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数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
一、选择题
?
x?1?2t
1．若直线的参数方程为
?
(t为参数)
，
则直线的斜率为（ ）
y?2?3t
?
22
B．
?
33
33
C． D．
?
2
2
A．
?
x?sin2
?
2．下列在曲线
?
(?
为参数)
上的点是（ ）
y?cos
?
?sin?
?
A．
(,?2)
B．
(?,)
C．
(2,3)
D．
(1,3)
2
?
?
x?2?sin
?
3．将参数方程
?
(
?
为参数)
化为普通方程为（ ）
2
?
?
y?sin
?
1
2
31
42
A．
y?x?2
B．
y?x?2
C．
y?x?2(2?x?3)
D．
y?x?2(0?y?1)
4．化极坐标方程
?
cos?
?
?
?0
为直角坐标方程为（ ）
A．
x?y?0或y?1
B．
x?1
C．
x?y?0或x?1
D．
y?1
5．点
M<
br>的直角坐标是
(?1,3)
，则点
M
的极坐标为（ ）
A．
(2,
2222
2
?
?
2
?
?)
B．
(2,?)
C．
(2,)
D．
(2,2k
?
?),(k?Z)
3333
6．极坐
标方程
?
cos
?
?2sin2
?
表示的曲线为（
）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
二、填空题
1．直线
?
?
x?3?4t
(t为
参数)
的斜率为______________________。
?
y?4?5t
t?t
?
?
x?e?e
(t为参数)
的普通方程为____
______________。 2．参数方程
?
t?t
?
?
y?
2(e?e)
3．已知直线
l
1
:
?
?
x?1?3
t
(t为参数)
与直线
l
2
:2x?4y?5
相交于点B
，又点
A(1,2)
，
?
y?2?4t
则
AB?
_______________。
1
?
x?2?t
?
?
2
(t为参数)
被圆
x
2
?y
2
?4
截得的弦长为______________。 4．直线
?
?y??1?
1
t
?
?2
5．直线
xcos
?<
br>?ysin
?
?0
的极坐标方程为____________________
。
三、解答题
1．已知点
P(x,y)
是圆
x?y?2y
上的动点，
（1）求
2x?y
的取值范围；
（2）若
x?y?a?0
恒成立，求实数
a
的取值范围。
22
?
?
x?1?t
(t为参数)
和
直线
l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标，及点
P
2．求直线
l
1
:
?
?
?
y??5
?3t
与
Q(1,?5)
的距离。
x2
y
2
??1
上找一点，使这一点到直线
x?2y?12?0<
br>的距离取最小值。 3．在椭圆
1612
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B组]
一、选择题
?
x?a?t
1．直线
l
的参数方程为
?
则点
P
1
与
P(a,b)
(t为参数)
，l
上的点
P
1
对应的参数是
t
1
，
?
y?b?t
之间的距离是（ ）
A．
t
1
B．
2t
1
C．
2t
1
D．
2
2
t
1
?
2．参数方程为
?<
br>?
x?t?
1
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线
D．两条射线
?
?
x?1?
1
t
3．直线
??
2
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?
16
交于
A,B
两点，
?
?
?
y??33?3
2
t
则
AB
的中点坐标为（ ）
A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)
4．圆
?<
br>?5cos
?
?53sin
?
的圆心坐标是（ ）
A
．
(?5,?
4
?
?
?
5
?
3
)
B．
(?5,
3
)
C．
(5,
3
)
D．
(?5,
3
)
5．与参数方程为
?
?
?
x?t
(t为参数)
等价
的普通方程为（ ）
?
?
y?21?t
A．
x
2<
br>?
y
2
y
2
4
?1
B．
x
2
?
4
?1(0?x?1)
C．<
br>x
2
?
y
2
4
?1(0?y?2)
D
．
x?
y
2
2
4
?1(0?x?1,0?y?2)
6．直线
?
?
x??2?t
?
y?1?t
(t为参
数)
被圆
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
所截
得的弦长为（
A．
98
B．
40
1
4
C．
82
D．
93?43
）
二、填空题
1
?
x?1?
?
1．曲线的
参数方程是
?
则它的普通方程为__________________。
t
(t为参数,t?0)
，
?
y?1?t
2
?
?
x
?3?at
2．直线
?
(t为参数)
过定点_____________。
y??1?4t
?
3．点
P(x,y)
是椭圆
2x?3y?
