高二数学选修4-5不等式选讲课后作业及答案

不等式选讲课后练习
第一节 不等式与绝对值不等式
第一课时 不等式基本性质

1．设
a,b,c,d?R
，且
a?b,c?d< br>,则下列结论正确的是 ( )
A．
a?c?b?d
B．
a?c?b?d
C．
ac?bd
D．
a
d
?
b
c

2．下列不等式成立的是 ( )
A．log
3
22
52
3 B．log
3
22
32
5 C．log
2
33
22
5 D．log
2
32
53
2
3．设
a,b?R
,若
a?b?0
，则下列不等式正确的是( )
A．
b?a?0
B．
a
3
?b
3
?0
C．
a
2
?b
2
?0
D．
a?b?0

4．若
?1?
?
?
?
? 1
,则下列各式中恒成立的是 ( )
A．
?2?
?
?
?
?0
B．
?2?
?
?
?
??1
C．
?1?
?
?
?
?0
D．
?1?
?
?
?
?1

5．设
a.?1?b??1
，则下列不等式中恒成立的是 ( )
A．
1
a
?
1
b
B．
1
a
?
1
b
C．
a?b
2
D．
a
2
?2b

6．若
b?0?a,d?c?0
，则下列不等式中必成立的是( )
A．
ac?bd
B．
a
c
?
b
d
C．
a?c?b?d
D．a-c>b-d
7．已知
60?x?84,28?y?33
，则
x?y
的取值范围是 .
8．已知
a,b,c
为三角形的三边长,则
a
2
与ab?ac
的大小关系是 .
9．若
a,b,c?R,a?b
，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号).
①
1
a
?
1
b
②
a
2
?b
2
③
a
c
2
? 1
?
b
c
2
?1
④
ac?bc

10．已知
a,b?
?
正实数
?
且
a?b
,比较
b
2
a
?
a
2
b
与
a?b
的大小.

11．已知
?1?a?b?3
且
2?a?b? 4
，求
2a?3b
的取值范围.



12．实 数
x,y,z
满足
x
2
?2x?y?z?1
且
x? y
2
?1?0
,试比较
x,y,z
的大小.

第二课时 基本不等式
1．设
x,y?R
?
,且满足
x?4y?40
，则
lgx?lgy
的最大值为 ( )
A．40 B．10 C．4 D．2
2．设
x,y?R
xy
?
且
x?y?5
，则
3?3
的最小值为 ( )
A．10 B．6 C．4 D．18
3．等比数列
?
a
n?
的各项均为正数,公比
q?1
，设
P?
a
3
?a
9
2
,Q?a
5
a
7
，则
P
与
Q
的大小关系是( )
A．
P?Q
B．
P?Q
C．
P?Q
D．无法确定
4．已知
a?0,b?0
，且
a?b?2
则 ( )
A．
ab?
1
2
B．
ab?
1
2
C．
a
2
?b
2
?2
D．
a
2
?b
2
?3

5．已知在
?AB C
中，
B?1,BC?2
，则
C
的最大值是 ( )
A．
?
6
B．
?
??
2
C．
4
D．
3

6．“
a?1
”是 “对任意正数
x,2x?
a
x
?1
”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 < br>7．若正数
a,b
满足
ab?a?b?3
，则
ab
的 取值范围是 .
8．已知
a?0,b?0
，且
2a?b?1，则
S?2ab?4a
2
?b
2
的最大值为 . < br>9．已知
x?0,y?0
且满足
x?y?6
，则使不等式
1< br>x
?
9
y
?m
恒成立的实数
m
的取值范围为 .
10．已知
a,b,x,y
都是正数,且
a?b?1
，求证:< br>(ax?by)(bx?ay)?xy

11．已知
a,b,x,y?R
?
,x,y
为变量，
a,b
为常数,且
a?b?10,
a
x
?
b
y
?1,x?y
的最小值为18，求
a,b


1

12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼 区内建造一个长方
形公园
ABCD
,公园由长方形休闲区
A
1
B
1
C
1
D
1
和环公园人行道(阴
影部分)组成 .已知休闲区
A
1
B
1
C
1
D
1
的面积为4000平方米,人行道的
宽分别为4米和10米(如图所示).
（1）若设休闲区的长和宽的比
111
的最小值为 .
,,3a?23b?23c?2
5
2
10．求函数
f(x)?x(5?2x) (0?x?)
的最大值.
2
9．设正数
a,b,c
满足
a?b?c?1
，则

11．已知
x,y
均为正数，且
x?y
求证：
2x?

12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折 起,做成一个无盖
的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.
A
1
B
1
?x
,求公园
ABCD
所占面积
S
关于
x
的函数解析式.
B
1
C
1
1
?2y?3

22
x ?2xy?y
（2）要使公园所占面积最小,休闲区
A
1
B
1
C
1
D
1
的长和宽应如何设计?

第三课时 三个数的算术几何不等式

1．设
x,y,z?R
?
且
x? y?z?6
，则lgx+lgy+lgz的取值范围是 ( )
A．(
??
,lg6] B．(
??
,3lg2] C．[lg6,+∞) D．[3lg2,+∞)
2
2．若实数
x,y满足
xy?0
，且
xy?2
，则
xy?x
的最小值是 ( )
2

A．1 B．2 C．3 D．4
111
3．若
a,b,c
为正数,且
a?b?c?1
，则
??
的最小值为 ( )
abc
1
A．9 B．8 C．3 D．
3
4．已知
x?2y?3z?6
，则
2?4?8
的最小值为 ( )
xyz

第四课时 绝对值三角不等式
1．已知实数
a,b
满足
ab?0
，下列不等式成立的是 ( )
A．
a?b?a?b
B．
a?b?a?b
C．
a?b?a?b
D．
a?b?a?b

A．3 B．2 C．12 D．12
1
2
5．当
0?x?< br>时，函数
y?x(1?5x)
的最大值为 ( )
5
114
A． B． C． D．无最大值
253675
111
6．设
a,b,c?R
?
，且
a?b?c?1
，若
M?(?1)(?1)(?1)
，则必有 ( )
abc
11
A．
0?M?
B．
?M?1
C．
1?M?8
D．
M?8

88
7．若x?0,y?0
且
xy?4
，则
x?2y
的最小值为 .
8．若记号“*”表示求两个实数
a
与
b
的算术平均的运算,即
a?b?
3个实数
a,b,c
都能成立的一个等式可以是 .
2
2．设
a?1,b?1
，则
a?b?a?b
与2的大小关系是 ( )
A．
a?b?a?b?2
B．
a?b?a?b?2
C．
a?b?a?b?2
D．不能比较大小
3．若关于
x
的不 等式
x?2?x?3?a
的解集为
?
,则实数
a
的取值范围 为( )
A．(
??
,1] B．(
??
,1) C．(
??
,5] D．(
??
,5)
4．不等式
x?3?x?1?a?3a
对任意实数
x
恒成立,则实数
a
的取值范 围为 ( )
A．[
?1
,4] B．(
??
,
?1
]∪[4,+∞) C．(
??
,
?2
]∪[5,+∞) D．[
?2
,5]
5．若不等式
x?2x?6?a
对于一切实数< br>x
均成立,则实数
a
的最大值是 ( )
A．7 B．9 C．5 D．11
2
2
a?b,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意
2

2

6．对于实数
x,y
，若
x?1?1,y?2?1
，则
x?2y?1
的最大值为 ( )
A．5 B．4 C．8 D．7
7．已知
f(x)?3x?1
，若当
x?1?b
时，有f(x)?4?a,a,b?(0,??)
，则
a,b
满足的关系为 .
8．若
x?5,n?N
，则下列不等式:①
xlg
A．(0,1) B．(1,2) C．(0, 2) D．(0,1)∪(1,2)
5．不等式< br>ax?1
?a
的解集为
M
，且
2?M
，则
a
的取值范围为 ( )
x
nn
nn
?5lg
②
xlg

?5lg
n?1n?1
n?1n?1
A．
?
?
1
??
1
??
1
??
1
?
,??
?
B．
?
,??
?
C．
?
0,
?
D．
?
0,
?

?
4
??
4
??
2
??
2
?
6．已知
y?log
a
(2? ax)
在(0,1)上是增函数,则不等式
log
a
x?1?log
a
x?3
的解集为 ( )
③
xlg
nnnn
?5lg?5lg
④
xlg
，其中能够成立的有 .(填序号)
n?1n?1n?1n?1
A．
xx??1
B．
xx?1
C．
xx?1且x??1
D．
xx?1

7．设
a,b?R,a?b?2
，则关于实数
x
的不等式
x?a?x?b?2
的解集是 .
8．在实数范围内,不等式
x?2?1?1
|的解集为 .
9．若关 于
x
的不等式
ax?x?1?2a?0
的解集为空集,则实数
a的取值范围是 .
10．已知
a?R
，设关于
x
的不等 式
2x?a?x?3?2x?4
的解集为
A

2
????< br>??
??
9．若关于
x
的不等式
a?x?1?x?2
存在实数解,则实数
a
的取值范围是 .
10．已知函数
f(x)? x?3?2,g(x)??x?1?4
，若函数
f(x)?g(x)?m?1
的解集为
R
，求
m
的取值
范围.

