人教A版高中数学选修4-5讲义及题型归纳(提高)：证明不等式的方法

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法
人教版高中数学 选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法
目录
目录 ........... .................................................. .................................................. ................................................. 1
考点一 比较法..................................... .................................................. .................................................. ............ 2
考点二 综合法与分析法 ................... .................................................. .................................................. ........... 3
考点三 反证法与放缩法 .................... .................................................. .................................................. .......... 4
考点四 数学归纳法 ....................... .................................................. .................................................. ................ 6
课后综合巩固练习 .................. .................................................. .................................................. ........................ 8

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法
考点一 比较法

1．求差比较法：
知道a＞b?a-b＞0，a＜b?a-b＜0，因此要 证明a＞b，只要证明a-b＞0即可，这种方法称为
求差比较法．
2．求商比较法：
由a＞b＞0?

aa
＞1
且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞ 0时要证明a＞b，只要证明
＞1
即可，
bb
这种方法称为求商比较法． < br>b
?
R
，
b?R
，
1．给出下列命题：①若
a
，
则
a?b?ab?ab
；②若
a
，则
a?b< br>，
a?b
，
③若
?
3322
?
a?ma?
；
b?mb
ab
?
，则
ln

a?ln

b
；
c
2
c
2
?< br>?
2
④
当x?
?
的最小值为22
；其中正确命题的个 数为
(

?
0,
?
时,sinx?
2sinx
??
A．0个 B．1个 C．2个
)

D．3个
【分析】对于三个命题分别判断，正确 的给出证明，错误的能举出反例，是解答这类题目的重要方
法，另外记住一些结论对捷达选择或者填空题 很有帮助．本题要一一作出解答．
【解答】解：①
Qa
，
b?R
?
，
a?b
，
?a?b?0
，
(a?b)
2
?0
，
，
?a
3
?b
3
?(a
2
b?ab
2
)?a
2
(a?b)?b
2
(b?a)?(a? b)(a
2
?b
2
)?(a?b)
2
(a?b)?0
?a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2
，此命 题正确；
?
②
Qa
，
b?R
，
a?b
，
?b?a?0
，
命题
?
a?ma
a?mab(a?m)?a (b?m)m(b?a)
?
?
，
????0
，
b?mbb( b?m)b(b?m)
b?mb
a?ma
?
不正确；本题可以举出反例如：设
a?2
，
b?3
，
m?1
，可验证命题不正确；
b?mb
ab
③反例设
a??1
，
b??2
，
2< br>?
2
成立，但是
ln

a
，
ln

b
均无意义；更谈不上
ln

a?ln

b
了；
cc
2
2
222
sinx?2
④ 设
t?sinx?(0,1)
，则
sinx?
当且仅当
t?
即
sinx?
，
?t?…2t??22
，
sinxtt
si nx
t
显然不成立，此命题不正确．
综上可知只有①正确．
故选：
B
．

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提 高）：证明不等式的方法
【点评】本题考查了命题的概念和命题的真假判断，结合不等式知识，综合考查 了综合法，分析法，
反证法，比较作差法等不等式的证明方法；另外对均值不等式的应用题目设计很好地 体现了学生
容易出现的错误，很有针对性！
1
n
1
*
)?
，则在
m?N
时，下列不等式成立的是
(

)

n?32
m
n
1
m
m
n
1
m)
?
()

)
…
()
A．
(1?< br>B．
(1?
n?32n?32
m
n
1
m
m< br>n
1
m
)?()

)?()

C．
(1?
D．
(1?
n?32n?32
1
n
1
)?< br>，结合选项，即可得出结论． 【分析】根据
n…6
时，有
(1?
n? 32
1
n
1
)?
， 【解答】解：
Qn…6
时，有
(1?
n?32
m
n
1
m
)?()
成立，
?m?1
时，
(1?
n?32
2．若
n…6
时，有
(1?
故选：
C
．
【点评】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题

考点二 综合法与分析法
1．分析法
从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立 的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成
立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法 称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
2．综合法
从已知条件出发，利用定义、公 理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，
这种证明方法称为综合法即“由因寻果” 的方法．
4．求证：
7?1?11?5

证明：要证
7?1?11?5

只需证
7?5?11?1

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即证< br>7?27?5?5?11?211?1

即证
35?11

Q35?11

?
原不等式成立
以上证明应用的方法是
(

A．间接证明
)

C．分析法 D．不是以上方法 B．综合法
3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）
A．自然数a，b，c中至少有一个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
4．证明不等式“
√
2?
√
3
＜
√
6?
√
7”最适 合的方法是（ ）
A．综合法

B．分析法 C．反证法 D．数学归纳法
考点三 反证法与放缩法
放缩法
在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中 的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而
达到证明的目的．这种方法称为放缩法．

