四川高中数学教师资格证-高中数学基本题型 思路
新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
(a,b,c,d?R,当且仅当a
d?bc时,等号成立.)
二、二维形式的柯西不等式的变式
(1)a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?ac?bd
(a
,b,c,d?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.)
(2)a
2
?
b
2
?c
2
?d
2
?ac?bd
(a,b,c,d
?R,当且仅当ad?bc时,等号成立.)
(3)(a?b)(c?d)?(ac?bd
)
2
(a,b,c,d?0,当且仅当ad?bc时,等号成立.)
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
?
?
?
?
??.(当且仅当
?
是零向量,或存在实数k,使
?
?k
?
时,等号成立.)
借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对a^2 + b^2 +
c^2,
并不是不等式的形状,但变成(13) * (1^2 + 1^2 + 1^2) *
(a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法
(1)巧拆常数:
例1:设
a
、
b
、
c
为正数且各不相等。求证:<
br>2229
???
a?bb?cc?aa?b?c
(2)重新安排某些项的次序:
例2
:
a
、
b
为非负数,
a
+
b
=1,
x
1
,x
2
?R
?
求证:
(ax
1?bx
2
)(bx
1
?ax
2
)?x
1
x
2
(3)改变结构:
例3、若
a
>
b
>
c
求证:
(4)添项:
abc3
???
b?cc?aa?b2?
?
?
?
?
【1】、
设
a?(?2,1,2)
, b?6
,则
a?b
之最小值为________;此时
b?
__
______。
?
?
?
?
?
?
?
?答案:?18;
(4,?2,?4)
解析:
a?b?ab
∴
a?b?18
∴
?18?a?b?18
?
?
?
?
b??2a?(4,?2,?4)
a?b
之最小值为?18,此时
?
??
?
222
【2】 设
a
? (1,0,?
2),
b
? (x,y,z),若x ? y ? z ?
16,则
a
b
的最大值为 。
【解】
?
??
?
∵
a
? (1,0,?
2),
b
? (x,y,z) ∴
a
.
b
? x ?
2z
由柯西不等式[1
2
? 0 ? (?
2)
2
](x
2
? y
2
? z
2
)
? (x ? 0 ? 2z)
2
114
??
a?bb
?ca?c
例4:
a,b,c?R
?
求证:
? 5 ? 16 ?
(x ? 2z)
2
? ? 4
5
? x ? 4
5
?
?
?
?
? ? 4
5
?
a
.
b
?
4
5
,故
a
.
b
的最大值为4
5
【3】空间二向量
a?(1,2,3)
,
b?(x,y,z),已知
b?56
,则(1)
a?b
的最大值为多少?(2)此时
b?
?
Ans:(1) 28:(2) (2,4,6)
4936
【4】设a、b、c为正数,求
(a?b?c)(??)
的最小值。Ans:121
abc
【5】. 设x,y,z ? R,且满足x
2
?
y
2
? z
2
? 5,则x ? 2y ? 3z之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)
2
? (x
2
?
y
2
? z
2
)(1
2
? 2
2
?
3
2
) ? 5.14 ? 70
∴ x ? 2y ?
3z最大值为
70
【6】 设x,y,z ? R,若x
2
?
y
2
? z
2
? 4,则x ? 2y ? 2z之最小值为
时,(x,y,z) ?
解(x ? 2y ? 2z)
2
?
(x
2
? y
2
? z
2
)[1
2
? ( ? 2)
2
? 2
2
] ? 4.9 ? 36
xyz?6?2
??
2
?
∴ x ? 2y ? 2z最小值为 ?
6,公式法求 (x,y,z) 此时
?
1?22
2?(?2)
2
?2
2
3
?24?4
,
y?
,
z?<
br>
333
【7】设
x,y,z?R
,
x
2
?
y
2
?z
2
?25
,试求
x?2y?2z
的最大值
M与最小值m。
Ans:
M?15;m??15
∴
x?
【8】、
设
x, y, z?R, x
2
?y
2
?z
2
?25
,试求
x?2y?2z
的最大
值与最小值。
答:根据柯西不等式
(1?x?2?y?2?z)?[1?(?2)?2](x?y?z)
即
(x?2y?2z)?9?25
而有
?15?x?2y?2z?15
故
x?2y?2z
的最大值为15,最小值为–15。
2
2222222
【9】、
设
x, y, z?R, 2x?y?
