[新版]人教版高中数学选修4-5：《柯西不等式》教案[精]

3.1 课时8 柯西不等式(黄秀红)
一、教学目标
（一）核心素养
通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.
（二）学习目标
1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量
形式.
2.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
3.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法.
（三）学习重点
柯西不等式的证明思路以及柯西不等式的证明.
（四）学习难点
利用柯西不等式解决问题时如何变形，套用已知不等式的形式.
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）读一读：阅读教材第31页至第41页，思考：什么是柯西不等式？它又怎样的几何意义？
（2）想一想：可以运用柯西不等式解决怎样的问题？
2．预习自测
（1）若实数
a,b,c,d
满足
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
，则应满足（ ）
A．
a?c,b?d
B．
ac?bd
C．
a,b,c,d?R
D．
ab?cd

【知识点】柯西不等式
【解题过程】因为
(a
2
?b
2< br>)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
，又
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac ?bd)
2
，所以
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)=(ac?bd)
2
，所以
ad?bc

【思路点拨】
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
，当且仅当
ad?bc
时等号成立
【答案】B
（2）探讨二维形式的柯西不等式的几何意义时，
?
为引入的两 个向量的夹角，则柯西不等式

的得到运用了（ ）
A．
cos
?
?1
B．
sin
?
?1
C．
|cos
?
|?1
D．
|sin
?
|?1

【知识点】柯西不等式
【解题过程】见教材
【思路点拨】
|a?b|?|a||b||cos
?< br>|
?
|a||b|

【答案】C
（3）在证明二维形式的三角不等式时，运用了 .
【知识点】柯西不等式
【解题过程】柯西不等式
【思路点拨】向量也可证明
【答案】柯西不等式
（4）判断：“在不等式
(a
1
2
? a
2
2
????a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
????b
n
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n< br>)
2
中，
b
i
?0(i?1,2,?,n)
，则等号 成立的充要条件是
【知识点】柯西不等式
【解题过程】正确
【思路点拨】
n
维柯西不等式取等条件
【答案】正确
(二)课堂设计
1.知识回顾
a
a
1
a
2
???
n
.”是否正确？ < br>b
1
b
2
b
n
(a?b)
2
（1） 二元均值不等式：
a?b?2ab,ab?
.
4
（2）绝对值三角不等式几何意义为三角形两边之和大于第三边..
（3）一般得 均值不等式：
a
1
?a
2
???a
n
?n
n
a
1
a
2
?a
n
.
2．问题探究
探究一 二维形式的柯西不等式
●活动① 认识柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式） 若
a,b,c,d
都是实数，则
(a< br>2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd )
2
，当

且仅当
ad?bc
时，等号成立.
证明：
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2< br>)?(ac?bd)
2
?a
2
d
2
?b
2< br>c
2
?2abcd?(ad?bc)
2
?0
，
所以
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
) ?(ac?bd)
2
，且仅当
ad?bc
时，等号成立.
【设计意图】初步了解柯西不等式.
●活动② 柯西不等式的几何意义
对一个代 数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景.下面看一看柯西不等式的几
何意义.
设在平面直角坐标系
xOy
中有向量
a?
(a,b)
，
b?
(c,d)
，
a
与
b
之间的夹角为
?
，< br>0?
?
?
?
.
根据向量数量积，我们有
a?b?| a||b|
cos
?
，所以
|a?b|?|a||b||cos
?< br>|
.因为
|cos
?
|?1
，所以
|a?b|?|a ||b|
，所以
|ac?bd|?a
2
?b
2
c
2
?d
2
.故
(ac?bd)
2
?(a
2
? b
2
)(c
2
?d
2
)
.
如果两向量中 有零向量，则
ad?bc
时，等号成立.如果两向量都不是零向量，则当且仅当
ad? bc
.即两向量共线时，等号成立，此时由坐标形式下两向量共线的充要条件可得，
|cos< br>?
|?1
，
综上当且仅当
ad?bc
时，等号成立.
由上述过程可得
定理2（柯西不等式的向量形式）设
a
，
b
是两个向量，则
|a?b|?|a||b|
，当且仅当
b
是零向量，
或存在实数
k
，使
a?
kb
时，等号成立.
【设计意图】掌握柯西不等式的几何意义.
●活动③ 柯西不等式的变形
由二维 形式的柯西不等式：
(a
2
?b
2
)(c
2
?d< br>2
)?(ac?bd)
2
，可得
（1）当
a?0,b?0< br>时，
(a?b)(c?d)?((a)
2
?(b)
2
)((c )
2
?(d)
2
)?(ac?bd)
2
，当且仅当
ad?bc
，即
ad?bc
时取等号；
（2）
(a
2?b
2
)(c
2
?d
2
)?(|a|
2
?|b|
2
)(|c|
2
?|d|
2
)?(|ac|?| bd|)
2
，当且仅当
|ad|?|bc|
时取等号；
（3）a
2
?b
2
c
2
?d
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)< br>2
?|ac?bd|
，当且仅当
ad?bc
时取等号.
（4）定理3（二维形式的三角不等式） 设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R
，那么
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
? (x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

