新人教版高中数学—选修4-5导学案

高
二
年
级
数
学
（文科）
学
案
选修4-5



第
1
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学案1 不等式的基本性质
1．两实数大小的比较
a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a2．不等式的基本性质

性质
对称性
1
性质
传递性
2
性质
3
性质
可乘性
4

性质
乘方性质
5
性质
开方性质
6

111111
1．甲同学认为a>b?<，乙同学认为a>b>0?< ，丙同学认为a>b，ab>0?<，请你思考
ababab
一下，他们谁说的正确？
【提示】 他们说的都不正确．
2．不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，要注意什么？
【提示】 要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，
nn
如果a>b>0，那么a>b(n∈N，n≥2)
推论
如果a>b，c<0，那么ac如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd
可加性
推论
如果a>b，那么a＋c>b＋c
如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d
如果a>b，c>0，那么ac>bc；
如果a>b，b>c，那么a>c
a>b?b如果a>b>0，那么a
n
>b
n
(n∈N，n≥2)

第
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决定不等号的方向是否改变， 特别注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号方向改变．
3．比较两数(式)大小的常用方法有哪些？
【提示】 比较两数(式)大小的常用方法有：


作差比较法 作商比较法 乘方比较法
a－b＞0?a＞b
依据 a－b＜0?a＜b
a－b＝0?a＝b


b
a
＞1
b
?
?
?a＞
a＞0
?
?
b＞0
?
b；
a
＜1
b

b
a2
＞b
2
?
?
a＞0
?
?a＞
b＞0
?
?
?
?
a＞0
?
?a＜
?
b＞ 0
?
若数(式)的符号
同号两数比较大
不明显，作差后
应用范围
可化为积商的形
间比较大小
式
①作商；
①作差；
②变形；
②变形；
步骤
③判断符号；
大小关系；
④下结论
④下结论
商法比较大小
③判断商与1的②用作差法或作
①乘方；
小，或指数式之
(式)一般含根式
要比较的两数
设A＝x
3
＋3，B＝3x
2
＋x，且x>3，试比较A与B的大小．
【思路探究】 转化为考察“两者之差与0”的大小关系．

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【自主解答】 A－B＝x
3
＋3－3x
2
－x
＝x
2
(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．
∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，
∴x
3
＋3>3x
2
＋x.
故A>B.


转化转化
1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)――→考查差的符号(难以确 定)――→考查积的符号
转化
――→考查积中各因式的符号(成功！)．其中变形是关键，定号 是目的．
2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解 、
配方、通分、分母有理化等．

若例1中改为“A＝
y
2
＋1
y
，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．
2
x
x＋1
2
y
2
＋1
y
2
【解】 因为A－B＝
2
－
2

x＋1
x
2
x2
?y
2
＋1?－y
2
?x
2
＋1?
＝
x
2
?x
2
＋1?
x
2
－y
2
?x－y??x＋y?
＝
22
＝
22
，
x?x ＋1?x?x＋1?
且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x
2
＞0，x2
＋1＞1，
?x－y??x＋y?
所以
22
＞0.
x?x＋1?
所以A
2
＞B
2
，又A＞0，B＞0，故有A＞B.

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判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a>b，则ac
2
>bc
2
；
ab
(2)若
2
>
2
，则a>b；
cc
11
(3)若a>b，ab≠0，则<；
ab
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
【思路探究】 主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．
【自主解答】 (1)错误．当c＝0时不成立．
ab
(2)正确．∵c
2
≠0且c
2
>0，在
2
>
2
两边同乘以c
2
，
cc
∴a>b.
11
(3)错误．a>b?<成立的条件是ab>0.
ab
(4)错误．a>b，c>d?ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．


1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式
的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条
件；二是取值要简单，便于验证计算．
2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不 要弱化条件，尤其是不能凭想当
然随意捏造性质．

