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最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》教材梳理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 07:14
tags:高中数学选修4-5

高中数学老师黑板板书-高中数学教师给学生的评语100字

2020年10月7日发(作者:凌春德)


庖丁巧解牛
知识·巧学
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式)
已知a
1
,a
2
,b
1
,b
2
∈R,则(a
1
b
1
+a
2
b< br>2
)
2
≤(a
1
2
+a
2
2
)
2
(b
1
2
+b
2
2
)
2< br>,当且仅当a
1
b
2
-a
2
b
1
= 0时取等号.
由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式:
对于任何实数a
1
,a
2
,b
1
,b
2
,以下不等式成立: < br>a
1
?a
2
?b
1
?b
2
≥|a< br>1
b
1
+a
2
b
2
|;
a
1
?a
2
?b
1
?b
2
≥|a
1
b
1
|+|a
2
b
2
|.
联想发散
不等式中等号成立
?
a
1
b
2
-a
2b
1
=0.这时我们称(a
1
,a
2
),(b
1
,b
2
)成比例,如果b
1
≠0,b
2
≠0,那 么
a
1
b
2
-a
2
b
1
=0?
2222
2222
a
1
a
2
.若b
1
·b
2
=0,我们分情况说明:①b
1
=b
2
= 0,则原不等式两边都是0,自然
?
b
1
b
2
成立;②b< br>1
=0,b
2
≠0,原不等式化为(a
1
2
+a2
2
)b
2
2
≥a
2
2
b
2
2
,也是自然成立的;③b
1
≠0,b
2
=0,原不等式和
②的道理一样,自然成立.正是因为b
1
·b
2
=0时,不等式恒成 立,因此我们研究柯西不等式时,总
是假定b
1
b
2
≠0,等号成立 的条件可以写成
a
1
a
2
,这种写法在表示一般形式(n维)的柯西 不
?
b
1
b
2
等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.
定理2 (柯西不等式的向量形式)设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是 零向量,
或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
学法一得
定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行(如α,β为非零向量,则定理2中等
号成立的充分必要条 件为向量α与β的夹角为0或π,即α与β对应的坐标分量成比例),
从而可以推知定理1中等号成立的 充分必要条件为
定理
2
a
1
a
2
(b
i< br>为零时,a
i
为零,i=1,2).
?
b
1
b2
x
1
,x
2
,y
1
,y
2
∈R,那么3 (二维形式的三角不等式)设
222
x
1
?y
1?x
2
?y
2
?(x
1
?x
2
)2
?(y
1
?y
2
)
2
.
二维形式 的三角不等式的变式:用x
1
-x
3
代替x
1
,用y
1
-y
3
代替y
1
,用x
2
-x
3代替x
2
,用
y
2
-y
3
代替y
2< br>,代入定理3,得
(x
1
?x
3
)?(y
1
?y
3
)?(x
1
?x
3
)?(y
2
?y
3
)

2222
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

二、一般形式的柯西不等式
定理 设a
i
,b
i
∈R(i=1,2, …,n),则(
?
(a
i
b
i
)?
?
a
i
2
i?1i? 1
nn
2
?
b
i
.
2
i?1
n
当数组a
1
,a
2
,…,a
n
,b
1,b
2
,…,b
n
不全为0时,等号成立当且仅当b
i
=λa
i
(1≤i≤n).
即(a
1
b
1
+a< br>2
b
2
+…+a
n
b
n
)
2
≤(a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2)
2
(b
1
2
+b
2
2
+…+bn
2
)
2
(a
i
,b
i
∈R,i=1 ,2,…,n)中等号成立的


