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高考数学选做题(选修4-4,选修4-5)知识网络与方法清单

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 07:17
tags:高中数学选修4-5

高中数学网课搞笑-高中数学必修三统计概率测试题

2020年10月7日发(作者:殷震)


专题01 坐标系
【知识网络】











【考情分析】
考纲要求
①理解坐标系的作用。
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
③能在极坐标系中用极坐标表 示点的位置,理解在极坐标系和平面
直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行坐标和直角坐标的互化。
④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心
在极点的圆)的方 程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐
标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标 系的意
义。
⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空
间直角 坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别。
常见曲线的极坐标方程、直角坐标和极坐标的互化
通过近几年高考命题趋势看,本部分重点考 查直角坐标方程和极坐
标方程的互化,常见曲线的极坐标方程也是考查的重点,主要考查
基础知 识、基本技能, 题型一般为解答题,难度中等.
结合直线与圆、圆锥曲线、三角函数及恒等变换、向量等知识考查
解答题
对知识点 进行归纳整理、掌握常见曲线的极坐标方程、直角坐标和
极坐标之间的互化公式及其运用等.




直角坐标系 直角坐标和伸缩变换
极坐标和极坐标系的概念
极坐标系
极坐标方程及其应用
柱坐标系和球坐标系
考高频考点

考查形式


命题角度
常见题型
备考要求
【知识详单】
1.平面直角坐标系的作用
通过平面之间坐标系,实现了平面上的点与坐标(有序实数对), 曲线与方程建立联系,
从而使得数与形的结合.
2. 平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变
换,这就是用 代数方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标 系中任意一点,在
?
?
x′=λx,λ>0
变换φ:
?
的作 用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中
?
y′=μy, μ>0
?
的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.


3.极坐标与极坐标系
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐 标系的四要素,缺一不可。规定:
当点M在极点时,它的极坐标
?
?0,
?< br>可以取任意值。
注意:平面直角坐标与极坐标的区别:
(1)在平面直角坐标系内, 点与有序实数对(x,y)是一一对应的,可是在极坐标系
中,虽然一个有序实数对
(
?
,
?
)
只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序
实 数对对应
(
?
,
?
)
,极坐标系中的点与有序实数对极坐标
(
?
,
?
)
不是一一对应的。
⑵ 极坐标系中, 点M
(
?
,
?
)
的极坐标统一表达式
(
?
,2k
?
?
?
),k?Z

注意 如果规定?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平面内的点可用唯一的 极坐标
(
?
,
?
)

示,同时,极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标方程及其应用
(1)极坐标方程的定义:在极坐标系中,如果平面曲线C上任一点 的极坐标中至少有一个
满足方程
f(
?
,
?
)?0
,并且坐标适合方程
f(
?
,
?
)?0
的点都在曲线C上, 那么方程
f(
?
,
?
)?0
叫做曲线C的极坐标方程。
(2)常见曲线的极坐标方程
曲线
圆心在极点,半径为r的圆
圆心为(r,0),半径为r的圆
π
r,
?
,半径为r的圆 圆心为
?
?
2
?
过极点,倾斜角为α的直线

过点(a,0),与极轴垂直的直线

π
a,
?
,与极轴平行的直线 过点
?
?
2
?

5.极坐标与直角坐标的互化
互 化的前提:①极点与直角坐标的原点重合;②极轴与X轴的正方向重合;③两种坐标系
中取相同的长度单 位
图形



(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)
(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)
ππ

<θ <
?

ρcos θ=a
?
2
??
2
ρsin θ=a(0<θ<π)
极坐标方程
ρ=r(0≤θ<2π)
ππ

≤θ≤
?

ρ=2rcosθ
?
?
22
?
ρ=2rsinθ(0≤θ<π)
?
x?
?
cos
?
互化公式:
?

?
y?
?
si n
?
6. 柱坐标系
(1) 定义:
?
?
2
?x
2
?y
2
?
y
?
tan
?
?,x?0
?
x
?



