高中数学选修4-5课后习题解答0

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲
课后习题解答
第一讲 不等式和绝对值不等式
习题1.1 （P9）
1、（1）假命题. 假如
3?2
，但是
3?(?1)?2?(?1)
.
（2）假命题. 假如
3?2
，但是
3?0
2
?2?0
2
.
（3）假命题. 假如
?1??2
，但是
(?1)
2
?(?2)
2
.
（4）真命题. 因为
c?d
，所以
?c??d
，因此
a?c?a?d
.
又
a?b
，所以
a?d?b?d
. 因此
a?c?b?d
.
2、因为
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)?(x
2
?3x?2 )?(x
2
?3x?18)?20?0

所以
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)

11111
11
?0
，所以
a??b?
，即
?
，即
?
；
abababab
ba
（2）因为
a?b
，
c?0
，所以
ac?bc
. 因为
c?d
，
b?0
，所以
bc?bd
. 因此
ac?bd
.
3、（1）因为
a?b
，
4、不能得出. 举反例如下：例如
?2? ?3
，
?1??4
，但是
(?2)?(?1)?(?3)?(?4)
.
5、（1）因为
a,b?R
?
，
a?b
，所以
a
2
?b
2
，即
baba
ba
??2
.
?
. 所以
??2
abab
ab
（2）因为
a?b?2ab?0
，所以
11
?

a?b
2ab
所以
2ab?
11
2ab?2ab??ab
，即
?ab

a?b
a?b
2ab
6、因为
a,b,c
是不全相等的正数
所以
a?b?2ab
，
b?c?2bc
，
c?a?2 ca
，以上不等式不可能全取等
号.
所以（1）
(a?b)(b?c)(c?a)?2ab?2bc?2ca?8abc

（2）
(a?b)?(b?c)?(c?a)?2ab?2bc?2ca

所以
a?b?c?ab?bc?ca

7、因为
a
2
?b
2
?2ab
，
b
2
?c
2
?2bc
，
c
2
?d
2
?2cd
，
d
2
?a
2
?2da

所以
(a
2
?b
2
)?(b
2
?c
2
)?(c
2< br>?d
2
)?(d
2
?a
2
)?2(ab?bc?cd ?da)

即
a
2
?b
2
?c
2< br>?d
2
?ab?bc?cd?da

2222
?x
2
?2a
2
x
2
，……，
a
n
?x
n
?2a
n
x
n
8、因为
a
1
2
?x
1
2
?2a
1
x
1
，
a
2
2222
?L?a
n
)?(x
1
2
?x
2
?L?x
n
)?2(a
1
x
1
?a
2x
2
?L?a
n
x
n
)
所以
(a
1
2
?a
2
即
2?2(a1
x
1
?a
2
x
2
?L?a
n
x
n
)
，所以
a
1
x
1
?a
2
x
2
?L?a
n
x
n
?1

x< br>2
?y
2
x?y
2
2x
2
?2y
2
?(x
2
?y
2
?2xy)(x?y)
2
?()? ??0
， 9、因为
2244
x
2
?y
2
x?y< br>2
?()
. 所以
22
10、因为
x
2
?2
x?1
2
?
x
2
?1?1
x?1
2
?
2(x
2
?1)?1
x?1
2
?2
，所以x
2
?2
x?1
2
?2

11、因为
a,b,c?R
?
，
a?b?c?1
，
所以
3(a
2
?b
2
?c
2
)?2(a
2
?b
2
?c
2
)?(a
2
?b
2
?c
2
)

?(a
2
?b
2
)?(b< br>2
?c
2
)?(c
2
?a
2
)?(a
2
?b
2
?c
2
)
< br>?2ab?2bc?2ca?(a
2
?b
2
?c
2
)

?(a?b?c)
2
?1
所以
a
2
?b
2
?c
2
?
1

3
abcabc
???3
3
???3
，
bcabca
12、（1）因为
a, b,c?R
?
，所以
bcabca
???3
3
???3
abcabc
abcbca
所以
(??)(??)?9

bcaabc
（2）因为
a,b ,c?R
?
，所以
a?b?c?3
3
abc?0
，
a
2
?b
2
?c
2
?3
3
a
2< br>b
2
c
2
?0

所以
(a ?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
)?9
3
a
3
b
3
c
3
?9abc

