高中数学北师大版选修4-4-5 (5)

学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
?
14
?
1．若x，y是正数，则(x＋y)·
?
?
x
＋
y
?
?
的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
【解析】 (x＋y)·
??
1
?
x
＋
4
y
?
?
?＝5＋
4xy
y
＋
x
≥9，故选B.
【答案】 B
2．已知x，y为正数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为( )
A.
1
B．
1
4

8

C.
1
16
D．
1
32

【解析】 ∵ x，y>0，∴xy＝
11
?
4
(x·4y)≤
4
·
?
x＋4y
?
?
2
?
2
?
＝
1
16
，故选C.
【答案】 C
3．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是( )
A．2 B.
1
2

C.
1
4
D．4
【解析】 ∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，
∴lg x·lg y≤
lg x＋lg y
4
2
＝
2
＝2，
∴lg x·lg y≤4.
【答案】 D
4．设x，y为正数，且x＋y＝1，则使x＋y≤a恒成立的a的最小值是(

)

2
A.
2

C．2
B．2
D．22
【解析】 (x＋y)
2
＝1＋2xy≤1＋x＋y＝2，
故x＋y≤2，从而a必须不小于2.
【答案】 B
5．如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是( )
3
?
l
?
A.
?
6
?
π
??
3
?
l
?
C.
?
4
?
π
??
3
?
l
?
B．
?
3
?
π
??
3
l
?
1
?
D．
4
?
4
?
π
??
l
【解析】 l＝4r＋2h，即2r＋h＝
2
，
?
r＋r＋h
?
?< br>l
?
?
π＝
?
6
?
π.
V＝πr
2
h≤
?
??
?
3
?
l
当且仅当 r＝h＝
6
时等号成立．
【答案】 A
二、填空题
4
6．设x>0，则y＝2－x－
x
的最大值是__________．
4
【解析】 ∵x>0，∴x＋
x
≥2
4
∴y＝2－x－≤2－4＝－2，
x
4
∴当且仅当x＝
x
，
即x＝2时，y取最大值为－2.
【答案】 －2
xy
7．已知x，y大 于0，且满足
3
＋
4
＝1，则xy的最大值为__________．

33
4
x·
x
＝4，

xy
【解析】 ∵x>0，y>0且1＝
3
＋
4
≥2
∴xy≤3.
xy
当且仅当
3
＝
4
时取等号．
【答案】 3
xy
12
，
?
1
??
1
?
8． 已知x，y>0，x＋y＝1，则
?
x＋
x
??
y＋
y?
的最小值为________.
????
【导学号：94910015】
【解析】 由x>0，y>0，x＋y＝1，
yx1
?
1
??1
?
得
?
x＋
x
??
y＋
y
?
＝xy＋
x
＋
y
＋
xy
≥
????< br>2
1
xy·
xy
＋2
xy
y
·
x< br>＝4.
1
当且仅当x＝y＝
2
时取等号．
【答案】 4
三、解答题
a
9．已知x，y，a，b均为正数，x，y为变数，a，b为常数，且 a＋b＝10，
x
b
＋
y
＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
ab
【解】 ∵x＋y>0，a>0，b>0且
x
＋
y
＝1，
bxay
?
ab
?
∴x＋y＝(x＋y)
?
x
＋
y
?
＝a＋b＋
y
＋
x
≥a＋b＋2
??
(a＋b)
2
.
bxay
当且仅当
y
＝
x
时取等号，
此时(x＋y)
min
＝(a＋b)
2
＝18.
即a＋b＋2ab＝18.
又a＋b＝10，

bxay
y
·
x
＝a＋b＋2ab＝

?
?
a＋b＋2ab＝18，
联立
?

?
?
a＋b＝10，
??
?
a＝2，
?
a＝8，
解得
?
或
?

??
?
b＝8
?
b＝2 .
10．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千
辆小时)与汽 车的平均速度v(千米小时)之间的函数关系为y＝
(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车 的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量
为多少？(精确到0.1千辆小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么
范围内？
【解】 (1)依题意y＝
920920920
≤
＝
83
，
3＋?v＋1 600v?3＋21 600
920v
v
＋3v＋1 600
2



1 600
当且仅当v＝
v
，即v＝40时等号成立．
920
∴y
max
＝
83
≈11.1(千辆小时)．
当v＝40千米小时时，车流量最大，约为11.1千辆小时．
(2)由条件得>10，
v
＋3v＋1 600
2
920v
整理得v
2
－89v＋1 600<0，
即(v－25)(v－64)<0.
解得25所以，如果在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在
25～64千米小时．
能力提升]

?a＋b?
2
1．已 知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则
cd
的最小值 是( )
A．0
C．2
B．1
D．4
【解析】 依题意a＋b＝x＋y，xy＝cd，
又x>0，y>0，
?a＋b?
2
?x＋y?
2
yx
∴
cd
＝
xy
＝2＋
x
＋
y
≥4.
当且仅当x＝y时，等号成立．
?a＋b?
2
∴
cd
的最小值为4.
【答案】 D π
?
1p
?
2．对于x∈
?
0，
2
?
，不等式
sin
2
x
＋
cos
2
x
≥16恒成立，则正数p的取值范围
??
为( )
A．(－∞，－9]
C．(－∞，9]
B．(－9,9]
D．9，＋∞)
【解析】 令t＝sin
2
x，则cos
2
x＝1－t.
π
??又x∈
?
0，
2
?
，∴t∈(0,1)．
??
1
?
1p
?
不等式
sin
2
x
＋
cos
2
x
≥16可化为p≥
?
16－
t
?(1－t)，
??
1
???
1
?
令y＝
?< br>16－
t
?
(1－t)＝17－
?
t
＋16t
?
≤17－
????
2
1
16t＝9，
t
·
11
当
t
＝16t，即t＝
4
时取等号，
因此原不等式恒成立，只需p≥9.
【答案】 D

3．若对任意x>0，
x
≤a恒成立，则a的取值范围是__________.
x＋3x＋1
2
【导学号：94910016】
【解析】 由x>0，原不等式等价于
2
1
x
＋3x＋1
1
0<a
≤
＝x＋
xx
＋3恒成立，
1
?
1
?
111
x＋
＋3
??
所以
a
≤
＝5， 即0<
a
≤5，解得a≥
5
.当且仅当x＝
x
即x＝1时，
?
x
?
min
取等号．
1
【答案】 a≥
5

4．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图1-3-2所示 ，垂直
放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

图1-3-2
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：< br>m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m，问：
d为多少时，α－β最大？
H
【解】 由题设知d＝AB，得tan α＝
d
.
H－h
Hh
由AB＝AD－BD＝
tan β
－
tan β
，得tan β＝
d
，

所以tan (α－β)＝
＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
h
H?H－h?

h
≤
H?H－h?
2
d＋
d
，
H?H－ h?
当且仅当d＝，即d＝
d
H?H－h?＝125×?125－4?＝555时，上
式取等号．
所以当d＝555时，tan (α－β)最大．
因为0<β<α<
π
2
，
则0<α－β<
π
2
，
所以当d＝555时，α－β最大．故所求的d是555 m.