高中数学网课搞笑-高中数学必修三统计概率测试题
专题01 坐标系
【知识网络】
极
坐
标
与直
角
坐
标
的
互
化
【考情分析】
考纲要求
①理解坐标系的作用。
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
③能在极坐标系中用极坐标表
示点的位置,理解在极坐标系和平面
直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行坐标和直角坐标的互化。
④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心
在极点的圆)的方
程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐
标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标
系的意
义。
⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空
间直角
坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别。
常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标的互化
通过近几年高考命题趋势看,本部分重点考
查直角坐标方程和极坐
标方程的互化,常见曲线的极坐标方程也是考查的重点,主要考查
基础知
识、基本技能, 题型一般为解答题,难度中等.
结合直线与圆、圆锥曲线、三角函数及恒等变换、向量等知识考查
解答题
对知识点
进行归纳整理、掌握常见曲线的极坐标方程、直角坐标和
极坐标之间的互化公式及其运用等.
坐
标
系
直角坐标系 直角坐标和伸缩变换
极坐标和极坐标系的概念
极坐标系
极坐标方程及其应用
柱坐标系和球坐标系
考高频考点
情
考查形式
分
析
命题角度
常见题型
备考要求
【知识详单】
1.平面直角坐标系的作用
通过平面之间坐标系,实现了平面上的点与坐标(有序实数对),
曲线与方程建立联系,
从而使得数与形的结合.
2. 平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变
换,这就是用
代数方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标
系中任意一点,在
?
?
x′=λx,λ>0
变换φ:
?
的作
用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中
?
y′=μy,
μ>0
?
的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
3.极坐标与极坐标系
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐
标系的四要素,缺一不可。规定:
当点M在极点时,它的极坐标
?
?0,
?<
br>可以取任意值。
注意:平面直角坐标与极坐标的区别:
(1)在平面直角坐标系内,
点与有序实数对(x,y)是一一对应的,可是在极坐标系
中,虽然一个有序实数对
(
?
,
?
)
只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序
实
数对对应
(
?
,
?
)
,极坐标系中的点与有序实数对极坐标
(
?
,
?
)
不是一一对应的。
⑵ 极坐标系中,
点M
(
?
,
?
)
的极坐标统一表达式
(
?
,2k
?
?
?
),k?Z
。
注意 如果规定?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的
极坐标
(
?
,
?
)
表
示,同时,极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标方程及其应用
(1)极坐标方程的定义:在极坐标系中,如果平面曲线C上任一点
的极坐标中至少有一个
满足方程
f(
?
,
?
)?0
,并且坐标适合方程
f(
?
,
?
)?0
的点都在曲线C上,
那么方程
f(
?
,
?
)?0
叫做曲线C的极坐标方程。
(2)常见曲线的极坐标方程
曲线
圆心在极点,半径为r的圆
圆心为(r,0),半径为r的圆
π
r,
?
,半径为r的圆
圆心为
?
?
2
?
过极点,倾斜角为α的直线
过点(a,0),与极轴垂直的直线
π
a,
?
,与极轴平行的直线
过点
?
?
2
?
5.极坐标与直角坐标的互化
互
化的前提:①极点与直角坐标的原点重合;②极轴与X轴的正方向重合;③两种坐标系
中取相同的长度单
位
图形
(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)
(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)
ππ
-
<θ
<
?
ρcos
θ=a
?
2
??
2
ρsin θ=a(0<θ<π)
极坐标方程
ρ=r(0≤θ<2π)
ππ
-
≤θ≤
?
ρ=2rcosθ
?
?
22
?
ρ=2rsinθ(0≤θ<π)
?
x?
?
cos
?
互化公式:
?
,
?
y?
?
si
n
?
6. 柱坐标系
(1) 定义:
?
?
2
?x
2
?y
2
?
。 y
?
tan
?
?,x?0
?
x
?
