最新人教版高中数学选修4-5《不等式》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、不等式的基本性质
1.比较实数大小的充要条件
对于任意两个实数a,b有且只有下列三种情况之一成立：
a>b
?
a-b>0;
a?
a-b<0;
a=b
?
a-b=0.
深化升华
（1）上面的关系式沟通了实 数大小的几何意义和代数意义之间的联系，是比较两个实数大
小，以及用比较法证明不等式的出发点，也 是这一讲内容的基础.
（2）两个实数比较大小，常用作差法，作差法的步骤是：①作差；②变形（分 解因式，配
方法）；③判断差的符号；④结论.
记忆要诀
“三步一结论”.其中“判断差的符号”是目的,“变形”是关键.
2.不等式的性质
（1）对称性：a>b
?
b（2）传递性：a>b,b>c
?
a（3）加（减）:a>b
?
a+c（4）乘（除）:a>b,c >0
?
ac>bc.a>b,c<0
?
ac（5）乘方： a>b>0
?
a
n
>b
n
(n∈N,n≥2).
（6）开方：a>b>0
?
n
a
>
n
b
(n∈N, n≥2).
（7）a>b,c>d
?
a+c>b+d.
（8）a>b>0,c>d>0
?
ac>bd.
误区警示
不等 式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.从应用的角度看，单向性主要用于证明不等
式；双向性 是解不等式的基础，当然也用于证明不等式.在这些性质中，乘（除）法性质的
应用最容易出错，所以在 利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质成立的条件.
二、基本不等式
1 .定理1：设a,b∈R，则a
2
+b
2
≥2ab，当且仅当a=b时，等号 成立.
a?b
≥
ab
，当且仅当a=b时等号成立.
2
a?b?c
3
3.定理3：如果a，b，c为正数，则
≥
abc
，当 且仅当a=b=c时等号成立.
3
2.定理2：如果a，b为正数，则
4.一般结论 ：如果a
1
，a
2
，…，a
n
为n个正数，则
a< br>1
?a
2
?
?
?a
n
n
?a
1
a
2
?
a
n
，
n
当且仅当a
1
=a
2
=…=a
n
时，等号成立.
学法一得 （1）在利用定理2、定理3这两个平均值不等式求最大（小）值问题时，必须满足三条：
一正、二 定、三相等.也就是，第一，均为正数；第二，求积的最大值时，应看和是否为定
值，求和的最小值时， 应看积是否为定值；第三，等号成立时条件是否具备.应用一般结论
求最值也要注意上述条件.

（2）为了达到使用基本不等式求最值的目的，常常需要对代数式进行通分、 分解变形、构
造和为定值或积为定值的模型.
联想发散
如果在某些特定 条件下，一个不等式转化为等式，那么我们称这个不等式是“精确”的.
这一类不等式在现代数学中非常 重要，它们为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基
础.
典题·热题
知识点一：不等式的基本性质
例1 对于实数a,b,c，有下列命题：①若a>b，则a c2
>bc
2
，则a>b；③若a则a
2
>ab>b
2
；④若c>a>b>0，则
ab11
?；⑤若a>b,
?
，则a>0,b<0.其中真命题的
c?ac?b
ab
个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
思路分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，要注意条件与结论之间的联系.
①c为正 、负或是零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac
2
>bc
2
知c≠0,又c
2
>0,∴a>b是真命题.③
题.④a>b>0
?
-a<-b
?
c-a∵c>a,∴c-a>0,∴0 a?b?0
?
a?b
?
22
a>ab,
?
??
?
ab>b，∴该命题为真命
a?0b?0
??
11
1
?
，得，又a>b>0，
c?ac?b
(c? a)(c?b)
ab
?
.故该命题为真命题.⑤由已知条件知
c?ac?b< br>1111b?a
a>b
?
a-b>0,
?
?
->0< br>?
>0,∵a-b>0,∴b-a<0,∴ab<0,又a>b,∴a>0,b<0，故该
abab
ab
∴
命题为真命题.综上可知，命题②③④⑤都是真命题.
答案：C
误区警示
通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质 ，更好地掌握各性质的条件和结论.
另外，若要判断命题为真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应 紧扣有关定理、性质等，
若判断命题为假命题只需举一反例.
知识点二： 用基本不等式证明条件不等式
1125
)(b+
)≥
.
ab4< br>11
思路分析：本题不能由(a+
)≥2，(b+)≥2求解.因为此两式当且仅当a= 1,b=1时成立，而
ab
例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+
由a+b=1这显然是不可能的，由要证的结论不易看出解题思路，可先将左边展开，进行
“拆”“配” .
证明：左=(a+
111ba
1
2
ba
??
= (
ab?
)(b+)=ab+)+++2.
abababab
ab
∵a>0,b>0,∴
ab
+
≥2,又∵a>0,b>0,a+b=1,∴a+b≥< br>2ab
.
ba

