人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案-新版

1.1 课时1 不等式的基本性质
一、教学目标
（一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪
些基本 性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对
不等式基本性质的 认识水平.
（二）学习目标
1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.
2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.
3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.
（三）学习重点
应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.
（四）学习难点
灵活应用不等式的基本性质.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：
a?b?

a?b?

a?b?

（2）判断：下列说法是否正确？
①
a?b,b?c?a?c
②
a?c?b?c?a?b
③
ac?bc?a?b

④
a?b?a
3
?b
3
⑤
a?b?a
2
?b
2
⑥
a?b,c?d?ac?bd

2.预习自测
（1）当
x?
，代数式
(x?1)
2
的值不大于
x?1
的值.
【知识点】作差比较法
【解题过程】
(x?1)
2
?(x?1)? x
2
?x?x(x?1)

【思路点拨】熟悉作差比较法
【答案】
[0,1]

（2）若
c?R
，则
ac
2
?bc
2

a?b

A.
?
B.
?
C.
?
D.
?

【知识点】不等式的基本性质
【解题过程】由
ac
2
?bc
2
，得
c?0
，所以
c
2
?0
；当
a?b,c?0
时，
ac
2
?bc
2
.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】A.
（3）当实数
a, b
满足怎样条件时，由
a?b
能推出
【知识点】作差比较法
11b ?a11
【解题过程】
??
，因为
a?b
，所以当
ab?0
时，
?
.
ababab
11
?
?
ab
【思路点拨】掌握作差比较法
【答案】当
ab?0
时，
(二)课堂设计
1.问题探究
探究一 结合实例，认识不等式
●活动① 归纳提炼概念
人与人的年龄大小、 高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不
等的关系，这表明现实世界中的 量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.
【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程.
●活动② 认识作差比较法
关于实数
a,b
的大小关系，有以下基本事实：
如果a?b
，那么
a?b
是正数；如果
a?b
，那么
a?b
等于零；如果
a?b
，那么
a?b
是负数.
反过来也对.
这个基本事实可以表示为：
a?b?a?b?0;a?b?a?b?0;a?b?a?b?0< br>，上面的符号
“
?
”表示“等价于”，即可以互相推出.
从上述基本 事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研
究不等式的一个出发点 .这种方法称为作差比较法.
【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.
11
?
.
ab

●活动③ 了解作差比较法的步骤
例1 试比较
(x?3)(x?7)
和
(x?5)(x?6)
的大小.
【知识点】作差比较法
【数学思想】分类讨论思想
【解题过程】
第一步：作差
(x?3)(x?7)?(x?5)(x?6)

第二步：变形
(x?3)(x?7)?(x?5)(x?6)?(x
2
? 10x?21)?(x
2
?11x?30)??x?9

第三步：定号 当
?x?9?0
时，
x??9
；当
?x?9?0
时，
x=?9
；当
?x?9?0
时，
x??9

第四步：结论
当
x??9
时，
(x?3)(x?7)?(x?5)(x?6)
；
当
x??9
时，
(x?3)(x?7)=(x?5)(x?6)
；
当
x??9
时，
(x?3)(x?7)?(x?5)(x?6)
；
【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤
【答案】
当
x??9
时，
(x?3)(x?7)?(x?5)(x?6)
；
当
x??9
时，
(x?3)(x?7)=(x?5)(x?6)
；
当
x??9
时，
(x?3)(x?7)?(x?5)(x?6)
；
思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？
第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数 式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配
方，平方，有理化等.
同类训练 比较
(x?1)(x?2)
与
(x?3)(x?6)
的大小.
【知识点】作差比较法
【数学思想】分类讨论思想
【解题过程】 因为
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)?(x
2
?3x?2)?(x
2
?3x?18)?20?0
，
所以
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤
【答案】
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)