建立空间直角坐标系O?xyz,设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用 (ρ,
θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数 组(ρ,θ,z)
(z∈R)表示,这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种 对应关系,把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱坐标,记 作P(ρ,θ,
z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞x=ρcos θ,< br>?
?
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式 为
?
y=ρsin θ,
?
?
z=z.
7. 球坐标系
(1) 定义:



建立空间直角坐标系O?xyz,设P是空 间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴
正向所夹的角为φ,设P在Oxy平面上的射影 为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转
过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r ,φ,θ)表示.
这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对 应关系的
坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标,记作P (r,
φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
x=r·sin φ·cos θ,
?
?
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变 换关系为
?
y=r·sin φ·sin θ,
?
?
z=rcos φ.


【方法技巧】
1.坐标法在求解曲线轨迹问题中的应用
在利用坐标法求解曲线轨迹问题时,首先,根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,
建立它的方程,通 过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.
2.极坐标与直角坐标的互化技巧
注意直角 坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对
(x,y)
是一一对
应的 ,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对
(
?
,
?
)
不是 一一对应的,只有在规定
(
?
?0
,
?
?
?
0,2
?
?
)的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多种表示形式.






专题02 参数方程
【知识网络】

【考情分析】
考纲要求
①了解参数方程,了解参数的意义。
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
③了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作
用。
常见曲线的参数方程、参数方程和普通方程的互化
参数方程属每年高考的必考内容,主要考查 基础知识、基本技能,
从两个方面考查(1)参数方程与普通方程的互化与等价性判定;
(2) 参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为解答题.
纵观历年来高考试题,极坐标、参数方程与普通 方程的综合试
题是高考热点与重点,掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与
普通方程的互化 是解题的关键点.经常结合有关数列、不等式、直
线、圆及其性质、圆锥曲线等知识综合考查.
解答题
对极坐标、参数方程与普通方程这部分知识,做好归纳整理,掌握
好极坐标方 程与普通方程、参数方程与普通方程的互化,积累常见
题型及其解法步骤.
考高频考点

考查形式


命题角度
常见题型
备考要求
【知识详单】
1.曲线的参数方程
(1)概念:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,
?
x?f(t)
(1)
?
y?g(t)
?
并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)
叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数.
(2)求曲线的参数方程的一般步骤:
第一步 设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
第二步 选参:选择合适的参数;
第三步 表示:依据题设、参数的几何或物理意义,建立参数与x,y的关系 式,并由此分
别解出用参数表示的x、y的表达式.
第四步 结论:用参数方程的形式表示曲线的方程.
(3)曲线的普通方程的概念:相对与参数方程来说,把直 接确定曲线C上任一点的坐标(x,y)
的方程F(x,y)=0叫做曲线C的普通方程.
注意:参数方程的几个基本问题 (1)消去参数,把参数方程化为普通方程.(2)由普通方


程化为参数方程.(3)利用参数求点的轨迹方程.(4)常见曲线的参数方程.
2.几种常见曲线的参数方程
(1) 直线的参数方程
(ⅰ)过点P
0
(
x
0
,y
0
),倾斜角为
?
的直线的参 数方程是

?
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数) < br>y?y?tsin
?
0
?
?
x?x
0
?at
b
的直线的参数方程是
?
(t为参数)
a
?
y?y
0
?bt
?
x?rcos
?
(
?
为 参数)
?
的几何意义为“圆心角”
?
y?rsin
?
注意 :t的几何意义:t表示有向线段
P
0
P
的数量,P(
x,y
)为直线上任意一点.
(ⅰ)过点P
0
(
x
0
,y0
),斜率为
k?
(2)圆的参数方程
(ⅰ)圆
x?y?r< br>的参数方程为
?
222
222
(ⅰ)圆
(x?x
0< br>)?(y?y
0
)?r
的参数方程是

?
?
x?x
0
?rcos
?

?
为参数)
?
的几何意义为“圆心角”
?
y?y
0
?rsin
?
(3)椭圆的参数方程
?
x?acos
?
x
2
y
2
(ⅰ)椭圆
2
?
2
?
1
(
a?b?0
) 的参数方程为
?

?
为参数)
ab
?
y?bsi n
?
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??
1
(
a?b?0
)的参数方程是 (ⅰ)椭圆
a
2
b
2
?
x?x
0
?acos
?

?

?
为参数),
?
的几何意义为“离心角”
y?y?bsin
?
0
?
(4)双曲线的参数方程
?< br>x?asec
?
x
2
y
2
??
1
( ⅰ)双曲线
2
的参数方程为
?

