关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

人教版高中数学选修4-5 柯西不等式教学题库大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 07:15
tags:高中数学选修4-5

四川高中数学教师资格证-高中数学基本题型 思路

2020年10月7日发(作者:童大年)



新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
(a,b,c,d?R,当且仅当a d?bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式
(1)a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?ac?bd
(a ,b,c,d?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.)

(2)a
2
? b
2
?c
2
?d
2
?ac?bd
(a,b,c,d ?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.)

(3)(a?b)(c?d)?(ac?bd )
2
(a,b,c,d?0,当且仅当ad?bc时,等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式
?
?
?
?
??.(当且仅当
?
是零向量,或存在实数k,使
?
?k
?
时,等号成立.)

借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对a^2 + b^2 + c^2,
并不是不等式的形状,但变成(13) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法
(1)巧拆常数:
例1:设
a

b

c
为正数且各不相等。求证:< br>2229

???
a?bb?cc?aa?b?c
(2)重新安排某些项的次序:
例2 :
a

b
为非负数,
a
+
b
=1,
x
1
,x
2
?R
?
求证:
(ax
1?bx
2
)(bx
1
?ax
2
)?x
1
x
2

(3)改变结构:
例3、若
a
>
b
>
c
求证:
(4)添项:
abc3
???

b?cc?aa?b2?
?
?
?
?
【1】、

a?(?2,1,2) , b?6
,则
a?b
之最小值为________;此时
b?
__ ______。
?
?
?
?
?
?
?
?答案:?18;
(4,?2,?4)
解析:
a?b?ab

a?b?18

?18?a?b?18

?
?
?
?
b??2a?(4,?2,?4)

a?b
之最小值为?18,此时

?
??
?
222
【2】 设
a
? (1,0,? 2),
b
? (x,y,z),若x ? y ? z ? 16,则
a
b
的最大值为 。
【解】
?
??
?

a
? (1,0,? 2),
b
? (x,y,z) ∴
a

b
? x ? 2z
由柯西不等式[1
2
? 0 ? (? 2)
2
](x
2
? y
2
? z
2
) ? (x ? 0 ? 2z)
2

114

??
a?bb ?ca?c
例4:
a,b,c?R
?
求证:
? 5 ? 16 ? (x ? 2z)
2
? ? 4
5
? x ? 4
5

?
?
?
?
? ? 4
5
?
a

b
? 4
5
,故
a

b
的最大值为4
5


【3】空间二向量
a?(1,2,3)

b?(x,y,z),已知
b?56
,则(1)
a?b
的最大值为多少?(2)此时
b?

Ans:(1) 28:(2) (2,4,6)


4936
【4】设a、b、c为正数,求
(a?b?c)(??)
的最小值。Ans:121
abc
【5】. 设x,y,z ? R,且满足x
2
? y
2
? z
2
? 5,则x ? 2y ? 3z之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)
2
? (x
2
? y
2
? z
2
)(1
2
? 2
2
? 3
2
) ? 5.14 ? 70
∴ x ? 2y ? 3z最大值为
70

【6】 设x,y,z ? R,若x
2
? y
2
? z
2
? 4,则x ? 2y ? 2z之最小值为 时,(x,y,z) ?
解(x ? 2y ? 2z)
2
? (x
2
? y
2
? z
2
)[1
2
? ( ? 2)
2
? 2
2
] ? 4.9 ? 36
xyz?6?2
??
2
?
∴ x ? 2y ? 2z最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时
?

1?22
2?(?2)
2
?2
2
3
?24?4

y?

z?< br>
333
【7】设
x,y,z?R

x
2
? y
2
?z
2
?25
,试求
x?2y?2z
的最大值 M与最小值m。
Ans:
M?15;m??15


x?