13、设矩形 两边分别为
a,b
，对角线为定值
d
，则
a
2
?b
2
?d
2

∴
(a?b)?a?b?2ab?2(a?b)?2d

∴
a?b?
222222
2d
，
2(a?b)?22d

∴当且仅当
a?b
时，以上不等式取等号.
∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为
22d

a
2
?b
2
d
2
?
因为
ab?
，当且仅当
a?b
时等号成立
22
d
2
所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为
2
14、因为
r?()?R
，所以
4r?h?4R
.
根据三个正数的算术—几何平均不等式，得
4R
2
?2r
2
?2r
2
?h
2
?3
3
4r
4
h
2

2
h
2
22
222
43
?< br>R
3
所以，球内接圆柱的体积
V?
?
rh?

9
2
22
当且仅当
2r?h
，即
r?2
23
R
，
h?R
时，
V
取最大值.
3
3
ab1b1
，即.
?a??
2222
a?b2a?b2
bbb
由于
0?h?min{a,
2
，
}?a0?h?min{a,}?
a?b
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
15、因为
a?b?2ab
，所以
22
所以
h?a?
2
2
b1
h?
，从而
?
22
2
a?b2
习题1.2 （P19）
1、（1）
a?b?a?b?(a?b)?(a?b)?2a?2a

（ 2）
a?b?2b?(a?b)?2b?a?b
，所以
a?b?a?b?2b

1x?1
x?12x
???2
. 2、证法一：
x??
xxxx
证法二：容易看出，无论
x?0
，还是
x?0
，均有
x?
2
2
11
?x?

xx
所以
x?
111
?x??2x??2

xxx

3、（1）
x?a?x?b?a?x?x?b?(a?x)?(x?b)?a?b

（2）因为
a?b?x?b?b?a?x?b?(b?a)?(x?b)?x?a

所以
x?a?x?b?a?b

另证：
x?a?x?b?(x?a)?(x?b)?a?b

4、（1）
(A?B)?(a?b)?(A?a)?(B?b)?A?a?B?b?
（2
?
2
?
?
2
?
?

）
(A?B)?(a?b)?(A?a)?(b?B)?A?a?b?B?A?a?B?b?
5、
y?x?4?x?6?x?4?6?x?(x?4)?(6?x)?2

当且仅当(x?4)(6?x)?0
，即
x?[4,6]
时，函数
y
取最 小值2.
6、















7、







8、


（1）
?5?2x?3?5


?2?2x?8


?1?x?4

∴原不等式的解集为
(?1,4)

?
2
?
?
2
?
?

（2）
2x?5??1
或
2x?5?1


2x?4
或
2x?6


x?2
或
x?3

∴原不等式的解集为
(??,2]U[3,??)

（4）
24x?1?8


4x?1?4


4x?1??4
或
4x?1?4


4x??3
或
4x?5


x??
1
x?1?3

2
1

?4?x?2

2

?8?x?4

（3）
?3?
∴原不等式的解集为
(?8,4)

35
或
x?

44
3
4
5
4∴原不等式的解集为
(??,?]U[,??)

（1）
?6?3x?4??1
或
1?3x?4?6


?10?3x??5
或
?3?3x?2


?
1052
?x??
或
?1?x?

333
[?
1052
,?)U(?1,]

333
（2）
?9?5?2x??3
或
3?5?2x?9


?14??2x??8
或
?2??2x?4


4?x?7
或
?2?x?1

∴原不等式的解集为
(?2,1]U[4,7)

∴原不等式的解集为
（1）令
x?3?0
，
x?5?0

得
x?3
，
x?5

①当
x?3
时
?x?3?x?5?4

x?2

∴
x?2

②当
3?x?5
时
x?3?x?5?4

（2）令
x?2?0
，
x?3?0

得
x?2
，
x??3

①当
x??3
时
?x?2?x?3?4

（3）令
x?1?0
，
x?2?0

得
x?1
，
x?2

①当
x?1
时
?x?1?x?2?2

5
x??

2
∴
x??3

②当
?3?x?2
时
∴
x?
1

2
?x?2?x?3?4


5?4

∴
?3?x?2

③当
x?2
时
x?2?x?3?4

3

x?

2
∴
x?2

∴原不等式的解集为
R

1
?x?1

2
②当
1?x?2
时
x?1?x?2?2


1?2

∴
1?x?2

③当
x?2
时
x?1?x?2?2

5

x?

2
5
∴
2?x?