【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.
探究二 探究不等式的基本性质
●活动① 认识不等式的基本性质
我们知道，等式的基本性质是从 数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间
的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘 、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是
非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数， 不等式是否仍然成立？等等.
由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质. < br>（1）如果
a?b
，那么
b?a
；如果
b?a
，那么
a?b
.即
a?b?b?a
.
（2）如果
a?b,b?c
，那么
a?c
.即
a?b,b?c?a?c
.
（3）如果
a?b
，那么
a?c?b?c
.
（4）如果< br>a?b,c?0
，那么
ac?bc
；如果
a?b,c?0
，那 么
ac?bc
.
（5）如果
a?b?0
，那么
a
n
?b
n
(n?N,n?2)
.
（6）如果
a?b?0< br>，那么
n
a?
n
b(n?N,n?2)
.
通过语言 叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个
正数，不等号同向 ；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.
对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：
证明：如果
a?b ,c?0
，则
a?b?0,c?0
，所以
ac?bc?c(a?b)?0，即
ac?bc
，
ac?bc?c(a?b)
，
同理如果
a?b,c?0
，那么
ac?bc
.
思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？
事实上，从上述基 本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘
（除）法运算时，乘（除）数 的符号会影响不等号的方向.
【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.
●活动② 巩固理解，拓展延伸
上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的 基本依据，研究不等式时，经常以
它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：

（1）如果
a?b,c?d
，那么
a?c?b?d
；
（2）如果
a?b?0,c?d?0
，那么
ac?bd
；
（3）如果
ab?0,a?b
，那么
11
?
.
ab
对于上述（2），可由如下方法证明：
ac?bd?(ac?bc)?(bc? bd)?c(a?b)?b(c?d)?0
，所以
ac?bd
.
【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.
探究三 不等式性质的应用
●活动① 利用性质证明不等式
例2 已知
a?b?0,c?d?0
，求证：
【知识点】不等式的基本性质
【解题过程】
证明：因为
a?b?0,c?d?0
，所以
a?b? 0,
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】见解析
同类训练 求证：如果
a?b?0,c?d?0
，那么
ac?bd
.
【知识点】不等式的基本性质
【解题过程】证明：因为
c?d?0
，所以< br>?c??d?0
，又因为
a?b?0
，所以两式可相乘，得
ab
?
.
dc
ab
11ab
?
.
??0
.所以
?
，故
dc
dcdc
?ac??bd
，所以
ac?bd
.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】见解析
【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.
●活动② 互动交流、判断正误
例3 若
11
??0
，以下结论中正确的有
ab
①
a?b?ab
； ②
|a|?|b|
； ③
a?b
； ④
a
2
?ab?0

【知识点】不等式的基本性质；特殊值法

【数学思想】特殊与一般思想 【解题过程】法1：由
11
??0
，得
b?a?0
，所以
a?b?0?ab
，①正确，②③错误；
ab
a
2
?ab?a(a?b)?0
，④正确
法2：取
a??1,b??2
，可算出各式的值，得出答案.
【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.
【答案】①④
同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：
（1）如果
a?b
，那么
ac?bc
；（2）如果
a?b
，那么
ac
2
?bc
2
；
（3）如果
a?b
，那么
a
n
?b
n
(n?N
*
)a
n
?b
n
(n?R)
；（4）如 果
a?b,c?d
，那么
a?c?b?d
.
【知识点】不等式的基本性质
【解题过程】（1）是假命题，因为不知
c
的 正负；（2）是假命题，因为当
c?0
时不成立；（3）
是假命题，因为不知
a,b
的正负；（4）是真命题，因为
a?b,?c??d
，由同向不等式的可加性< br>知,
a?c?b?d
.
【思路点拨】熟悉不等式的基本性质
【答案】见解析
【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.
2.课堂总结
知识梳理
（1）
a?b?a?b?0;a?b?a?b?0;a?b?a?b?0
.
（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.
（3）不等式的基本性质.
重难点归纳
（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.
（2）灵活应用不等式的基本性质.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.设
a,b?R
, 则 “
(a?b)a
2
?0
”是“
a?b
”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【知识点】不等式的性质；充分必要条件
【数学思想】分类讨论思想
【解题过程】若
(a?b)a
2
?0< br>，则
a?b
；若
a?b
，则
(a?b)a
2
?0
，所以“
(a?b)a
2
?0
”是“
a?b
”
的充分而不必要条件.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】A
2.对于任意实数
a,b,c,d
，下列五个命题中:
①若
a?b ,c?0
，则
ac?bc
；②若
a?b
，则
ac
2
?bc
2
；
③若
ac
2
?bc
2
，则
a?b
； ④若
a?b,
则
⑤若
a?b?0,c?d
，则
ac?bd< br>.
其中真命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【知识点】不等式的性质
【解题过程】
a?b,c?0
，当
c?0
时，
ac?bc
不成立，①是假命题；< br>a?b
，当
c?0,c
2
?0
时，
②是假命题；因为
ac
2
?bc
2
，所以，
c
2
?0
，
a?b
，③是真命题；
a?b,
当
a,b
ac
2
?bc
2
不成立，
1111
同号时，
?
成立，而
a,b
异号时，
?
不成立，④是假命题；
a?b?0,c?d
时，
ac?bd
不
abab
11
?
；
ab一定成立，只有当
a?b?0,c?d?0
时，
ac?bd
成立，⑤是假 命题.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】A
3.如果
a?b?0
, 那么（ ）
A.
a?b?0
B.
ac?bc
C.
a
2
?b
2
D.
【知识点】不等式的性质
【解题过程】利用不等式的性质:
a?b?0?
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
11
??0
ba