11．已知函数
f(x)?x?x?13,x?a?1
.求证:
f(x)?f(a)?2(f(a)?1)< br>.

12．两个加油站
A,B
位于某城市东
akm
和
bkm
处(
a?b
),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返< br>2
（1）若
a?1
，求
A

（2）若
A?R
，求
a
的取值范围.

11．已 知实数
a,b
满足:关于
x
的不等式
x?ax?b?2x?4x?1 6
对一切
x?R
均成立.
（1）请验证
a??2,b??8
满足题意.
（2）求出所有满足题意的实数
a,b
，并说明理由.
22
A,B
两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?

第五课时 绝对值不等式的解法
1．若
xx
?
，则实数
x
的取值范围是 ( )
x?1x?1
（3）若对一切
x?2
，均有不等式
x?ax?b?(m?2 )x?m?15
成立,求实数
m
的取值范围.

12．已知关于< br>x
的不等式
a?ax?1
的解集为
xx?0
的子集,求
a
的取值范围.
2
A．(
?1
,0) B．[
?1
,0] C．(
??
,
?1
)∪(0,
??
) D．(
??,
?1
]∪[0,
??

2．若
a?1
，则不等式
x?a?1
的解集是 ( )
A．
xa?1?x?1?a
B．
xx?a?1或x?1?a
C．
?
D．
R

3．已知集合
A?xx?5x?6? 0,B?x2x?1?3
，则
A?B
等于 ( )
A．
?
2,3
?
B．
?
2,3
?
C．
?
2,3
?
D．
(?1,3)

4．若规定
??
??
??

?
2
?
??
第二节 证明不等式的基本方法
第一课时 比较法
1．设
a,b,m
都是正数,且
a?b
,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A．
3
ab
cd
?ad?bc
，则不等式log
11
2
1x
?0
的解集为 ( )
aa?maa?maa?ma?ma
C．
???1
B．
??1
D．
1??

bb?mbb?mbb?mb?mb

2．“
a?1
”是“
1
?1
”的 ( )
a
A．
a?b?2(2?1)
B．
a?b?2?1
C．
a?b?(2?1)
2
D．
a?b?2(2?1)

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设
a,b?R
?
,A ?
2．若
1?x?10
，下面不等式中正确的是 ( )
A．
(lgx)?lgx?lg(lgx)
B．
lgx?(lgx)?lg(lgx)

C．
(lgx)?lg(lgx)?lgx
D．
lg(lgx)?(lgx)?lgx

2222
2222
a? b,B?a?b
，则
A,B
的大小关系是 ( )
A．
A?B
B．
A?B
C．
A?B
D．
A?B

2553223
4． 已知下列不等式：①
x?3?2x
;②
a?b?ab?ab
;③
a? b?2(a?b?1)
.
22
3．下列三个不等式中:①
a?0?b
；②
b?a?0
；③
b?0?a
，其中能使
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．要证
a?b?1?ab?0
，只要证 ( )
2222
其中正确的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设
a?0,b?0
，下列不等式中不正确的是 ( )
11
?
立的充分条件有 ( )
ab
b
2
a
2
ba111
??a?b
D．
??
A．
a?b?2ab
B．
??2
C．
ab
ababa?b
22
a
4
?b
4
?0
A．
2ab?1?ab?0
2 B．
a?b?1?< br>2
22
22
6．在等比数列
?
a
n
?
和等差数列
?
b
n
?
中,
a
1
?b1
?0,a
3
?b
3
?0,a
1
?a
3
则
a
5
与
b
5
的大小关系为 ( )
A．
a
5
?b
5
B．
a
5
?b
5
C．
a
5
?b
5
D．不确定
7．已知
0?x?1,a?2x,b?1?x,c?
C．
(
a?b
2
)?1? a
2
b
2
?0
D．
(a
2
?1)(b
2
?1)?0

2
222
5．已知
a,b,c
为三角形的三边且
S?a?b?c,P?ab?b c?ac
，则 ( )
1
，则其中最大的是 .
1?x
A．
S?2P
B．
P?S?2P
C．
S?P
D．
P?S?2P

6．设
x
1
和
x
2
是方程
x?px?4?0
的两个不相等的实数根 ,则 ( )
A．
x
1
?2
且
x
2
?2
B．
x
1
?x
2
?4
C．
x
1
?x
2
?4
D．
x
1
?4
且
x
2
?1

7． 等式“
2
3
8．若
x
是正数，且
x?x?2
，则< br>x
与
4
5
的大小关系为 .
9．设
A?112
?,B?(a?0,b?0)
则
A,B
的大小关系为 .
2a2ba?b
a
b
?
b
a
?a?b
< br>sinx1?cosxsinx
”的证明过程:“等式两边同时乘以
得,左边
?
1?cosxsinx1?cosx
10．已知
a?0,b?0
，求证：
sixnsixnsi
2
nxsi
2
nx
????? 1
，右边=1,左边=右边,故原不等式成立”,应用了 的证
1?coxs1?cox s
1?co
2
sxsi
2
nx
明方法.(填“综合法”或“ 分析法”)
11．若
a,b,m,n
都为正实数,且
m?n?1
求 证：
ma?nb?ma?nb


12．已知函数
f(x)?x?a x?b
，当
p,q
满足
p?q?1
时,证明：
pf(x)? qf(y)?f(px?qy)
对于任意实
数
x,y
都成立的充要条件是0?p?1
.

2
y
2
8．设
x,y,z< br>为正实数,满足
x?2y?3z?0
，则的最小值是 .
xz
9．设
a,b,c
都是正实数，
a?b?c?1
，则
a?b?c的最大值为 .
10．用分析法证明:当
x?0
时,
sinx?x
.

11．已知
x,y,z
均为正数,求证：

4
第二课时 综合法与分析法

1．设
a?0,b?0
且ab-(a+b)≥1,则 ( )
xyz111
?????

yzzxxyxyz

12．在某两个正数
x,y
之间,若插入一个数
a
，使
x ,a,y
成等差数列，若插入两个数
b,c
，使
x,b,c,y
成等 比

1
数列,求证：
(a?1)
2
?(b?1)(c?1)
< br>11．若
n
是大于1的自然数,求证：
1
2
?
12
2
?
1
3
2
?????
1
n
2
?2



第三课时 反证法和放缩法

12．设
a
1,
a
2
,???,a
n
是正数，求 证：
a
2
(a
2
?
a
3
(a
2< br>?????
a
n
1
???a
2
?

1
?a
2
)
1
?a
2
?a
3
)( a
1
?a
2
??
n
)
a
1
1．命 题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是 ( )

A．任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面 B．任意多面体没有一个是三角形的面
C．任意多面体没有一个是四边形的面 D．任意多面体没有一个是五边形的面
第三节 柯西不等式与排序不等式
第一课时 二维形式的柯西不等式
2． 设
x,y,z
都是正实数，
a?x?
1
y
,b?y?
1
z
,c?z?
1
x
，则
a,b,c
三个数 ( )
1．已知
a,b?(0,??),x
1
,x
2
?(0, ??)
，使不等式
(ax
1
?bx
2
)(bx
1< br>?ax
2
)?x
1
x
2
成立的一个条件是(
A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2
A．
a?b?1
B．
a
2
?b
2
?1
C．
a?b?1
D．
a
2
?b
2
?
1
2

3．设
x?0,y?0,M?
x?y
2?x?y
,N?
x
2?x< br>?
y
2?y
，则
M,N
的大小关系是 ( )
2 ．已知
?
?R
，则
42?sin
2
?
?2cos< br>?
的最大值是 ( )
A．
M?N
B．
M?N
C．
M?N
D．不确定
A．
23
B．
36
C．
6
4．
a,b,c
不全为零等价为 ( )
3
D．
6

A．
a,b,c
均不为0 B．
a,b,c
中至多有一个为0
3．已知
a,b,m,n
均为正 数，且
a?b?1,mn?2
，则
(am?bn)(bm?an)
的最小值为 ( )
C．
a,b,c
中至少有一个为0 D．
a,b,c
中至少有一个不为0
A．2 B．3 C．4 D．1
4．已知
3x?2y?1
，当
x
2
?y
2
取最小值时，
x,y
的值为 ( )
5．设a,b,c
是正数，
P?a?b?c,Q?b?c?a,R?c?a?b
，则“< br>P?Q?R?0
”是“
P,Q,R
”同时大于
零”的 ( ) ?
3
A．
?
?
x?
?
?
x?
2
?
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
?
13
B．
?
13
?
?
x?
1
?
6
?
?
x?
1< br>4
?
2
?
3
C．
?
D．
?
1

?
?
y?
13
?
?< br>?
y?
13
?
?
?
y?
1
4
?
?
?
y?
6
6．若
a,b?R
，且
a
2
?b
2
?10
，则
a?b
的取值范围是 ( )
A．
?
0,10
?
B．
?
?210,210
?
C．
?
?10,10
?
D．
?
?25,25
?
5．已知
?
为锐角，
a,b
均为正实数.则下列不等式成立的是 ( )

7．用反证法证明命题“若
ax
2
?(a?b)x?a b?0
,则
x?a
且
x?b
”时应假设 .
A．< br>(a?b)
2
?
a
2
b
2
a
2cos
2
?
?
sin
2
?
B．(a?b)
2
?
cos
2
?
?
b
2< br>sin
2
?