12
上的一个动点，则
x?2y
的最大值为___________。
4．
曲线的极坐标方程为
?
?tan
?
?
22
22
1<
br>，则曲线的直角坐标方程为________________。
cos
?
5
．设
y?tx(t为参数)
则圆
x?y?4y?0
的参数方程为______
____________________。
三、解答题
1．参数方程
?
?
x?cos<
br>?
(sin
?
?cos
?
)
(
?
为
参数)
表示什么曲线？
?
y?sin
?
(sin
?
?cos
?
)
x
2
y
2
??1
上，求点
P
到直线
3x?4y?24
的最大距离和最小距离。
2．点
P
在椭圆
169
3．已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
（1）写出直线
l的参数方程。
（2）设
l
与圆
x?y?4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A
,B
两点的距离之积。
22
?
6
，
数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C组]
一、选择题
1．把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是（ ） 1
?
?
x?cost
?
x?tant
?
x?s
int
2
x?t
?
??
?
A．
?
B． C． D．
11
1??
?
1
y?y?<
br>y?
?
y?t
?
2
??
?
costtant
sint
??
?
?
2．曲线
?
?
x??2
?5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是（ ）
y?1?2t
?
2
5
1
2
11
52
5
C．
(0,?4)
、(8,0)
D．
(0,)、(8,0)
9
A．
(0,)、(,0)
B．
(0,)、(,0)
?
x?1?2t
3．直线
?
(t为参数)
被圆
x<
br>2
?y
2
?9
截得的弦长为（ ）
?
y?2?t
1212
B．
5
55
99
C．
5
D．
10
55
A．
?
x?4t
2
(t为参数)
上， 4．若
点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
y?4t
?
则
PF
等于（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
5．极坐标方程
?
cos2
?
?0
表示的曲线为（
）
A．极点 B．极轴
C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆
?
?4sin
?
相切的一条直线的方程为（
）
A．
?
cos
?
?2
B．
?
sin
?
?2
C．
?
?4sin(
?
?
?
)
D．
?
?4sin(
?
?)
33
?
二、填空题
?
x?2pt
2
1．已知曲线
?
(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的
参数分别为
t
1
和t
2,
，
?
y?2pt
且t
1
?t
2
?0
，那么
MN
=________
_______。
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2,3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______。 2．直线
?
?
?
y?3?2t
3．圆的参数方程为
?
?
x?3
sin
?
?4cos
?
(
?
为参数)
，则此圆的半
径为_______________。
?
y?4sin
?
?3cos?
4．极坐标方程分别为
?
?cos
?
与
?
?
sin
?
的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线
?<
br>?
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?
与圆
?
相切，则
?
?
_______________。
?
y?tsin
?
?
y?2sin
?
三、解答题
1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?
2
1．分别在下列两种情况下，把参数方程
?
化为普通方程：
1<
br>?
y?(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t
为参
数，
?
为常数；
2．过点
P(
10
,0)
作倾斜角为
?
的直线与曲线
x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
，
2
求
PM?PN
的最值及相应的
?
的值。
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
一、选择题
1．D
k?
y?2?3t3
???
x?12t2
2
2．B 转化为普通方程：
y?1?x
，当x??
31
时，
y?
42
3．C
转化为普通方程：
y?x?2
，但是
x?[2,3],y?[0,1]
4．C
?
(
?
cos
?
?1)?0,
?
?x
2
?y
2
?0,或
?
cos
?
?x?1
2
?
),(k?Z)
都是极坐标
3
2
5．C
(2,2k
?
?
6．C <
br>?
cos
?
?4sin
?
cos
?
,cos
?
?0,或
?
?4sin
?
,即
?
?4<
br>?
sin
?
则
?
?k
?
?
二、填空题
1．
?
?2
,
或
x
2
?y
2
?4y
5y?4?5t5
k????
4x?34t4
y<
br>?
t
t?t
?
x??2e
x?e?e
22
?
yy
xy
??
2
??(x?)(x?)?4
??1,(x?2)
?
y
2．
?
t?ty
22
416
?
?e?e
?
x??2e
?t<
br>?2
?
?2
3．
?
x?1?3t
5155
将
?
代入
2x?4y?5
得
t?
，则
B(,0)<
br>，而
A(1,2)
，得
AB?
2222
?
y?2?4t
12
，弦长的一半为
?
2
2
4．
14
直线为
x?y?1?0
，圆心到直线的距离
d?