反证法的步骤
1．作出否定结论的假设；
2．进行推理，导出矛盾；
3．否定假设，肯定结论．

【关键要点点拨】
放缩法证明不等式的主要理论依据
（1）不等式的传递性；

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（2）等量加不等量为不等量；
（3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较．
[注意]放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出 ．
3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设
a?b?c
，且
a? b?c?0
，求证：
b?ac?3c
，
则证明的依据应是
(

A．
c?b?0

22
)

C．
(c?b)(c?a)?0
D．
(c?b)(c?a)?0
B．
c?a?0

【分析】把
b??a?c
代入不等式，利用因式分解得出使不等式成立的条件即可．
【解答】解：
Qa?b?c?0
，
?b??a?c
．
要证：
b?ac?3c
，
22
只需证：
(?a?c)?ac?3c
，
22
即证：
a?ac?2c?0
，
即证：
a?c?ac?c?0
，
即证：
(a?c)(a?c)?c(a?c)?0
，
即证：
(a?c)(a?c?c)?0
，
即证：
(c?a)(c?b)?0
．
故选：
C
．
【点评】本题考查了分析法证明，属于中档题．
4．要证明不等式
3?7?25
，可选择的方法有
(

A．分析法
C．反证法
222
22
)

B．综合法
D．以上三种方法均可
【分析】利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论．
【解答】解：用分析法证明如下：要证明
3?7?25
，
需证
(3?7)
2
?(25)
2
，
即证
10?221?20
，
即证
21?5
，即证
21?25
，显然成立，

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故原结论成立．
综合法：
Q(3?7)
2
?(25)
2
?10?221?20?2( 21?5)?0
，
?
3?7?25
．
25
通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论． 反证法：假设
3?7…
从以上证法中，可知三种方法均可．
故选：
D
．
【点评】本题考查分析法、综合法、反证法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题．

考点四 数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正 整数n
0
的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步
骤：
（1）证明当n=n
0
时命题成立；
（2）假设当n=k（k∈N
+
，且k≥n
0
）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．
在完成了这 两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n
0
的所有正整数都成立．这种证明方法称为
数学归纳法．

2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一 步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成
立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而
只有 第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以
我们无法判 断命题对n
0+1
，n
0+2
，…，是否正确．
在第二步中，n= k命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条
件，公理，定理， 定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．

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3．用数学归纳法证明恒等式的 步骤及注意事项：
①明确初始值n
0
并验证真假．（必不可少）
②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方
等 ，并用上假设．
7．利用数学归纳法证明不等式
1?
111
????
n
?n?1(n?N*)
的过程中，由
n?k
到
n?k?1
时，
232?n
不等式的左边增加的项数为
(

A．1 B．
2
k
?
1

)

C．
2
k
D．
k

【分析】依题意，由
n?k
递推到
n?k?1
时，不等式左边
?1?
式的左边比较即可得 到答案．
【解答】解：用数学归纳法证明
1?
边
?1?????
1 11
????
k?1
与
n?k
时不等
232?k?1
111
????
n
?n?1
的过程中，假设
n?k
时不等 式成立，左
232?n
1
，
k
2?k
111
则当
n?k?1
时，左边
?1?????
k?1
，
232?k ?1
11
23
?
由
n?k
递推到
n?k?1
时不等式左边增加了：
(2
k?1
?k?1)?2
k
?k?1?1 ?2
k
?1
项，
故选：
B
．
111
? ???
，共
2
k
?k?12
k
?k?22
k?1< br>?k?1
【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．
1
2
?2
2
?3
2
???(?1)
n?1
n
2
?n(n?1)(n
是正奇数）
8．用数学归纳法证明等式：
，假 设
n?k
时等式成立，
则需证
(

1
2
)

B．
n?k?1
时等式成立，且
k…3

D．
n?k?2
时等式成立，且
k…3

A．
n?k?1
时等式成立，且
k…1

C．
n?k?2
时等式成立，且
k…1

【分析】根据数学 归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设
n?k
时，命题成立，在此基础上且
n< br>是正奇数，应推证
n?k?2
时，命题也成立．
【解答】解：由于相邻的两个 奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设
n?k(k
为正奇数）时 ，

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法
则 需证明
n?k?2
时等式成立，且
k…1
．
故选：
C
．
【点评】本题考查用数学归纳法证明数学命题的两个步骤，注意 相邻的两个奇数相差2，这是解题的
易错点．
9．用数学归纳法证明不等式
1111
?????(n?1,n?N
*
)
的过程中，从
n?k
到< br>n?k?1
n?1n?2n?n2
时左边需增加的代数式是
(

A．
)

C．
1

2k?2
B．
11
?

2k?12k?2
11
?

