高中数学选修4-5(基本不等式 不等式的证明).

不等式
一、选择题

1.（2010江西理）3.
不等式

. B. C. D.
的解集是（

）


2.（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是
（

）
A． B．4
C． D．5
，且，则下列不等式中，恒成立的是
（

）
3.（上海理15）若
A． B． C．D D．
4.（2009天津卷理）设若的最小值为
（

）

A . 8 B . 4 C. 1 D.
5.（09重庆文）已知
D．5
，则的最小值是（ ）A．2 B． C．4
6.（2010重庆理数）
（
7
）已知
x>0
，
y>0,x+2y+2xy=8
，则
x+2y
的最小值是（

）

A.3 B.4 C. D.
7.（2009重庆卷理）不等式
的取值范围为（ ）
对任意实数恒成立，则实数

A． B．
C． D．
8.（10四川文）
（
11
）设
3
）
4
，则的最小值是（

）
A
）
1 B
）
2 C
）
9.（2010四川理）
（
12
）设，则的最小值
是（

）

（
A
）
2
（）
4
（
C
）

（
D
）
5
10、（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设
值是（ ）
的最小
A．2 B．
二、填空题
C． D．
11.（2010辽宁文）（15）已知且，则的取值
是
.

12.（2010江苏卷）12
、设实数
x,y
满 足
3≤
13.（2010安徽文）(15若
≤8
，
4≤≤9
，则的最大值是

。

恒，则下列不等式对一切满足条件的
成立的是 ①； ②； ③ ； ④； ⑤
1 4.（2010山东文）
（
14
）已知，且满足，则
xy
的最大值为
.
15.（2010浙江文）
（
15
）若正实数
X< br>，
Y
满足
2X+Y+6=XY
，

则
XY
的最小值是
。
16.（广东理9）不等式的解集是 ．
17.（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）
已知函数
(
＝
|
－
2|
，若
≠0
，且，
∈R
，都有不 等式
|
＋
|
＋
|
－
|≥||·(
成立，则 实数的取值范围是
.
18．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）不等式< br>19．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）若
两个实根，不等式
三、 解答题

20.（福建理科）设不等式
（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.

21．（河南信阳市2011届高三理
的解集为M.

对任意实数
和
的解集为 。
是方程的
恒成立，则的取值范围是
（I）已知
（II）已知正数a、b、c满足
22.（安徽理19）

，求证：
，求证：

（Ⅰ）设
（Ⅱ）
不等式
一、选择题

证明
，证明
，
.
1.（2010江西理）3.不等式
A. B. C. D.
的解集是（ ）

2.（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5

，且，则下列不等式中，恒成立的是 3.（上海理15）若
A． B． C．D D．
4.（2009天津卷理）设若的最小值为
A . 8 B . 4 C. 1 D.
解析 因为

，所以，
，当且仅当
“=”成立，
即时
5.（2009重庆卷文）已知
A．2 B． C．4 D．5
，则的最小值是（ ）

解析 因为
时，取“=”号。
当且仅当，且 ，即
6.（2010重庆理数）（7）已知 x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）
A.3 B.4 C. D.
解析：考察均值不等式

即
7.（2009重庆卷理）不等式
范围为（ ）
A． B．
，又，
，整理得

对任意实数恒成立，则实数的取值
C．
D．
解析 因为




对任意x恒成立，所以

8.
（
2010
四川文）
（11）设
（C）3
D
）4
，则的最小值是（）（A）1 （B）2
＝＝
≥2＋2＝4 当且仅当
ab
＝1,
a
(
a
－b
＝1时等号成立如取
a
＝,
b
＝满足条件.
9.（2010四川理）（12）设
（ ）（A）2 （
B
）4 （C） （D）5
，则的最小值是
解析：＝
＝≥0＋2＋2＝4
当且仅当a
－5
c
＝0,
ab
＝1,
a
(
a< br>－
b
＝1时等号成立如取
a
＝,
b
＝,
c< br>＝满足条件.
10、（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设
最小值是（ ）
的
A．2 B．
二、填空题
C． D．
11.（2010辽宁文）（15）已知
【答案】
且，则的取值是 .
1 2.
（
2010
江苏卷）
12、设实数x,y满足3≤
27
≤8，4≤≤9，则的最大值是 。【答案】

【解析】，，，的最大值是27。
恒成立
；
13.（2010安徽文）(15若
的是 (写出所有正确命题的编号．①
，则下列不等式对一切满足条件的
； ②； ③
④
【解析】令
； ⑤ 【答案】①，③，⑤
，排除②②；由，命题①正确；
，命题③正确；
确。
，命题⑤正
14.
（
2010
山东文）
（14）已知，且满足，则xy的最大值为 .【答案】3
15.
（
2010
浙江文）
（15）若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 。【答
案】18
16.（广东理9）不等式的解集是 ．
17.（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）已知函数f(x＝|x－2|，若 a≠ 0，且
a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x成立，则实数x的取值范围是 .答案
[0,4] .
解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x及a≠0得f(x≤恒成立，
而≥＝2，则f(x≤2，从而|x－2|≤2，解得0≤x≤4.
18．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）不等式

19．（河南省长葛第三实验）若
对任意实数
和是方程
的解集为 。答案
的两个实根，不等式
恒成立，则的取值范围是

三、解答题

20.（福建理科）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式
（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.

解：（１）
，
。
21（浙江理科）设正数
（2）解：将
满 足（1）求
平方可得：
（2）
的解集为M.

，
，
的最大值；（5分）


即，由基本不等式可知

所以，等号成立时，。
，求证：22．（河南信阳市2011届高三理）（I）已知

（II）已知正数a、b、c满足，求证：
答案 30．（I）证明：因为x，y，z均为正数，
所以
当且仅当
2，
同理可得
时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以
得
（ II）证明：要证
即只要证

只需证
两边都是非负数，

这就是已知条件，且以上各步都可逆，

23.（安徽理19） （Ⅰ）设
（Ⅱ），证明
证明，

.
本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代
数式的恒等变形能力 和推理论证能力.
证明：（I）由于，所以


将上式中的右式减左式，得


从而所要证明的不等式成立.

（II）设由对数的换底公式得


于是，所要证明的不等式即为
其中

故由（I）立知所要证明的不等式成立.