2
2
?(
5．
?
?
2
2
14
，得弦长为
14
)?
22
?
2
?
?
?
cos
?
cos
?
?
?
sin
?<
br>sin
?
?0,cos(
?
?
?
)?0
，取
?
?
?
?
?
2
三、解答题
?
x?cos
?
1．解：（1）设圆的参数方程为
?
， <
br>y?1?sin
?
?
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1
??5?1?2x?y?5?1
（2）
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0
<
br>?a??(cos
?
?sin
?
)?1??2sin(
??)?1
4
?a??2?1
?
?
?
x?1?t
2．解：将
?
代入
x?y?23?0
得
t?23
，
?
?
y??5?3t
22
得P(1?23,1)
，而
Q(1,?5)
，得
PQ?(23)?6?43
4cos
?
?43sin
?
?12
?
?
x?4cos
?
3．解：设椭圆的参数方程为
?
，
d?
5
?
?
y?23sin
?
?
4545
?
cos
?
?3sin
?
?3?2
cos(
?
?)?3
553
当
co
s(
?
?
?
3
)?1
时，
d
min
?
45
，此时所求点为
(2,?3)
。
5
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B组]
一、选择题
1．C
距离为
t
1
?t
1
?
22
2t
1
2．D
y?2
表示一条平行于
x
轴的直线，而
x?2
,或x??2
，所以表示两条射线
3．D
(1?
1
2
3
2
t?t
t)?(?33?t)?16
，得
t
2
?8t?8?0
，
t
1
?t
2
?8,
12
?4
22
2
1
?
x?1??4
?
?<
br>2
??
x?3
中点为
?
?
?
?
y??3
?
y??33?
3
?4
?
?
?2
4．A
圆心为
(,?
5
2
53
)
2
y
2
y
2
22
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0
?y?2
5．D
x?t,
44
2
?
2
x??2?2t?
?
?
x??2?t
?
2
，把直
线
?
x??2?t
代入 6．C
?
?
?
?<
br>y?1?t
?
?
y?1?t
?
y?1?2t?
2?
?2
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
得
(?5?t)
2
?(2?t)
2
?25,t
2
?7
t?2?0
t
1
?t
2
?(t
1
?t<
br>2
)
2
?4t
1
t
2
?41
，弦长
为
2t
1
?t
2
?82
二、填空题
1．
y?
x(x?2)
11
(x?1)
1?x?,t?,
而
y?1?t
2
，
2
(x?1
)
t1?x
即
y?1?(
1
2
x(x?2)
)?(
x?1)
2
1?x(x?1)
2．
(3,?1)
y?14
?
，
?(y?1)a?4x?12?0
对于任何
a都成立，则
x?3,且y??1
x?3a
x
2
y2
??1
，设
P(6cos
?
,2sin
?
)
， 3．
22
椭圆为
64
x?2y?6cos
?<
br>?4sin
?
?22sin(
?
?
?
)?22
4．
x?y
2
?
?tan
?
?
1sin
?
2
222
x?y
即
?,
?<
br>cos
?
?sin
?
,
?
cos
?
?
?
sin
?
,
2
cos
?
cos
?
4t
?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x?(tx)?4tx?0
5．
?
，当时，；当时，；
x?
y?0
x?0x?0
2
2
1?t
4t
?y?
?
1?t
2
?
4t
?
x?
?4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
，即
y?
，得
?
2
1?t<
br>2
4t
?
y?
?
1?t
2
?
三、解
答题
y
2
11
y
2
,cos
?
?
1．解：显然
?tan
?
，则
2
?1?
y2
xcos
2
?
x
?1
x
2
x?cos
2
?
?sin
?
cos
?
?s
in2
?
?cos
2
?
??
1
2
12ta
n
?
?cos
2
?
2
21?tan
?<
/p>
yy
?1
11y
2
y
xx
即
x????,x(1?)??1
222
2
yyy
2xx
1
?
2
1?
2
1?
2
xxx
2
y
2
y
??1
，即
x
2
?y
2
?x?y?0<
br> 得
x?
xx
2．解：设
P(4cos
?
,3sin
?
)
，则
d?
12cos
?
?12sin
?
?24
5
122cos(
?
?)?24
4即
d?
，
5
当
cos(
?
?
当cos(
?
?
?
?
4
)??1
时，
d
max
?
)?1
时，
d
min
?