【8】、

x, y, z?R, x
2
?y
2
?z
2
?25
,试求
x?2y?2z
的最大 值与最小值。
答:根据柯西不等式

(1?x?2?y?2?z)?[1?(?2)?2](x?y?z)


(x?2y?2z)?9?25

而有
?15?x?2y?2z?15


x?2y?2z
的最大值为15,最小值为–15。
2
2222222
【9】、

x, y, z?R, 2x?y? 2z?6
,试求
x
2
?y
2
?z
2
之最小 值。
答案:考虑以下两组向量
???
2
?
2

u
= ( 2, –1, –2)
v
=( x, y, z ) 根据柯西不等式
(u?v)
2
?u?v
,就有

[2x?(?1)y?(?2)z]
2
?[2
2
?(?1)
2
?(?2)
2
](x
2
?y
2
?z
2< br>)


(2x?y?2z)
2
?9(x
2
?y
2
?z
2
)

2x?y?2z?6
代入其中,得
36?9(x
2
?y
2
?z
2
)
而有

x
2
?y
2
?z
2
?4

x
2
?y
2
?z
2
之最小值为4。
< br>【10】设
x,y,z?R

2x?y?2z?6
,求
x2
?y
2
?z
2
的最小值m,并求此时x、y、z之值。
424
Ans:
m?4;(x,y,z)?(,?,?)

333
【11】 设x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)
2
? (y ? 2)
2
? (z ? 3)
2
之最小值为

解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9,
考虑以下两组向量
???
2
?
2

u
= ( , , ) ,
v
=( , , )
(u?v)
2
?u?v


[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]
2
? [(x ? 1)
2
? (y ? 2)
2
? (z ? 3)
2
].(2
2
? 2
2
? 1
2
)
? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2 2 2
(?9)
2
9
? 9


【12】
设x, y, z
?
R
,若
2x?3y?z?3< br>,则
x
2
?(y?1)
2
?z
2
之最小值为 ________,又此时
y?
________。
解:
2x?3y?z?3
? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( ),
考虑以下两组向量



u
= ( , , ) ,
v
=( , , )
解析:
[x
2
?(y?1)
2
?z
2
][2
2
?(?3)
2
?1
2
]?(2x?3y?3?z)
2
[x< br>2
?(y?1)
2
?z
2
]?
xy?1z
? ?t?, 2x
2?31

2
3

t?

y??

7
7
?3y?z
3618
∴最小值
147
3?3,?2t(2?)t?3(

?3t?1)?
【13】 设a,b,c均为正数且a ? b ? c ? 9,则
4916
??
之最小值为
abc

解:考虑以下两组向量

u
= ( , , ) ,
v
=( , , )
2 34
4916
???
2
?
2
?a??b??c)
2

?
(
??
)(a ? b ? c)
(u?v)
2
?u?v

(
abc
abc
4916
? (
??
).9 ? (2 ? 3 ? 4)
2
? 81
abc
491681
?
??
? ? 9
abc9


123
【14】、
设a, b, c均为正数,且
a?2b?3c?2
,则
??
之最小值为________,此时
a?
________。
abc
解:考虑以下两组向量

u
= ( , , ) ,
v
=( , , )
123
???
2
?
2
(u?v)
2
?u?v
< br>[(a)
2
?(2b)
2
?(3c)
2
][()2
?()
2
?()
2
]?(1?2?3)
2

abc
123
??

(??)?18
,最小值为18 等号发生于
uv

abc
a
1
a
?
2b
2
b
?
3c
3
c


a?b?c

a?2b?3c?2

a?

1

3
?
【15】. 设空间向量
a
的方向为?,?,?,0 ? ?,?,? ? ?,csc
2
? ? 9 csc
2
? ? 25 csc
2
? 的最小值
为 。

解∵ sin
2
? ? sin
2
? ? sin
2
? ? 2由柯西不等式
∴ (sin
2
? ? sin
2
? ? sin
2
?)[
(
1
2
3
2
5
2
)?()?()
] ? (1 ? 3 ? 5)
2
2(csc
2
? ? 9csc
2
? ? 25csc
2
?) ? 81
sin
?
sin
?
sin
?
∴ csc
2
? ? 9csc
2
? ? 25csc
2
? ?
8181
∴ 故最小值为
22
?
【16】. 空间中一向量
a
与x轴,y轴,z轴正向之夹角依次为?,?,?(?,?,? 均非象限角),
149
?