2
∴原不等式的解集为
(,)

9、
a?(1,??)

第二讲 证明不等式的基本方法
习题2.1 （P23）
15
22
1、因为
a?b
，所以
a?b?0
. 因此
a
3
?b
3
?ab(a?b)

?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?ab(a?b)

?(a?b)(a
2
?ab?b
2
?ab)

?(a?b)(a
2
?b
2
)?0
所以
a
3
?b
3
?ab(a?b)

2、因为ad?bc
，所以
(a
2
?b
2
)(c
2?d
2
)?(ac?bd)
2

?(a
2
c
2
?a
2
d
2
?b< br>2
c
2
?b
2
d
2
)?(a
2c
2
?2abcd?b
2
d
2
)
?(ad?b c)?0
2

所以
(a
2
?b
2
)( c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2

3、因为a?b
，所以
a
4
?6a
2
b
2
?b
4
?4ab(a
2
?b
2
)

?a
4
?2a
2
b
2
?b
4
?4ab(a
2
?b
2
)?4a
2
b
2

?(a
2
?b
2
)
2
?2(a
2
?b
2
)?(2ab)?(2ab)
2
?(a?b?2ab)
?(a ?b)
4
?0
222

所以
a
4
?6 a
2
b
2
?b
4
?4ab(a
2
?b2
)

4、因为
a,b,c
是正数，不妨设
a?b?c?0
，
a bc
则
()
a?b
?1
，
()
b?c
?1
，
()
c?a
?1

bca
因为
a
b?c
b
c?a
c
a?b
?0
，且
a
2 a
b
2b
c
2c
a
a?b
b
b?c
c
c?a2a?b?c2b?c?a2c?a?b
?abc?()()()?1
< br>a
b?c
b
c?a
c
a?b
bca
所以a
2a
b
2b
c
2c
?a
b?c
b< br>c?a
c
a?b

习题2.2 （P25）
1、因为a
2
?b
2
?5?2(2a?b)?(a?2)
2
?( b?1)
2
?0
，所以
a
2
?b
2
?5? 2(2a?b)
.
2、（1）因为
(ab?a?b?1)(ab?ac?bc?c< br>2
)?(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)


?2a?2b?2ac?2bc?16abc

所以
(ab?a?b?1)(ab?ac?bc?c
2
)?16abc

（2）因为
(a
3
?b
3
)?(a?b)ab?(a? b)(a
2
?ab?b
2
)?(a?b)ab


?(a?b)(a
2
?2ab?b
2
)?(a?b)(a?b)2
?0

所以
a
3
?b
3?(a?b)ab
，
b
3
?c
3
?(b?c)bc，
c
3
?a
3
?(c?a)ca

所以
2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2(b?c)?b
2
(a?c)?c
2
(a?b)

3、略.

111111

???0
，即 证明
??
a?bb?cc?aa?bb?ca?c
11
因为
a?b?c
，所以
a?c?a?b?0
，从而
??0

a?ba?c
1111111
又因为，所以
?0
，所以
?????0

b?ca?bb?ca?c a?bb?cc?a
m?n
m?n
nm
m?n
m?n
5、要 证
?mn
，只需要证明
()?m
n
n
m
.
22
4、要证明
m?n
m?n
m?nm?n
)?(mn)?(mn )
2
因为
(
2
m?n
2
只需证(mn)?m
n
n
m
，即证
(mn)
m?n
? m
2n
n
2m
，
m
只需证
()
m ?n
?1
，不妨设
m?n
，则
m?n?0

n
m
所以
()
m?n
?1
. 所以，原不等式成立.
n
6、要证明
f(a)?f(b)?a?b
，即1?a
2
?1?b
2
?a?b
，即
a
2
?b
2
1?a?1?b
22
?a?b

因为
a?b
，所以只需证
a?b?1?a
2
?1?b
2

∵
a?b?a?b?1?a
2
?1?b
2

∴
a?b?1?a
2
?1?b
2
，从而原不等式成立.
7 、
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)?[(log
a
(1?x)?log
a
(1?x)][(log
a
(1?x)?l og
a
(1?x)]

22
1?x

1?x
1?x
又因为
0?x?1
，所以
0?1?x< br>2
?1
，
0??1
.
1?x
1?x
所以
log
a
(1?x
2
)log
a
?0

1?x

?log
a
(1?x
2
)log
a
所以log
a
(1?x)?log
a
(1?x)?0
，即
l og
a
(1?x)?log
a
(1?x)

从而
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

8、因为
n?0
，所以
n?
22
2222
4nn4nn4< br>3
????3???3

n
2
22n
2
22 n
2
9、因为
1?ab?a?b?(1?a
2
)(1?b
2
)?0
，所以
1?ab?a?b

习题2.3 （P29）
(1?a)?a
2
1
)?

