高中数学组卷选修4-4-4-5大题练习

高中数学组卷选修4-44-5

一．解答题（共13小题）
1．（2015?南昌校级二模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C
1
的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）












2．（2014?高台县校级一模）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ
的中 点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．











3．（2014?河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．









第1页（共13页）

2
4．（2014?江 苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y=4x
相交 于A，B两点，求线段AB的长．














5．（2012?福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标
分别为（2，0），（），圆C的 参数方程（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．












6．（2015?黑龙江模拟）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．















第2页（共13页）

7．（2015?开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求









8．（2015?商丘一模）已知a+b=1，对?a，b∈（0， +∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．








9．（2015?柳州一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log
2
a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．









10．（2014?原阳县校级模拟）已知关于 x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有2．
（1）求整数m的值．
（2）解不等式|x﹣1|+|x﹣3|≥m．








11．（2015?黑龙江模拟） 设F
1
，F
2
分别是C：
直，直线MF
1
与C的另 一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
第3页（共13页）

≥4；
的最小值．
+=1（a＞b＞0）的左，右焦点， M是C上一点且MF
2
与x轴垂

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F
1
N|，求a，b．











12．（2014?黄冈模拟）已知椭圆
两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到 l的距离为
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
程；若不存在，说明理由．












13．（2015?乌鲁木齐模拟）已知椭圆
一个交点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l交椭圆于A，B两点，且

=0，试求l在x轴上的截距的取值范围．
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方
，
的离心率为，过右焦点F的直线l与 C相交于A、B
的右焦点为F（1，0），直线y=x﹣与椭圆有且仅有
第4页（共13页）

高中数学组卷选修4-44-5

参考答案与试题解析


一．解答题（共13小题）
1．（2015?南昌校级二模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知曲线C
1
的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

考点： 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题： 压轴题；直线与圆．
22
分析： （Ⅰ）对于曲线C
1
利 用三角函数的平方关系式sint+cost=1即可得到圆C
1
的普通方程；再利用极坐标与 直角
坐标的互化公式即可得到C
1
的极坐标方程；
（Ⅱ）先求出曲线C2
的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式< br>即可求出C
1
与C
2
交点的极坐标．
解答： 解：（Ⅰ）曲线C
1
的参数方程式
22
（t为参数），
得（x﹣4）+（y﹣5）=25即为圆C
1
的普通方程，
22
即x+y﹣8x﹣10y+16=0．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
2
ρ﹣8ρcosθ﹣10ρs inθ+16=0，此即为C
1
的极坐标方程；
22
（Ⅱ）曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x+y﹣2y=0，
由，解得
，
或
），（2，
．
）． ∴C
1
与C
2
交点的极坐标分别为（
点评： 本题主要考查了参数方 程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标
的互化公式、两圆的位置关 系是解题的关键．

2．（2014?高台县校级一模）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

考点： 参数方程化成普通方程；两点间的距离公式；轨迹方程．
专题： 压轴题．
分析： （I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α， 2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ
的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；
（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==，再验证当α=π时，d=0，故M的
轨迹过坐标原点．
解答： 解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的轨迹的参数方程为：
（II）M到坐标原点的距离d=

（α为参数，0＜α＜2π）．
=（0＜α＜2π）．
第5页（共13页）

当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．
点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．

3．（2014?河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： （Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得 曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通
方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2 cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：
故曲线C的参数方程为
对于直线l：，
+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
，（θ为参数）．0
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为
则
．
，其中α为锐角．
．
． < br>当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为
当sin（θ+α）=1时，|P A|取得最小值，最小值为
点评：
档题．

本题考查普通方程与参数方 程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中
4．（2014?江苏）在平面 直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y=4x
2
相交 于A，B两点，求线段AB的长．

考点： 直线的参数方程．
专题： 计算题；坐标系和参数方程．
2
分析： 直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
解答： 解：直线l的参数方程为
与抛物线y=4x联立，可得x﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴|AB|==8．
点评：

22
，化为普通方程为x+y=3，
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
第6页（共13页）

5．（2012?福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标
分别为（2，0），（） ，圆C的参数方程（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