2k?12k?2
D．
1

2k?1
【分析】求出当
n?k
时，左边的代数式，当
n?k?1
时，左边的代数式，相减可得结果．
111
????
，
k?1k?2k?k
11111
??????
当
n?k?1
时，左边的代数式为
，
k?2k?3k?k2k?12k?2
【解答】解：当
n?k
时，左边的代数式为
故用
n?k?1
时左边的代数式减去
n?k
时左边的代数式的结果为：
11111
????
．
2k?12k?2k?12k?12k?2
故选：
B
．
【点评】本 题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从
n?k
到
n?k?1< br>项的变
化．
课后综合巩固练习
10．设
a?b?0
，m?a?b
，
n?a?b
，则
m
，
n
的大小关 系是
m?n
．
【分析】由
(a?b?b)
2
?a?2 ab?b
2
?a?a
，可得结论．
【解答】解：
Qa?b?0
，
(a?b?b)
2
?a?2ab?b
2
?a?a
，
2
2
故
a?b?b?a
，
即
a?b?a?b
，
即
m?n
，
故答案为：
m?n

人教版高中数学选修4-5讲义及题型归 纳（提高）：证明不等式的方法
【点评】本题考查的知识点是不等式的证明与不等关系的判断，难度中档 ．
11．（选修
4?5:
不等式选讲）
27
． 已知正数
a
，
b
，
c
满足
abc?1
，求证：
( a?2)(b?2)(c?2)…
【分析】根据条件以及
(a?2)(b?2)(c?2)?( a?1?1)(b?1?1)(c?1?1)
，利用基本不等式，证得要证
的不等式成立． < br>【解答】证明：由于正数
a
，
b
，
c
满足
a bc?1
，
3
3
ag3
3
bg3
3
c? 27
3
abc?27
， 故有
(a?2)(b?2)(c?2)?(a?1? 1)(b?1?1)(c?1?1)…
当且仅当
a?b?c?1
时 等号成立，
27
成立． 故：
(a?2)(b?2)(c?2)…
【点评】本题主要考查 用综合法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
0
对于一切实数
x
恒成立，又
?x
0
?R
，使
ax
0
2
?4 x
0
?b?0
12．已知
a?b
，二次三项式
ax?4x? b…
a
2
?b
2
成立，则的最小值为
42
．
a?b
a
2
?b
2
48
?(a?)?
【分 析】由条件求得
a?2
，
ab?4
，由此把要求的式子化为，利用基本不等< br>a?ba
a?
4
a
2
式即可求出答案．
0
对于一切实数
x
恒成立， 【解答】解：
Q
已知
a?b
，二次三项式
ax?4x?b…
2
?a?0
，且△
? 16?4ab?0
，
?ab…4
．
2
再由
?x
0
?R
，
ax
0
?4x
0
?b?0
，可得△
?0
，
?16?4ab?0
，
即
ab?4
，
?a?2
，
Q
164
2
(a?)?8
2
a?b48
aa
???(a?)?

444
a?ba
a?a ?a?
aaa
22
a
2
?
48
…2(a?)g?2 8?42
，当且仅当
a?2?6
时取等号
4
a
a?
a
a
2
?b
2
故的最小值为
42
，
a ?b

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故 答案为：
42
．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用以及函数恒成立的问题，式 子的变形是解题的难点和关键，
属于中档题．
13．已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?
3a
n
．
6?a
n
（1）写出
a
2，
a
3
，
a
4
的值，猜想数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论．
【分析】（ 1）根据
a
1
?1
，
a
n?1
?
（2）① 当
n?1
时，由
a
1
?1?
3a
n
，求出
a
2
，
a
3
，
a
4
的值即可猜想
{a
n
}
的通项公式；
6?a
n
3
3< br>*
知猜想成立；②假设
n?k(k?N)
时，猜想成立，即
a
k
?
k
，
2?1
2?1
然后证明
n?k?1
时，猜想成立即可．
【解答】解：（1）
a
1
?1
，
a
n?1
?
猜想
a
n
?
3313
3a
n
，
?
a
2
?
，
a
3
??，
a
1
?
，
59317
6?a
n
3
；
2
n
?1
3
知猜想成立；
2?1
3

2
k
?1
（2）用数学归纳法证明如下：
①当
n?1时，由
a
1
?1?
*
②假设
n?k(k?N)
时，猜想成立，即
a
k
?
9
3a
k
933
?
2?1
???
则
a
k?1
?

6?a< br>k
6?
3
6(2
k
?1)?32(2
k
?1 )?12
k?1
?1
2
k
?1
k
?n?k?1时，猜想成立，
根据①②可知，猜想对一切正整数
n
都成立．
【点评 】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式和数学归纳法，考出来逻辑推理能力和运算能
力，属中档题 ．