24
(1?b)?b
2
1(1?c)?c
2
1

0?(1?b)b?()?
，
0?(1?c)c?()?

2424
1
所以
(1?a)a?(1?b)b?(1?c)c?()
3

4
1
1
假设
(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a都大于，则
(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?()
3

4
4
1
这与
(1?a)a?(1?b)b?(1?c)c?()
3
矛盾. 所以
(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a
不能
4
1
都大于.
4
1、因为
0?a,b,c?1
，根据基本不等式
0?(1?a)a ?(
2、一方面，
11111111
???
L
?????
L
?

2222
234n2?33?44?5n(n?1)

1111111111

?(?)?(?)?(?)?
L
?(?)? ?
233445nn?12n?1
另一方面，
11111111
???
L
?????
L
?

2222
234n1?22?33?4(n?1)n

11111111n?1

?(1?)?(?)?(?)?
L
?(? )?1??
22334n?1nnn
111111n?1
所以，
?

?
2
?
2
?
2
?
L
?
2
?
2n?1234nn
3、当
n?1
时，不等式
1?
111
??L?2n
显然成立，即
1?21
.
23n
当
n?2
时，因为
n?n?1?2n

所以
12
??2(n?n?1)

nn?n?1
即
1
?2n?2n?1

n
所以
111
?22 ?21
，
?23?22
，
?24?23
，……，
2341
?2n?2n?1

n

所以
1 ?
1111
??L??(22?21)?(23?22)?L?(2n?2n?1)?2n
23n2
4、假设
(
11
?1)(?1)?9
. 由于
x,y?0
且
x?y?1

x
2
y
2
111?x
2
1?y
2
?
2
所以
(
2
?1)(
2
?1)?
2
xyxy
(1?x)( 1?x)(1?y)(1?y)
?
2
xy
2
(1?x)y(1?y) x
??
2
xy
2
1?x1?y
??
xy
1?x2?x
???9
x1?x
?
得
(2x?1)
2
?0
，这与
(2x?1)
2
?0
矛盾，所以
(
5、因为
?
r
2
h ?V
（定值）
所以，圆柱的表面积
S?2
?
r
2< br>?2
?
rh

11
?1)(?1)?9

2 2
xy
?2
?
r
2
?
?
rh?
?
rh

?3
3
2?
r
2
?
?
rh?
?
rh
?32?
rh
?3
3
2
?
V
2
3
3 42

当且仅当
2
?
r
2
?
?rh?
?
rh
时，等号成立.
所以，当
h?2r
，即
h?
3
4V
?
,r?
3
V
，其表面 积最大.
2
?
6、
2
?
(1?
2
)

3
第三讲 柯西不等式与排序不等式
习题3.1 （P36）
1、函数定义域为
[5,6]
，且
y?0

y?3x?5?46?x?(3
2
?4
2
)(x?5 ?6?x)?5

当且仅当
4x?5?36?x
，即
x?
134
时，函数有最大值5.
25
222
?a
3
)(b
1
2
?b
2
?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
2、三维柯西不等式
(a
1
2
?a
2
三维三角不等式
222
x
1
2
?y
1
2
?z
1< br>2
?x
2
?y
2
?z
2
?(x
1< br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2
?(z
1
?z
2
)
2

1411< br>3、因为
2x
2
?3y
2
?6
，所以
x?2 y?(2x
2
?3y
2
)(?)?6??11
.
236
因此
x?2y?11

4、因为
a
2
?b
2
?1
，所以
acos
?
?bsin
?
?(a
2
?b
2
)(cos
2
?
?si n
2
?
)?1

5、因为
a?b?1
，所以
(ax
1
?bx
2
)(bx
1
?ax
2
)?(ax
1
x
2
?bx
1
x
2
)
2
?(a?b)
2
x
1
x
2
?x
1x
2