8．在
?ABC
中,若
AB? AC,P
是
?ABC
内一点，
?APB??APC
,求证:
?BAP??CAP
,用反证法证明时
C．
a
2
?b
2?
a
2
应分:假设 和 两类.
cos
2
?
?
b
2
sin
2
?
D．
(a?b)
2
?
a
2
cos
2
?
?
b
2
sin
2
?

9．log
6．若长方形< br>ABCD
是半径为
R
的圆的内接长方形,则长方形
ABCD
周 长的最大值为 ( )
2
3与log
3
4的大小关系是 . 10．关于复数
z
的方程
z
2
?(a?i)z?(i?2)?0 (a?R)
，证明对任意的实数
a
，原方程不可能有纯虚根.
A．
2R
B．
22R
C．
4R
D．
42R


5
)

7．若存在实数
x
使
3x?6?14?x? a
成立,常数
a
的取值范围为 .
8．已知
a
1< br>,a
2
,b
1
,b
2
为正实数，则
(a1
b
1
?a
2
b
2
)(
a
1
a
2
?)?
.
b
1
b
2
2n
2
nnn?1
A． B． C． D．
2n?1
2n?12n?12n?1
二、填空题(每小题8分,共24分)
222
7．设
x,y,z?R
且满足
x?y?z?1,x?2y?3z?14
，则
x?y?z?
.
9．函数
f(x)?x
2?8x?20?x
2
?6x?10
的最大值是 .
ab
??1
，求
x?y
的最小值.
xy
228．设
a,b,c,x,y.z
都是正数,且
a?b?c?25,x?y?z?3 6,ax?by?cz?30
，则
222222
10．已知
x,y,a,b? R
?
，且
22
11．已知
a,b,c
为正数,且满足
acos
?
?bsin
?
?c
，求证：
acos
?
?bsin
?
?c

a?b?c
= .
x?y?z
9．设
a
1
,a
2
,???,a
201 2
都是正数且
a
1
?a
2
?????a
2012< br>为 .
10．已知
x,y,z?R
，且
x?2y?3z?4< br>求
x?y?z
的最小值.

11．已知实数
a,b,c,d
满足
a?b?c?d?3
，
a?2b?3c?6d?5
，求
a
的最值.

12．若
n
是不小于2的正整数，证明：

2222
222


12．用柯西不等式推导点
P(x0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0(A?B?0)的距离公式.


22
2
2
a
2012a
1
2
a
2
?1
则的最小值
??????2?a
1
2?a
2
2?a
2012
第二课时 一般形式的柯西不等式

1．已知
a,b,c
均大于0,，
A?a?b?ca?b?c
，则
A,B
的大小关系是 ( )
,B
33
222
A．
A?B
B．
A?B
C．
A?B
D．
A?B

2．已知
a?b?c?1
，若
a?b?2c?x?1
对任意实数a,b,c
恒成立,则实数
x
的取值范围是 ( )
A．
x?1
或
x??3
B．
?3?x?1
C．
x??1
或
x?3
D．
?1?x?3

3．
n
个正数的和与这
n
个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( )
A．1 B．
n
C．
n
D．
2
222
4111112
?1??????????

72342n?12n2
第三课时 排序不等式

?1?1?1
1．设
a
1
,a
2
,???,a
n
都是正数，b
1
,b
2
,???,b
n
是
a
1< br>,a
2
,???,a
n
的任意一个排列，则
a
1b
1
?a
2
b
2
?????a
n
b< br>n
a
1

n
的最小值是 ( )
A．1 B．
n
C．
n
D．无法确定
2
4916
4.设
a,b,c
均为正数且
a?b?c?9
，则
??
的最小值为 ( )
abc
A．81 B．9 C．7 D．49
5．已知
a?b?c?d?10
，则
ab?bc?cd?da
的最小值为 ( )
A．10 B．
?10
C．100 D．
?100
< br>2222
b
2
c
2
?a
2
c
2?a
2
b
2
,Q?abc
，则
P,Q
的大小关 系是( ) 2．已知
a,b,c
为正数，
P?
a?b?c
A．< br>P?Q
B．
P?Q
C．
P?Q
D．
P?Q

3．设
a
1
,a
2
,a3
为正数，
E?
222
???????n
的最小值为6．设非负 实数
a
1
,a
2
,???,a
n
满足
a< br>1
?a
2
?????a
n
?1
，则
y?2?a
1
2?a
2
2?a
n
( )

6
a
1
a
2
a
2
a
3
a
1
a
3
??,F?a
1
?a
2
?a3
，则
E,F
的关系是 ( )
a
3
a
1
a
2
A．
E?F
B．
E?F
C．
E?F
D．
E?F

4．
(1?1)(1?)(1?
14
11
)???(1?)
的取值范围是 ( )
3n?161
第一课时 数学归纳法

1．某个命题:(1)当
n?1
时,命题成立.(2)假设
n?k(k?1,k?N
?
)
时成 立,可以推出
n?k?2
时也成立,则命题
对 成立. ( )
A．正整数 B．正奇数 C．正偶数 D．奇数
2．设
f(n)?
( )
A．(21，+∞) B．(61，+∞) C．(4，+∞) D．(
3n?2
，+∞) 5．一组实数为
a
1
,a
2
,a
3
，设
c
1
,c
2
,c
3
是另一组数
b
1,b
2
,b
3
的任意一个排列,则
a
1
c1
?a
2
c
2
?a
3
c
3
的 ( )
A．最大值为
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
，最小值为
a
1
b
3
?a
2
b
2
?a
3
b
1
B．最大值为
a
1
b
2
?a
2
b< br>3
?a
3
b
1
，最小值为
a
1
b< br>3
?a
2
b
1
?a
3
b
2

C．最大值与最小值相等为
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
D．以上答案都不对
6．若
0?
?
?
号为 ( )
A．
F?0
B．
F?0
C．
F?0
D．
F?0

7．已知
a,b, c
为正实数,则
a(a?bc)?b(b?ac)?c(c?ab)
0(填
?,?,?,?
).
222222
111
??????(n ?N
?
)
，在利用数学归纳法证明时,从
n?k
到
n?k? 1
需添的项为
n?1n?22n
?
?
?
?
?
2
，则
F?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?
?
1
(s in2
?
?sib2
?
?sin2
?
)
的符
2
A．
111111
B． C． D．
??< br>2k?12k?22k?12k?22k?12k?2
3．记凸
k
边形的内角和 为
f(k)
，则凸
k?1
边形的内角和
f(k?1)?f(k)?A
，则
A?
( )
A．
?
3
B．
?
C．
2
?
D．
?

22
2?1
，前
n
项和
S
n
?n?1?1
，先算出数列的前4项的值,再根据这些值归纳猜4．在数列
?a
n
?
中，
a
1
?
ab
?
a
??
b
?
8．设
a,b
都是正数,若
P?
??
?
??
,Q??
，则二者的关系是 .
ba
?
b
??
a
?
9．设正数
a,b,c
的乘积
abc?1,
22
想数列的通项公式是 ( )
A．
a
n
?n?1?1
B．
a
n
?nn?1?1
C．
a
n
?2n?n
D．
a
n
?n?1?n

n
111
??
的最小值为 .
a
2
( b?c)b
2
(a?c)c
2
(a?b)
5．已知
f(n) ?(2n?7)?3?9
，存在自然数
m
，使得对任意
n?N
?，都能使
m
整除
f(n)
，则最大的
m
的
值为 ( )
A．30 B．26 C．36 D．6
6．在数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?
A．
10．设
x
1
?x
2
?????x< br>n
，
y
1
?y
2
?????y
n
，求证:
其中
z
1
,z
2
,???,z
n
是
y
1
,y
2
,???,y
n
的任意一个排列.