2
?
的最小值。
si n
?
sin
2
?
sin
2
?
解 : 由柯西不等式
【注】本题亦可求tan
2
? ? 9 tan
2
? ? 25tan
2
? 与cot
2
? ? 9cot
2
? ? 25cot
2
? 之最小值,请自行练习。


[(
(1
2
2
2
3
2
)?()?()](sin
2< br>?
?sin
2
?
?sin
2
?
)
?
sin
?
sin
?
sin
?
123
? sin
?
??sin
?
??sin
?
)
2

sin
?
sin
?
sin
?
149
)?( )?()](sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
)?(1?2?3)
2

222
sin
?
sin
?
sin
?
149149
??)?36?(??)?18< br>
222222
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
?(
∵ sin
2
? ? sin
2
? ? sin
2
? ? 2 ∴ 2
(

149
??
的最小值 ? 18
sin2
?
sin
2
?
sin
2
?
9251 6
??
的最小值。
222
sin
?
sin
?sin
?
【17】.空间中一向量
a
的方向角分别为
?
,
?
,
?
,求
答72利用柯西不等式解之
【18】、
设x, y, z
?
R,若
(x?1)
2
?(y?2)
2
?z
2
?4
,则
3x?y?2z
之范围为何?又
3x?y?2z
发生最
小值时,
x?

答 案:
[(x?1)
2
?(y?2)
2
?z
2
][3
2
?(?1)
2
?(?2)
2
]?(3x?3?y?2?2 z)
2

4(14)?(3x?y?2z?5)
2

?214?3x?y?2z?5?214

5?214?3x?y?2z?5?21 4
x?1y?2z

3x?y?2z?5?214

???t

3(3t?1)?(?t?2)?2(?2t)?5?214

3?1?2
314
14
?1


t??

x??
7
7

【19】 设?ABC之三边长x,y,z满足x ? 2y + z = 0及3x + y ? 2z = 0,则?ABC之最大角是多
少度?
?21
111?2
?
x?2y?z?0
【解】
?
? x:y:z =::= 3:5:7
1?2
?2331
?
3x?y?2z? 0
(3k)
2
?(5k)
2
?(7k)
2
1
设三边长为x = 3k,y = 5k,z = 7k则最大角度之cos? == ?,∴? = 120?
2(3k)(5k)
2
(x?1)
2
(y?2)
2
(z?3)
2
???1
,求x ? y ? z之最大值,最小值。 【20】. 设x,y,z ? R且
1654
Ans 最大值7;最小值 ? 3
【解】
(x?1)
2
(y?2)
2
(z?3)
2
???1

1654
由柯西不等式知
?
x?1
2
y?2
2
z?3
2
[4
2
? (
5
)
2
? 2
2
]
?
()?()?( )
2
5
?
4
2
?
?
?
?
?
x?1y?2
?
4.()?5.()?2.

?
4
5
?
z?3
?
()
?
? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)
2
? 5 ? |x ? y ? z ? 2|
2
?
? ? 5 ? x ? y ? z ? 2 ? 5 ∴ ? 3 ? x ? y ? z ? 7


故x ? y ? z之最大值为7,最小值为 ? 3


【21】. 求2sin? ?
3
cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。
答. 最大值为
22
,最小值为 ?
22

【详解】
?
?
令向量
a
? (2sin?,
3
cos?,? cos?),
b
? (1,sin?,cos?)
?
?
?
?
由柯西不等式 |
a

b
| ? |
a
||
b
|得
| 2sin? ?
3
cos? sin? ? cos? cos? | ?
4sin
2
?
?3cos
2
?
?cos
2
?

1?sin
2
?
?cos
2
?
?
4(sin
2
?
?cos
2
?
)(1?sin2
?
?cos
2
?
)?22

所求最大值为
22
,最小值为 ?
22

【22】△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:
(a
2
?b
2
?c
2
)(
111
??)?36R
2证明:由三角形中的正弦定理得
222
sinAsinBsinC
14R
2
14R
2
14R
2
a
,所以
2
?2
,同理
2
?
2

2
?
2
于 是左边=
sinA?
2R
sinAasinBbsinCc
4R
2
4R
2
4R
2
2R2R2R
2
(a?b?c)(< br>2
?
2
?
2
)?(a??a??a?)?36R
2< br>。
abc
abc
|Ax
0
?By
0
?C|
222
【23】求证:点P(x
0
,y
0
)到直线Ax+B y+C=0的距离d=
A?B
22
.
证明:设Q(x,y)是直线上任意一 点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|
2
=(x-x
0
)
2+(y-y
0
)
2
,A
2
+B
2
≠0 ,由柯西不等式得
22
(A
2
+B
2
[)(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
]≥[A(x-x0
)+B(y-y
0
)]=[(Ax+By)-(Ax
0
+By
0
)]=(Ax
0
+By
0
+C)
2
,所 以|PQ|≥
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
.