4
12
(2?2)
；
5
12
?(2?2)
。
5
?
?
?
3
x?1?tcos
x?1?t
?
?
?
?
6
2
3．解：（1）直线的参数方程为
?
，即
?
?
y?1?tsin
?
?
y?1?
1
t
?
?
6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
22
2
（2）把直线
?
代入
x?y?4
?
y?1?
1<
br>t
?
?2
得
(1?
3
2
1
t)?(
1?t)
2
?4,t
2
?(3?1)t?2?0
22t
1
t
2
??2
，则点
P
到
A,B<
br>两点的距离之积为
2
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]
一、选择题
1．D
xy?1
，
x
取非零实数，而A，B，C中的
x
的范围有各自的限制
211
，而
y?1?2t
，即
y?<
br>，得与
y
轴的交点为
(0,)
；
555
111
当
y?0
时，
t?
，
而
x??2?5t
，即
x?
，得与
x
轴的交点为
(
,0)
222
2．B 当
x?0
时，
t?
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
3．B
?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
2
?
x?1?2t
5
，把直线
?
代入
1
?
y?2?t
5
x
2
?y
2
? 9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5t
2
?8t?4?0
81612
12
t
1
?t
2
?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?(?)
2
??
，弦长为
5t
1
? t
2
?5
555
5
4．C 抛物线为
y?4 x
，准线为
x??1
，
PF
为
P(3,m)
到准线
x??1
的距离，即为
4
5．D
2
?cos2
?
?0,cos2
?
?0,
?
?k
?
?
2
?
4
，为两条相交直线
2
6．A ?
?4sin
?
的普通方程为
x?(y?2)?4
，
?
cos
?
?2
的普通方程为
x?2
圆
x?(y?2)?4
与直线
x?2
显然相切
二、填空题
1．
4pt
1
显然线段
MN
垂直于抛物线的对称轴。 即
x
轴，
MN?2pt
1
?t
2
?2p2t
1
2．
(?3,4)
,或
(?1,2)
(?2t)?(2t)?(2),t?
2222
22
12
,t??
22
3．
5
由
?
?
x?3sin
?
?4cos
?
22
得
x?y?25
?
y ?4sin
?
?3cos
?
4．
5．
2
11
圆心分别为
(,0)
和
(0,)
2
22
5
?
?
22
，或 直线为
y? xtan
?
，圆为
(x?4)?y?4
，作出图形，相切时，
6
6
5
?
?
易知倾斜角为，或
6
6
三、解答题
1．解：（1）当
t?0
时，
y ?0,x?cos
?
，即
x?1,且y?0
；
当
t?0
时，
cos
?
?
x
1
t?t(e?e)
2
x
2
,sin
?
?
y
1
t?t
(e?e)
2
?1
而
x?y?1
，即
22
1
t
(e?e
?t
)
2
4
?
y
2
1
t?t2
(e?e)4
（2）当
?
?k
?
,k?Z
时，y?0
，
x??
1
t?t
(e?e)
，即
x?
1,且y?0
；
2
?
1
t?t
当
?
?k
?
?,k?Z
时，
x?0
，
y??(e?e)
，即
x?0
；
22
2x2x2y
?
t
?
t?
t
e?e?2e??
??
k
?
??
cos
?
cos
?
sin
?
当
?
?
，即
?
,k?Z
时，得
?
2y2x2y
2
?
e
t
?e
?t
?
?
2e
?t
??
??sin
?
cos
?
sin
?
??
得
2
e?2e
t?t
?(
2x2y2x2y
?)(?)
cos
?
sin
?
cos
?
sin
?
x
2
y
2
?
2
?1
。 即
2
cos
?
sin
?
?
10
?tcos
?
?
x?<
br>2．解：设直线为
?
(t为参数)
，代入曲线并整理得
2
?
y?tsin
?
?
(1?sin
2
?
)t
2
?(10cos
?
)t?
3
?0
2
3
2
则
PM?PN?t
1
t
2
?
2
1?sin
?
所以当
sin
?
?1
时，即
?
?
2
?
2
，
PM?PN
的最小值为
3
?
，此时
?
?
。
42
数学选修4-5 不等式选讲
[基础训练A组]
一、选择题
1．下列各式中，最小值等于
2
的是（ ）
xy
1
x
2
?5
A．
?
B．
C．
tan
?
?