?
为参数)
ab
2
y?btg
?
?
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??
1
的参数方程是
( ⅰ)双曲线
22
ab
?
x?x
0
?asec
?
?

?
为参数)
?
的几何意义为“离心角”
y?y?btg
?
0
?
(5)抛物线的参数方程
?
x?2pt
2

y
?
2px
(p>0) 的参数方程为
?
(t为参数)
?
y?2pt
2其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数(顶点除外).
3.参数方程与普通方程的互化
恰当选择参数
参数方程
消去参数


普通方程 ; 普通方程 参数方程
这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.
参数方程化为普通方程 ,可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数,
通过曲线的普通方程来判断曲线的类型 .
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任一点M的坐标x,y和参数
的关 系,根据实际问题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等
作为参数.
【方法技巧】


1.参数方程与普通方程的互化技巧
参数方程与普通 方程互化时一定要保持x、y范围相同,不是所有的参数方程都可化为
普通方程.普通方程化成参数方程 时,选择的参数不同其参数方程不同.
2.极坐标方程与参数方程的区别
参数方程、极坐标 方程是解析几何曲线方程的另外两种表达形式,解题时要善于根据解
题的需求将参数方程与普通方程进行 互化,达到方便解题的目的.同时注意参数的范围.注
意区分极坐标方程和参数方程的区别:从方程的形 式上很容易区分清楚.
3.极坐标、参数方程与普通方程的综合应用
纵观历年来高考试题, 极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是高考热点与重点,掌
握好极坐标方程与普通方程、参数方程与 普通方程的互化是解题的关键点.
专题03 不等式和绝对值不等式
【知识网络】

【考情分析】
考纲要求 1. 了解不等式的基本性质和基本不等式;
2. 理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明
以下不等式:


(1)
a?b?a?b
; (2)
a?b?a?c?c?b

3. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
ax?b?c;
ax?b?c;
考高频考点

考查形式


命题角度
常见题型
备考要求

绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法
通过近几年的高考命题趋势看,集中在考查不等式的 解法、基本不
等式及其应用、绝对值不等式的解法。以解答题的形式考查,题目
难度中低档,分 值为10分.
考点主要集中在绝对值不等式的解法上,也是命题的高频知识点,
掌握不等式的 基本性质,及基本不等式求解最值问题.
解答题
掌握绝对值不等式的解法,注重理解绝对值的几何意义,善于归纳
整理.
x?c?x?b?a。
【知识详单】
1.不等式的基本性质
(1)如果a>b,那么,b<a;如果a<b,那么b>a;
(2)如果a>b,b>c,那么a>c;
(3)如果a>b,那么a+c>b+c;推论:如果a<b,c<d,那么a+c<b+d;
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc;
(5 )如果a>b>0,那么
a
n
?b
n
(n∈N,n≥2);
(6)如果a>b>0,那么
n
a?
n
b
(n∈N,n≥2)。
注意:理解上述性质时,可以有两种理解方式:一是“形”,可以借助于数轴来理解;二是“数”,就是上述的书写形式的简化。
2.不等式的大小比较
对于任何两个实数a,b
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0
,
a?b?a?b?0

注意:比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号.
作差法中常用的变形 手段是分解因式和配方等恒等变形,前者将“差”化为“积”,后者将“差”
化为一个完全平方式或几个 完全平方式的“和”,也可二者并用.
3.基本不等式
定理1(重要不等式):如果a,b ∈R,那么a
2
+b
2
≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
a+b
定理2(基本不等式):如果a,b是正数,那么
≥ab,当且仅当a=b时,等号成立 .
2
a+b
常把叫做正数a,b的算术平均,把ab叫做正数a,b的几何平均,所 以基本不等式又
2
可叙述为:两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值 .
4.绝对值的几何意义及绝对值不等式
如图(1),|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
如图(2),|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离.