11
?

ab

【答案】D
4.不等式
lgx
2
?lg
2
x
的解集是（ ）
11
,1)
B.
(100,??)
C.
(,1)
A.
(
100100
【知识点】不等式性质及对数运算 .
(100,??)
D.
(0,1)(100,??)

【解题过程】：由
lgx
2
?lg
2
x

?2lgx?lg
2
x

?lgx?2
或
lgx?0

?x?100
或
0?x?1

【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.
【答案】D
5.设
a?1?b??1
,则下列不等式中恒成立的是（ ）
A.
a?b
2
B.
1111
?
C.
?
D.
a
2
?2b

abab
【知识点】不等式的性质及应用
【解题过程】由
?1?b?1

?0?b
2
?1
, 又
a?1
,
?a?b
2
.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】A
6.若
a?b?0
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
11
b|b|?1
?
B.
a
2
?ab
C.
a
a
?b
a
D.
||?

a?bb
a|a|?1
【知识点】不等式的性质.
【数学思想】特殊与一般思想
【解题过程】当
a??2?b??1?0
时，
111
?
，
a
a
??b
a
?1
，
?
选项
A
、
C
都不成立，
a?bb4
b |b|?1|b|?|a|?b?a
|????0
，即
a|a|?1|a|(|a|? 1)|a|(|a|?1)
又
a?b?0
，
?a
2
?ab< br>，
?
选项
B
不成立，又
|
|
b|b|?1< br>成立.
|?
a|a|?1
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】D

能力型 师生共研
7.已知命题
p:?x?[ 1,2],x
2
?a?0
，命题
q:?x?R,x
2
?2a x?2?a?0
，若命题
p?q
是真命
题，则实数
a
的取值 范围是（ ）
A.
a??2
或
a?1
B.
a??2
或
1?a?2
C.
a?2
D.
?2?a?1

【知识点】命题及不等式
【数学思想】化归与转化思想
【解题过程】命题
p
为真命题时，要使
?x?[1,2],x
2?a?0
，只需
a?(x
2
)
min
，因为
x ?[1,2]
，
所以
1?x
2
?4
，所以
(x2
)
min
?1
，所以
a?1
①；命题
q为真命题时，
?x?R,x
2
?2ax?2?a?0
，即
x2
?2ax?2?a?0
有实数根，所以
??(2a)
2
?4( 2?a)?0
，解得
a??2或a?1
②.因为
p?q
是真命题，所 以
p,q
均为真命题.①②取交集得
a??2
或
a?1
.
【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题
【答案】A
8.已知
a,b,c?R
，给出下列命题：
ab
①若
a? b
，则
ac
2
?bc
2
；②若
ab?0
， 则
??2
；③若
a?b?0,n?N
?
，则
a
n< br>?b
n
；
ba
④若
log
a
b?0(a? 0,a?1)
，则
a,b
中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.1
【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.
【解题过程】当
c?0
时，
ac
2
?bc
2
?0
，所以①为假命 题；当
a
与
b
异号时，
ab
?0
，
?0< br>，
ba
所以②为假命题；因为
a?b?0,n?N
?
，所以< br>a
n
?b
n
，③为真命题. ④若
log
a
b?0(a?0,a?1)
，则有可能
a?1,0?b?1
或
b?1,0?a ?1
，即
a,b
中至少有一个大于1.是
真命题.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质
【答案】A
探究型 多维突破
9.集合
S?{
?
x,y,z
?
x、y、z?N
*
，且
x?y?z
、
y?z?x
、
z?x?y
恰有一 个成
立
}
，若
?
x,y,z
?
?S
且< br>?
z,w,x
?
?S
,则下列选项正确的是（ ）
A.
?
y,z,w
?
?S
,
?
x,y,w
?< br>?S
B.
?
y,z,w
?
?S
,
?
x,y,w
?
?S