考点： 圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
专题： 计算题；压轴题．
分析： （Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．
解答： 解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（
所以M、N的直角坐标分别为：M（ 2，0），N（0，
直线OP的平面直角坐标方程y=
（Ⅱ）圆C的参数方程
圆的圆心 坐标为（2，﹣
；
），
），P为线段MN的中点（1，），
（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）+（y+
），半径为2，
），
）y﹣6π=0．
=
2
）=4，
2
直线l上两点M，N 的极坐标分别为（2，0），（
方程为y=（x﹣2），即3πx+（12﹣4
圆心到直线的距 离为：＜2，
所以，直线l与圆C相交．
点评： 本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．

6．（2015?黑龙江模拟）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）由 a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立． （Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值 ，求得不等式的解集，再取
并集，即得所求．
解答： 解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x） =|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2
故不等式f（x）≥2成立 ．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即 a﹣5a+1＜0，解得3＜a＜
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a﹣a﹣1＞0，求得
2
2
=2，
．
＜a≤3．
第7页（共13页）

综上可得，a的取值范围（，）．
点评： 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属 于中
档题．

7．（2015?开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求

考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）利用基本不等式的性质即可得出；
（Ⅱ）利用基本不等式的性质即可得出．
≥4；
的最小值．
解答： （Ⅰ）证明：

（Ⅱ）解：≥，
．
即
又∵
得
即
∴
∴
当且仅当
点评：

，
．

上式等号成立．

，
，
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8． （2015?商丘一模）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求+的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．
专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；
（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴=，
第8页（共13页）

当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即
故

（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使
所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，
当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，
当
当
时，﹣3x≤9，∴
时，x﹣2≤9，∴
，
，∴﹣7≤x≤11．
的最小值为9．
时，等号成立，
恒成立，
点评： 本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

9．（2015?柳州一模）选修4﹣5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log
2
a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题．
分析： （ Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集， 即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式，求出f（x）的最小值为
围．
解答： 解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，当
分）
当时，不等式为 3x≤2，解得
．（5分）
，则由 ，解得实数a的取值范
时，不等式为﹣x﹣2≤2，解得．（1
．（2分） 当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）
综上，不等式的解集为
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，
故，即f（x）的最小值为．（8分）
，即a的取值范围是．（10分） 所以，当f（x）≤log
2
a有解，则有 ，解得
点评： 本题主要考查绝对值不等 式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类
讨论的数学思想，属于中档题 ．

10．（2014?原阳县校级模拟）已知关于 x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有2．
（1）求整数m的值．
（2）解不等式|x﹣1|+|x﹣3|≥m．

考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题．
第9页（共13页）

分析： （1）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1，化简为
求出m的值；
（2）可以分类讨论，根据讨论去掉绝对值，然后求解．
解答： 解：（1）由|2x﹣m|≤1，得
∵不等式的整数解为2，
∴?3≤m≤5

，再利用不等式整数解有且仅有一个值为2，
又不等式仅有一个整数解2，
∴m=4（4分）
（2）即解不等式|x﹣1|+|x﹣3|≥4，．
当x≤1时，不等式?1﹣x+3﹣x≥4?x≤0，不等式解集为{x|x≤0}
当1＜x≤3时，不等式为x﹣1+3﹣x≥4?x∈?，不等式解为?
当x＞3时，x﹣1+x﹣3≥4?x≥4，不等式解集为{x|x≥4}
综上，不等式解为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．（10分）
点评： 此题考查绝对值不等式 的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意进行分类讨
论，解题的关键是去掉绝对 值．

11．（2015?黑龙江模拟）设F
1
，F
2
分别是C：
直线MF
1
与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F
1
N|，求a，b．

考点： 椭圆的应用．
专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
+=1 （a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF
2
与x轴垂直，
分析： （1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
（ 2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F
1
N|，建立方程组关系，求出 N的坐标，代入椭圆方程即可得
到结论．
解答： 解：（1）∵M是C上一点且MF
2
与x轴垂直，
∴M的横坐标为c，当x=c时，y=
若直线MN的斜率为，
，即M（c，）， < br>即tan∠MF
1
F
2
=
即b=
即c+
则< br>即2e+3e﹣2=0
2
2
2
，
2
=a﹣c，
﹣a=0，
，
2
2
解得e=或e=﹣2（舍去），
即e=．
第10页（共13页）

