高中数学哪一年难-高中数学必修二什么时候上完
课堂练习(二) 基本不等式
(建议用时:45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.函数
f
(
x
)
=
x
x
+1
的最大值为( )
1
B.
2
D.1
2
A.
5
C.
2
2
B [显然
x
≥0.当<
br>x
=0时,
f
(
x
)=0;
1
当
x
>0时,
x
+1≥2
x
,∴
f
(
x)≤,
2
当且仅当
x
=1时,等号成立,
1
∴
f
(
x
)
max
=.]
2
2.设0<
a
<
b
,则下列不等式中正确的是( )
A.
a
<
b
<
ab
<
B.
a<
ab
<
a
+
b
2
a
+
b
2
<
b
C.
a
<
ab
<
b
<
D.
ab
<
a
<
a
+
b
2
a
+
b
2
<
b
B [取特殊值法.取
a
=2,
b
=8,则
ab
=4,
5
x
-4
x
+5
3.已知
x
≥,则
f
(
x
)=有( )
22
x
-4
5
A.最大值为
4
C.最大值为1
51
D
[∵
x
≥,∴
x
-2≥,
22
?
x
-2
?+111
∴
f
(
x
)==(
x
-2)+≥ 2?
x
-2?22?
x
-2?
2
2
2
a
+
b
2
=5,所以
a
<
ab
<
a
+
b
2
<
b
.故选B.]
5
B.最小值为
4
D.最小值为1
x
-2
2<
br>·
1
x
-21
=1,当且仅当=,
2?
x
-2?22?
x
-2?
即
x
=3时,等号成立,∴
f
(
x
)
min
=1.]
?
a
+
b
?
4.已知
x
>0,
y
>0,
x
,
a
,
b
,
y
成等差数列,
x
,
c
,
d
,
y
成等比数
列,则的最小
2
cd
值是( )
A.0
C.2
D [由题意知
a
+
b
=
x
+
y
,
cd
=
xy
,
∴(
a
+
b
)
=(
x
+
y
)≥4
xy
=4
cd
,
∴
?
a
+
b
?
2
22
B.1
D.4
cd
≥4,当且仅当
x
=
y
时,取等号.]
5.
已知
a
,
b
是不相等的正数,
x
=
A.
x
>
y
C.
x
>2
y
a
+
b
2
,
y
=
a
+
b
,
则
x
,
y
的关系是( )
B.
y
>
x
D.
y
>2
x
2
B [因为
a
,
b
是不相等的正数,所以
x
=
故
x
<
y
.]
二、填空题
a
+
b
2
+
ab<
a
+
ba
+
b
2
+
2
=<
br>a
+
b
=
y
,即
x
<
y
,
222
6.若实数
x
,
y
满足
x
+
y
+
xy
=1,则
x
+
y
的最大值是_____
___.
?
x
+
y
?34
22
[解析]
x
+
y
+
xy
=(
x
+
y
)-
xy
≥(
x
+
y
)-=(
x
+
y
),∴(
x
+
y
)≤,∴|
x
+
443<
br>2222
2
22
y
|≤
22
3,即
x
+
y
的最大值为3.
33
[答案]
2
3
3
7.已知
x
,
y
∈R
+
,且满足+=1,则
xy
的最大值为________.
34
[解析]
因为
x
>0,
y
>0,
所以+≥2
34
[答案]
3
8.已知
a
,
b
,
m
,
n
均
为正数,且
a
+
b
=1,
mn
=2,则(
am+
bn
)·(
bm
+
an
)的最小值为
___
_____.
[解析] ∵
a
,
b
,
m
,
n
∈R
+
,且
a
+
b
=1,
mn
=2,
∴(
am
+
bn
)(
bm
+
a
n
)
=
abm
+
amn
+
bmn
+abn
2222
xy
xyxy
·=
34
xy
3
,即
xy
3
≤1,解得
xy
≤3,所以其最大值
为3.