定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
证明:若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|.
提示 |a+b|≤|a|+|b |?|a+b|
2
≤(|a|+|b|)
2
?(a+b)
2
≤|a|
2
+2|a||b|+|b|
2

?a
2
+2ab+b
2
≤a
2
+2|a||b|+b
2
?ab≤|ab|.
由ab=|ab|知ab≥0,
∴原不等式成立.当且仅当ab≥0时等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a -c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号
成立.
可以 解释为:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,
|a-c|= |a-b|+|b-c|;当点B不在点A,C之间时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.
5.绝对值不等式的解法
(1)|x|>a和|x|<a(a>0)型不等式的解法
|x|<a?-a<x<a;|x|>a?x<-a或x>a.
(2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质证明不等式成立问题
在利用不等式性质时,注意等价变形,对于负数的处理要恰到好处,切勿出现不等价的
问题.
2. 关于用不等式求函数最大、最小值
(1)若x≥0,y≥0,且xy=p(定值),则当x=y时,x+y有最小值2p.
s< br>2
(2)若x≥0,y≥0,且x+y=s(定值),则当x=y时,xy有最大值.
4
3.利用绝对值不等式解决代数式的最值问题
求含绝对值的代数式的最值问题综合 性较强,直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用|a+
b|,|a-b|的最值,及ab≥0 时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理,达到求解
目的.
4. |x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的三种解法
①利 用绝对值不等式的几何意义,体现了数形结合思想,是解绝对值不等式最简单的方法,
但要注意理解绝对 值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键;
②利用x-a=0,x-b=0的解, 将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化
为不含绝对值的不等式而解之,体现了分类讨论 思想,从中可以发现,以绝对值的“零点”为
分界点,将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值 符号内多项式取值的正负性,进
而去掉绝对值符号;
③通过构成函数,利用函数的图象,体现 了函数与方程的思想,从中可以发现,正确求出函
数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的单调性 )是解题的关键.
5.含有参数的绝对值不等式的解法综合运用
注意结合绝对值的性质和参数的取值情形,进行分类讨论,在进行分类时,做到“不重不漏:






专题04 证明不等式的基本方法
【知识网络】
比较法
不等式
的证明
方 法
综合法和分析法
反证法与放缩法

【考情分析】
考纲要求
考高频考点

考查形式


常见题型
备考要求
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、
分析法、反证法、放缩法。
比较法、综合法证明不等式问题
一般地,不单独考查纯粹的证明方法,而是结合具体题目进行 考查,
掌握和理解证明方法的实质,以解答题的形式考查,难度适中.
解答题
准确 理解证明方法的实质和证明问题的步骤,注意一些常见题型的
处理思路和方法、分析法的证明问题的格式 等.
【知识详单】
1.比较法
作差比较法:因为a>b?a-b>0,要证a> b,只需要证a-b>0,同样要证ab<0.
a
作商比较法:如 果a、b都是正数,要证a>b,只需证
>1;如果a、b都是负数,要证a>b,
b
a
只需证
<1.
b
2.综合法和分析法
⑴综合法:一般地,从已 知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、
论证而得出命题成立,这种证明方法 叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
⑵分析法:证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻 求使它成立的充分条件,直至所需条件
为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、 性质等),从而得出要证的
命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.
3.反证法与放缩法
(1)反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件 ,应用公理、定义、
定理,性质等进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质,明显成 立的事
实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
注意:存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词
的命题 或不等式.
(2)放缩法:将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简,达到证明目的 .如
果所要证明的不等式中含有分式,把分母放大,则相应分式的值缩小,反之,把分母缩小,
则分式的值放大.
【方法技巧】
1.作差法比较不等式的方法及应用

用比较法证不等式,一般要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤,变形的主要手段是通
分、因 式分解或配方,在变形过程中,也可利用基本不等式放缩.
2.分析法证明不等式及其思路技巧
【拓展提升】分析法书写格式
第一种:要证……,只需证……,只需证……,
直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实.
第二种:有些命题的证明上、下步之间都是 充要条件,所以分析法证明每步之间都可用符号
“?”直到出现已知条件、定理、明显的事实.
第三种:各步之间用符号“?”.
3. 综合利用综合法与分析法证明不等式
4.放缩法在解决数列问题中的应用
专题05 柯西不等式与排序不等式
【知识网络】

二维形式的
柯西不等式
柯西不等式






西




排序不等式
三维形式的
柯西不等式
顺序和、乱序
和、反序和的
概念
排序原理

【考情分析】

考纲要求 1.了解柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义;
(1)证明:柯西不等式向量形式:
??
?
?
·
?
2

?
a
(2)证明:
(3)证明:
2
?b
2< br>c
2
?d
2
?
?
ac?bd
?
?? ?