证明：
(x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
)
2
?((x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
)
2
?2(x
1
2
?y
1
2
)(x
2
2
?y
2
2< br>)?2x
1
y
1
?2x
2
y
2
< br>?2|x
1
y
1
?x
2
y
2
|?2 (x
1
y
1
?x
2
y
2
)??2(x1
y
1
?x
2
y
2
)?2(x
1y
1
?x
2
y
2
)?0

所以
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
.
【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用.
探究二 一般形式的柯西不等式
●活动① 三维形式的柯西不等式
类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：
(a
1
2
?a
2
2
?a
3
2
)(b
1
2
?b
2
2
?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
，当且仅当
b
i
?0(i?1,2,3)
，或存在一 个数
k
，
使得
a
i
?kb
i
(i?1,2 ,3)
时，等号成立.
证明：我们知道，平面上向量的坐标
(x,y)
是二 维形式，空间向量的坐标
(x,y,z)
是三维形式，
从平面向量的几何背景能得到< br>|a||b|?|a?b|
.将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯
西不等式 .类似的，从空间向量的几何背景也能得到
|a||b|?|a?b|
，将空间向量的坐标代入 ，即
可得到三维的柯西不等式.
【设计意图】了解三维的柯西不等式，注意理解取等条件．
●活动② 一般形式的柯西不等式
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，容易猜出一般形式的柯西不等式：
定理 设
a
i
,b
i
,i?1,2,?,n
时实数，则
当且仅当
b
i
?0(i?1,2,?,n)
或存
(a
12
?a
2
2
???a
n
2
)(b
1< br>2
?b
2
2
???b
n
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
)
2
，
在一个数
k
，使得
a
i
?kb
i
(i?1,2,?,n)
时，等号成立.
证明：设
A?a
1
2
?a
2
2
???a
n
2,B?a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
,C?b
1
2
?b
2
2< br>???b
n
2
，则要证的不等式
就是
AC?B
2，这正好与二次函数
y?Ax
2
?2Bx?C(A?0)
的判别式
4B
2
?4AC
密切相关.
当
a
i
?0或b< br>i
?0,i?1,2,?,n
，不等式显然成立；
当
a
i< br>(i?1,2?,n)
中至少有一个不为零时，即
A?a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
?0
，

< br>此时
y?Ax
2
?2Bx?C?(a
1
2
?a
2
2
??a
n
2
)x
2
?2(a
1b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
)x?(b
1
2
?b
2
2
??b
n< br>2
)

?(a
1
x?b
1
)
2?(a
2
x?b
2
)
2
??(a
n
x ?b
n
)
2
?0
恒成立，
所以
??4B
2
?4AC?0
，即
AC?B
2
，
即
(a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
)(b1
2
?b
2
2
???b
n
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n< br>b
n
)
2
，
当且仅当原函数有唯一零点，此时
a< br>1
x?b
1
?a
2
x?b
2
???a
n
x?b
n
?0
，若
x?0
，则
1
b< br>i
?0(i?1,2,?,n)
时取等号；若
x?0
，则
a< br>i
??b
i
，即当且仅当
b
i
?0(i?1,2,? ,n)
或存在一
x
个数
k
，使得
a
i
?k b
i
(i?1,2,?,n)
时，等号成立.
【设计意图】掌握一般的柯西不等式及其证明.
探究三 柯西不等式的应用
●活动① 运用柯西不等式证明不等式
例1 已知
a,b
为实数，求证
(a
4
?b
4
)(a
2
?b
2
) ?(a
3
?b
3
)
2
.
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由柯西不等式可得，
(a
4
?b
4
)(a2
?b
2
)?(a
2
?a?b
2
?b)
2
?(a
3
?b
3
)
2