?
(x
i?1
n
i
?y
i
)< br>2
?
?
(x
i
?z
i
)
2

i?1
n
1
，且
S
n
?n(2n?1)a
n
，通过求
a
2
,a
3
,a
4
猜想
a
n
的表达式为 ( )
3
1111
B． C． D．
(n?1)(n?1)2n(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)( 2n?2)
112n?12n?1
?cos
?
?cos3
?
?????cos(2n?1)
?
??sin
?
?cos
?
(
?
?n
?
,n?N)
，
2sin
?
22
a
2
?b
2
b
2
?c
2
a
2
?c
2
a
3
b
3
c
3
??? ??
11．已知
a,b,c?R
?
,求证
a?b?c?

2c2a2bbcacab

12．利用排序原理证明切比雪夫不等式:
7．用数学归纳法证明
在验证
n?1
等式成立时,左边计算所得的项是 .
8．用数学归纳法证明“当
n
为正奇数时，
x?y
能被
x?y
整除”,当第二步假设
n?2k?1(k?N
?
,k?1)
命
题为真时,进而需证
n?
时,命题亦真.
9．设平面内有
n
条直线(
n?2
),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用
f(n)
表示这
nn
1
n
?
1
n
??
1
n
?
若
a
1
?a
2
?? ???a
n
且
b
1
?b
2
?????b
n
，则
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?

n
i?1< br>?
n
i?1
??
n
i?1
?

第四节 数学归纳法证明不等式

7
n
条直线交点的个数,则
f(4)?
;当
n?4
时，
f(n)?
(用
n
表示).

10．用数学归纳法证明:若
n?N
?
，求证：
cos< br>?
2
cos
?
2
2
cos
?
23
???cos
?
2
n
?
sin
?
2 sin
n
?
2
n

C．若
f(7)?49
成立,则当
k?8
时,均有
f(k)?k
成立
D．若
f( 4)?25
成立,则当
k?4
时,均有
f(k)?k
成立
6．对于正整数
n
，下列说法不正确的是 ( )
A．
3?1?2n
B．
0.9?1?0.1n
C．
0.9?1?0.1n
D．
0.1?1?0.9n

7． 设
a,b
均为正实数，
n?N
?
，已知
M?(a?b),N ?a?na
示:利用贝努利不等式,令
x?
nnn?1
2
2

a
n?2
?a
n?1
?a
n
，11．已知数列?
a
n
?
满足
a
1
?0,a
2
?1
，当
n?N
?
时，求证:数列
?
a
n
?
的第
4m?1
项(
m?N
?
)
能被3整除.

12．平面上有
n
个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证这n
个圆分平面为
n?n?2
个部分.

2
nnnn
b
，则
M,N
的大小关系为 (提
b
).
a
111n
k?1k
n
8．已知f(n)?1???????(n?N
?
)
，用数学归纳法证明
f(2) ?
时，
f(2)?f(2)
=________.
23n2
9．若 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
推测
c
n
?
___________.
第二课时 用数学归纳法证明不等式

1．用数学归纳法证明
1?a?a?????a
2
2n?1
1
，记
c
n
?2(1?a
1
)( 1?a
2
)???(1?a
n
)
，试通过计算
c
1
,c
2
,c
3
的值,
(n?1)
2
1?a
n?2
?(n?N
?
,a?1)
，在验证
n?1
时 ,左边所得的项( )
1?a
2
A．1 B．
1?a?a
C．
1?a
D．
1?a?a

2．用数学归纳法证明
2?n(n?5,n?N
?
)
成立时第二步归纳假设的正确写法是 ( )
A．假设
n?k
时命题成立 B．假设
n?k(k?N
?
)
时命题成立
C．假设
n?k(k?5)
时命题成立 D．假设
n?k(k?5)
时命题成立
n2
?
n?1
?< br>10．用数学归纳法证明:
??
?n!(n?1,n?N
?
)

?
2
?

11．设函数
f(x)?x?xlnx
， 数列
?
a
n
?
满足
0?a
1
?1,an?1
?f(a
n
)
.
（1）证明:函数
f(x)
在区间(0,1)上是增函数.
（2）证明:
a
n
?a
n?1
?1

< br>12．已知等比数列
?
a
n
?
的首项
a
1< br>?2
，公比
q?3,S
n
是它的前
n
项和，求证:< br>

2
n
1111
???????(n?N
?
)
”时，
S
1
等于( )
n?1n?2n?33n?1
1111111
A． B． C．
?
D．
??

2423234
111
4．利用数学归纳法证明不等式
1???????
n
?f(n)(n?2,n?N?
)
的过程,由
n?k
到
n?k?1
时,
23
2?1
3．用数学归纳法证明“
S
n
?
左边增加了 ( )
A．1项 B．
k
项 C．
2
k?1
S
n?1
3n?1
?

S
n
n
项 D．
2
项
k
2
5．设
f(x)
是定义在正整数集上的函数,有
f(k)
满足: 当“
f(k)?k
成立时,总可推出
f(k?1)?(k?1)
成立”.

那么下列命题总成立的是 ( )
A．若
f(3)?9
成立,则当
k?1
时,均有
f(k)?k
成立
B．若
f( 5)?25
成立,则当
k?5
时,均有
f(k)?k
成立
2
2




8

不等式课后作业参考答案
第一课时 不等式基本性质参考答案

ABDACC 7. (27,56) 8.:a
2
10.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+
=(a
2
-b
2
)·=
=,因为a>0,b>0且a≠b,所以>0,故+>a+b.
11.【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得
所以2a+3b=(a+b)-(a-b).
因为-1所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.
12.【解析】x
2
-2x+y=z-1?z-y=(x-1)
2
≥0?z≥y;
x+y
2< br>+1=0?y-x=y
2
+y+1=+>0?y>x,故z≥y>x.
第二课时 基本不等式参考答案

DDACAA 7. [9,+∞) 8.
2?1
2
9.
10.【证明】因为a,b,x,y都是正数,
所以(ax+by)(bx+ay)=ab( x
2
+y
2
)+xy(a
2
+b
2
)≥a b(2xy)+xy(a
2
+b
2
)=(a+b)
2
xy.
因为a+b=1,所以(a+b)
2
xy=xy,所以(ax+by)(bx+ay) ≥xy.
【变式备选】已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:++≥9.
【证明】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,
所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时取等号.所以++≥9.
11.【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)
2
,

当且仅当=时取等号.又(x+y)
min
=(+)
2
=18,
即a+b+2=18, ①又a+b=10, ②
由①②可得或
12.【解析】( 1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a
2
x=4000,得a=.
则S= (a+8)(ax+20)=a
2
x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20) ·+160
=80+4160(x>1).
(2)S≥80×2+4160=1600+4 160=5760.当且仅当2=,即x=2.5时取等号,此时a=40,ax=100.
所以要使公 园所占面积最小,休闲区A
1
B
1
C
1
D
1
应设计为长100米,宽40米.
第三课时 三个数的算术几何不等式参考答案

BCACCD 7.
3
3
4
8. a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 9.1
10. f(x)=x(5-2x)
2
=×4x(5-2x)(5-2x)
≤=.
当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.
所以函数的最大值是.
11. 因为x>0,y>0,x-y>0,
2x+-2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3=3,
所以2x+≥2y+3.
12. 设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,
由图(3)可有2h+x=,
所以h=(1-x),V=S
底
·h=6×x
2
·h=x
2
··(1-x)=2××××(1-x)
9

≤9×=.
即|x-2y+1|的最大值为5.
7.【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|当且仅当=1-x,即x=时,等号成立.
所以|x-1|<,又当|x-1|所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大,为.
即|x-1|第四课时 绝对值三角不等式参考答案

1.【解析】选B.因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|,
又|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.
2.【解 析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a| <2,
当(a+b)(a-b)<0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.
【变式备选】已知 p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则
【解析】当p,q至少有一个为0时,
当pq>0时, p,q同号,则px与同号,
=|px|+
故
答案:≥
3.【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,
又关于x的不等式|x-2|+|x+3|?
,
所以a≤5.
4.【解析】选A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为4,所以不等式|x+ 3|+|x-1|≥a-3a对任意实数x恒
成立,只需a-3a≤4,解得-1≤a≤4.
5.【解析】选C.令f(x)=x
2
+|2x-6|,
当x≥3时,f(x)=x
2
+2x-6=(x+1)
2
-7≥9;
当x<3时,f(x)=x
2
-2x+6=(x-1)
2
+5≥5.
综上可知,f(x)的最小值为5,故原不等式恒成立只需a≤5即可,从而a的最大值为5.
6.【解析】选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|
≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,

10
2
2
答案:a-3b≥0
8.【解析】因为0<
所以④成立.
答案:④
9.【解析】因为f (x)=|x+1|+|x-2|=
<1,所以lg<0,由x<5不能确定|x|与5的关系,所以可以否定①②③,而|x|lg<0,
2
≥2.
.(填不等关系符号)
要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,
故|a|≥3,即a≤-3或a≥3.
答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)
所以f(x)≥3,
≥2
.
.
10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时 结合绝对值三角不等式.
【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
因 为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1| -6≥
|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,
于是有m+1≤-2,得m≤-3,
即m的取值范围是(-∞,-3].
11.【 证明】|f(x)-f(a)|=|x
2
-x+13-(a
2
-a+13)|
=|x
2
-a
2
-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),
所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【拓展提升】含绝对值不等式的证明
证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条:
(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b |≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条件.
≥2

(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法等进行证明,其中 去
5.【解析】选B.因为2?M,所以2∈
?
M,
掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.
12.【解析】设卡车行驶在距城市xkm处,它到两加油站的路程之和为ykm.
所以y=|x-a|+|x-b|.
因为|x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x|
≥|(x-a)+(b-x)|=|b-a|=b-a.
当且仅当(x-a)(b-x)≥0即a≤x≤b时取等号.
所以该卡车在两加油站之间时,它到两加油站的路程之和是一样的.