建立空间直角坐标系O?xyz,设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用
(ρ,
θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数
组(ρ,θ,z)
(z∈R)表示,这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种
对应关系,把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记
作P(ρ,θ,
z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞
?
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式
为
?
y=ρsin θ,
?
?
z=z.
7. 球坐标系
(1) 定义:
建立空间直角坐标系O?xyz,设P是空
间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴
正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影
为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转
过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r
,φ,θ)表示.
这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对
应关系的
坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记作P
(r,
φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
x=r·sin φ·cos
θ,
?
?
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变
换关系为
?
y=r·sin φ·sin θ,
?
?
z=rcos
φ.
【方法技巧】
1.坐标法在求解曲线轨迹问题中的应用
在利用坐标法求解曲线轨迹问题时,首先,根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,
建立它的方程,通
过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.
2.极坐标与直角坐标的互化技巧
注意直角
坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对
(x,y)
是一一对
应的
,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对
(
?
,
?
)
不是
一一对应的,只有在规定
(
?
?0
,
?
?
?
0,2
?
?
)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多种表示形式.
专题02
参数方程
【知识网络】
【考情分析】
考纲要求
①了解参数方程,了解参数的意义。
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
③了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作
用。
常见曲线的参数方程、参数方程和普通方程的互化
参数方程属每年高考的必考内容,主要考查
基础知识、基本技能,
从两个方面考查(1)参数方程与普通方程的互化与等价性判定;
(2)
参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为解答题.
纵观历年来高考试题,极坐标、参数方程与普通
方程的综合试
题是高考热点与重点,掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与
普通方程的互化
是解题的关键点.经常结合有关数列、不等式、直
线、圆及其性质、圆锥曲线等知识综合考查.
解答题
对极坐标、参数方程与普通方程这部分知识,做好归纳整理,掌握
好极坐标方
程与普通方程、参数方程与普通方程的互化,积累常见
题型及其解法步骤.
考高频考点
情
考查形式
分
析
命题角度
常见题型
备考要求
【知识详单】
1.曲线的参数方程
(1)概念:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,
?
x?f(t)
(1)
?
y?g(t)
?
并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)
叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数.
(2)求曲线的参数方程的一般步骤:
第一步
设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
第二步
选参:选择合适的参数;
第三步 表示:依据题设、参数的几何或物理意义,建立参数与x,y的关系
式,并由此分
别解出用参数表示的x、y的表达式.
第四步
结论:用参数方程的形式表示曲线的方程.
(3)曲线的普通方程的概念:相对与参数方程来说,把直
接确定曲线C上任一点的坐标(x,y)
的方程F(x,y)=0叫做曲线C的普通方程.
注意:参数方程的几个基本问题 (1)消去参数,把参数方程化为普通方程.(2)由普通方
程化为参数方程.(3)利用参数求点的轨迹方程.(4)常见曲线的参数方程.
2.几种常见曲线的参数方程
(1) 直线的参数方程
(ⅰ)过点P
0
(
x
0
,y
0
),倾斜角为
?
的直线的参
数方程是
?
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数) <
br>y?y?tsin
?
0
?
?
x?x
0
?at
b
的直线的参数方程是
?
(t为参数)
a
?
y?y
0
?bt
?
x?rcos
?
(
?
为
参数)
?
的几何意义为“圆心角”
?
y?rsin
?
注意
:t的几何意义:t表示有向线段
P
0
P
的数量,P(
x,y
)为直线上任意一点.
(ⅰ)过点P
0
(
x
0
,y0
),斜率为
k?
(2)圆的参数方程
(ⅰ)圆
x?y?r<
br>的参数方程为
?
222
222
(ⅰ)圆
(x?x
0<
br>)?(y?y
0
)?r
的参数方程是
?
?
x?x
0
?rcos
?
(
?
为参数)
?
的几何意义为“圆心角”
?
y?y
0
?rsin
?