【思路点拨】 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小，但是如果注意到这个
不等式的形式与柯西不等 式的一致性，就可以避免繁杂的运算.
【答案】见解析
同类训练 设
x
1
,x
2
,?,x
n
是正数，求证
(x
1
+ x
2
+?+x
n
)(
【知识点】柯西不等式
【解题过程】 因为
x
1
,x
2
,?,x
n
是正数，所以由柯西不 等式得
(x
1
+x
2
+?+x
n
)(
1 11
????)?(1?1???1)
2
?n
2
.
x1
x
2
x
n
111
????)?n
2
.
x
1
x
2
x
n
【思路点拨】直接由柯西不等式可得
【答案】见解析
例2 设
a,b?R
?
,a?b?1
.求证
【知识点】柯西不等式
11
??4
.
ab

【解题过程】由于
a, b?R
?
,a?b?1
，由柯西不等式，得
111111
??(?)(a?b)?(?a??b)
2
?4
. < br>ababab
【思路点拨】问题中由
a?b?1
这个条件，由于常数1的特殊性 ，用
a?b?1
去乘任何数或式子，
都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这 个条件.在本例中，注意到
1111
??(?)(a?b)
，有了上式就可以使用柯西 不等式了.
abab
【答案】见解析
111
同类训练 已知
a ，b，c?0
,且
a?b?c?1
，求证：
???9
.
abc
【知识点】柯西不等式
【解题过程】因为
a，b，c?0
，
a?b?c?1
，所以
111111
???(??)(a?b?c)?(1?1?1)
2
?9
.
abcabc
1
【思路点拨】
a
和相乘才能得到常数
a
【答案】见解析
例3 已知
a,b,c,d
是不全相等的正数 ，证明：
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?ab?bc?cd?da
.
【知识点】柯西不等式
【数学思想】化归与转化思想
【解题过程】证明：根据柯西不等式，有
(a
2
?b
2
?c
2
?d
2
)(b
2
?c
2
?d
2
?a
2
)?(ab?bc?cd?da)< br>2
．因为
a,b,c,d
是不全相等的正数，所以
(a
2?b
2
?c
2
?d
2
)(b
2
?c< br>2
?d
2
?a
2
)?(ab?bc?cd?da)
2
，
即
(a
2
?b
2
?c
2
?d
2
)
2
?(ab?bc?cd?da)
2
，所以
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?ab?bc?c d?da
.
【思路点拨】上式两边都是由
a,b,c,d
这四个数组成的式 子，特别是右边式子的字母排列顺序
启发我们，可以用柯西不等式进行证明.
【答案】见解析
1
同类训练 已知
a
i
,b
i
,i?1,2,? ,n
都是实数，求证
(a
1
?a
2
??a
n
)
2
?a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
.
n
【知识点】柯西不等式
【解题过程】证明：

a
1
2
?a
2
2
???a
n2
?(a
1
2
?a
2
2
???a
n< br>2
)(1?1???1)?(a
1
?1?a
2
?1???a< br>n
?1)
2
?(a
1
?a
2
???a
n
)
2
1
所以
n(a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
)?(a
1
?a
2???a
n
)
2
，即
(a
1
?a
2< br>??a
n
)
2
?a
1
2
?a
22
???a
n
2
.
n
【思路点拨】将
n乘到等式的那边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.
【答案】见解析
●活动② 运用柯西不等式求最值
例4 求函数
y?5x?1?10?2x
的最大值.
【知识点】柯西不等式
【解题过程】函数的定义域为
[1,5]
，且
y?0
.
( 2(x?1)?(10?2x))(
2527
?1)?(5x?1?10?2x)
2< br>,即
8??(5x?1?10?2x)
2
，
22
故
5x?1?10?2x?63
，当且仅当
2(x?1)?1?10?2x?
数取最大值
63
.
25
127
，等号成立，即
x?
时函2
27
【思路点拨】利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻 找不等式
取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为
ac?bd
的形式 ，就能利用柯西不等
式求其最大值.
【答案】见解析
同类训练 求函数
y?7?x
2
?x
2
?1
的最大值.
【解 题过程】函数的定义域为
[?7,7]
,
[(7?x
2
)?(x2
?1)](1?1)?(7?x
2
?x
2
?1)
2< br>，即
2?[(7?x
2
)?(x
2
?1)]?(7?x
2
?x
2
?1)
2
，即
(7?x
2
?x
2
?1)
2
?2?8=16
，
即
7?x
2
?x
2
?1?4
，当
7?x
2
=x
2< br>?1,x??3
时函数最大为
4

