最新人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、绝对值三角不等式
1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，
等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.
如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有
|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.
联想发散
根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：
（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
（2）|a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
|≤|a1
|+|a
2
|+|a
3
|+…+|a
n
|( n∈N
*
).
2.绝对值三角不等式
所谓绝对值三角不等式就是 指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共
线时，所成立的不等式|a+b| <|a|+|b|.
绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义 就是三角形的两边之和大于第
三边(如下图所示).
记忆要诀
由于绝对 值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对
值三角不等式也就记住 了.

3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.
对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注 意它的特点，尤其要注意它的不等号左边
没有字母b，只有右边才有.
学法一得
要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形< br>来巧妙地利用定理2了.
二、绝对值不等式的解法
要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：
一般地，如果a>0，则有：
|x|?
-a|x|>a
?
x<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a ,+∞).
1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.
求解这类 绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|a的不等式的
解法即可.
2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.
求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：
（1）利用绝对值的几何意义；
（2）分区间讨论法；

（3）构造函数利用函数的图象求解.
求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.
误区警示
解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的
形式对号入座采取相应的方法来求解.
典题·热题
知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明
例1 若|x-a|A.|x-y|<2m B.|x-y|<2n
C.|x-y|思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系， 不难发现通过适当变形就可运用定
理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：
|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|答案：D
巧解提示
对某些式子进行适当的变形，以便创造条件 利用某些定理、公式来解题，这是一种常用
的技巧，如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y- a)|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式.
m
2
?n
2
例2 已知a、b、c、d都是实数，且a+b=m，c+d=n（m>0,n>0)，求证：|ac+bd|≤. < br>2
222222
思路分析：证明此题时，可将ac、bd分别看成整体，那么就可以套用 定理1来证明了.
证明：∵a、b、c、d∈R,
a
2
?c
2< br>b
2
?d
2
?
∴|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤ < br>22
a
2
?b
2
c
2
?d
2
R
2
?r
2
??
=,
222
r
2
?R
2
∴|ac+bd|≤.
2
误区警示
a
2
?b
2
如果利用ab ≤来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式
2
a
2
?b
2
|ab|≤
来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用.
2
知识点二： 绝对值不等式的解法
例3 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R).
思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.
解：若2m-1≤0，即m≤
1
，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；
2

1
，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m2
1
由上可得：当m≤时，原不等式的解集为
?
，
2
1
当m>时，原不等式的解集为：{x|1-m2
若2m-1>0，即m>
方法归纳
对于不等号右侧是含有参数的 式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式
子的正、负、零三种情况的讨论来求解.
例4 解不等式3≤|x-2|<4.
思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求
解.
?
|x?2|?3,(1)
解：原不等式等价于
?

|x? 2|?4.(2)
?
由（1）得x-2≤-3或x-2≥3，∴x≤-1，或x≥5.由（2） 得-4
如上图所示，原不等式的解集为{x|-2误区警示
有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，
这是造成求 解出错的主要原因.
例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.
思路分析：解含有绝 对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据
求解不等式的结构，选用恰当的方 法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义
来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数 利用函数图象求解.

图1
解：［方法一］ |x+7|-|x-2|可以看成数 轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应
的点的距离的差，先找到这个差等于3的点， 即x=-1（如图1所示）.
从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x∈(-∞,-1］.
［方法二］ 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.
①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，
∴-9≤3成立,∴x<-7.

图2
②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，
即2x≤-2，∴x≤-1，

∴-7≤x≤-1.
③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，
即9≤3不成立，∴x∈
?
.
∴原不等式的解集为(-∞,-1］.
［方法三］ 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，
构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即
?
?12,x??7;
?< br>y=
?
2x?2,?7?x?2;
.
?
6,x?2.
?
作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，
即|x+7|-|x-2|-3≤0，
所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.
巧妙变式
针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算 符号
改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边< br>的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.
问题·探究
误区陷阱探究
问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错 解如下：不等式|2x-1|<3的
解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x| 2x-1>-3}
={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1探究过 程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得
出了正确的结果. 首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合
{x|2x-1<3}与{x |2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取
交集的.另 外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果
应 为{x|-∞探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|<3的解集是：
{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x-1>-3}
={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|<3的解集是：
{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1思维发散探究
问题2 已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax
2
+ bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，试探
究当x∈［-1,1］时 ，|g(x)|≤2.
探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题 ，因此在证
明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数，可将|g(x)| ≤2转化为
g(-1)与g(1)与2的关系加以证明，也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系，构造 函数模型，寻求整
体突破.
探究结论:［方法一］ 当a>0时g(x)=ax+b在［-1,1］上是增函数，
∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，
∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，

∴|g(x)|≤2.
当a<0时，g(x)=ax+b在［-1,1］上是减函数，
∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，
∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，
∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2，
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，
∴|g(x)|≤2.
当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c，
∵-1≤x≤1，
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.
综上所述,当x∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.
(x?1)
2
?(x?1)
2
［方法二］ ∵x=，
4
∴g(x)=ax+b
x?1
2
x?1
2
x?1x?1
)-()］+b(-) < br>2222
x?1
2
x?1x?1
2
x?1
=a［() +b()+c］-［a()+b()+c］
2222
x?1x?1
=f()-f().
22
x?1x?1
当-1≤x≤1时，有0≤
≤1，-1≤≤0，
22
x?1x?1x?1x?1
∴|g(x)|=|f()-f(
)|≤|f(
)|+|f(
)|≤2，∴|g(x)|≤2.
2222
=a［(