D．
2
x
?2
?x
yx
tan
?
x
2
?4
2．若
x,y?R
且满足
x?3y?2
，则
3?27?1
的最小值是（ ）
A．
3
3
9
B．
1?22
C．
6
D．
7
3．设
x?0,y?0,A?
xy
x?yxy
?
,
B?
，则
A,B
的大小关系是（ ）
1?x?y1?x1?y
A．
A?B
B．
A?B
C．
A?B
D．
A?B
4．若
x,y,a
?R
，且
x?
?
y?ax?y
恒成立，则
a
的最小
值是（ ）
A．
2
1
B．
2
C．
1
D．
2
2
5．函数
y?x?4?x?6
的最小值为（ ）
A．
2
B．
2
C．
4
D．
6
6．不等式
3?5?2x?9
的解集为（ ）
A．
[?2,1)U[4,7)
B．
(?2,1]U(4,7]
C．
(?2,?1]U[4,7)
D．
(?2,1]U[4,7)
二、填空题
1．若
a?b?0
，则
a?
1
的最小值是_____________。
b(a?b)
2．若
a?b?0,m?0,n?0
，则
22
abb?
ma?n
, , , 按由小到大的顺序排列为
baa?mb?n
3
．已知
x,y?0
，且
x?y?1
，则
x?y
的最大值等于
_____________。
1111
，则
A
与
1
的大小关系是_____________。
???
LL
?
2<
br>10
2
10
?12
10
?22
11
?112
5．函数
f(x)?3x?
2
(x?0)
的最小值为___
__________。
x
4．设
A?
三、解答题
1．已知
a?b?c?1
，求证：
a?b?c?
2．解不等式
x?7?3x?4?3?22?0
3．求证：
a?b?ab?a?b?1
4．证明：
2(n?1?1)?1?
22
222
1
3
111
??...??2n
23n
数学选修4-5 不等式选讲
[综合训练B组]
一、选择题
11n
恒成立，则
n
的最大值是（ ）
??
a?bb?ca?c
A．
2
B．
3
C．
4
D．
6
1．
设
a?b?c,n?N
，且
x
2
?2x?2
2．
若
x?(??,1)
，则函数
y?
有（ ）
2x?2
A．最小值
1
B．最大值
1
C．最大值
?1
D．最小值
?1
3．设
P?2，
Q?7?3
，
R?6?2
，则
P,Q,R
的大小顺序
是（ ）
A．
P?Q?R
B．
P?R?Q
C．
Q?P?R
D．
Q?R?P
4．设不等的两
个正数
a,b
满足
a?b?a?b
，则
a?b
的取值范围是
（ ）
A．
(1,??)
B．
(1,)
C．
[1,]
D．
(0,1)
5．设
a,b,c?R
，且
a?b?c?1
，若
M?(?1)(?1)(?1)<
br>，则必有（ ）
A．
0?M?
?
?
3322
4
3
4
3
1
a
1
b
1
c
11
B．
?M?1
C．
1?M?8
D．
M?8
88
ab
?
,
N?a?b
，则
M
与
N
的大小关系是
ba
6．若
a,b?R
，且
a?b,M?
A．
M?N
B．
M?N
C．
M?N
D．
M?N
二、填空题
1．设
x?0
，则函数
y?3?3x?
1
的最大值是__________。
x
2．比较大小：<
br>log
3
4______log
6
7
3．若实数<
br>x,y,z
满足
x?2y?3z?a(a为常数)
，则
x?y?z的最小值为
4．若
a,b,c,d
是正数，且满足
a?b?c?d?4
，用
M
表示
222
a?b?c,a?b?d,
a?c?d,b?c?d
中的最大者，则
M
的最小值为__________。 5．若
x?1,y?1,z?1,xyz?10
，且
x
lgx
?
y
lgy
?z
lgz
?10
，则
x?y?z?_____<
br>。
三、解答题
1．如果关于
x
的不等式
x
?3?x?4?a
的解集不是空集，求参数
a
的取值范围。
a
2
?b
2
?c
2
a?b?c
2．求证：
?
33
3．当
n?3,n?N
时，求证：
2?2(n?1)
4．已知实数
a
,b,c
满足
a?b?c
，且有
a?b?c?1,a?b?c?1
求证：
1?a?b?
222
n
4
3
数学选修4-5
不等式选讲
[提高训练C组]
一、选择题
1．若
log
x
y??2
，则
x?y
的最小值是（
）
3
3
2
2
3
3
A． B．
2
3
C．
3
2
3
D．
?