1

5
121
当且仅当
x?,y?
时，
x
2
?y
2
有最小值 < br>555
6、
(x
2
?y
2
)(1?4)?(x?2y )
2
?1
，即
x
2
?y
2
?
11 119
??2b)
2
?
7、
(a?)(2b?)?(a?
b2a2ab2
当且仅当
2ab?1
（
a,b?R
?
）时，函数有最小值
8、
pf(x
1
)?qf(x
2
)?px
1
?qx
2
?
9

2
px
1
?p?px
2
?p

?(px
1
?qx
2
)(p?q)?px
1
?qx
2
?f(px
1
?qx
2
)

9、
y? 3sinx?41?cos2x?3sinx?42cos
2
x?(9?32)(sin
2
x?cos
2
x)?41

当且仅当
tanx??
习题3.2 （P41）
1、
32
时，函数有最大值
41

8
111111 111
2
???(??)(a?b?c)?(?a??b??c)?3
2
?9

abcabcabc
推广：若
x
1
,x
2< br>,L,x
n
?R
?
，且
x
1
?x
2
?L?x
n
?1
，则
111
??L??n
2
.
x
1
x
2
x
n

1 11111
??L??(??L?)(x
1
?x
2
?L?x
n
)

x
1
x
2
x
n
x
1
x
2
x
n
证：

?(
111
?x
1
??x
2
?L??x
n
)
2
?n
2

x
1
x
2
x
n
2、因为
4(a
2
?b
2
?c
2?d
2
)?(1
2
?1
2
?1
2
?1
2
)(a
2
?b
2
?c
2
?d
2
)


?(a?1?b?1 ?c?1?d?1)
2
?(a?b?c?d)
2
?1
2
?1

所以
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?
3、
(x
1
?x
2
?L?xn
)(
4、
1

4
111111
??L?)? (x
1
??x
2
??L?x
n
?)
2
?n
2

x
1
x
2
x
n
x
1
x
2
x
n
222111
???2(??)

a?bb?cc?aa?bb?cc?a

a?bb?cc?a111
?(??)(??)
a?b?ca?b?ca?b?ca?bb?c c?a
?(
?(
?(3
a?b1b?c1c?a1
2
??? ??)
a?b?ca?ba?b?cb?ca?b?cc?a
111
??)
2
a?b?ca?b?ca?b?c
19
)
2
?
a?b?ca ?b?c

上式中等号不成立，这是由于
a,b,c
是互不相等的正数，
所以
a?b1b?c1c?a1
.
:?:?:
a?b?ca?ba ?b?cb?ca?b?cc?a
5、因为
(x
2
?y
2
? z
2
)(2
2
?3
2
?4
2
)?(2x? 3y?4z)
2
?10
2
?100
，所以
x
2?y
2
?z
2
?
100
.
29
203040100
当且仅当
x?,y?,z?
时，
x
2
?y
2
?z
2
有最小值.
2929292 9
22
x
1
2
x
2
x
n
6、因为
(??
L
?)(n?1)

1?x
1
1?x
2
1?x
n
22
x
1
2
x
2
x
n
?(??
L
?)[(1?x
1
)?(1?x
2< br>)?
L
?(1?x
n
)]
1?x
1
1?x< br>2
1?x
n

?(x
1
?x
2?
L
?x
n
)
2
?1

22
x
1
2
x
2
x
n
1
所以

??
L
??
1?x
1
1?x
21?x
n
n?1
习题3.3 （P45）
1、由加法交换律及
c
1
,c
2
,L,c
n
的任意性，不妨假设
a< br>1
?a
2
?L?a
n
，这不影响题
意.
22
?L?a
n
由排序不等式，等
a
1
c< br>1
?a
2
c
2
?L?a
n
c
n?a
1
2
?a
2
.
2、由于要证的式子中
a ,b,c
是轮换对称的，所以不妨假设
a?b?c
. 于是
a
2
?b
2
?c
2
.
由排序 不等式，得
a
2
a?b
2
b?c
2
c?a
2
b?b
2
c?c
2
a

a
2
a ?b
2
b?c
2
c?a
2
c?b
2
a?c
2
b

两式相加，得
2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2
(b?c)?b
2
(c?a)? c
2
(a?b)