第五课时 绝对值不等式的解法参考答案
1.【解析】选A.由题意知<0,解得-12.【解析】选D.由|x|+a>1,得|x|>1-a,因为a>1,
所以1-a<0,故该不等式的解集为R.
【变式备选】若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(2,4),则实数a的值
为 ( )
A.3 B.2 C.-3 D.-2
【解析】选A.不等式|x-a|<1的解集为a-13.【解析】选C.A={x|2≤x≤3},
B=,所以A∩B=.
【变式备选】已知集合M=,P=,则M∩P等于
A.{x|0≤x≤3,x∈Z} B.{x|0C.{x|-1≤x≤0,x∈Z} D.{x|-1≤x<0,x∈Z}
【解析】选A.M=={x|-1≤x≤3},
P=={x|-1所以M∩P={x|0≤x≤3,x∈Z}.
4.【解析】选<0?lo|x-1|<0
?0<|x-1|<1,所以0
R
所以≤a,即-a≤≤a,解得a≥.
6.【解题指南】先由对数函数的单调性判断a的范围,再解不等式.
【解析】选C.因为y=log
a
(2-ax)在(0,1)上是增函数,
又a>0,所以u=2-ax为减函数,所以0所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0,
由|x+1|<|x-3|得( x+1)
2
<(x-3)
2
,解得x<1.
综上,得x<1且x≠-1.
7.【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+| x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解.
【解析】函数f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为:
[|a-b|,+∞).因此,当?x∈R时,f(x)≥|a-b|>2.
所以,不等式|x-a|+|x-b|>2的解集为R.
答案:R
8.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.
【解析】由绝对值的意义,||x-2|-1|≤1等价于0≤|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2,
即0≤x≤4.
答案:[0,4]
9.【解析】当x>-1时,
原不等式可化为ax
2
-x+2a-1<0,
( )
由题意知该不等式的解集为空集,
结合二次函数的图象可知a>0且Δ=1-4a(2a-1)≤0,
解得a≥;
当x≤-1时,原不等式可化为ax
2
+x+1+2a<0.
由题意知该不 等式的解集为空集,结合二次函数的图象可知a>0且Δ=1-4a(2a+1)≤0,解得a≥.
综上可知,a≥.
答案:
10.【解析】(1)当x≤-3时,原不等式为-3x-2≥2x+4,得x≤-3,
11

当-3然后对关于参数k的不等式求解.
(3)若不等式对于x,参数都是二次的,则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0求解.
当x>时,3x+2≥2x+4,得x≥2,
12.【解析】设y
1
=|x|,
综上,A={x|x≤0,x≥2}.
y
2
=ax+1.
(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.
则y
1
=
当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,得x≥a+1或x≤,
在同一直角坐标系中作出两函数图象,如图所示.
所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2.
|x|>ax+1的x,只需考虑函数y
1
=|x|的图象位于y
2
=ax+1的图象上方的部分,可知a≥1.
综上,a的取值范围为a≤-2.
11.【解析】(1)当a=-2,b=-8时,有 |x
2
+ax+b|=|x
2
-2x-8|≤2|x
2
-2x-8|
=|2x
2
-4x-16|.
(2)在|x
2
+ax+b|≤|2x
2
-4x-16|中,
分别取x=4,x=-2,
得,所以,

所以a=-2,b=-8,
第二节
第一课时 比较法参考答案

因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.
1.【解析】选A.真分数的分子、分母同加上一个正数,分数值增大,可知A正确.
(3)由x
2
+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),
2.【解析】选A.因为a>1,所以<1.
所以x
2
-2x-8≥(m+2)x-m-15,
而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.
即x
2
-4x+7≥m(x-1),
3.【解析】选C.因为A
2
-B
2
=(+)
2
-()
2
=2>0,所以A>B .
所以对一切x>2,均有不等式≥m成立,
【变式备选】已知a>b>0,c>d>0, m=-,n=,则m与n的大小关系是(
而=(x-1)+-2
A.mn C.m≥n D.m≤n
≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),
【解析】选C.因为a>b>0,c>d>0,
所以实数m的取值范围是(-∞,2].
所以m
2
=ac+bd-2,n
2
=ac+bd-bc-ad,
【拓展提升】不等式恒成立问题的求解方法
所以m
2
-n
2
=bc+ad-2=(-)
2
≥0.
不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有三种常用的方法: 所以m
2
≥n
2
,又m>0,n>0,所以m≥n.
(1)直接将 参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x)),从而转化成求f(x)最值的问题. 4.【解析】选C.①x
2
+3-2x=(x-1)
2
+2>0,
(2)如果参数不能分离,而x可以分离,如g(x)≥f(k)或g(x)≤f(k),则f(k)恒小于g( x)的最小值或恒大于g(x)的最大值,所以①正确;②当a=b时,a
5
+b
5< br>=a
3
b
2
+a
2
b
3
,

12
)

所以②不正确;③a
2
+ b
2
-2(a-b-1)=a
2
-2a+1+
b
2
+2b+1=(a-1)
2
+(b+1)
2
≥0,所以③正确.
5.【解析】选D.+-=-
==>0.
6.【解析】选A.由等比数列的性质知a
5
=,
由等差数列的性质知b
5
=2b
3
-b
1
, 所以a
5
-b
5
=-2b
3
+b
1

==>0,
所以a
5
>b
5
.
7.【解析】因为00,b>0,c>0,
又a
2
-b
2
=(2)
2
-(1+x)
2
=-(1-x)
2< br><0,
所以a
2
-b
2
<0,所以a又c-b=-(1+x)=>0,
所以c>b,所以c>b>a.
答案:c
8.【解析】由x
3
-x=2知x
2
-1=,
所以(x< br>2
-1)(x
2
+1)=(x
2
+1)=2>4,
即x
4
-1>4,从而x
4
>5,所以x>.
答案:x>
9.【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.
【解析】因为==×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立).
又因为B>0,所以A≥B.
答案:A≥B
10.【证明】=

=
=≥=1,
所以+≥+.
【一题多解】本题还可用以下方法证明:+-(+)=
=.
因为+>0,>0,(-)
2
≥0,
所以+≥+.
11.【证明】因为()
2
-(m+n)
2

=ma+nb-m
2
a-n
2
b-2mn
=m(1-m)a+n(1-n)b-2mn
=mn(-)
2
≥0,
又>0,m+n>0,
所以≥m+n.
12.【证明】pf(x)+qf(y)-f(px+qy)
=p(x
2
+ ax+b)+q(y
2
+ay+b)-(px+qy)
2
-a(px+qy) -b
=p(1-p)x
2
+q(1-q)y
2
-2pqxy
=pq(x-y)
2
(因为p+q=1).
充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].
所以pq≥0,所以pq(x-y)
2
≥0,
所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),
则pq(x-y)
2
≥0,
因为(x-y)
2
≥0,所以pq≥0.
即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.
综上,原命题成立.
13

第二课时 综合法与分析法参考答案

1.【解析】选A.因为≤,所以ab≤(a+b)
2
,
所以(a+b)
2
-(a+b)≥ab-(a+b)≥1,
所以(a+b)
2
-4(a+b)-4≥0,
所以a+b≤2-2或a+b≥2+2.
又a>0,b>0,所以a+b≥2+2.
2.【解析】选D.因为1所以0<(lgx)
2
<1,02
<2,lg(lgx)<0.
又(lgx)
2
-lgx
2
=(lgx)
2
-2lgx=lgx(lgx-2)< 0,
所以0<(lgx)
2
2
,所以lg(lgx)<( lgx)
2
2
.
3.【解析】选A.①a<0③b<0,故选A.
4.【解析】选D.a
2
+b
2
-1-a
2
b2
=-(a
2
-1)(b
2
-1),
要证原不等式成 立,只需证-(a
2
-1)(b
2
-1)≤0,即证(a
2
-1)(b
2
-1)≥0.
5.【解析】选D.因为a
2
+b2
≥2ab,b
2
+c
2
≥2bc,c
2
+a
2
≥2ca,所以a
2
+b
2
+c
2
≥a b+bc+ca,即S≥P.
又三角形中|a-b|2
+b
2
-2ab2
,
同理b
2
-2bc+c
22
,c
2
-2ac+a
2
2
,
所以a
2
+b
2
+c
2
<2(ab+bc+c a),即S<2P.
6.【解析】选C.由方程有两个不等实根知Δ=p
2
-16>0,
故>4.又x
1
+x
2
=-p,所以=>4.
7.【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法.
答案:综合法
8.【解析】由x-2y+3z=0得y=,代入得=≥=3,当且仅当x=3z时,取等号.
答案:3
9.【解题指南】本题需把++的最大值问题转化为(++)
2
的 最大值问题,注意“1”的使用.
【解析】因为(++)
2
=a+b+c+2+2+ 2≤1+(a+b)+(b+c)+(c+a)