C.
?
y,z,w
?
?S
,
?
x,y,w
?
? S
D.
?
y,z,w
?
?S
,
?
x,y,w
?
?S

【知识点】不等关系.
【数学思想】分类讨论思想
【解题过程】从集合
S
的定义，
?x,y,z
?
?S
可三个不等式，
?
z,w,x
??S
也可得三个不等式，组
合之后可知
x,y,z,w
满足不等关系x?y?z
且
x?z?w
，或
x?y?z
且
w?x?y
，或
y?z?x
且
z?w?x
，或
z?x?y
且< br>z?w?x
，这样可能有
y?z?w
或
w?y?z
或
y?z?w
或
w?x?y
，于是
?
x,y,w
?
? S
不一定成立，
?
y,z,w
?
?S
也不一定成立.
【思路点拨】分类讨论注意不重不漏
【答案】B
10.已知
a?b?0
，则下列不等式中总成立的是（ ）
A.
a?
1111bb?111
D.
b??a?

?b?
B.
a??b?
C.
?
baabaa?1ba
1
b
111
?0,?a??b ?
.
aba
【知识点】不等式的性质
【解题过程】
a?b?0,??
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】A
自助餐
11.如果
a、b、c
满足
c?b? a
，且
ac?0
，那么下列选项不恒成立的是（ ）
A.
ab?ac
B.
cb
2
?ab
2
C.
c
?
b?a
?
?0
D.
ac
?
a?c
?
?0

【知识点】不等式的性质.
【解题过程】
c?a
且
ac?0
，故
c?0,a?0
，由不等式的性质知A，C，D都恒成立.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】B
12.已知
a,b?R
且
a?b
，则下列不等式中成立的是（ ）
A.
a
?1
B.
a
2
?b
2
C.
ln
?
a?b
?
?0
D.
2
a?b
?1

b
【知识点】不等式的性质.
【解题过程】只有当
a?b?0
时，选项A，B正确；要使
ln
?
a?b
?
?0
，必须
a?b?1
，所以选项
C错误；当a?b
时，
a?b?0,?2
a?b
?2
0
?1
.

【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】D
13.设
a,b,c?R
且
a?b
，则（ ）
A.
ac?bc
B.
11
?
C.
a
2
?b
2
D.
a
3
?b
3

ab
【知识点】不等式的性质.
【解题过程】选项A中若
c?0
时,结果错,故A不正确;选项B中若
0?a ?b
时,结果错,故B不正
确;选项C中若
0?a?b
时,结果错,故C不正 确;在选项D中由不等式性质可知是正确的.
【思路点拨】掌握不等式的基本性质
【答案】D
14.当
0?x?1
时，下列大小关系正确的是（ ）
A.
x
3
?3
x
?log
3
x
B.
log
3
x?x
3
?3
x
C.
3
x
?x
3
?log
3
x
D.
log
3
x?3
x
?x
3

【知识点】利用中间值法比较大小
【解题过程】当
0?x?1
时，
log
3
x?log
3
1?0
，
0?x
3
?1
3
?1
，
1?3
0
?3
x
?3
1
?3
，所以
log
3
x?x
3
?3
x
.
【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”
【答案】B
15.设
a?
?
2
?
1.4
3
,b?3,c?l n
,则
a,b,c
的大小关系是（ ）
2
3
2
A.
a?b?c
B.
b?c?a
C.
c?a?b
D.
b?a?c

【知识点】比较大小.
a?(2)
【解题过程】
1.4
?1
，
b?3?1
，
c?ln
3
2
3
?1
，所以
c
最小，而
a
2
?2
1.4
，
b
2
?3
3
?27
，
2所以
a
2
?b
2
，即
a?b
，所以综上得：< br>c?a?b
.
【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较
【答案】D
16.若
2?a?4,3?b?5
，则
3a?b
的取值范围为 ，
【知识点】不等式的性质
【解题过程】因为
2?a?4,3?b?5
，所 以
6?3a?12,?5??b??3
，所以
1?3a?b?9
；
2a?b
的取值范围为 .
b

4?2a?8 ,
11142a892a1192a?b11
??
，所以
??
，所以
??1?
，即
??
.
5b35b35b35b3
【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.
911
【答案】
[1,9)
；
[,)

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