3、由于要证的式子中
a
1
,a
2
,a
3
是轮换对称的，所以不妨假设
a
1
?a< br>2
?a
3
.
于是
由
111
? ?
，
a
2
a
3
?a
3
a
1
?a
1
a
2

a
1
a
2
a3
排序不等式，得
a
1
a
2
a
2
a< br>3
a
3
a
1
111
????a
2
a
3
??a
3
a
1
??a
1
a
2< br>?a
2
?a
3
?a
1

a
3
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
即
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
???a
2
?a
3
?a
1

a
3
a
1
a
2
4、用柯西不等式证明如下： 222
a
1
2
a
2
a
n
a
n ?1
因为
(??L??)(a
2
?a
3
?L?a< br>n
?a
1
)?(a
1
?a
2
?L?a
n
)
2

a
2
a
3
a
n
a
1
222
a
1
2
a
2
a
n< br>a
所以
??L?
?1
?
n
?a
1< br>?a
2
?L?a
n
.
a
2
a
3< br>a
n
a
1
用排序不等式证明如下：
设
a< br>i
1
?a
i
2
?L?a
i
n
?0< br>，其中
i
1
,i
2
,L,i
n
是
1 ,2,L,n
的一个排列
则
a
i
2
，
? a
i
2
?L?a
i
2
12n
111
. < br>??L?
a
i
1
a
i
2
a
i
n

由排序不等式知，反序和最小，
222
a< br>1
2
a
2
a
n
a
n
11
2
1
2
?1
从而
??L????a
i
2
?? a?L??a
i

i
a
2
a
3
a
n
a
1
a
i
1
1
a
i
2
2
a
i
n
n
< br>?a
i
1
?a
i
2
?L?a
i
n< br>?a
1
?a
2
?L?a
n

222
a
1
2
a
2
a
n
a
n?1
所以
??L???a
1
?a
2
?L?a
n

a
2
a
3
a
n
a
1
习题4.1 （P50）
1、（1）当
n?1
时，左边
?
1，右边
?
1，
所以，左边
?
右边，命题成立.
（2）假设当
n?k(k?1)
时，命题成立，即
1?3?5?L?(2k?1)?k
2
.
当
n?k?1
时，
1?3?5?L?(2k?1)?2(k? 1)?1?k
2
?2(k?1)?1?(k?1)
2
.
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，
1?3?5?L?(2n?1)?n
2

1
2、 （1）当
n?1
时，左边
?
1，右边
??1?(1?1)(2?1? 1)?1
，
6
所以，左边
?
右边，命题成立.
（2）假设当
n?k(k?1)
时，命题成立，即
1?4?9?L?k< br>2
?
1
k(k?1)(2k?1)
.
6
1
当
n?k?1
时，
1?4?9?L?k
2
?(k?1)
2< br>?k(k?1)(2k?1)?(k?1)
2

6
1
?(k?1)(2k
2
?7k?6)
6

1
?(k?1)(k?2)[2(k?1)?1]
6
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
1
由（1）（2）知，
1?4?9?L?n
2
?n(n?1)(2n?1)
< br>6
3、（1）当
n?1
时，左边
?1?4?4
，右边
?1?2
2
?4
，
所以，左边
?
右边，命题成立.
（2）假设当
n?k(k?1)
时，命题成立，即
1?4?2?7?3?10?L?k(3k?1)?k(k?1)
2
.
当
n?k?1
时，
1?4?2?7?3?10?L?k (3k?1)?(k?1)[3(k?1)?1]

?k(k?1)
2
?(k?1)[3(k?1)?1]


?(k?1)(k
2
?4k?4)?(k?1)[(k?1)?1]
2

所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（ 2）知，
1?4?2?7?3?10?L?n(3n?1)?n(n?1)
2

4、（1）当
n?1
时，因为
x
2?1?1
?y
2?1? 1
?x?y
能被
x?y
整除，所以命题成立.
（2）假设当< br>n?k(k?1)
时，命题成立，即
x
2k?1
?y
2k?1
能被
x?y
整除.
当
n?k?1
时， < br>x
2(k?1)?1
?y
2(k?1)?1
?x
2k?1?y
2k?1

?x
2k?1
x
2
?y
2
y
2k?1

?x
2k?1
x
2
?x
2
y
2k?1?x
2
y
2k?1
?y
2
y
2k?1
?x(x
22k?1
?y
2k?1
)?y
2k?1
(y?x )
22

