人教版高中数学选修4-5课时训练基本不等式

课堂练习(二) 基本不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数
f
(
x
) ＝
x
x
＋1
的最大值为( )
1
B．
2
D．1
2
A．
5
C．
2

2
B [显然
x
≥0.当< br>x
＝0时，
f
(
x
)＝0；
1
当
x
>0时，
x
＋1≥2
x
，∴
f
(
x)≤，
2
当且仅当
x
＝1时，等号成立，
1
∴
f
(
x
)
max
＝.]
2
2．设0＜
a
＜
b
，则下列不等式中正确的是( )
A．
a
＜
b
＜
ab
＜
B．
a＜
ab
＜
a
＋
b
2

a
＋
b
2
＜
b

C．
a
＜
ab
＜
b
＜
D.
ab
＜
a
＜
a
＋
b
2
a
＋
b
2
＜
b

B [取特殊值法．取
a
＝2，
b
＝8，则
ab
＝4，
5
x
－4
x
＋5
3．已知
x
≥，则
f
(
x
)＝有( )
22
x
－4
5
A．最大值为
4
C．最大值为1
51
D [∵
x
≥，∴
x
－2≥，
22
?
x
－2 ?＋111
∴
f
(
x
)＝＝(
x
－2)＋≥ 2?
x
－2?22?
x
－2?
2
2
2
a
＋
b
2
＝5，所以
a
＜
ab
＜
a
＋
b
2
＜
b
.故选B.]
5
B．最小值为
4
D．最小值为1
x
－2
2< br>·
1
x
－21
＝1，当且仅当＝，
2?
x
－2?22?
x
－2?

即
x
＝3时，等号成立，∴
f
(
x
)
min
＝1.]
?
a
＋
b
?
4．已知
x
>0，
y
>0，
x
，
a
，
b
，
y
成等差数列，
x
，
c
，
d
，
y
成等比数 列，则的最小
2
cd
值是( )
A．0
C．2
D [由题意知
a
＋
b
＝
x
＋
y
，
cd
＝
xy
，
∴(
a
＋
b
) ＝(
x
＋
y
)≥4
xy
＝4
cd
，
∴
?
a
＋
b
?
2
22
B．1
D．4
cd
≥4，当且仅当
x
＝
y
时，取等号．]
5． 已知
a
，
b
是不相等的正数，
x
＝
A．
x
>
y

C．
x
>2
y

a
＋
b
2
，
y
＝
a
＋
b
， 则
x
，
y
的关系是( )
B．
y
>
x

D．
y
>2
x

2
B [因为
a
，
b
是不相等的正数，所以
x
＝
故
x
<
y
.]
二、填空题
a
＋
b
2
＋
ab<
a
＋
ba
＋
b
2
＋
2
＝< br>a
＋
b
＝
y
，即
x
<
y
，
222
6．若实数
x
，
y
满足
x
＋
y
＋
xy
＝1，则
x
＋
y
的最大值是_____ ___．
?
x
＋
y
?34
22
[解析]
x
＋
y
＋
xy
＝(
x
＋
y
)－
xy
≥(
x
＋
y
)－＝(
x
＋
y
)，∴(
x
＋
y
)≤，∴|
x
＋
443< br>2222
2
22
y
|≤
22
3，即
x
＋
y
的最大值为3.
33
[答案]
2
3
3
7．已知
x
，
y
∈R
＋
，且满足＋＝1，则
xy
的最大值为________．
34
[解析] 因为
x
＞0，
y
＞0，
所以＋≥2
34
[答案] 3
8．已知
a
，
b
，
m
，
n
均 为正数，且
a
＋
b
＝1，
mn
＝2，则(
am＋
bn
)·(
bm
＋
an
)的最小值为
___ _____．
[解析] ∵
a
，
b
，
m
，
n
∈R
＋
，且
a
＋
b
＝1，
mn
＝2，
∴(
am
＋
bn
)(
bm
＋
a n
)
＝
abm
＋
amn
＋
bmn
＋abn

2222
xy
xyxy
·＝
34
xy
3
，即
xy
3
≤1，解得
xy
≤3，所以其最大值 为3.