=1+2(a+b+c)=3,
所以++≤,当且仅当a=b=c=时等号成立.
答案:
【拓展提升】解含有根式的问题
(1)含有根式的问题,往往是先确定符号,通过平方将其有理化解决.
(2)平方过程中要注意变形的恒等性.
10.【证明】当x>0时,要证sinx0时,f'(x) =cosx-1≤0,故
原命题成立.
【变式备选】用分析法证明:当x>1时,x>ln(1+x).
【证明】当x>1时,要证x>ln(1+x),即证f(x)= x-ln(1+x)>0=f(0) ,即证f'(x)=1-=>0,显然x>1时,f'(x)>0,所
以原命题成立.
【拓展提升】分析法证明不等式的技巧
(1)用分析法证明不等式,是从要证的不等式着手, 逐步推求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知正确的不
等式或为已知条件,这是一种执果索因的思 考方法和证明方法.
(2)当所证的不等式与基本不等式没有什么直接联系,或条件与结论之间的关系 不明显时,可用分析法来寻找证
明途径.
11.【证明】因为x,y,z均为正数,
所以+=≥,
同理得+≥,+≥(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立),
将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥++.
12.【证明】方法一:由条件得
消去x,y即得:2a=+,且有a>0,b>0,c>0,
要证(a+1)
2
≥(b+1)(c+1),
只需证a+1≥,
因为≤=+1,
14

所以只需证2a≥b+c,而2a=
所以只需证+≥b+c,
+,
因为P<0,Q<0.
即a+b所以b<0,与b>0矛盾,故充分性成立.
6.【解析】选D.令a=
a-b=(cosθ-sinθ)=2
≤1,
.
cosθ,b=
cos
sinθ,则
,
即b
3
+c
3
≥bc(b+c),(b+c)(b
2
+c
2
-bc )≥bc(b+c),
而b+c>0,则只需证b
2
+c
2
-bc≥bc,
即(b-c)
2
≥0,上式显然成立.
所以原不等式成立.
因为-1≤cos
所以a-b∈
方法二:由等差、等比数列的定义知:
7.【解析】用反证法证明时要对结论进行否定,即x=a或x=b.
答案:x=a或x=b
用x,y表示a,b,c得
8.【解析】反证法对结论的否定是全面的否定,∠BAP<∠C AP的对立面就是∠BAP=∠CAP,∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
所以(b+1)(c+1)=(
≤
=(2x+y+3)(x+2y+3)
>
≤
==(a+1)
2
,

所以log
2
3-log
3
4>0,所以log
2
3>log
3
4.
答案:log
2
3>log
3
4
10.【证明】 假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有(ni)
2
-(a+i)ni-(i+2)= 0,
整理可得-n
2
+n-2+(-an-1)i=0,
所以
1.【解析】选A.“至少有一个”的否定是“一个也没有”.
2.【解析】选 C.a+b+c=x+y+z+++≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立.
所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.
3.【解析】选B.N=+>+==M.
则对于①,判别式Δ<0,方程①无解,故方程组无解,故假设不成立,
所以原方程不可能有纯虚根.
11.【证明】因为
k=2,3,…,n,
所以+++…+<+++…+=+++…+=2-<2,
<=-,

=0,
+1)(

+1)
9.【解析】log
2
3-log
3
4=-=
>=
所以原不等式成立.
第三课时 反证法和放缩法参考答案

答案解析
4.【解析】选D.a,b,c不全为零的意思是a,b,c中至少有一个不为0.
5.【解 析】选C.必要性显然成立.充分性:若P·Q·R>0,则P,Q,R同时大于零或其中有两个负的,不妨设P <0,Q<0,R>0.

15

所以+++…+<2.
4 .【解析】选A.x
2
+y
2
=(x
2
+y
2)(3
2
+2
2
)≥(3x+2y)
2
=,当且仅当= 时取等号,得
【拓展提升】放缩法证明不等式的策略
(1)放缩法是一种比较常用的证明不 等式的方法,它通常采用加项或减项的“添舍”放缩,拆项分组对比的“分项”
放缩,函数的单调性放缩 ,以及应用基本不等式或重要不等式放缩等.
(2)在分式中可通过放大或缩小分母来放缩分式,
如<,>(k>1且k∈N
+
)等.
+
+…+
<
+
=右边,
+…+


5.【解析】选A.设m=
则|a+b|=
,n=(cosθ,sinθ),

≤
所以(a+b)
2
≤+
·
.
=,
12.【证明】左边<
=
=-
故

+
6.【解析】 选D.如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为
于是ABCD的周长l=2(x+
+…+ <.
由柯西不等式得l≤2[x
2
+(
=2×2R×=4R.
·1,
)
2
(1
2
+1
2

)=2(1×x+1×).
,
第三节 柯西不等式与排序不等式
第一课时 二维形式的柯西不等式参考答案
1.【解析】选A.(ax
1
+bx
2
)(bx
1
+ax
2
)
=[(
≥(
=(a
)
2
+(
·
+b
+
2
当且仅当x·1=
即x=R时等号成立.
)
2
][(
·
2
)
2
+(
)
2

)
2
]
此时,==R,
即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为 4
)=(a+b)x
1
x
2
,
7.【解析】
由柯 西不等式得(
2.【解析】选B.由4
=3.当且仅当4cosθ=
+cosθ≤,即sinθ=±,cosθ=
·
时,等号成立,故选B.

所以
答案:(-∞,8)
8.【解题指南】对比柯西不等式的原型,构造两组向量数可取为:
=?m=n时取最
α=(,),β=.
+
+
×
=
+1×
×+1×,
R.
所以 a+b=1时,可有(ax
1
+bx
2
)(bx
1
+ax< br>2
)≥x
1
x
2
.
)
2
≤(3+1)·(x+2+14-x)=64,
≤8,当且仅当x=10时取“=”,于是,常数a的取值范围是(-∞,8).
3.【解题指南】分析已知条件的结构形式,有和有积,所以考虑利用柯西不等式求解.
【解析】选A.(am+bn)(an+bm)≥(
小值2.
+)
2
=mn·(a+b)
2
=2·1=2,当且仅当
【解析】(a
1
b
1
+a
2
b
2
)

16

=[()+(
2
)]
2

当且仅当=,即ay
2
=bx
2
时,取等号.
+)
2
.
cos
2
θ+

sin
2
θ
所以x+y的最小值为(
≥
答案:(a
1
+a
2
)
2

【拓展提升】利用柯西不等式时关键问题 是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别
=(a
1
+a< br>2
)
2
.
11.【证明】由柯西不等式,得
≤[(cosθ )
2
+(sinθ)
2
(cos
2
θ+sin
2< br>θ
对数字1的增补:a=1·a)、变形等.
9.【解题指南】由三角形式稍作变化,即得
-≤.
【解析】f(x)=-
=-
≤=.
答案:
10.【解题指南】可以整体代换:x+y=(x+y),也可以用柯西不等式.
【解析】构造两组实数,,,.
因为x,y,a,b∈R
+
,+=1,
所以x+y=[()
2
+()
2
]·≥(+)
2
.
当且仅当∶=∶,
即=时取等号.
所以(x+y)
min
=(+)
2
.
【一题多解】x+y=(x+y)(+)
=a+b++≥a+b+2= (+)
2
,

=(acos
2
θ+bsin
2
θ<.
12.【解析】设 点P
1
(x
1
,y
1
)是直线l上的任意一点,则Ax1
+By
1
+C=0. (1)
|P
1
P|=. (2)
点P
1
,P两点间的距离|P
1
P|有最小值,有

≥|A(x
0
-x
1
)+B(y
0
-y
1
)|=|Ax
0
+By
0
+C-(Ax
1
+By
1
+C)|,
由(1)(2)得:·|P
1
P|≥|Ax
0
+By
0
+C|
即|P
1
P|≥. (3)
当且仅当(y
0
-y
1
)∶(x
0
-x
1
)=B∶A,P
1
P⊥l时.
(3)式取等号,即点到直线的距离公式为|P
1
P|=
第二课时 一般形式的柯西不等式参考答案
1.【解析】选B.因为(1
2
+1
2+1
2
)·(a
2
+b
2
+c
2
)
≥(a+b+c)
2
,所以≥,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,
所以≥,故选B.
2.【解题指南 】根据题目中的a
2
+b
2
+c
2
=1和a+b+c≤|x +1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.
【解析】选A.由柯西不等式得:(a
2+b
2
+c
2
)(1+1+2)≥(a+b+c)
2
,
所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,
所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.
17

3.【解析 】选C.设n个正数为x
1
,x
2
,…,x
n
,由柯西不等 式,得(x
1
+x
2
+…+x
n
)
≥
=( )
2
=n
2
.