1
1
13
1
≥2,-
ab
≥
?
,∴(-
ab
)≥,
ab
≤,
2
ab
22
ab
∴(
ab
-< br>1
ab
)
2
≥
9
,
4
∴左≥2+2+
9251
=（当且仅当a=b=时取等号）.
422
方法归纳
一般的，数学中的定理、公式揭示了若干变量之间的本质 联系，但不能定格于特殊形式，
因此在解答数学题的过程中，把数值、数式合理地拆成两项或多项，或者 恒等地配凑成适当
的数或式，是数学表达式数学变形过程中常用的方法，这也是一种解题技巧.
知识点三： 用基本不等式求值域
例3 求当x>0时，f(x)=
2x
的值域.
x
2
?1
思路分 析：此题从形式上看，不能使用基本不等式，但通过变形之后，f(x)=
2
1
x?< br>x
在分母上
可以使用基本不等式.
解：∵x>0，∴f(x)=
2x
=
x
2
?1
2
x?
1
x
.∵x+
1
≥2,∴0<
x
2
x?
1
x
≤
1
.
2
∴0巧题变式
（1）本题中要没有x>0的限制，仅有x∈R，那么应如下求解：
当 x>0时，同上;当x<0时，x+
11
≤-2,∴
?
≤
x2
2
1
x?
x
<0,∴-1≤f(x)<0;
当x=0时，f(x)=0,∴-1≤f(x)≤1.
（2）若本题加上x∈R的条件，且不用基本不等式，则可以用判别式求解.
∵y=
2x
,
2
x?1
∴yx
2
-2x+y=0.
当y=0时，得x=0，当y≠0时，
∵x∈R，∴Δ=4-4y
2
≥0, ∴-1≤y≤1,但当x>0时，如使用判别式法求解，那么就不仅仅是Δ≥0
的问题了，而且还应该考 虑x>0的限制条件，是比较复杂的.
知识点四： 用基本不等式解决实际问题
例4 某 种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费为0.9万元，年
维修费第一年是0 .2万元，以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时，它的平均费用
最少？
思路分 析：年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费用、保险费、养路费、汽
油费以及维修费用的 总和，因此，应先计算总费用，列出函数关系，再计算年平均费用.
解：设使用x年时平均费用最少.
由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2< br>

万元为首项，0.2万元为公差的等差数列.
因此，汽车使用x年时总的维修费用为
设汽车的年平均费用为y万元，则有
0.2?0.2x
x万元.
2
0.2?0.2x
10?x?0.1 x
2
10x10x
2
y=
??1???1?2?
=3.
xxx10x10
10x
?
，即x=10时，y取最小值. 当且仅当
x10
10?0.9x?
答：汽车使用10年时平均费用最少.
方法归纳
在应用平均值不等式解决实际问题时，要注意以下几点：（1）先理解题 意，再设变量，
设变量时一般把要求最值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽 象为
函数的最值问题;（3）在定义域内，求出函数的最值；（4）正确写出答案；（5）在特殊情况< br>下，还要根据条件构造满足不等式所要求的条件的结论.
问题·探究
误区陷阱探究
问题1 若二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围.
错解：因为二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，所以设f(x)=a x
2
+bx(a≠0).
?
1?a?b?2,(1)
所以f(-1 )=a-b,f(1)=a+b.所以
?