=
ab
(
m
+
n
)+2(
a
+
b
)
≥2
ab
·
mn
+2(
a
+
b
)
=4
ab
+2(
a
+
b
)
=2(
a
+
b
+2
ab
)
=2(
a
+
b
)=2,
当且仅当
m
=
n
=2时,取“=”,
∴所求最小值为2.
[答案] 2
三、解答题
9.已知
a
,
b
,<
br>x
,
y
∈R
+
,
x
,
y
为
变量,
a
,
b
为常数,且
a
+
b
=10,
+=1,
x
+
y
的
最小值为18,求
a
,
b
.
2
22
22
22
2222
ab
xy
?
ab
?
[解] ∵
x
+
y
=(
x
+
y
)
?
+
?
?
xy
?
=
a
+
b
++
当且仅当=
bxay
2
≥
a
+
b
+2
ab
=(
a
+b
),
yx
bxay
时取等号.
yx
2
又
(
x
+
y
)
min
=(
a
+
b<
br>)=18,
即
a
+
b
+2
ab
=18.
又
a
+
b
=10,
?
?
a
=2
,
由①②可得
?
?
?
b
=8
①
②
?
?
a
=8,
或
?<
br>?
?
b
=2.
x
2
x
2
x
2
231
10.已知
x
1
,
x
2
,
x
3
为正实数,若
x
1
+
x
2
+
x
3
=1,求证:++≥1.
x
1
x2
x
3
x
2
x
2
x
2
231
222
[证明] ∵+
x
1
++
x
2
++
x
3
≥2
x
2
+2
x
3
+2x
1
=2(
x
1
+
x
2
+
x
3
)=2,
x
1
x
2
x
3
x<
br>2
x
2
x
2
231
∴++≥1.
x
1
x
2
x
3
[能力提升练]
1.设<
br>x
,
y
∈R
+
,且满足
x
+4
y<
br>=40,则lg
x
+lg
y
的最大值是( )
A.40
C.4
D [因为
x
,
y
∈R
+
,∴4
xy
≤
B.10
D.2
x
+4
y
2
,
∴
xy
≤
x
+4
y
4
=10,∴
xy
≤100.
∴lg
x
+lg
y
=lg
xy
≤lg
100=2.]
2.某公司租地建仓库,每月土地占用费
y
1
与仓库到车站
的距离成反比,而每月库存货物
的运费
y
2
与仓库到车站的距离成正比,如果
在距离车站10千米处建仓库,这两项费用
y
1
和
y
2
分别
为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )
A.5千米处
C.3千米处
B.4千米处
D.2千米处
20
A [由已知
:
y
1
=,
y
2
=0.8
x
(
x
为仓库到车站的距离).
x
费用之和
y
=
y
1<
br>+
y
2
=0.8
x
+
20
≥2
x<
br>20
0.8
x
·=8.
x
20
当且仅当0.8x
=,即
x
=5时等号成立.]
x
3+
x
+
x
3.
y
=(
x
>0)的最小值是________.
x
+1
[解析] ∵
x
>0,
3+
x
+
x
3
∴
y
==+
x
+1-1≥23-1.
x
+1
x
+1
当且仅当
x
+1=3时取等号.
[答案] 23-1
4.若对任意
x
>0,
2
2
x
≤
a
恒成立,求实数
a
的取值范围.
x
+3
x
+1
2
[解]
由
x
>0,知原不等式等价于
1
x
+3
x
+11
0<≤=
x
++3恒成立.
2
axx
1
又
x
>0时,
x
+≥2
x
x
·=2,
x
1
1
∴
x
++3≥5,当且仅当
x
=1时,取等号. x
?
1
?
因此
?
x
++3
?
min
=5,
?
x
?
11
从而0<≤5,解得
a
≥.
a
5
?
1
?
故实数
a
的取值范围为
?,+∞
?
.
?
5
?