2z?6
,试求
x
2
?y
2
?z
2
之最小
值。
答案:考虑以下两组向量
???
2
?
2
u
= ( 2, –1, –2)
v
=( x, y, z
) 根据柯西不等式
(u?v)
2
?u?v
,就有
[2x?(?1)y?(?2)z]
2
?[2
2
?(?1)
2
?(?2)
2
](x
2
?y
2
?z
2<
br>)
即
(2x?y?2z)
2
?9(x
2
?y
2
?z
2
)
将
2x?y?2z?6
代入其中,得
36?9(x
2
?y
2
?z
2
)
而有
x
2
?y
2
?z
2
?4
故
x
2
?y
2
?z
2
之最小值为4。
<
br>【10】设
x,y,z?R
,
2x?y?2z?6
,求
x2
?y
2
?z
2
的最小值m,并求此时x、y、z之值。
424
Ans:
m?4;(x,y,z)?(,?,?)
333
【11】 设x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x
? 1)
2
? (y ? 2)
2
? (z ?
3)
2
之最小值为
解: 2x ? 2y ? z ? 8
? 0 ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9,
考虑以下两组向量
???
2
?
2
u
= ( , , ) ,
v
=( ,
, )
(u?v)
2
?u?v
[2(x ?
1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]
2
? [(x ?
1)
2
? (y ? 2)
2
? (z ? 3)
2
].(2
2
? 2
2
? 1
2
)
? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2 2
2
(?9)
2
9
? 9
【12】
设x, y, z
?
R
,若
2x?3y?z?3<
br>,则
x
2
?(y?1)
2
?z
2
之最小值为
________,又此时
y?
________。
解:
2x?3y?z?3
? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( ),
考虑以下两组向量
u
= ( ,
, ) ,
v
=( , , )
解析:
[x
2
?(y?1)
2
?z
2
][2
2
?(?3)
2
?1
2
]?(2x?3y?3?z)
2
[x<
br>2
?(y?1)
2
?z
2
]?
xy?1z
?
?t?, 2x
2?31
2
3
∴
t?
∴
y??
7
7
?3y?z
3618
∴最小值
147
3?3,?2t(2?)t?3(
?3t?1)?
【13】
设a,b,c均为正数且a ? b ? c ? 9,则
4916
??
之最小值为
abc
解:考虑以下两组向量
u
= (
, , ) ,
v
=( , , )
2
34
4916
???
2
?
2
?a??b??c)
2
?
(
??
)(a ? b ? c)
(u?v)
2
?u?v
(
abc
abc
4916
? (
??
).9 ?
(2 ? 3 ? 4)
2
? 81
abc
491681
?
??
? ? 9
abc9
123
【14】、
设a, b, c均为正数,且
a?2b?3c?2
,则
??
之最小值为________,此时
a?
________。
abc
解:考虑以下两组向量
u
= ( ,
, ) ,
v
=( , , )
123
???
2
?
2
(u?v)
2
?u?v
<
br>[(a)
2
?(2b)
2
?(3c)
2
][()2
?()
2
?()
2
]?(1?2?3)
2
abc
123
??
∴
(??)?18
,最小值为18
等号发生于
uv
故
abc
a
1
a
?
2b
2
b
?
3c
3
c
∴
a?b?c
又
a?2b?3c?2
∴
a?
1
3
?
【15】.
设空间向量
a
的方向为?,?,?,0 ? ?,?,? ?
?,csc
2
? ? 9 csc
2
? ? 25
csc
2
? 的最小值
为 。
解∵
sin
2
? ? sin
2
? ? sin
2
? ?
2由柯西不等式
∴ (sin
2
? ? sin
2
? ? sin
2
?)[
(
1
2
3
2
5
2
)?()?()
] ? (1 ? 3 ? 5)
2
2(csc
2
? ? 9csc
2
? ?
25csc
2
?) ? 81
sin
?
sin
?
sin
?
∴
csc
2
? ? 9csc
2
? ? 25csc
2
?
?
8181
∴ 故最小值为
22
?
【16】.