＝
ab
(
m
＋
n
)＋2(
a
＋
b
)
≥2
ab
·
mn
＋2(
a
＋
b
)
＝4
ab
＋2(
a
＋
b
)
＝2(
a
＋
b
＋2
ab
)
＝2(
a
＋
b
)＝2，
当且仅当
m
＝
n
＝2时，取“＝”，
∴所求最小值为2.
[答案] 2
三、解答题
9．已知
a
，
b
，< br>x
，
y
∈R
＋
，
x
，
y
为 变量，
a
，
b
为常数，且
a
＋
b
＝10， ＋＝1，
x
＋
y
的
最小值为18，求
a
，
b
.
2
22
22
22
2222
ab
xy
?
ab
?
[解] ∵
x
＋
y
＝(
x
＋
y
)
?
＋
?

?
xy
?
＝
a
＋
b
＋＋
当且仅当＝
bxay
2
≥
a
＋
b
＋2
ab
＝(
a
＋b
)，
yx
bxay
时取等号．
yx
2
又 (
x
＋
y
)
min
＝(
a
＋
b< br>)＝18，
即
a
＋
b
＋2
ab
＝18.
又
a
＋
b
＝10，
?
?
a
＝2 ，
由①②可得
?
?
?
b
＝8


①
②

?
?
a
＝8，
或
?< br>?
?
b
＝2.


x
2
x
2
x
2
231
10．已知
x
1
，
x
2
，
x
3
为正实数，若
x
1
＋
x
2
＋
x
3
＝1，求证：＋＋≥1.
x
1
x2
x
3
x
2
x
2
x
2
231
222
[证明] ∵＋
x
1
＋＋
x
2
＋＋
x
3
≥2
x
2
＋2
x
3
＋2x
1
＝2(
x
1
＋
x
2
＋
x
3
)＝2，
x
1
x
2
x
3
x< br>2
x
2
x
2
231
∴＋＋≥1.
x
1
x
2
x
3
[能力提升练]
1．设< br>x
，
y
∈R
＋
，且满足
x
＋4
y< br>＝40，则lg
x
＋lg
y
的最大值是( )
A．40
C．4
D [因为
x
，
y
∈R
＋
，∴4
xy
≤
B．10
D．2
x
＋4
y
2
，

∴
xy
≤
x
＋4
y
4
＝10，∴
xy
≤100.
∴lg
x
＋lg
y
＝lg
xy
≤lg 100＝2.]
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费
y
1
与仓库到车站 的距离成反比，而每月库存货物
的运费
y
2
与仓库到车站的距离成正比，如果 在距离车站10千米处建仓库，这两项费用
y
1
和
y
2
分别 为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处
C．3千米处
B．4千米处
D．2千米处
20
A [由已知 ：
y
1
＝，
y
2
＝0.8
x
(
x
为仓库到车站的距离)．
x
费用之和
y
＝
y
1< br>＋
y
2
＝0.8
x
＋
20
≥2
x< br>20
0.8
x
·＝8.
x
20
当且仅当0.8x
＝，即
x
＝5时等号成立．]
x
3＋
x
＋
x
3．
y
＝(
x
＞0)的最小值是________．
x
＋1
[解析] ∵
x
＞0，
3＋
x
＋
x
3
∴
y
＝＝＋
x
＋1－1≥23－1.
x
＋1
x
＋1
当且仅当
x
＋1＝3时取等号．
[答案] 23－1
4．若对任意
x
>0，
2
2
x
≤
a
恒成立，求实数
a
的取值范围．
x
＋3
x
＋1
2
[解] 由
x
>0，知原不等式等价于
1
x
＋3
x
＋11
0<≤＝
x
＋＋3恒成立．
2
axx
1
又
x
>0时，
x
＋≥2
x
x
·＝2，
x
1
1
∴
x
＋＋3≥5，当且仅当
x
＝1时，取等号． x
?
1
?
因此
?
x
＋＋3
?
min
＝5，
?
x
?
11
从而0<≤5，解得
a
≥.
a
5
?
1
?
故实数
a
的取值范围为
?，＋∞
?
.
?
5
?