2
3
2
2．
a,b,c?R
，设
S?
abcd
，
???
a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b
则下列判断中正确的是（
）
A．
0?S?1
B．
1?S?2
C．
2?S?3
D．
3?S?4
3．若
x?1
，则函数
y?x?
A．
16
B．
8
C．
4
D．非上述情况
4．设
b?a?0
，且
P?
116x
的最小值为（
）
?
2
xx?1
a?b
a
2
?b
2，，
M?ab
，
N?
，，
Q?
R?
11
11
2
2
?
2
?
2
ab
ab2
2
则它们的大小关系是（ ）
A．
P?Q?M?N?R
B．
Q?P?M?N?R
C．
P?M?N?Q?R
D．
P?Q?M?R?N
二、填空题
1．函数
y?
3x
(x?0)
的值域是
.
2
x?x?1
?
2．若
a,b,c?R
，且
a
?b?c?1
，则
a?b?c
的最大值是 3．已知
?1?a,b,c?1
，比较
ab?bc?ca
与
?1
的大小关系为 .
4．若
a?0
，则
a?
11
?a
2
?
2
的最大值为
.
aa
5．若
x,y,z
是正数，且满足
xyz(x?y?z)?
1
，则
(x?y)(y?z)
的最小值为______。
三、解答题
1．
设
a,b,c?R
，且
a?b?c
，求证：
a?b?c
2．已知
a?b?c?d
，求证：
3．已知
a,b,c?R
，比较
a?b?c
与
a
b?bc?ca
的大小。
4．求函数
y?3x?5?46?x
的最大值。
5．已知
x,y,z?R
，且
x?y?z?8,x?y?z?24
求证：
222
?
?
2
3
2
3
2
3
1119
???
a?bb?cc?aa?d
333
222
444
?x?3,?y?3,?z?3
333
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-5
不等式选讲 [基础训练A组]
一、选择题
1．D
Q2
x
?0,2
?x
?0,?2
x
?2
?x
?22
x<
br>2
?x
?2
2．D
3
x
?3
3y
?1?23
x
?3
3y
?1?23
x?3y
?1?7
3．B
B?
xyxyx?y
?????A
，即
A?B
1?x1?y1?x?y1?y?x1?x?y
4．B
Q
x
2
?y
2
x?y2
?,即x
2
?y
2
?(x
?y)
，
222
2
(x?y)
，而
x?y?ax?y
，
2
12
1
,即a?2
(x?y)
恒成立，得
?
a2
a
?x?y?
即
x?y?
5．A
y?x?4?x?6?x?4?6?x?2
?
?
?2?x?7?
2x?5?9
?
?9?2x?5?9
?
?
?
?
6．D
?
，得
(?2,1]U[4,7)
2x?5
?3,或2x?5??3x?4,或x?1
?
?
?
2x?5?3
?<
br>二、填空题
1．
3
(a?b)?b?
11
?3
3
(a?b)?b??3
b(a?b)b(a?b)
2．
bb?ma?nabb?m
???
由糖水浓度不等式知
??1
，
aa?mb?nbaa?m
bb?naa?n
a?na
且
??1
，得
??1
，即
1??
aa?nbb?nb?nb
x?y
3．
2
?
2
4．
A?1
A?
x
2
?
y
2
,x?y?2x
2
?y
2
?2
2<
br>11111111
???
LL
?????
LL
??1
1010
22?12?22?1
1
2
44
2
44<
br>2
24444
2
3
2
10
个
5．
9
f(x)?3x?
123x3x123x3x12
3
????3???9
x
2
22x
2
22x
2
三、解答题
1．证明：
Qa?b?c?(a?b?c)?(2ab?2bc?2ac)
2222
?(a?b?c)
2
?2(a
2
?b
2
?
c
2
)
?3(a?b?c)?(a?b?c)?1
?a?b?c?
222
2222
222
1
31(a?b?c)
2
222
另法一：
Qa?b?c??a?b?c?
33
1
?(2a
2
?2b
2
?2c
2
?2ab?2bc?2ac)
3
1
?[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(a?c)
2
]?0
3
?a?b?c?
2222
222
1
3
222另法二：
Q(1?1?1)(a?b?c)?(a?b?c)?1
222
即
3(a?b?c)?1
，
?a?b?c?