判断下列命题的真假．
11
(1)若a；
ab

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(2)若|a|>b，则a
2
>b
2
；
(3)若a>b>c，则a|c|>b|c|.
1
【解】 (1)∵a0.∴>0.
ab
1111
∴a·ababba(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3但a
2
2
，∴(2)是假 命题．
(3)取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．
α＋βα－β
ππ
已知－≤α＜β≤，求，的范围．
2222
α＋βα－β
ππαβ
【思路探究】 由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围．
222222
ππ
【自主解答】 ∵－≤α＜β≤，
22
παππβπ
∴－≤＜，－＜≤，
424424
π
α＋β
π
∴－＜＜.
222
πβππβπ
又－＜≤，∴－≤－＜，
424424
π
α－β
π
∴－≤＜，
222
α－β
又∵α＜β，∴＜0，
2
π
α－β
∴－≤＜0，
22
α＋β
ππ
α－β
π
即∈(－，)，∈[－，0)．
22222



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6
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α－β
αβ
1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差， 而应转化为同向不等式后作
222
和求解．
2．求代数式的取值范围是不等式性质应 用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法
则进行运算，是解答此类问题的基础．

a
已知－6b
【解】 ∵－6∴－3<－b<－2，∴－9则a－b的取值范围是(－9,6)．
111
又<<，
3b2
a
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
b
a
(2)当－6b
a
由(1)(2)得－3<<4.
b
a
因此的取值范围是(－3,4)．
b
ab
已知c>a>b>0，求证：>.
c－ac－b
【思路探究】 构造分母关系→构造分子关系→
证明不等式．
【自主解答】 ∵a>b，∴－a<－b，
又c>a>b>0，

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11
∴0>0.
c－ac－b
ab
又∵a>b>0，∴>.
c－ac－b


1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质，c－d>0；
二是不等式的加法性质，a>b，则－c>－d>0，a－c>b－d；三是倒数性质． 最后再次用到不等式的
乘法性质．
2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不 等式性质的基础之上；并仔细分析
要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．

acbd
已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞.
a＋cb＋d
【证明】 ∵a＞b＞0，c＞d＞0，
11
∴＞＞0，
ba
11
＞＞0，
dc
1111
①＋②得＋＞＋＞0，
bdac
b＋da＋c
acbd
即＞＞0，∴＞.
bdac
a＋cb＋d

①
②
(教材第10页习题1.1第3题(2))求证：如果a>b>0，c1
(2012·天津高考)设x∈R，则“x＞”是“2x
2
＋x－1＞0”的 ( )
2

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A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【命题意图】 本题主要考查充要条件与不等式的有关知识，考查分析问题、解决问题的能力．
11
22
【解析】 不等式
2x
＋
x
－
1
＞
0
的解集为
{x|x
＞
2
或
x
＜－
1}
，故由
x
＞
2
?
2x
＋
x
－
1
＞
0
，但
2x
2
＋
x－
1
＞
0D
1
x
＞
2
，故选
A.


【答案】 A

1．设a∈R，则下面式子正确的是( )
A．3a>2a
1
C.a
【答案】 D
11
2．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是
mn
( )
A．m＞0＞n
C．m＜n＜0
B．n＞m＞0
D．mn(m－n)＜0
B．a
2
<2a
D．3－2a>1－2a
n－m
1111
【解析】 ∵＞
?
－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.
mnmnmn
【答案】 D
3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )
ab
①a ＜b＜0?a
2
＜b
2
；②＜c?a＜bc；③ac
2
＞b c
2
?a＞b；④a＜b＜0?
＜1.
ba

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A．0
C．2
【解析】 ①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
∴(－a)
2
＞ (－b)
2
，即a
2
＞b
2
.
a
②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.
b
③正确．∵ac
2
＞bc
2
，∴c≠0，∴a＞b.
b
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.∴1＞＞0.
a
【答案】 C
4．若1【解析】 ∵－4∴－4<－|b|≤0，
又1∴－3【答案】 (－3,3)
B．1
D．3

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学案2 基本不等式

1．两个定理及算术平均与几何平均
(1)算术平均与几何平均
如果a，b都是正数，我们称
(2)两个定理
定理
定理1
定理2
内容
a
2
＋b
2
≥2ab(a，b∈R)
a＋b
≥ab(a、b∈R
＋
)
2
等号成立的条件
当且仅当a＝b时等号成立
当且仅当a＝b时等号成立
a＋b
为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．
2
2.利用基本不等式求最值
已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则
(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2P；
S
2
(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.
4
a＋b
1．在基本不等式≥ab中，为什么要求a>0，b>0?
2
a＋b
【提示】 对于不等式≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式 仍成立，但是
2
研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负 数，另一个为正数，
不等式无意义．
a＋b
2．利用≥ab求最值的条件是怎样的？
2
【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因 式为
正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
3．你能给出基本不等式的几何解释吗？

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【提示】
如图以a＋b为直径的圆中，DC＝ab，且DC⊥AB.
a＋ba＋b
因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为，根据半弦长不大于半径，得不等 式ab≤.
22
显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．因此， 基本不等式的几何
意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高.

