
n
－1
+
n
=2+
n
－1
n
n
=1时,
S
1
－
P
1
=2－1=1＞0;
n
=2时，
S
2
－
P
2
=4－4=0
n
=3时，
S
3
－
P
3
=8－9=－1＜0;
n
=4时，
S
4
－
P4
=16－16=0
n
=5时，
S
5
－
P<
br>5
=32－25=7＞0;
n
=6时，
S
6
－
P
6
=64－36=28＞0
猜想，当
n
≥5时，
S<
br>n
－
P
n
＞0
①当
n
=5时，由上可知<
br>S
n
－
P
n
＞0
②假设
n
=k
(
k
≥5)时，
S
k
－
P
k
＞0
当
n
=
k
+1时,
S
k
+1－
P
k
+1
=2－(
k
+1）=2·2－
k<
br>－2
k
－12(2－
k
)+
k
－2
k
－1
k
+12
k
2
k
22
=2
(
S
k
－
P
k
)+
k
－2
k－1＞
k
－2
k
－1=
k
(
k
－2)
－1≥5(5－2)－1=14＞0
∴当
n
=
k
+1时，
S
k
+1
－
P
k
+1
＞0成立
由①、②
可知，对
n
≥5，
n
∈N
*
，
S
n
－
P
n
＞0成立即
S
n
＞
P
n
成立
由上分析可知，当
n
=1或
n
≥5时，
S
n
＞
P
n
当
n
=2或
n
=4时，
S
n
=
P
n
当
n
=3时，
S
n
＜
P
n
.
22
1-3、DCC;
4、 2（2
k
+1）;
2
5.(1)
n(n?3)
(n?3);
(2) n-n-1;
2
6.
S
n=(2
n
-1)
2