222
1
3
2．解：原不等式化为
x?7?3x?4?2?1?0
当
x?
4
时，原不等式为
x?7?(3x?4)?2?1?0
3
242
，即
?x?5?
；
232
得
x
?5?
当
?7?x?
4
时，原不等式为
x?7?(3x?4)?2?
1?0
3
得
x??
12124
??x?
； ，即
??
24243
当
x??7
时，原不等式为
x?7?(3x
?4)?2?1?0
得
x?6?
2
，与
x??7
矛盾；
2
122
??x?5?
242
所以解为
?
3．证明：
Q(a?b)?(ab?a?b?1)
22?a
2
?b
2
?ab?a?b?1
1
?(2a
2
?2b
2
?2ab?2a?2b?2)
2
1
2222
?[(a?2ab?b)?(a?2a?1)?(b?2b?1
)]
2
1
?[(a?b)
2
?(a?1)
2
?(b
?1)
2
]?0
2
?a?b?ab?a?b?1
4．证明：
Q
22
111
??
k?1?k2kk?1?k
1
?2(k?k?1)
k
111
??...??2n
23n
?2(k?1?k)?
?2(n?1?1)?1?
数学选修4-5 不等式选讲
[综合训练B组]
一、选择题
a?ca?ca?b?b?ca?b?b?cb?ca?b
????2???4
a?bb?ca?bb?ca?bb?c
11411n
?
，而恒成立，得
n?4
????
a?bb?ca?ca?bb?ca?c
1．C
Q
(x?1)
2
1x?111?x1
2．C
y??????2???1
2x?22x?222(x?1)22(1?x)
3．B
Q
又
Q
2
2?2?22?6,?2?6?2
，即
P?R
； <
br>6?3?7?2,?6?2?7?3
，即
R?Q
，所以
P?R?Q
22
(a?b)
2
4．B
a?ab?b?a?b,(a?b)?(a?b)?ab
，而
0?ab?
4
(a?b)
2
4
所以
0?(a?b)?(a?b)?
，得
1?a?b?
4
3
2
5．D
M?(
a?b?ca?b?ca?b?c(b?c)(a?c)(a?b)
?1)(?1)(?1)?
abcabc
?
8abbcac
?8
abc
6．A
Qa?b,?
ab
?b?2a,?a?2b
ba
?
abab
?b??a?2b?2a
，即
??b?a
baba
二、填空题
1．
3?23
y?3?3x?
11
?3?23x??3?23
，即
y
max
?3?23<
br>
xx
ab
abbb
2．
?
设
log
3
4?a,log
6
7?b
，则
3?4,6?7
，
得
7?3?4?6?4?2?3
即
3
a?b
4
?2
b
4?2
b
a?b
b
??1?a?b?0?a?b ，显然
b?1,2?2
，则
3?
77
a
2
2
2222222
3．
Q(1?2?3)(x?y?z)?(x?2y?3z)?a
14
a
2
即
14(x?y?z)?a
，
?x?y?z?
14
222
2
222
1
(a?b?c?a?b?d?a?c?d?b?c?d)
4
3
?(a?b?c?d)?3
，即
M
min
?3
4
4．
3
M?
5．
12
lg(x
lgx
?y
lgy
?z
lgz
)?1?l
g
2
x?lg
2
y?lg
2
z?1
222
而
lgx?lgy?lgz?(lgx?lgy?lgz
)?2(lgxlgy?lgylgz?lgzlgx)
2
?[lg(xyz)]<
br>2
?2(lgxlgy?lgylgz?lgzlgx)
?1?2(lgxlgy?lg
ylgz?lgzlgx)?1
即
lgxlgy?lgylgz?lgzlgx?0
，
而
lgx,lgy,lgz
均不小于
0
得
lgxlgy?lgylgz?lgzlgx?0
，
此时
lgx
?lgy?0
，或
lgy?lgz?0
，或
lgz?lgx?0
，
得
x?y?1,z?10
，或
y?z?1,x?10
，或
x
?z?1,y?10
x?y?z?12
三、解答题
1．解：
Qx?3?x?4?(x?3)?(x?4)?1
?(x?3?x?4)
min
?1
当
a?1
时，
x?3?x?4?a
解集显然为
?
，
所以
a?1
2．证明：
Q(1?1?1)(a?b?c)?(a?b?c)
22222
22
a
2
?b
2
?c
2
(a?b?c)
2
?