3?a?b?4.(2)
?
(1)?(2)(2)?(1)13
得，4≤(a+b)+(a-b)≤6，即2≤a≤3.由得,1 ≤(a+b)-(a-b)≤3,即
≤b≤
.又因
2222
31
为f (-2)=4a-2b，所以4×2-2×
≤4a-2b≤4×3-2×
，即5≤f(-2)≤ 11.
22
由
试通过探究指明错因，并给出正确的结论.
探究过程:错的 原因在于利用（1）（2）解得
13
≤b≤
的过程中，利用了同向不等式相减.考虑< br>22
33
≤a≤3,0≤b≤
，那么
22
条件1≤f(-1) ≤2,3≤f(1)≤4，得到的是1≤a-b≤2,2≤a+b≤4这两个结论，显然a，b两字母是相互联系的整体并不是独立存在着的，如果确定出各自的取值范围
0≤a-b≤3，
错了. < br>探究结论:分析：f(-1)=a-b，f(1)=a+b，由f(-1)、f(1)可求出a=
3939
≤a+b≤
,即0≤f(-1)≤3,
≤f(1)≤
.这与条件矛盾 了！因此上述解题过程是方法
2222
f(?1)?f(1)f(1)?f(?1)
， b=,
22
进而用f(-1)、f(1)表示出f(-2)，从而求出f(-2)的范围，或者 运用整体思想，用f(-1)和f(1)去
表示f(-2)，再求解.
正解一：因为二次函数 y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=ax
2
+bx(a≠0)，所以
1?
a?[f(?1)?f(1)],
?
?
f(?1)?a?b,
?
2
所以
?

?
?
f(1)?a?b,
?
b?
1
[f(1)?f(?1)].
?
2
?

因为f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1),1≤f(-1)≤2 ，3≤f(1)≤4,所以3+3×1≤f(-2)≤4+3×2，即6≤f(-2)≤10.
正解二 ：因为二次函数y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=ax
2
+bx(a≠0)，所以f (-2)=4a-2b.又因
为1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4,所以
?
?< br>1?f(?1)?a?b?2,
设存在实数m，n使得
?
3?f(1)?a?b ?4.
?
m?n?4,
4a-2b=m(a+b)+n(a-b)，即4a-2b=( m+n)a+(m-n)b，所以
?

m?n??2.
?
解之得m= 1,n=3.所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).又因为3≤a+b≤4，3≤3(a-b)≤6,所 以3+3≤4a-2b≤4+6，
即6≤f(-2)≤10.
方法交流探究
问题2 设a>b>0,m>0,n>0，试比较
bab?ma?n
,
,,的 大小，你能根据所得结论写出此结
aba?mb?n
论在生活中的模型吗？
探究过程 :本题实质是利用实数比较大小的依据，通过作差法比较四个分式的大小，进而找
出不等式在日常生活的 应用，从而体会不等式的应用价值.
因为a>b>0，所以0<
bb?maa?n
<1，0<<1，1<,1<.
abb?n
a?m
又因为
bb?m
m(b?a)
bb?m
-=<0，所以<.
a
a?m
a(a?m)
a
a?m
aa?n
>.
bb?n
bb?ma?na
所以<<<.
a
a?m
b?nb
bb?ma?na
下面试举不等关系<< <在生活中的一模型：学校打算重新铺设由餐厅
a
a?m
b?nb
同理可得< br>通往教学楼的路面，建筑施工规定，铺设路面所用的混凝土中水泥含量和石子含量的比值应
不小于 0.25，而且在一定范围内这个比值越大，路面的质量越高.试问同时增加相等的水泥
和石子的含量， 路面的质量是提高了，还是降低了？
设所用混凝土中水泥含量和石子含量分别为a,b，同时 增加的含量为n，根据题意可知
aaa?n
≥0.25,所以
<.
bbb?n
aaa?n
又因为
≥0.25,所以0.25≤
<.
bbb?n
a 所以，同时增加相等的水泥和石子的含量，路面的质量提高了.
探究结论:多个数（或代数式）比较大 小，可以分组进行比较，以便减少运算量，本题根据
已知条件计算出0<
bb?mba?nbb ?ma
<1，0<<1，1<，1<，然后分别比较与、与
aab?na
a?m
b
a?m
a?n
的大小即可，有时也可以利用赋值法先比较大小，然后再进行计算证 明.数学源于生活
b?n
又应用于生活，很多的数学公式和原理都可以在生活中找到相应的模型 ，学习时要注意观察
思考.