π
11
0，
?
，≥2；②任意x∈R，a
x＋
x
≥2；③任意x∈
?
?
2
?
lg xa
命题：①任意x>0，lg x＋
11
tan x＋≥2；④任意x∈R，sin x＋≥2.
tan xsin x
其中真命题有( )
A．③
C．②③
B．③④
D．①②③④
【思路探究】 按基本不等式成立的条件进行判定．
【自主解答】 在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，不能确定lg x>0与sin x>0.因此①④是假
命题．

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1
在② 中，a
x
>0，a
x
＋
x
≥2
a
1
a
x
·
x
＝2，当且仅当x＝0时，取等号，则②是真命题；
a
π
1
π
在③中，当x∈(0，)时，tan x>0，有tan x＋≥2，且x＝时取等号，∴③是真命题．
2tan x4
【答案】 C


1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a＝b” 是
a＋b
等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)≥ab是a
2＋b
2
≥2ab的特例，但二者
2
a＋b
适用范围不同，前者要 求a，b均为正数，后者只要求a，b∈R；(2)a，b大于0是≥ab的充
2
分不必要条件 ；a，b为实数是a
2
＋b
2
≥2ab的充要条件．
a＋b
2ab
2．当b≥a>0时，有变形不等式a≤≤ab≤≤
2
a＋b
a
2
＋b
2
≤b.
2

(2013·郑州检测)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a
2
＋b
2
>2ab
112
C.＋>
ab
ab
【解析】 A选项中，当a＝b时，a
2
＋b
2
＝2ab，则排除A；
112 b
当a<0，b<0时，a＋b<0<2ab，＋<0<，则排除B、C选项；D选项中，由ab>0， 则>0，
aba
ab
aba
>0，∴＋≥2
bab
【答案】 D

利用基本不等式证明不等式
ba
·＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，所以选D.
ab
B．a＋b≥2ab

ba
D．＋≥2
ab

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a
2
b
2
c
2
已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
bca
【思路探究】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．
【自主解答】 ∵a>0，b>0，c>0，
a
2
∴＋b≥2
b
a
2
·b＝2a，
b
b
2
c
2
同理：＋c≥2b，＋a≥2c.
ca
三式相加得：
a
2
b
2
c
2
＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，
bca
a
2
b
2< br>c
2
∴＋＋≥a＋b＋c.
bca


1．首先根 据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，
然后合理地选择基本不 等式或其变形式进行证明．
2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有 一个“＝”号取不到，
则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．

已知a，b，c 为△ABC的三条边，求证：ab＋bc＋ac≤a
2
＋b
2
＋c
2
<2ab＋2bc＋2ac.
【证明】 先证ab＋bc＋ac≤a
2
＋b
2
＋c
2
.
∵ a>0，b>0，c>0，∴a
2
＋b
2
≥2ab，当且仅当a＝b时取等号 ．
b
2
＋c
2
≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，
a
2
＋c
2
≥2ac，当且仅当a＝c时取等号．
∴a
2
＋b
2
＋c
2
≥ab＋bc＋ac.

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再证a
2
＋b
2
＋c
2
<2ab＋2bc＋2ac.
法一 在△ABC中，a则a
2
2
2
∴a
2
＋b
2
＋c
2
即a
2
＋b
2
＋c
2
<2ab＋2bc＋2ac.
法二 在△ABC中，
设a>b>c，
∴0∴(a－b)
2
< c
2
，(b－c)
2
2
，(a－c)
2
2
.
∴(a－b)
2
＋(b－c)
2
＋( a－c)
2
2
＋a
2
＋b
2
，
即a
2
＋b
2
＋c
2
<2ab＋2bc＋2ac.
综上，得ab＋bc＋ac≤a
2
＋b
2
＋c
2
< 2ab＋2bc＋2ac.