?
39
a
2
?b
2
?c
2
a?b?c
即
?
3
3
nn12n1n?1n
3．证明：
Q2?(1?1)?1?C
n
?
C
n
?...C
n
?1?C
n
?C
n
?C
n
?2(n?1)
?2?2(n?1)
（本题也可以用数学归纳法）
n
(a?b)
2
?(a
2
?b
2
)
?c
2
?c
4．证明：
Qa?b?1?c,ab?
2
?a,b
是方程
x?(1?c)x?c?c?0
的两个不等实根，
则
>?(1?c)?4(c?c)?0
，得
?
2
22
22<
br>1
?c?1
3
而
(c?a)(c?b)?c?(a?b)c?ab?0
即
c?(1?c)c?c?c?0
，得
c?0,或c?
所以
?
22
2
3
14
?c?0
，即
1?a?b?
33
数学选修4-5 不等式选讲
提高训练C组]
一、选择题
1．A 由
log
x
y??2<
br>得
y?
而
x?y?x?
1
，
2
x
1xx1xx113
3
3
3
????3???3?2
222
x22x22x42
abcd
???
a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b
abcda?b?c?d
??????1
a?b?c?db?c?d?ac?d?a?bd?a?b?ca?
b?c?d
aaccbbdd
即
S?1
，，，，
????
a?b?ca?cc?d?aa?cb?c?db?dd?a?bd?b
accabddb
得<
br>????1
，
????1
a?b?cc?d?aa?ca?cb?c
?dd?a?bd?bb?d
abcd
即
????2
，得
S?2，所以
1?S?2
a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b
116x116
3．B
y?x??
2
?x???216?8
1
xx?1x
x?
x
4．A
R
为平方平均数，它最大
2．B
二、填空题
11
3x3
，得
Qx?0,?x???2,x??1??1
?
2
1
xx
x?x?1
x??1
x
13
?1??0??3??0??3?y?0
11
x??1x??1
xx
1．
[?3,0)
y?
2222
2．
3
(1?a?1?b?1?c)?(1?1?1)(a?b?c)?3
3．
?
构造单调函数
f(x)?(b?c)x?bc?1
，则
f(1)?(1?b)(1?c)?0
，
f(?1)?(?1?b)(?1?c)?
(1?b)(1?c)?0
，即
?1?x?1
，
f(x)?0
恒成立
，
所以
f(a)?(b?c)a?bc?1?0
，即
ab?bc?ca??
1
4．
2?2
设
a?
2
1
11222
?t(t?2)
a??ta??t?2
，则，即
2
2
a
aa
再令
y?a?11
t
?a
2
?
2
?t
2
?2?t(
t?2)
，
y
'
??1?0
2
aa
t?2
即
t?[2,??)
时，
y
是
t
的减函数，得
t?2
时，
y
max
?2?2
5．
2
(x?y)(y?
z)?xy?y
2
?yz?zx?y(x?y?z)?zx?2y(x?y?z)zx?2
三、解答题
1．证明：
Qa,b,c?R,
?
ab
??1
cc
222
ab
?0??1,0??1,a
3
,b
3
,c
3
?0
cc
2
3
2
3
a?b
c
2
3
222
a
2
b
2
aba?b
33
33
?()?()????1
，
?a?b?c
3
ccccc
2．证明：
Qa?b?c?d,?a?b?0,b?c?0,c?d?0<
br>
?(
111111
??)(a?d)?(??)[(a?b)?(b?c)?
(c?d)]
a?bb?cc?aa?bb?cc?a
?3
3<
br>111
???3
3
(a?b)(b?c)(c?d)?9
a?bb?cc?a
?
1119
???
a?bb?cc?
aa?d
222
333
3．解：取两组数：
a,b,c
与
a
,b,c
，显然
a?b?c
是同序和，
ab?bc?ca
是乱序和，所以
a?b?c?ab?bc?ca
4．解：函数的定义域为
[5,6]
，且
y?0
222333222
y?3?x?5?4?6?x
?3
2
?4
2
?(x?5)
2
?(6?x)
2
y?5
max
?5
(x?y)
2
?(x
2
?y
2
)
?z
2
?8z?20
5．证明：显然
x?y?8?z,xy?
2
?x,y
是方程
t?(8?z)x?z?8z?20?0
的两个实根，
由
得
22
444<
br>?z?4
，同理可得
?y?4
，
?x?4
333