空间中一向量
a
与x轴,y轴,z轴正向之夹角依次为?,?,?(?,?,?
均非象限角),
149
?
求
2
?
的最小值。
si
n
?
sin
2
?
sin
2
?
解 :
由柯西不等式
【注】本题亦可求tan
2
? ? 9 tan
2
?
? 25tan
2
? 与cot
2
? ? 9cot
2
?
? 25cot
2
? 之最小值,请自行练习。
[(
(1
2
2
2
3
2
)?()?()](sin
2<
br>?
?sin
2
?
?sin
2
?
)
?
sin
?
sin
?
sin
?
123
?
sin
?
??sin
?
??sin
?
)
2
sin
?
sin
?
sin
?
149
)?(
)?()](sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
)?(1?2?3)
2
222
sin
?
sin
?
sin
?
149149
??)?36?(??)?18<
br>
222222
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
sin
?
?(
∵
sin
2
? ? sin
2
? ? sin
2
? ? 2
∴ 2
(
∴
149
??
的最小值 ? 18
sin2
?
sin
2
?
sin
2
?
9251
6
??
的最小值。
222
sin
?
sin
?sin
?
【17】.空间中一向量
a
的方向角分别为
?
,
?
,
?
,求
答72利用柯西不等式解之
【18】、
设x, y, z
?
R,若
(x?1)
2
?(y?2)
2
?z
2
?4
,则
3x?y?2z
之范围为何?又
3x?y?2z
发生最
小值时,
x?
?
答
案:
[(x?1)
2
?(y?2)
2
?z
2
][3
2
?(?1)
2
?(?2)
2
]?(3x?3?y?2?2
z)
2
4(14)?(3x?y?2z?5)
2
?214?3x?y?2z?5?214
5?214?3x?y?2z?5?21
4
x?1y?2z
若
3x?y?2z?5?214
又
???t
∴
3(3t?1)?(?t?2)?2(?2t)?5?214
3?1?2
314
14
?1
∴
t??
∴
x??
7
7
【19】 设?ABC之三边长x,y,z满足x
? 2y + z = 0及3x + y ? 2z = 0,则?ABC之最大角是多
少度?
?21
111?2
?
x?2y?z?0
【解】
?
?
x:y:z =::= 3:5:7
1?2
?2331
?
3x?y?2z?
0
(3k)
2
?(5k)
2
?(7k)
2
1
设三边长为x = 3k,y = 5k,z = 7k则最大角度之cos? == ?,∴? =
120?
2(3k)(5k)
2
(x?1)
2
(y?2)
2
(z?3)
2
???1
,求x ? y ? z之最大值,最小值。
【20】. 设x,y,z ? R且
1654
Ans 最大值7;最小值 ? 3
【解】
(x?1)
2
(y?2)
2
(z?3)
2
???1
∵
1654
由柯西不等式知
?
x?1
2
y?2
2
z?3
2
[4
2
?
(
5
)
2
? 2
2
]
?
()?()?(
)
2
5
?
4
2
?
?
?
?
?
x?1y?2
?
4.()?5.()?2.
?
4
5
?
z?3
?
()
?
?
25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)
2
? 5 ? |x ? y ? z
? 2|
2
?
? ? 5 ? x ? y ? z ? 2 ? 5 ∴ ? 3
? x ? y ? z ? 7
故x ? y ? z之最大值为7,最小值为 ?
3
【21】. 求2sin? ?
3
cos? sin? ?
cos? cos? 的最大值与最小值。
答. 最大值为
22
,最小值为
?
22
【详解】
?
?
令向量
a
?
(2sin?,
3
cos?,? cos?),
b
?
(1,sin?,cos?)
?
?
?
?
由柯西不等式
|
a
.
b
| ? |
a
||
b
|得
| 2sin? ?
3
cos? sin? ? cos? cos? | ?
4sin
2
?
?3cos
2
?
?cos
2
?
,
1?sin
2
?
?cos
2
?
?
4(sin
2
?
?cos
2
?
)(1?sin2
?
?cos
2
?
)?22
所求最大值为
22
,最小值为 ?
22
【22】△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:
(a
2
?b
2
?c
2
)(
111
??)?36R
2证明:由三角形中的正弦定理得
222
sinAsinBsinC
14R
2
14R
2
14R
2
a
,所以
2
?2
,同理
2
?