(3)椭圆的参数方程
?
x?acos
?
x
2
y
2
(ⅰ)椭圆
2
?
2
?
1
(
a?b?0
)
的参数方程为
?
(
?
为参数)
ab
?
y?bsi
n
?
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??
1
(
a?b?0
)的参数方程是 (ⅰ)椭圆
a
2
b
2
?
x?x
0
?acos
?
?
(
?
为参数),
?
的几何意义为“离心角”
y?y?bsin
?
0
?
(4)双曲线的参数方程
?<
br>x?asec
?
x
2
y
2
??
1
(
ⅰ)双曲线
2
的参数方程为
?
(
?
为参数)
ab
2
y?btg
?
?
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??
1
的参数方程是
(
ⅰ)双曲线
22
ab
?
x?x
0
?asec
?
?
(
?
为参数)
?
的几何意义为“离心角”
y?y?btg
?
0
?
(5)抛物线的参数方程
?
x?2pt
2
y
?
2px
(p>0) 的参数方程为
?
(t为参数)
?
y?2pt
2其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数(顶点除外).
3.参数方程与普通方程的互化
恰当选择参数
参数方程
消去参数
普通方程 ; 普通方程
参数方程
这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.
参数方程化为普通方程
,可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数,
通过曲线的普通方程来判断曲线的类型
.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任一点M的坐标x,y和参数
的关
系,根据实际问题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等
作为参数.
【方法技巧】
1.参数方程与普通方程的互化技巧
参数方程与普通
方程互化时一定要保持x、y范围相同,不是所有的参数方程都可化为
普通方程.普通方程化成参数方程
时,选择的参数不同其参数方程不同.
2.极坐标方程与参数方程的区别
参数方程、极坐标
方程是解析几何曲线方程的另外两种表达形式,解题时要善于根据解
题的需求将参数方程与普通方程进行
互化,达到方便解题的目的.同时注意参数的范围.注
意区分极坐标方程和参数方程的区别:从方程的形
式上很容易区分清楚.
3.极坐标、参数方程与普通方程的综合应用
纵观历年来高考试题,
极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是高考热点与重点,掌
握好极坐标方程与普通方程、参数方程与
普通方程的互化是解题的关键点.
专题03 不等式和绝对值不等式
【知识网络】
【考情分析】
考纲要求 1. 了解不等式的基本性质和基本不等式;
2. 理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明
以下不等式:
(1)
a?b?a?b
;
(2)
a?b?a?c?c?b
;
3.
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
ax?b?c;
ax?b?c;
考高频考点
情
考查形式
分
析
命题角度
常见题型
备考要求
绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法
通过近几年的高考命题趋势看,集中在考查不等式的
解法、基本不
等式及其应用、绝对值不等式的解法。以解答题的形式考查,题目
难度中低档,分
值为10分.
考点主要集中在绝对值不等式的解法上,也是命题的高频知识点,
掌握不等式的
基本性质,及基本不等式求解最值问题.
解答题
掌握绝对值不等式的解法,注重理解绝对值的几何意义,善于归纳
整理.
x?c?x?b?a。
【知识详单】
1.不等式的基本性质
(1)如果a>b,那么,b<a;如果a<b,那么b>a;
(2)如果a>b,b>c,那么a>c;
(3)如果a>b,那么a+c>b+c;推论:如果a<b,c<d,那么a+c<b+d;
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc;
(5
)如果a>b>0,那么
a
n
?b
n
(n∈N,n≥2);
(6)如果a>b>0,那么
n
a?
n
b
(n∈N,n≥2)。
注意:理解上述性质时,可以有两种理解方式:一是“形”,可以借助于数轴来理解;二是“数”,就是上述的书写形式的简化。
2.不等式的大小比较
对于任何两个实数a,b
a?b?a?b?0
a?b?a?b?0
,
a?b?a?b?0
注意:比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号.