所以y+n≥,y≥-n=.
. 等号当且仅当α
1
=α
2
=…=α
n
=时成立 ,从而y有最小值
【误区警示】构造柯西不等式使用的结构形式是容易出现错误的地方,要仔细体会其格 式.
7.【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件,求出相应的x,y,z的值.
4.【解析】选B.考虑以下两组向量
u=
2
【解析】由柯西不等式可知: (x+2y+3z)
2
≤(x
2
+y
2
+z
2)(1
2
+2
2
+3
2
),当且仅当
y=2x ,z=3x,x+2y+3z=14x=
所以x=
x+y+z=

,y=
=

,z=
.
,
,
==取等号,此时
,v=(
2
,,).
由(u·v)
2
≤
|u||v|
得
≤
当且仅当=
可得
所以++≥
=
(a + b + c),
,即a=2,b=3,c=4时取等号,
答案:
8.【解析】由柯西不等式知:25 ×36=(a
2
+b
2
+c
2
)·(x
2
+y
2
+z
2
)≥(ax+by+cz)
2
=30
2
=25×36,
当且仅当===k时取等号.
·9≥(2+3+4)
2
=81,
由k
2
(x
2
+y
2
+z
2
)
2
=25×36,解得k=.
=9.
所以
5.【解析】选B.由柯西不等式知:(ab+bc+cd+ad)2
≤(a
2
+b
2
+c
2
+d
2)(b
2
+c
2
+d
2
+a
2
)=1 00,当且仅当===,即
答案:
|a|=|b|=|c|=|d|时取“=”.
所以|ab+bc+cd+ad|≤10,
即-10≤ab+bc+cd+ad≤10,故选B.
6.【解析】选A.为了利用柯西不等式,注意到
(2-α
1
)+(2-α
2
)+…+(2-α
n
)
=2n-(α
1
+α
2
+…+α
n
)=2n-1,
所以(2n-1)
=[(2-α
1
)+(2-α
2
)+…+ (2-α
n
)]·
=(a
1
+a
2
+…+a2012
)
2
=1,

≥·+·+…+·=n
2
,
所以
答案:
+

+…+≥=.

≥


9.【解题指南】将待求式子左端配凑成柯西不等式求解.
【解析】(2×2012+1)< br>=[(2+a
1
)+(2+a
2
)+…+(2+a
2012< br>)]·

=k=.
【拓展提升】利用柯西不等式求最值的技巧

18

利用柯西不等式求最值,需抓住柯西不等式的结构特征,对目标式进行合 理的变换,如凑配法、巧拆常数法、添
项法,以保证出现常数,同时要注意等号成立的条件.
10.【解析】由柯西不等式,得
[x+(-2)y+(-3)z]
2
≤[ 1
2
+(-2)
2
+(-3)
2
](x
2
+y
2
+z
2
),
即(x-2y-3z)
2
≤1 4(x
2
+y
2
+z
2
),
即16≤14(x
2
+y
2
+z
2
).
所以x
2
+y
2
+z
2
≥,当且仅当x==,即当x=,y =-,z=-时,x
2
+y
2
+z
2
的最小值为.
11.【解析】由柯西不等式,有
(2b
2
+3c
2
+6d
2
)≥,
即2 b
2
+3c
2
+6d
2
≥(b+c+d)
2
,
由条件可得,5-a
2
≥(3-a)
2
,
解得1≤a≤2,当且仅当==时等号成立,
代入b=,c=,d=时,a
max
=2,
代入b=1,c=,d=时,a
min
=1.
12.【证明】1-+-+…+-
=-2=++…+,
所以所求证的式子等价于<++…+<,
由柯西不等式得[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n
2
,
于是:++…+>=≥.
又由柯西不等式得++…+
<
<

==.
故不等式成立.
第三课时 排序不等式参考答案

1 .【解析】选B.设a
1
≥a
2
≥…≥a
n
>0.可知≥≥ …≥,由排序原理,得a
1
+ a
2
+…+ a
n

≥a
1
+ a
2
+…+ a
n
=n.
2.【解析】选B.不妨设a≥b≥c>0,
则0<≤≤,0由排序原理:顺序和≥乱序和,得
++≥++,
即≥a+b+c,
因为a,b,c为正数,所以abc>0,a+b+c>0,
于是≥abc,即P≥Q. < br>3.【解析】选B.不妨设a
1
≥a
2
≥a
3
>0, 于是≤≤,a
2
a
3
≤a
3
a
1
≤a1
a
2
,
由排序不等式:顺序和≥乱序和得,
++=++
≥·a
1
a
3
+·a
2
a
3
+· a
1
a
2

=a
1
+a
3
+a
2

即:++≥a
1
+a
2
+a
3
.
4.【解析】选C.令A=(1+1)(1+)…
=×××…×,
B=×××…×,
C=×××…×.
由于>>,>>,>>,…
19

>>>0,
答案:P≥Q
【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.
3
所以A>B>C>0.所以A>A·B·C.
由题意知3n-2=61,所以n=21.
9.【解析】设a=,b=,c=,则xyz=1 ,且+
又因为A·B·C=3n+1=64.所以A>4.
≥≥,据排序不等式得++≥z·
5.【解析】选D.a
1
,a
2
,a
3
与b
1
,b
2
,b
3
的大小顺序不知,无法确定其最值.
及++≥y·+z·+x·,
6.【解题指南】已知,α,β,γ∈,由y=sinx与y= cosx在的单调性结合排序不等式可判断.
两式相加并化简可得2(++)≥3.
【解析 】选A.因为0<α<β<γ<,且y=sinx在(0,)上为增函数,y=cosx在上为减函数.
即++≥.
所以0cosα>cosβ>cosγ>0.
即++≥.
根据排序不等式:乱序和≥反序和
所以++的最小值为.
则sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα
答案:
>sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ
=(sin2α+sin2β+sin2γ).
10.【证明】要证(x
i
-y
i
)
2
≤(x
i
-z
i
)
2
,
7.【解析】设a≥b≥c>0,所以a
3
≥b
3
≥c
3
,根据排序原理,得a
3
×a+b
3
×b+c
3
×c≥a
3
b+b
3
c+c
3
a.
又知ab≥ac≥bc,a
2
≥b
2
≥c
2
,
只需证(+)-(2x
i
y
i
)
所以a
3
b+b
3
c+c
3
a≥a
2
bc+b
2
ca+c
2
ab.
所以a
4
+b
4
+c
4
≥a
2
bc+b
2
ca+c
2
ab.
≤(+)-(2x
i
z
i
),
即a
2
( a
2
-bc)+b
2
(b
2
-ac)+c
2
(c
2
-ab)≥0.
答案:≥
只要证x
i
y
i
≥x
i
z
i
.
【拓展提升】审题的技巧
由题设及排序原理知上式显然成立.
无论柯西不等式还是 排序不等式,都只是一般的乘积形式,而本题中涉及指数幂的变换,故利用对数运算变为指
数乘法运算是 一个很有技巧性的解题思路.
11.【证明】不妨设a≥b≥c>0,则a
2
≥b< br>2
≥c
2
,≥≥.
8.【解析】由题意不妨设a≥b>0.
由排序不等式,可得a
2
·+b
2
·+c
2
·≥a
2
·+b
2
·+c
2
·,
由不等式的性质,知a
2
≥b
2
,≥.所以≥.
a
2
·+b
2
·+c
2
·≥a
2
·+b
2
·+c
2
·. ②
根据排序原理,知 由(①+②)÷2,可得
×+×≥×+×. ++≥a+b+c,
即+≥+.
又因为a≥b≥c>0,所以 a
3
≥b
3
≥c
3
,≥≥.