2
,
2
?
2
于
是左边=
sinA?
2R
sinAasinBbsinCc
4R
2
4R
2
4R
2
2R2R2R
2
(a?b?c)(<
br>2
?
2
?
2
)?(a??a??a?)?36R
2<
br>。
abc
abc
|Ax
0
?By
0
?C|
222
【23】求证:点P(x
0
,y
0
)到直线Ax+B
y+C=0的距离d=
A?B
22
.
证明:设Q(x,y)是直线上任意一
点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|
2
=(x-x
0
)
2+(y-y
0
)
2
,A
2
+B
2
≠0
,由柯西不等式得
22
(A
2
+B
2
[)(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
]≥[A(x-x0
)+B(y-y
0
)]=[(Ax+By)-(Ax
0
+By
0
)]=(Ax
0
+By
0
+C)
2
,所
以|PQ|≥
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
.
当
x?x
0
y?y
0
Ax?By?C
|Ax
0
?By
0
?C|
???
0
2
0<
br>2
时,取等号,由垂线段最短得d=.
22
AB
A?B
A?
B
111
??
≤λ恒成立,求λ的范围.
x?yy?zz?x
【2
4】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式
解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得
111
1111z
??
≤
???
(
?
x?
yy?zz?x
2xy2yz2zx
2x?y?z
x
?
x?y?z<
br>y
)
x?y?z
?
3
1zxy3
故λ的取值范围是[
,+∞).
(1
2
?1
2
?1
2
)(??)?
22x?y?zx?y?zx?y?z2
温馨提示
本题主要应用了最值法,即不等式
化为求f(x,y,z)=
111111
????
≤λ恒成立,等价于(
)
max
≤λ,问题转
x?yy?zz?xx?yy?zz?x
111
??
的最大值.
x?yy?zz?x
【25】设a,b,c,x,y
,z均为正实数,且满足a
2
+b
2
+c
2
=25,x2
+y
2
+z
2
=36,ax+by+cz=30.求
解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.
由柯西不等式等号成立的条件,知
a?b?c
的值.
x?y?z
a
bca?b?c
??
=λ,再由等比定理,得
=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不
xyzx?y?z
abc
??
=λ时,上式等号成立. 等式,得30
2
=(ax+by+cz)
2
≤(a
2
+b
2
+
c
2
)(x
2
+y
2
+z
2
)=25×3
6,当且仅当
xyz
于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ
2
(x<
br>2
+y
2
+z
2
)=25,∴λ=±
5
6<
br>(舍负),即
abc5
x
?
y
?
z
?
6
.
竞赛欣赏
1
(1987年CMO集训队试题)设
a,b,c?R
?
,求证:
a
5
?b
5
?c
5
?a
3
bc?b
3
ca?c
3
ab
证明:因
a
2
?b
2
?c
2
?ab
?bc?ca
,由定理1有
a
4
b
4
c
4
(a
2
?b
2
?c
2
?
ca
?
ab
?
)
2
bc?ca?ab
?a
2
?b
2
?c
2
bc
此即(2-10)式。
2 设
a,b,c
?R
?
,求证:
b
2
c
2
a
2
a
?
b
?
c
?3(a
2
?b
2
?c
2
)
证明:由均值不等式得
a
3
?c2
a?2a
2
c,b
3
?a
2
b?2ab,c
3
?b
2
c?2bc
2
,故
a
3
?b
3
?c
3
?a
2
b?b
2
c?
2
c2?a(a
2
b?
2
b?c)
ca
即
(a
2
?b
2
?c
2
)(a?b?c)?3(ab
2
?bc
2
?ca
2
)
.
又由柯西不等式知
3(a
2
?b
2
?c2
)?(a?b?c)
2
,故
3(a
2
?b
2
?c
2
)?a?b?c
又由定理1,得
a
4<
br>b
4
c
4
(a
2
?b
2
?c
2
)
2
原式左=
3(a
2
?b
2
?c<
br>2
)
2
a
2
c
?
b
2
a<
br>?
c
2
b
?
bc
2
?ca
2
?ab
2
?
(a
2
?b
2
?c
2
)(a?b?c)
?
原式右
2-10) (