【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数
【答案】见解析
例5 已知
x?2y?3z?1
，求
x
2
?y
2
?z
2
的最小值.
【知识点】柯西不等式
【解题过程】证明：根据柯西不等式，有

(x
2
?y
2
?z
2
)(1
2
?2
2
?3
2
)?(x?1?y?2?z?3)
2
?(x?2y?3z)
2
．所以
x
2
?y
2
?z
2
?
xyz1131
? ?
，即
x?,y?,z?
时，
x
2
?y
2
?z
2
取最小值.
123471414
1
，当且仅当
14
【思路点拨】由
x?2y?3z?1
以及
x
2
?y
2
?z
2
的形式，联系柯西不等式，可以通过构造
(1
2
? 2
2
?3
2
)
作为一个因式而解决问题.
【答案】见解析
同类训练 已知
2x?3y?4z?10
，求
x
2
?y< br>2
?z
2
的最小值.
【知识点】柯西不等式
【数学思想】化归与转化思想
【解题过程】证明：由柯西不等式可得
(x
2
?y
2
?z
2
)(2
2
?3
2
? 4
2
)?(2x?3y?4z)
2
，即
(x
2
?y
2
?z
2
)?29?100
,所以
x
2
? y
2
?z
2
?
100xyz
，当
??
时等 号成立
29234
【思路点拨】将二次式转化成一次式，用柯西不等式.
【答案】见解析
【设计意图】掌握用柯西不等式求最值.
3. 课堂总结
知识梳理
（1）若
a,b,c,d
都是实数，则
(a
2< br>?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
，当且仅当
ad?bc
时，等号成立.
b
是两个向量，（2）定 理2设
a
，则
|a?b|?|a||b|
，当且仅当
b
是零 向量，或存在实数
k
，使
a?
kb
时，等号成立.
（3） 定理3设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R
，那么
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

（4 ）
(a
1
2
?a
2
2
?a
3
2< br>)(b
1
2
?b
2
2
?b
3
2)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a3
b
3
)
2
，当且仅当
b
i
?0(i ?1,2,3)
，或存在一个
数
k
，使得
a
i
?k b
i
(i?1,2,3)
时，等号成立.
（5）设
a
i< br>,b
i
,i?1,2,?,n
时实数，则
当且仅当
b
i
?0(i?1,2,?,n)
或存
(a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
)(b
1
2
?b2
2
???b
n
2
)?(a
1
b
1< br>?a
2
b
2
???a
n
b
n
)2
，
在一个数
k
，使得
a
i
?kb
i
(i?1,2,?,n)
时，等号成立.

重难点归纳
（1）柯西不等式的证明思路以及柯西不等式的证明.
（2）利用柯西不等式解决问题时如何变形，套用已知不等式的形式.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1．函数
y?x?5?26?x
的最大值是( )
A.
3
B.
5
C．3 D．5
【知识点】柯西不等式
【解题过程】根据柯西不等式，
y?1x?5?26 ?x?(1
2
?2
2
)((x?5)
2
?(6?x)
2
)?5
.
【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数
【答案】B < br>2．已知
a,b?R,a
2
?b
2
?4
，则
3a?2b
的最大值为( )
A．4 B．
213
C．8 D．9
【知识点】柯西不等式
【解题过程】
(a2
?b
2
)(3
2
?2
2
)?(3a?2b)
2
，即
(3a?2b)
2
?52
，所以
3a?2b ?213
，当且仅当
2a?3b
时取等号.
【思路点拨】用柯西不等式，将二次式转化成一次式
【答案】B
3．已知
a,b?0,a?b?1
，则
(4a?1?4b?1)
2
的最大值是( )
A．
26
B.
6
C．6 D．12
【知识点】柯西不等式
【解题过程】
(4a?1?4b?1)
2
?(1?4a?1?1?4b?1)
2
?((4a?1)
2
?(4 b?1)
2
)(1
2
?1
2
)?12
，当且仅当< br>a?b?
1
时，等号成立.
2
【思路点拨】用柯西不等式，将二次式转化成一次式
【答案】D