?x
2
(x
2k?1
?y
2k? 1
)?y
2k?1
(y?x)(y?x)
上式前后两部分都能被
x?y
整除，所以，当
n?k?1
时命题成立.
由（1）（2）知，
x
2n?1
?y
2n?1
能被< br>x?y
整除.
1
5、凸
n
边形有
n(n?3)
条对角线. 下面证明这个命题.
2
（1）当
n?3
时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.
1
（2）假设当
n?k(k?3)
时，命题成立，即凸
k
边形有
k(k?3)
条对角线.
2
当
n?k?1
时， 凸
(k?1)
边形的对角线条数为
111k(k?3)?(k?2)?1?(k
2
?k?2)?(k?1)[(k?1)?3]
222
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
1
由（1）（2）知，凸
n
边形有
n(n?3)
条对角线.
2
n
6、这样的
n
条直线把平面分成的区域数目为
f
n
?1 ?(n?1)
. 下面证明这个命
2
题.
1
（1）当
n?1
时，平面被分为
1?1?2
个区域，
f
1
?1?(1 ?1)?2
，命题成立.
2
k
（2）假设当
n?k(k?1)
时，命题成立，即有
f
k
?1?(k?1)
.
2
当
n?k?1
时， 第
k?1
条直线与前面
k
条直线有
k
个不同交点
即，它被前面
k
条直线截成
k?1
段，其中每一段都把它所在的原区域
一分为二，

也即使原区域数目增加
k?1
.
kk?1
于 是
f
k?1
?f
k
?(k?1)?1?(k?1)?(k?1)?1 ?(k?2)

22
111

k(k?3)?(k?2)?1?(k
2
?k?2)?(k?1)[(k?1)?3]

222
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，对任意正整数
n
，命题都成立.
习题4.2 （P53） < br>11
1、（1）当
n?3
时，左边
?(1?2?3)(1??)?11
，右边
?3
2
?3?1?11

23
所以，左边
?
右边，命题成立.
（2）假设当
n?k(k?3)
时，命题成立，即
(1?2?L?k)(1?
11
?L?)?k
2
?k?1
.
2k
当
n?k?1
时，
11 1
(1?2?
L
?k?k?1)(1??
L
??)

2kk?1
111111
?
L
?)?(1?2?
L
?k) ?(k?1)(1??
L
??)
2kk?12kk?1
11111111?k
2
?k?1?k(k?1)?k(1??
L
??)?(1??
L
??)
2k?12kk?12kk?1
111111
?k
2?k?1?k(k?1)?k(1?)?(1???)
2k?12234
1325
?k
2
?k?1?k?k?
2212
?k
2
?3k?1?( k?1)
2
?(k?1)?1
?(1?2?
L
?k)(1?

所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立.
2、（1）当
n?17
时，有
2
n
?n
4
.
①当
n?17
时，
2
17
?131072?83521?17
4
，命题成立.
②假设当
n?k(k?17)
时，命题成立，即
2
k?k
4

当
n?k?1
时，
2
k ?1
?2?2
k
?2k
4
?k
4
?17k
3
?k
4
?4k
3
?6k
2
?4k?1?(k?1 )
4

所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.
1
（2）当
n? 3
时，有
(1?)
n
?n
.
n

164
①当
n?3
时，
(1?)
3
??3
，命题成立.
327
1
②假设当
n?k(k?3)
时，命题成立，即< br>(1?)
k
?k

k
1
k?1
1
k
1
当
n?k?1
时，
(1?)?(1?)(1?)

k?1k?1k? 1
11
?(1?)
k
(1?)
kk?1
1
)

?k(1?

k?1
?k?1
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.
12?1
3、（1）当n?2
时，
2
?
，命题成立.
22
111k?1
（2）假设当
n?k(k?2)
时，命题成立 ，即
2
?
2
?L?
2
?

23kk
当
n?k?1
时，
1111k?11
??
L
????

2
2
3
2
k
2
(k?1)
2
k(k?1)
2

k
3
?k
2
?1k
3
?k
2
(k ?1)?1
???