利用基本不等式求最值
y
2
设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
xz
y
2
【思路探究】 由条件表示y，代入到，变形成能运用基本不等式求 最值的形式，求出最小
xz
值，但要注意等号取到的条件．
x＋3z
【自主解答】 由x－2y＋3z＝0，得y＝，
2
22
y
2
x＋9z＋6xz
1x9z
∴＝＝(＋＋6)
xz4xz4zx
1
≥(2
4
x9z
·＋6)＝3.
zx
y
2
当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.
xz
【答案】 3

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1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对 目标函数的变形，转化为考生
所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．
2．使用基本不等式求 最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；
③等号必须成立，即“一正、二定 、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应
用的可行性，决定着成败的关键．

19
若将题目的条件改为“已知x>0，y>0，且＋＝1”，试求x＋y的最小值．
xy
19
【解】 ∵x>0，y>0，且＋＝1，
xy
19
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
xy
y9x
＝＋＋10≥2
xy
y9x
·＋10＝16.
xy
y9x
当且仅当＝，即y＝3x时等号成立．
xy
19
又＋＝1，
xy
∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16.

基本不等式的实际应用
某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴 西世界杯期
间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之 间满
足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知201 4
年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生
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产费用，若将每件化 妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生
产的化妆品正好能销完．
(1)若计划2014年生产的化妆品正好能销售完，试将2014年的利润y(万元)表示为促销费t (万
元)的函数；
(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
【思路探究】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产
成本＝固定费用＋生产费用；
(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出 函数表达式．利用基本不等
式求最值．
k
【自主解答】 (1)由题意可设3－x＝，
t＋1
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
2
∴x＝3－.
t＋1
当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32 ×(3－
2
)＋3.
t＋1
21
当销售x万件时，年销售收入为150%×[32×(3－)＋3]＋t.
2
t＋1
由题意，生产x万件化妆品正好销完，
－t
2
＋98t＋35
得年利润y＝(t≥0)．
2?t＋1?< br>－t
2
＋98t＋35t＋1
32
(2)y＝＝50－(＋)
2
2?t＋1?t＋1
≤50－2
t＋1
32
×＝50－216＝ 42，
2
t＋1
t＋1
32
当且仅当＝，即t＝7时，等号成立， y
max
＝42，
2
t＋1
∴当促销费定在7万元时，年利润最大．

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建立定义域
设出变量――→数学模型――→
“＝”成
利用均值不等式求最值
立的条件
――→结论

为 了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物
要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费
k
用C(单 位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每
3x＋5
年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
k
【解】 (1)由题设，隔热层厚度为x cm时，每年能源消耗费用为C(x)＝，
3x＋5
40
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
3x＋5
而建造费用为C
1
(x)＝6x.
∴隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C
1
(x)
＝20×
40800
＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
3x＋53x＋5
800800
(2)f(x)＝＋6x＝＋2(3x＋5)－10
3x＋53x＋5
≥21600－10＝70.
800
当且仅当＝2(3x＋5)，
3x＋5

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即x＝5时取最小值．
∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用最小为70万元．

(教材第10页习题1.1第5题)设a，b∈R
＋
，且a≠b，求证：
ab
(1)＋＞2；
ba
2ab
(2)＜ab.
a＋b
(2013·课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab
1 a
2
b
2
c
2
＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.
3bca
【命题意图】 本题主要考查重要不等式、均值不等式和整体代换的应用以及转化与化归思想
和逻辑思维能力．
【证明】 (1)由a
2
＋b
2
≥2ab，b
2
＋ c
2
≥2bc，c
2
＋a
2
≥2ca，得a
2＋b
2
＋c
2
≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)
2
＝1，
即a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
1
即ab＋bc＋ca≤.
3
a
2
b
2
c
2
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a ≥2c，
bca
a
2
b
2
c
2
故＋＋＋ (a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
bca
a
2
b
2
c
2
即＋＋≥a＋b＋c.
bca
a
2
b
2
c
2
所以＋＋≥1.
bca