4．设
a,b,c?R
?
,a?b?c?1
，则
a?b?c
的最大值是( )
A．1 B.
3
C．3 D．9
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由柯西不等 式，得
(a?b?c)(1
2
?1
2
?1
2
)?( a?b?c)
2
，所以
1
(a?b?c)
2
?3
， 即
a?b?c?3
，当且仅当
a?b?c?
时取等号.
3
222
【思路点拨】用柯西不等式，将高次式转化成低次式
【答案】B
5．已知
a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
?1
，
x
1
2
?x
2
2< br>???x
n
2
?1
，则
a
1
x
1< br>?a
2
x
2
???a
n
x
n
的最大 值( )
A．1 B．2 C．－1 D．不确定
【知识点】柯西不等式
【解题过程】因为
(a
1
x< br>1
?a
2
x
2
???a
n
x
n)
2
?
(a
1
2
?a
2
2
? ??a
n
2
)(x
1
2
?x
2
2
???x
n
2
)
，当且仅当
a
i
?kx
i
(i?1,2,?,n)
时等号成立．所以
a
1
x
1
?a
2
x
2
???a
n
x
n
的最大值是 1.
【思路点拨】柯西不等式的典型结构
【答案】A
6．设
a,b?0 ,a?b?5
，则
a?1?b?3
的最大值为________．
【知识点】柯西不等式
【解题过程】因为
a,b?0,a?b?5
，
((a?1)
2
?(b?3)
2
)(1
2
?1
2
)?(a?1?b?3)
2
，即
(a?1?b?3)
2
?1 8
，故
a?1?b?3?32
，当且仅当
a?1?b?3?
973< br>，即
a?,b?
时取
222
等号.
【思路点拨】柯西不等式求最值模型
【答案】
32

能力型 师生共研
7.已知
2x?3y?4z?10
，则
x
2
?y
2
?z
2
取到最小值时的
x,y,z
的值为( )
51
A.
,,
B.
,,
C．
1,,
D．
1,,

3962929292349
【知识点】柯西不等式

?
xy z
xyz
?
??
【解题过程】当且仅当
??
时，取到最小值 ，所以联立
?
234
，可得
234
?
?
2x?3 y?4z?10
x?
203040
.
,y?,z?
292929
【思路点拨】柯西不等式求最值模型
【答案】B
8.已知
?
2
?x
2
?y
2
?z
2
?16
，则
F?8?
?
?x?y?z
的最大值为____ ____．
【知识点】柯西不等式
【解题过程】
(
?
2
?x
2
?y
2
?z
2
)(1?1?1?1)?(
?
?x?y?z)
2
，即
16?4?(
?
?x?y?z)2
，所以
?8?
?
?x?y?z?8
，所以
0?8?< br>?
?x?y?z?16
，即
F?16
，当且仅当
?
? x?y?z??2
时取
等号.
【思路点拨】柯西不等式求最值模型
【答案】
16

探究型 多维突破
9．已知
x?y?1< br>，求
2x
2
?3y
2
的最小值．
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由柯西不等式，
(2x
2
?3 y
2
)((
2
2
3
6
)?()
2
)?(x?y)
2
，所以
2x
2
?3y
2
?
.
23
5
326
当且仅当
2x?3y
，即
x? ,y?
时，等号成立，所以
2x
2
?3y
2
的最小值为.
555
【思路点拨】柯西不等式求最值模型
6
【答案】
5
10.已知函数
f(x)?m?|x?2|,m?R,f(x?2)?0
的解集为
[ ?1,1]
．
111
(1)求
m
的值；(2)若
a,b, c?R
?
，且
???m
，求证：
a?2b?3c?9
.
a2b3c
【知识点】绝对值不等式；柯西不等式
【解题过程】(1)解：
f(x?2)?m?|x|?0
，等价于
|x|?m
，因为解集为
[?1,1 ]
，所以
m?1
.
(2)证明：由（1）知
111
??? 1
，又
a,b,c?R
?
，由柯西不等式得
a2b3c