（Ⅱ）由题 意，原点O是F
1
F
2
的中点，则直线MF
1
与y轴的交点 D（0，2）是线段MF
1
的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则，即，解得y=，
∵OD是△MF
1
F
2
的中位线，
∴=4，即b=4a，
由|MN|=5|F
1
N|，
则|MF
1
|=4|F
1
N|，
解得|DF
1
|=2|F
1
N|，
即
设N（x
1
，y
1
），由题意知y
1
＜0，
则（﹣c，﹣2）=2（x
1
+c，y
1
）．
即，即
2
代入椭圆方程得
将b=4a代入得
解得a=7，b=．
2
，
，

点评： 本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程 组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，
运算量较大，有一定的难度．
12．（2014?黄冈模拟）已知椭圆
两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在， 求出所有的P的坐标与l的方
程；若不存在，说明理由．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 综合题；压轴题．
分析： （I）设F（c，0），则直线l的 方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a
和b．
（I I）由（I）可得椭圆的方程，设A（x
1
，y
1
）、B（x
2，y
2
），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达
的离心 率为
，
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B
定理可求得y
1
+ y
2
和y
1
y
2
的表达式，假设存在点P，使
< br>成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x
1
+x
2
，
第11 页（共13页）

y
1
+y
2
），代入椭 圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直
线l 的方程．
解答： 解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，
由坐标原点O到l的距离为
则
又，∴

，解得c=1

（II）由（I）知椭圆的方程为
设A（x
1
，y
1
）、 B（x
2
，y
2
）
由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1
22
代入椭圆的方程中整理得（2m+3）y+4my﹣4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：，，①
假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（ x
1
+x
2
，y
1
+y
2
），
点P在椭圆上，即
整理得2x
1
+3y
1
+2x
2
+3y
2
+4x
1
x
2
+6y
1
y
2
=6．
2222
又A、B在椭圆上，即2x
1
+3y
1
=6，2x
2
+3y
2
=6、
故2x
1
x
2
+3y
1
y
2
+3=0②
将x
1
x
2
=（my
1
+1）（my
2
+1）=my1
y
2
+m（y
1
+y
2
）+1及①代入②解 得
∴
x
1
+x
2
=
当
当
，
，即
；

2
2222
．

点评： 本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲
的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里 ，
一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一 半还是用两边
与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意 边做边调整，寻找合适的
突破口和切入点．

13．（2015?乌鲁木齐模拟）已知椭圆
个交点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l交椭圆于A，B两点，且=0，试求l在x轴上的截距的取值范围．

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
的右焦点为F（1，0），直线y=x﹣与椭圆有且仅有一
第12页（共13页）

分析： （Ⅰ）通过椭圆
2222
的右焦点为F（1，0），知a﹣b=1，利用直线
； 22
与椭圆有且仅有一个交点，
可得a+b=7，所以可得a=4，b=3，即得椭圆的标 准方程
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣4），A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），将直线方程代入椭圆的方程，得关于x的一元二次< br>方程，根据△、韦达定理、
解答： 解：（Ⅰ）已知椭圆
又直线
∴方程组
即方程
∴△=28a﹣4（a+b）（7a﹣ab）=0，即a+b=7，
2222
又∵a﹣b=1，∴a=4，b=3，
∴椭圆的标准方程是；
42222222
=0可得，从而得直线l的方程：
22
．
的右焦点为F（1，0），则a﹣b=1，
与椭圆有且仅有一个交点，
有且仅有一个解，
有且仅有一个解，
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣4）， A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
把直线方程代入椭圆的方程，
2222
得关于x的一元二次方程：（3+4k）x﹣32kx+64k﹣12=0，
由△=（32k）﹣4（3+4k）（64k﹣12）＞0，得：
由韦达定理得：，，
2222
，
∵点A，B在直线上，∴y
1
=k（x
1﹣4），y
2
=k（x
2
﹣4）
又∵
即
即
化简得：，∴，
．
=0，∴（x
1< br>﹣1）（x
2
﹣1）+y
1
y
2
=0，
，
，
∴所求直线l的方程为：
点评：

本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．
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