22
k(k?1)k(k?1)k?1
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立.
4、不妨设
a?b?c
，a?b?d
，
c?b?d
.
（1）当
n?2
时，
a
2
?c
2
?(b?d)
2
?(b?d)
2
?2b
2
?2d
2
?2b
2
，命题成立.
（2）假设当
n?k(k?2)
时，命题成立，即
a
k
?c
k
?2b
k

当
n?k?1
时 ，
a
k?1
?c
k?1
?a
k?1
?ac
k
?ac
k
?c
k?1

?a(a
k
?c
k
)?c
k
(c?a)

?a(a
k
?c
k
)?2dc
k
?2ab?2dc ?2(b?d)b?2dc
kkkk

?2(b?d)b
k
?2db
k
?2b
k?1
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.
1?2(1?1)
2
?1?2 ?
5、（1）当
n?1
时，，命题成立.
22

k(k?1)(k?1)
2
?a
k
?
（2）假设当
n?k(k?1)
时，命题成立，即.
22
当
n?k?1
时，
k(k?1)(k?1)
2
?(k?1)(k? 2)?a
k
?(k?1)(k?2)??(k?1)(k?2)
22

k(k?1)(k?1)
2
2k?3
?(k?1)?a
k?1
??

222
(k?1)(k?2)(k?2)
2
?a
k?1< br>?

22
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.
6、（1）当
n?2
时，
sin(
?
1
?
?
2
)?sin
?< br>1
cos
?
2
?cos
?
1
sin
?
2
?sin
?
1
?sin
?
2
，命题成立.
（2）假设当
n?k(k?2)
时，命题成立，
即sin(
?
1
?
?
2
?L?
?
k)?sin
?
1
?sin
?
2
?L?sin
?
k

当
n?k?1
时，
sin(
?
1
?
?
2
?L?
?
k
?
?k?1
)

?sin(
?
1
?
?
2< br>?
L
?
?
k
)cos
?
k?1
?c os(
?
1
?
?
2
?
L
?
?k
)sin
?
k?1
?sin(
?
1
?
?
2
?
L
?
?
k
)?sin
?
k?1
?sin
?
1
?sin
?
2
?
L< br>?sin
?
k
?sin
?
k?1
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.
22
)(b
1
2?b
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b2
)
2
，命题成立. 7、（1）当
n?2
时，
(a
1
2
?a
2

（2）假设当
n?k(k?2)
时，命题成立，
222
?L? a
k
)(b
1
2
?b
2
?L?b
k
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?L?a
k
b
k
)
2
即
(a
1
2
?a
2
当
n?k?1
时，
2222222
(a
1
2
?a
2
?L?a
k
?a
k?1
)(b
1
?b< br>2
?L?b
k
?b
k?1
)

222222 22222
?(a
1
2
?a
2
?L?a
k
)(b
1
2
?b
2
?L?b
k
2
)?(a
1
2
?a
2
?L?a
k
)b
k
2
?1
?a
k
(b?b?L?b)?ab
?112kk?1k?1

22222222
?(a
1
b
1< br>?a
2
b
2
?
L
?a
k
b
k
)
2
?a
k?1
b
k?1
?2a
k?1
b
k?1
(a
1
?a
2
?
L
?a
k
)(b
1
?b
2
?
L
?b
k< br>)
222
?(a
1
b
1
?a
2
b< br>2
?
L
?a
k
b
k
)
2
? a
k?1
b
k?1
?2a
k?1
b
k?1
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?
L?a
k
b
k
)

?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?
L
?a
k?1
b
k?1
)
2
所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立
2222
?L?a
n
)(b
1
2
?b
2
?L?b
n
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?L?a
n
b< br>n
)
2
. 即，
(a
1
2
?a
2< br>8、（1）
(a
1
?a
2
?L?a
n
)(< br>111
??L?)?n
2

a
1
a
2
a
n
1
?1
2
，命题成立.
a
1
（2）①当
n?1
时，
a
1
?
②假设当
n?k(k?2)
时，命题成立，即
(a
1
?a
2
?L? a
k
)(
111
??L?)?k
2

a
1
a
2
a
k
当
n?k?1
时，
(a
1
?a
2
?L?a
k
?a
k?1
)(
1111
??L??)

a< br>1
a
2
a
k
a
k?1
?(a
1?a
2
?
L
?a
k
)(
?k
2
?1?2a
k?1
1111111
??
L
?)?(a
1< br>?a
2
?
L
?a
k
)?a
k?1
( ??
L
?)?1
a
1
a
2
a
k
a
k?1
a
1
a
2
a
k
1111
( a
1
?a
2
?
L
?a
k
)(??
L
?)
a
k?1
a
1
a
2
a
k< br>?k
2
?1?2k
2
?(k?1)
2

所以，当
n?k?1
时，命题成立.
由①②知，命题对一切正整数成立