条件是
a
1
a
2
a
=…=
n
.
?
b
n
b
1
b
2
记忆要诀
这个式子在竞赛中极为常用,只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特
殊,要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数,因此应用范围较广.
一般形式的柯西不等式有两个很好的变式:
2
(
?
a
i
)
2
a
i
?
变式1 设a
i
∈R,bc>0(i=1,2, …,n),则
?
,等号成立当且仅当 b
i
=λa
i
(1≤i≤n).
bb
i?1
?< br>ii
n
2
(
?
a
i
)
2
a
i
?
变式2 设a
i
,b
i
同号且不为0(i= 1,2,…,n),则
?
,等号成立当且仅当
bab
i?1
?
iii
n
b
1
=b
2
=…=b
n
.
深化升华
要求a
i
,b
i
均为正数. 当然,这两个式子虽常用,但是记不记住并不太重要,只要将柯西
不等式原始的式子记得很熟,这两个式 子其实是一眼就能看出来的,这就要求我们对柯西不
等式要做到活学活用.
柯西不等式经常用到的几个特例(下面出现的a
1
, …,a
n
;b
1
, …,b
n
都表示实数)是:
(1)a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2=1,b
1
2
+b
2
2
+…+b
n
2
=1,则|a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
|≤1;
(2)a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
1
≤a< br>1
2
+a
2
2
+a
3
2
;
(3)(a
1
+a
2
+…+a
n
)
2
≤ n(a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
);
11
+
)≥4=(1+1)
2
,其中a、b∈R
+
;
ab
111
(5)(a+b+c)(++
)≥9=(1+1+1 )
2
,其中a、b、c∈R
+
.
abc
(4)(a+b)(
柯西不等式是一个重要的不等式,有许多应用和推 广,与柯西不等式有关的竞赛题也频
频出现,这充分显示了它的独特地位.
典题·热题
知识点一: 用柯西不等式证明不等式
例1 设a
1
>a
2>…>a
n
>a
n+1
,求证:
1111
>0. < br>??
?
??
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n
?a
n?1
a
n?1
?a< br>1
思路分析:这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构就可以使用了,我们不妨改为证:
(a
1
-a
n+1
)·[
111
??
?
?
]>1.
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n
?a
n?1
证明:为了运用柯西不 等式,我们将a
1
-a
n+1
写成
a
1
-an+1
=(a
1
-a
2
)+(a
2
-a
3
)+ …+(a
n
-a
n+1
),于是
[(a
1
-a
2
)+(a
2
-a
3
)+…+(a
n
-a
n+1
)]·(
111
??
?
?
)≥n
2
>1.
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n
?a
n?1


即(a
1
-a
n+1
)·(
111
)>1,
??
?
?
a
1
?a
2
a
2
?a
3< br>a
n
?a
n?1

1111
,
??
?
??
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n
?a
n?1
a
1
?a
n?1
1111
>0.
??
?
??
a
1
?a
2
a
2
?a
3
a
n
?a
n?1
a< br>n?1
?a
1

方法归纳
我们进一步观察柯西不 等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式之和,其中每
一个因式都是项平方和,右边是左边中对 立的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题
凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明.
知识点二: 用柯西不等式证明条件不等式
例2 (经典回放)设x
1
,x
2
, …,x
n
∈R
+
,求证:
x
1
xx
x< br>n
≥x
1
+x
2
+…+x
n
.
? ????
x
2
x
3
x
n
x
1
思路 分析:在不等式的左端嵌乘以因式(x
2
+x
3
+…+x
n
+x
1
),也即嵌以因式(x
1
+x
2
+…+x
n
),由
柯西不等式即可得证.
2
2
x
xx
xn
证明:(
1
?
)·(x
2
+x
3
+ …+x
n
+x
1
)
????
x
2
x3
x
n
x
1
=[(
2
2
x
1
x
2
)
2
+(
x
x
x
2
2
)+…+(
n?1
)
2
+(
n
)
2
x
2
x
1
x
n
[(
x
2
)
2
+(
x
3
)
2
+…+(
x< br>n
)
2
+(
x
1
)
2

≥(
x
1
x
2
·
x
2
+
x
x
x
2
·
x
3
+…+
n?1
·
x
n
+
n
·
x
1
)
x
2
x
1
x
n
2
=(x
1
+x
2
+ …+x
n
)
2
,
x
xx
x
n
于 是
1
?
≥x
1
+x
2
+…+x
n
.
????
x
2
x
3
x
n
x
1
巧解提示
柯西不等式中有三个因式
nnn
2
?
a,
?
b,
?
ab
22
ii
i?1i?1i?1< br>ii
,而一般题目中只有一个或两个因式,
为了运用柯西不等式,我们需要设法嵌入一个 因式(嵌入的因式之和往往是定值),这也是
利用柯西不等式的技巧之一.
知识点三: 用柯西不等式求函数的极值
例3 已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a
2
+2b
2
+3c
2
+6d
2
=5,试求a的最值.
思路分析:本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和