20
+可化为++,不妨设x≥y≥z,则
+x·+y·,
①

由排序不等式,得
a
3
·+b
3
·+c< br>3
·≥a
3
·+b
3
·+c
3
·. ③ < br>a
3
·+b
3
·+c
3
·≥a
3
· +b
3
·+c
3
·. ④
(③+④)÷2,可得++≥++.
3.【解析】选B.从n=k到n=k+1时,内角和增加π.
4.【解析】选D.因为a< br>1
=
S
2
=
所以a
2
=(
-1=< br>-1)-(
-1,
-1)=
-1)-(
-1)-(
-.
-,
-1)=
-1)=-
-
,
,
-1,
综上可知原式成立.
12.【解题指南】排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题 目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或
者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.
【证明】由排序不等式有:
a
1
b
1
+a
2b
2
+…+a
n
b
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
,
a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+ a
n
b
n
≥a
1
b
2
+a
2b
3
+…+a
n
b
1
,
a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
≥a
1
b
3
+a
2
b
4
+…+ a
n
b
2
,
……
a
1
b
1< br>+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
≥a< br>1
b
n
+a
2
b
1
+…+a
nb
n-1
.
将以上式子相加得:
n(a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
)≥a
1
(b
1
+b
2
+…+b
n
)+a
2
(b
1
+b
2
+…+b
n
)+…+a< br>n
(b
1
+b
2
+…+b
n
),
所以a
i
b
i
≥·.
则a
3
=S
3
-S
2
=(
a
4
=S
4
-S
3
=(
故猜想a
n
=
5.【解析】选C.因为f(1)=36,f( 2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以f(1),
f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.
证明:n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,
f(k)=(2k+7)·3
k
+9能被36整除,则
f(k+1)-f( k)=(2k+9)·3
k+1
-(2k+7)·3
k

=(6k+27)·3
k
-(2k+7)·3
k

=(4k+20)·3
k
=36(k+5)·3
k-2
,
故f(k+1)能被36整除,因为f(1)不能被大于36的数整除,所以所求最大的m值等于36.
6.【解析】选C.因为a
1
=,
第四节 数学归纳法证明不等式
第一课时 数学归纳法

1.【解析】选B.由题意知,k=1时,k+2=3; k=3时,k+2=5,依此类推知,命题对所有正奇数成立,故选B.
2.【解析】选D.因为f( k)=
所以f(k+1)=
故需添的项为
+
+
+…+
-+
+
=
+…+
+
-


.
.
由S
n
=n(2n-1)a
n
,得a
1
+a
2
=2×(2×2-1)a
2
,
解得a
2
=
解得a
3
=
解得a
4
=
=
=
=
,a
1
+a
2
+a
3
=3×(2×3-1)a3
,
,a
1
+a
2
+a
3
+a4
=4×(2×4-1)a
4
,
.猜想a
n
=.
7.【解析】由等式的特点知:
当n=1时,左边从第一项起,一直加到cos(2n-1)α,故左边计算所得的项是
+cosα.
答案:+cosα
8.【解析】因为n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.
答案:2k+1
21
【误区警示】本题易错选C.忽略了n=k+1时少了一项< br>【拓展提升】数学归纳法解决项数问题
数学归纳法证明中的项数问题,重点看从n=k到n=k +1时项数的变化规律,多了哪些项,少了哪些项,把握好项的
规律,利用数列知识解决.

9.【解析】f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条 直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.
所以f(3)-f(2)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…,
f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f (n)-f(2)=2+3+4+…+(n-1)=(n-2).
所以f(n)=(n+1)(n-2).
答案:5 (n+1)(n-2)
10.【证明】(1)n=1时,左边=cos,右边=
=cos,左边=右边,等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N
+
)时,等式成立,
即coscoscos…cos=,
当n=k+1时,(coscoscos…cos)·
cos
?
2
k?1
=·cos
?
2
k?1

=
sin?
·cos
?
2
k?1
sin
??
2
k?1

2
k?1
cos
2
k?1
=
sin?
,
2
k?1
sin
?
2
k?1
即当n=k+1时,等 式也成立.
由(1)(2)知,等式对n∈N
+
均成立.
11.【证明】(1)当m=1时,
a
4m+1
=a
5
= a
4
+a
3
=(a
3
+a
2
)+(a2
+a
1
)
=(a
2
+a
1
)+2 a
2
+a
1
=3a
2
+2a
1
=3+0= 3.
即当m=1时,第4m+1项能被3整除.
(2)假设当m=k(k≥1)时,a
4k+1
能被3整除,则当m=k+1时, < br>a
4(k+1)+1
=a
4k+5
=a
4k+4
+a
4k+3
=2a
4k+3
+a
4k+2
=2(a
4 k+2
+a
4k+1
)+a
4k+2
=3a
4k+2
+2a
4k+1
.
显然,3a
4k+2
能被3整除,又由假设知 a
4k+1
能被3整除.
所以3a
4k+2
+2a
4k+1
能被3整除.

即当m=k+1时,a
4(k+1)+1
也能被3整除.
由(1)和(2) 知,对于n∈N
+
,数列{a
n
}中的第4m+1项能被3整除.
12.【证明】(1)当n=1时,n
2
-n+2=1-1+2=2,而一圆把平面分成两部分 ,所以n=1时,命题成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,k个圆分平面为k
2
-k+2个部分,则n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆有2k个交点,这2k个交
点分第k+1个 圆为2k段,每一段都将原来所在的平面一分为二,故增加了2k个平面部分,共有
(k
2-k+2)+2k=(k+1)
2
-(k+1)+2个部分.
所以对n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)可知,这n个圆分平面为n
2
-n+2个部分.
【误区警示 】本题易错之处是应用归纳假设及已知条件,其关键是分析k增加“1”时,研究第(k+1)个圆与其他k个圆的交点个数问题,通常要结合图形分析.

第二课时 用数学归纳法证明不等式参考答案

1.【解析】选B.n=1时,等号左边求和的式子最后一 项为a
2
,所以左侧为1+a+a
2
.
2.【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N
+
,
所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.
3.【解析】选D.因为S
1
的 首项为=,末项为=,所以S
1
=++,故选D.
4.【解析】选D.根据题意可知:1+++…+-
=+++…+.所以共增加2
k
项.
5.【解析】选D.由题意设f(x) 满足:“当f(k)≥k
2
成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)
2
成 立”.因此,对于A,k=1,2时不一
定成立.对于B,C显然错误.对于D,因为f(4)=25> 4
2
,因此对于任意的k≥4,均有f(k)≥k
2
成立.
6.【 解析】选C.结合贝努利不等式(1+x)
n
>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈ N
+
)判断.
当x=2时,(1+2)
n
≥1+2n,A正确.
当x=-0.1时,(1-0.1)
n
≥1-0.1n,B正确,C不正确.
当x=-0.9时,(1-0.9)
n
≥1-0.9n,因此D正确.
7. 【解析】由贝努利不等式(1+x)
n
>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+
),
当n>1时,令x=,所以>1+n·,
所以>1+n·,即(a+b )
n
>a
n
+na
n-1
b,
当n=1时,M=N,故M≥N.
22

答案:M≥N
8 .【解题指南】先列出f(2
k
)与f(2
k+1
),再比较即可.
【解析】f(2
k
)=1+++…+,f(2
k+1
)=1++…++++ …+,
故f(2
k+1
)-f(2
k
)=++…+.
答案:++…+
9.【解析】c
1
=2(1-a
1
)=2×=,
c
2
=2(1-a
1
)(1-a
2
)=2××=,
c
3
=2(1-a
1
)(1-a
2
)(1-a3
)=2×××=,故c
n
=.
答案:
10.【证明】(1)当n=2时,==>2!=2,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2且k∈N
+
)时不等式成立,即>k!,
当n=k+1时,=
=+·+…+>+(k+1)·
=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,
所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)可知对n>1的一切自然数,不等式成立.
11.【证明】(1)f′(x)=1-(1+lnx)=-lnx.
因为x∈(0,1),所以lnx<0.所以f′(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上为增函数.
(2)运用数学归纳法证明0n
<1.
当n=1时,由于01
<1,所以不等式成立.
假设当n=k(k≥1)时,0k
<1,
则当n=k+1时,
a
k+1
=f(a
k
)=a
k
-a
k
l na
k
=a
k
(1-lna
k
).
因为lna
k
<0,所以a
k+1
>0,
令g(x)=f(x)-1=x-xlnx-1.

当0所以当0k
<1时,a
k+1
<1.
综上:0k+1
<1.
假设归纳成立,即对于任意的正整数n均有0n
<1,
而a
n +1
-a
n
=-a
n
·lna
n
,
当0n
<1时,-a
n
·lna
n
>0.
因此a
n
n+1
<1.
12.【证明】由已知,得S
n
=3
n
-1,
≤等价于≤,
即3
n
≥2n+1.(*)
用数学归纳法证明上面不等式成立.
①当n=1时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立.
②假设当n=k(k≥1)时,(*)式成立,即3
k
≥2k+1,
那么当 n=k+1时,3
k+1
=3·3
k
≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3 =2(k+1)+1,
所以当n=k+1时,(*)式成立.
综合①②,得3
n
≥2n+1成立.
所以≤.


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