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1．下列结论中不正确的是( )
1
A．a＞0时，a＋≥2
a
C．a
2
＋b
2
≥2ab
?a＋b?
2
b≥
2
2
ba
B．＋≥2
ab
D．a
2
＋
【解析】 选项A，C显然正确；选项D中， 2(a
2
＋b
2
)－(a＋b)
2
＝a
2
＋b
2
－2ab≥0，∴a
2
＋
?a＋b?
2
ba
b≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的条件．
2ab
2
【答案】 B
2．下列各式中，最小值等于2的是( )
xy
A.＋
yx
1
C．tan θ＋
tan θ
－－－
B．
x
2
＋5

x
2
＋4
－
D．2
x
＋2
x

－
【解析】 ∵2
x
＞0,2
x
＞0，∴2
x＋2
x
≥22
x
·2
x
＝2，当且仅当2
x< br>＝2
x
，即x＝0时，等号成
立．故选D.
【答案】 D
53
3．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是( )
xy
A．15
C．60
53
【解析】 ∵＋≥2
xy
∴2
B．6
D．1
15
(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)．
xy
15
≤1，∴xy≥60，
xy

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故xy的最小值为60.
【答案】 C
11
4．已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为________．
xy
【解析】 ∵lg x＋lg y＝2，
∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2.∴xy＝10
2
.
11
∴＋≥2
xy
1
【答案】
5

学案3 三个正数的算术－几何平均不等式
11
＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．
xy5

1．三个正数的算术－几何平均不等式
(1)如果a，b，c∈R
＋
，那么 a
3
＋b
3
＋c
3
≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等 号成立．
a＋b＋c
3
(2)定理3：如果a，b，c∈R
＋
，那 么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
3
即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
2．基本不等式的推广
a
1
＋a
2
＋…＋a
n
对于n个正数a
1
，a
2
，…，a
n
，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
n
n
≥a
1
a
2
…a
n
，当且仅当a
1
＝a
2
＝…＝a
n
时，等号成立．
3．利用基本不等式求最值
若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b ＝c时，积abc有最大值；②如果
积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最小值．

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a＋b＋c
3
1．利用不等式≥abc求最值的条件是什么？
3
【提示】 “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；( 3)各项或
各因式能取到相等的值．
4
2．如何求y＝
4
＋x
2
的最小值？
x
3
4x
2
x
2
44x
2
x
2
4 x
2
2
【提示】 y＝
4
＋x＝
4
＋＋≥3··＝ 3，当且仅当
4
＝，即x＝±2时，等号成立，
xx22x
4
22x2
∴y
min
＝3.
x
2
x
2
其中把x拆成和两个数，这样可满足不等式成立的条件．
22
2
44x
2
3
22
若这样变形：y＝
4
＋x＝
4
＋＋x，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成
x x44
4x
2
3
2
立，因为
4
＝＝x时x无解，不 能求出y的最小值．
x44
已知x∈R
＋
，求函数y＝x(1－x
2
)的最大值．
【思路探究】 为使数的“和”为定值，可以先平方，即y
2
＝x
2
(1－x
2
)
2
＝x
2
(1－x
2
)(1 －x
2
)＝2x
2
(1
1
－x
2
)(1－ x
2
)×，求出最值后再开方．
2
【自主解答】 ∵y＝x(1－x
2
)，
∴y
2
＝x
2
(1－x
2
)
2

1
＝2x
2
(1－x
2
)(1－x
2
)· .
2
∵2x
2
＋(1－x
2
)＋(1－x
2)＝2，
222
1
2x＋1－x＋1－x
3
4
∴y≤()＝.
2327
2

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22
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当且仅当2x
2
＝1－x
2
，
即x＝
3
时等号成立．
3
2323
∴y≤，∴y的最大值为.
99


1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：
11
x＋2－2x＋1＋x
3
1
y＝x(1－x
2
)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1 ＋x)≤()＝.
2232
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝” 号的条件，显然x＝2－2x
＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．
2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术－几
何 平均不等式的使用条件，三个缺一不可．

4
若2a＞b＞0，试求a＋的最小值．
?2a－b?·b
2a－b＋b
44
【解】 a＋＝＋
2
?2a－b?·b?2a－b?·b
2a－b
b4
＝＋＋
22
?2a－b?·b
3
2a－b
b4
≥3···＝3，
22
?2a－b?·b
2a－b
b4
当且仅当＝＝，
22
?2a－b?b
即a＝b＝2时取等号．
所以当a＝b＝2时，

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