作差法中常用的变形
手段是分解因式和配方等恒等变形,前者将“差”化为“积”,后者将“差”
化为一个完全平方式或几个
完全平方式的“和”,也可二者并用.
3.基本不等式
定理1(重要不等式):如果a,b
∈R,那么a
2
+b
2
≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
a+b
定理2(基本不等式):如果a,b是正数,那么
≥ab,当且仅当a=b时,等号成立
.
2
a+b
常把叫做正数a,b的算术平均,把ab叫做正数a,b的几何平均,所
以基本不等式又
2
可叙述为:两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值
.
4.绝对值的几何意义及绝对值不等式
如图(1),|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
如图(2),|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离.
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
证明:若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|.
提示 |a+b|≤|a|+|b
|?|a+b|
2
≤(|a|+|b|)
2
?(a+b)
2
≤|a|
2
+2|a||b|+|b|
2
?a
2
+2ab+b
2
≤a
2
+2|a||b|+b
2
?ab≤|ab|.
由ab=|ab|知ab≥0,
∴原不等式成立.当且仅当ab≥0时等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a
-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号
成立.
可以
解释为:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,
|a-c|=
|a-b|+|b-c|;当点B不在点A,C之间时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
5.绝对值不等式的解法
(1)|x|>a和|x|<a(a>0)型不等式的解法
|x|<a?-a<x<a;|x|>a?x<-a或x>a.
(2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质证明不等式成立问题
在利用不等式性质时,注意等价变形,对于负数的处理要恰到好处,切勿出现不等价的
问题.
2. 关于用不等式求函数最大、最小值
(1)若x≥0,y≥0,且xy=p(定值),则当x=y时,x+y有最小值2p.
s<
br>2
(2)若x≥0,y≥0,且x+y=s(定值),则当x=y时,xy有最大值.
4
3.利用绝对值不等式解决代数式的最值问题
求含绝对值的代数式的最值问题综合
性较强,直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用|a+
b|,|a-b|的最值,及ab≥0
时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理,达到求解
目的.
4. |x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的三种解法
①利
用绝对值不等式的几何意义,体现了数形结合思想,是解绝对值不等式最简单的方法,
但要注意理解绝对
值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键;
②利用x-a=0,x-b=0的解,
将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化
为不含绝对值的不等式而解之,体现了分类讨论
思想,从中可以发现,以绝对值的“零点”为
分界点,将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值
符号内多项式取值的正负性,进
而去掉绝对值符号;
③通过构成函数,利用函数的图象,体现
了函数与方程的思想,从中可以发现,正确求出函
数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的单调性
)是解题的关键.
5.含有参数的绝对值不等式的解法综合运用
注意结合绝对值的性质和参数的取值情形,进行分类讨论,在进行分类时,做到“不重不漏:
专题04
证明不等式的基本方法
【知识网络】
比较法
不等式
的证明
方
法
综合法和分析法
反证法与放缩法
【考情分析】
考纲要求
考高频考点
情
考查形式
分
析
常见题型
备考要求
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、
分析法、反证法、放缩法。
比较法、综合法证明不等式问题
一般地,不单独考查纯粹的证明方法,而是结合具体题目进行
考查,
掌握和理解证明方法的实质,以解答题的形式考查,难度适中.
解答题
准确
理解证明方法的实质和证明问题的步骤,注意一些常见题型的
处理思路和方法、分析法的证明问题的格式
等.
【知识详单】
1.比较法
作差比较法:因为a>b?a-b>0,要证a>
b,只需要证a-b>0,同样要证ab<0.
a
作商比较法:如
果a、b都是正数,要证a>b,只需证
>1;如果a、b都是负数,要证a>b,
b
a
只需证
<1.
b
2.综合法和分析法
⑴综合法:一般地,从已
知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、
论证而得出命题成立,这种证明方法
叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
⑵分析法:证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻
求使它成立的充分条件,直至所需条件
为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、
性质等),从而得出要证的
命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.