为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解.
解:由柯西不等式得,有 (2b
2
+3c
2
+6d
2
)(
111
??
)≥(b+c+d)
2
,
236
即2b
2
+3c
2
+6d
2
≥(b+c+d)
2
.
由条件可得,5-a
2
≥(3-a)
2
.
解得,1≤a≤2,当且仅当
2b3c6d
时等号成立.
??
121316
11
,d=时,a
max
=2;
36
21
b=1,c=,d=时,a
min
=1.
33
代入b=1,c=
巧妙变式
为了给运用柯西不等式创造条件 ,经常引进一些待定的参数,其值的确定由题设或者由
等号成立的充要条件共同确定,也有一些三角极值 问题我们可以反复运用柯西不等式进行解
决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的,但在运用过程中,每运
用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.这 多次反复运用
柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
如:已知a,b为正常数,且0解:利用柯西不等式,得
3
?
ab
?
,求y=的最小值.
sinxcosx
2
a
2
?
3
b
2
?(
3
a2
?
3
b
2
)
(sin
2
x+cos
2
x)
≥(
3
a
sinx+
3
b
cosx)
2
.
当且仅当
sinx
3
a
?cosx
3
b
时等号成立.
于是
3
a
2?
3
b
2
?
3
a
sinx+
3
b
cosx.
再由柯西不等式,得
ab
?
)
sin xcosx
ab
?
≥(
3
a
sinx+
3
b
cosx)()
sinxcosx
3
a
2
?
3
b
2
(
ab
2
33
2
≥(
6asinx
)=(a+b).
?
6
bcosx
sinxcos x
当且仅当
22
sinx
3
a
?
cosx
3
b
时等号成立.
ab
?
从而y=≥(a
3
+b
3
)
3
.
sinxcosx

222

< p>
ab
?
于是y=的最小值是(a
3
+b
3
)< br>3
.
sinxcosx
问题·探究
思想方法探究
问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n个实数平方平均数不小于这n个数的算术平均
222
a ?a
2
???a
n
a?a
2
???a
n
数 ,即若a
1
,a
2
,…,a
n
∈R,则
1
.
?
1
nn
探究过程:由柯西不等式可知
(a
1
+a
2
+…+a
n
)
2
≤(a
1
·1+ a
2
·1+…+a
n
·1)
2
≤(a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
)·(1
2
+1
2
+…+1
2
)=(a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
)·n,所以
222
(a
1
?a
2
???a
n
)
2
a?a
2
???a
n
≤a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
,故
1
?
n
n
222
a1
?a
2
???a
n
.
n
222
a ?a
2
???a
n
a?a
2
???a
n
不 等式
1
,把中学教材中仅有关于两个正数的“算
?
1
nn
术 平均”,“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题,即
n
222
a?a
2
???a
n
a?a
2
???a
n
,这不仅拓宽了 中学生的眼界,
?
1
a
1
a
2
?a
n
1
nn
而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.
探究结论:柯 西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且它对初等数学也有
很好的指导作用,利用它能 方便地解决一些中学数学中的有关问题.
交流讨论探究
问题 柯西不等式在求某些函数最 值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,试交流
讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳. < br>探究过程:人物甲:构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数,如:设a、b、c为正
22 29
???
.我们可以如此分析:∵a、b、c均为
a?bb?cc?aa?b?c< br>111
??
正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)[]>9.而
a?bb ?cc?a
数且各不相等.求证
2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又 9=(1+1+1)
2
.
人物乙:构造符合柯西不等式的形式及条件可以重 新安排某些项的次序,如:a、b为
非负数,a+b=1,x
1
,x
2
∈R
+
,求证(ax
1
+bx
2
)(bx
1+ax
2
)≥x
1
x
2
.我们可以如此分析:不等号左 边为两
个二项式积,a,b∈
R
-
,x
1
,x
2< br>∈R
+
,直接用柯西不等式做得不到预想结论,当把第二个小括号
的两项前后调 换一下位置,就能证明结论了.
人物丙:构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构,从 而能够使用柯西不等式,
如:若a>b>c,求证
114
?

.我们 可以如此分析:初式并不能使用柯西不等式,
a?bb?c
a?c
改造结构后便可使用 柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为
(a-c)(
11
?
)≥4.
a?bb?c


人物丁:构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项,如:若a,b,c∈R
+
,求证
abc3
??

.我们可以如此分析:左端变形
b?cc?aa?b2
abc1119
??
+1++1++1=(a+b+c)(),∴只需证此式≥即可. a?bb?cc?aa?b2
b?cc?a
探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用 一些方法(巧拆常数、重新安排某些项的次
序、添项等)构造符合柯西不等式的形式及条件.

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