x?x
0
y?y
0
Ax?By?C
|Ax
0
?By
0
?C|
???
0
2
0< br>2
时,取等号,由垂线段最短得d=.
22
AB
A?B
A? B
111
??
≤λ恒成立,求λ的范围.
x?yy?zz?x
【2 4】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式
解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得
111
1111z
??

???
(
?
x? yy?zz?x
2xy2yz2zx
2x?y?z
x
?
x?y?z< br>y
)

x?y?z
?
3
1zxy3
故λ的取值范围是[
,+∞).
(1
2
?1
2
?1
2
)(??)?
22x?y?zx?y?zx?y?z2
温馨提示
本题主要应用了最值法,即不等式
化为求f(x,y,z)=
111111
????
≤λ恒成立,等价于(
)
max
≤λ,问题转
x?yy?zz?xx?yy?zz?x
111
??
的最大值.
x?yy?zz?x


【25】设a,b,c,x,y ,z均为正实数,且满足a
2
+b
2
+c
2
=25,x2
+y
2
+z
2
=36,ax+by+cz=30.求
解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.
由柯西不等式等号成立的条件,知
a?b?c
的值.
x?y?z
a bca?b?c
??
=λ,再由等比定理,得
=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不
xyzx?y?z
abc
??
=λ时,上式等号成立. 等式,得30
2
=(ax+by+cz)
2
≤(a
2
+b
2
+ c
2
)(x
2
+y
2
+z
2
)=25×3 6,当且仅当
xyz
于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ
2
(x< br>2
+y
2
+z
2
)=25,∴λ=±
5
6< br>(舍负),即
abc5
x
?
y
?
z
?
6
.
竞赛欣赏
1 (1987年CMO集训队试题)设
a,b,c?R
?
,求证:
a
5
?b
5
?c
5
?a
3
bc?b
3
ca?c
3
ab

证明:因
a
2
?b
2
?c
2
?ab ?bc?ca
,由定理1有
a
4
b
4
c
4
(a
2
?b
2
?c
2
?
ca
?
ab
?
)
2
bc?ca?ab
?a
2
?b
2
?c
2
bc
此即(2-10)式。
2 设
a,b,c ?R
?
,求证:
b
2
c
2
a
2
a
?
b
?
c
?3(a
2
?b
2
?c
2
)

证明:由均值不等式得
a
3
?c2
a?2a
2
c,b
3
?a
2
b?2ab,c
3
?b
2
c?2bc
2
,故

a
3
?b
3
?c
3
?a
2
b?b
2
c?
2
c2?a(a
2
b?
2
b?c)

ca

(a
2
?b
2
?c
2
)(a?b?c)?3(ab
2
?bc
2
?ca
2
)
.
又由柯西不等式知
3(a
2
?b
2
?c2
)?(a?b?c)
2
,故
3(a
2
?b
2
?c
2
)?a?b?c

又由定理1,得
a
4< br>b
4
c
4
(a
2
?b
2
?c
2
)
2
原式左=
3(a
2
?b
2
?c< br>2
)
2
a
2
c
?
b
2
a< br>?
c
2
b
?
bc
2
?ca
2
?ab
2
?
(a
2
?b
2
?c
2
)(a?b?c)
?
原式右

2-10) (

高中数学辅导 丹东-高中数学视频司马丽红


高中数学必修1 必修4综合题-高中数学书上有没有薛定谔


高中数学课堂引入方面-全国高中数学联赛函数满分突破


高中数学的专业拓展课-安徽省高中数学知识点


高中数学异线角-高中数学数列不定点


人教版高中数学书几k-马鞍山附近有高中数学补课班


高中数学会涉及初中数学什么-高中数学教材文理不同么


高中数学反-2019新版高中数学书



本文更新与2020-10-07 07:15,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/411778.html

人教版高中数学选修4-5 柯西不等式教学题库大全的相关文章

人教版高中数学选修4-5 柯西不等式教学题库大全随机文章