3.反证法与放缩法
(1)反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件
,应用公理、定义、
定理,性质等进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质,明显成
立的事
实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
注意:存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词
的命题
或不等式.
(2)放缩法:将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简,达到证明目的
.如
果所要证明的不等式中含有分式,把分母放大,则相应分式的值缩小,反之,把分母缩小,
则分式的值放大.
【方法技巧】
1.作差法比较不等式的方法及应用
用比较法证不等式,一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤,变形的主要手段是通
分、因
式分解或配方,在变形过程中,也可利用基本不等式放缩.
2.分析法证明不等式及其思路技巧
【拓展提升】分析法书写格式
第一种:要证……,只需证……,只需证……,
直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实.
第二种:有些命题的证明上、下步之间都是
充要条件,所以分析法证明每步之间都可用符号
“?”直到出现已知条件、定理、明显的事实.
第三种:各步之间用符号“?”.
3. 综合利用综合法与分析法证明不等式
4.放缩法在解决数列问题中的应用
专题05 柯西不等式与排序不等式
【知识网络】
二维形式的
柯西不等式
柯西不等式
柯
不
式
排
不
式
西
等
与
序
等
排序不等式
三维形式的
柯西不等式
顺序和、乱序
和、反序和的
概念
排序原理
【考情分析】
考纲要求
1.了解柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义;
(1)证明:柯西不等式向量形式:
??
?
?
·
?
2
;
?
a
(2)证明:
(3)证明:
2
?b
2<
br>c
2
?d
2
?
?
ac?bd
?
??
?
;
?
x
1
?x
2
?
2
??
y
1
?y
2
?
2
?
?
x
2
?x
3
?
2
?
?
y
2
?y
3
?
2
?
?
x
1
?x
3
?
2
?
?
y
1
?y
3<
br>?
2
(通常称作平面三角不等式)
2.了解用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:
?
n
?
22<
br>ab?ab
?
??
i
·
?
iii
?
??
i?1i?1
i?1
3.了解用向量递归方法讨论排序不等式;
nn
2
4. 能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值。
5.了解排序不等式的构成形式.
6.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些
简单问题。
7.会用数学归纳法证明贝努利不等式:
n
1?x?1?nx
(
x??1,x?0
,n为大于1的正整数)。
??
了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
考高频考点
情
分
考查形式
析
常见题型
备考要求
二维形式的柯西不等式及其运用、排序不等式的构成及其原理、数
学归纳法的基本原理和应用.
本部分作为不等式中的一个重要应用方向,了解柯西不等式的构成
和几种常见形式,高考命题中
很少涉及,有时考查二维形式的柯西
不等式
解答题
熟练掌握二维形式和三维形式
的柯西不等式的结构形式及其应用,
了解排序不等式的原理和解题步骤,做好归纳整理.
【知识详单】
1.二维形式的柯西不等式
(1)定义:若a,b,c,d都是实数
,则(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
)≥(
ac+bd)
2
,当且仅当ad=bc时,等号
成立.
(2)二维形式的柯西不等式的一些变式
变式1: a
2
+b
2<
br>·c
2
+d
2
≥|ac+bd|(当且仅当ad=bc时,等号成立)
变式2:(a+b)(c+d)≥(ac+bd)
2
.(a,b,c,d∈R
+
,当且仅当ad=bc时,等号成立)
变式3: a
2
+b
2<
br>·c
2
+d
2
≥|ac|+|bd|(当且仅当|ad|=|bc|时
,等号成立)
2.柯西不等式的向量形式
设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β
|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等
号成立.
3.二维形式的三角不等式
22
222
(1)设x
1
,y
1
,x
2
,y
2
∈R,那么x
2
1
+y
1
+x
2
+y
2
≥
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
.
(2)设
平面上三点坐标为A(a
1
,a
2
)、B(b
1
,b
2
)、C(c
1
,c
2
),则
(a
1
?
b
1
)
2
?(a
2
?b
2
)
2<
br>+
(b
1
?c
1
)
2
?(b
2?c
2
)
2
≥
(a
1
?c
1
)
2
?(a
2
?c
2
)
2
,其几何意义为
:|AB|+|BC|≥|AC|.
(3)设α,β,γ为平面向量,则|α-β|+|β-γ|≥|
α-γ|,等号成立的充要条件为α-β=λ(β-γ)(λ
>0).
4.三维形式的柯西不等式
222222
设a
1
,a
2<
br>,a
3
,b
1
,b
2
,b
3
∈R,
则(a
2
1
+a
2
+a
3
)·(b
1+b
2
+b
3
)≥(a
1
b
1
+a<
br>2
b
2
+a
3
b
3
).当且仅当b
1
=b
2
=b
3
=0或存在一个数k,使得a
1
=
kb
1
,a
2
=kb
2
,a
3
=kb3
时,等号成立.
在空间向量中,三维的柯西不等式的代数形式.设α=(a
1
,a
2
,a
3
),β=(b
1
,b
2,b
3
),则α·β
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
代入向量式得:
22
2222
(a
2
1
+a
2
+a
3
)(b<
br>1
+b
2
+b
3
)≥(a
1
b
1<
br>+a
2
b
2
+a
3
b
3
). 当且仅当α·β共线时,即β=0,或存在一个数k,使得a
i
=kb
i
(i=1,2,3)时,等号成立.
5.一般形式的柯西不等式
222222
设a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
,b
1
,b
2
,b
3
,…,b
n
是实数,则(a
2
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
)·(b
1
+b
2
+b
3
+…
2
+b
2<
br>n
)≥(a
1
b
1
+a
2
b
2+a
3
b
3
+…+a
n
b
n
)
,当且仅当b
i
=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得
a
i
=kb
i
(i=1,2,3,…,n)时,等号成立.
6.排序不等式
(1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设a
1
≤a
2
≤a
3
≤…≤a
n
,b
1
≤b
2
≤b
3
≤…≤b
n
为两组实数,c
1
,c
2,…,c
n
是b
1
,b
2
,…,b
n
的任一排
列,则称a
i
与b
i
(i=1,2,…,n)的相同顺序相
乘所得积的和a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+
a
n
b
n
为顺序和,
和a
1
c
1
+a
2
c
2
+…+a
n
c
n
为乱序和,相
反顺序相乘所得积的和a
1
b
n
+a
2
b
n
-
1
+…+a
n
b
1
为反序
和.
(2)排序不等式(排序原理)
设a
1
≤a
2
≤…≤a<
br>n
,b
1
≤b
2
≤…≤b
n
为两组实数,c
1
,c
2
,…,c
n
是b
1
,b
2
,…,b
n
的任一排列,则
a
1
b
n
+
a
2
b
n
-
1
+…+a
n
b
1<
br>≤a
1
c
1
+a
2
c
2
+…+a<
br>n
c
n
≤a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
,当且仅当a
1
=a
2
=…=
a
n
或b
1
=b
2
=…
=b
n
时,反序和等于顺序和,此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和.
【方法技巧】
1.利用柯西不等式求函数的最值
关于不等式问题要涉及到对式子或
量的范围的限制,利用柯西不等式求解函数最值问题
时,首先,将给定的函数构造成柯西不等式的形式,
然后,求解最值即可.
2.利用三维柯西不等式求函数的最值
利用柯西不等式,可以方便地
解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重
新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯
西不等式的形式.
3.利用排序原理证明几项不等式
利用排序不等式证明不等式,关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组.
(1)
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要根
据各字母在不等
式中地位的对称性,限定一种大小关系.
(2)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得
两两乘积之和最大;反向单调(一
增一减)时,所得两两乘积之和最小.