?
x
1
?x
2
?
2
??
y
1
?y
2
?
2

?
?
x
2
?x
3
?
2
?
?
y
2
?y
3
?
2

?
?
x
1
?x
3
?
2
?
?
y
1
?y
3< br>?
2
(通常称作平面三角不等式)
2.了解用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:
?
n
?
22< br>ab?ab
?
??
i
·
?
iii
?
??

i?1i?1

i?1
3.了解用向量递归方法讨论排序不等式;
nn
2


4. 能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值。
5.了解排序不等式的构成形式.
6.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些
简单问题。
7.会用数学归纳法证明贝努利不等式:
n
1?x?1?nx

x??1,x?0
,n为大于1的正整数)。
??

了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
考高频考点


考查形式

常见题型
备考要求
二维形式的柯西不等式及其运用、排序不等式的构成及其原理、数
学归纳法的基本原理和应用.
本部分作为不等式中的一个重要应用方向,了解柯西不等式的构成
和几种常见形式,高考命题中 很少涉及,有时考查二维形式的柯西
不等式
解答题
熟练掌握二维形式和三维形式 的柯西不等式的结构形式及其应用,
了解排序不等式的原理和解题步骤,做好归纳整理.

【知识详单】
1.二维形式的柯西不等式
(1)定义:若a,b,c,d都是实数 ,则(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
)≥( ac+bd)
2
,当且仅当ad=bc时,等号
成立.
(2)二维形式的柯西不等式的一些变式
变式1: a
2
+b
2< br>·c
2
+d
2
≥|ac+bd|(当且仅当ad=bc时,等号成立)
变式2:(a+b)(c+d)≥(ac+bd)
2
.(a,b,c,d∈R

,当且仅当ad=bc时,等号成立)
变式3: a
2
+b
2< br>·c
2
+d
2
≥|ac|+|bd|(当且仅当|ad|=|bc|时 ,等号成立)
2.柯西不等式的向量形式
设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β |,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等
号成立.
3.二维形式的三角不等式
22
222
(1)设x
1
,y
1
,x
2
,y
2
∈R,那么x
2
1
+y
1
+x
2
+y
2

(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
.
(2)设 平面上三点坐标为A(a
1
,a
2
)、B(b
1
,b
2
)、C(c
1
,c
2
),则
(a
1
? b
1
)
2
?(a
2
?b
2
)
2< br>+
(b
1
?c
1
)
2
?(b
2?c
2
)
2

(a
1
?c
1
)
2
?(a
2
?c
2
)
2
,其几何意义为 :|AB|+|BC|≥|AC|.
(3)设α,β,γ为平面向量,则|α-β|+|β-γ|≥| α-γ|,等号成立的充要条件为α-β=λ(β-γ)(λ
>0).
4.三维形式的柯西不等式
222222
设a
1
,a
2< br>,a
3
,b
1
,b
2
,b
3
∈R, 则(a
2
1
+a
2
+a
3
)·(b
1+b
2
+b
3
)≥(a
1
b
1
+a< br>2
b
2
+a
3
b
3
).当且仅当b
1
=b
2
=b
3
=0或存在一个数k,使得a
1
= kb
1
,a
2
=kb
2
,a
3
=kb3
时,等号成立.
在空间向量中,三维的柯西不等式的代数形式.设α=(a
1
,a
2
,a
3
),β=(b
1
,b
2,b
3
),则α·β
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
代入向量式得:
22 2222
(a
2
1
+a
2
+a
3
)(b< br>1
+b
2
+b
3
)≥(a
1
b
1< br>+a
2
b
2
+a
3
b
3
). 当且仅当α·β共线时,即β=0,或存在一个数k,使得a
i
=kb
i
(i=1,2,3)时,等号成立.
5.一般形式的柯西不等式
222222
设a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
,b
1
,b
2
,b
3
,…,b
n
是实数,则(a
2
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
)·(b
1
+b
2
+b
3
+…
2
+b
2< br>n
)≥(a
1
b
1
+a
2
b
2+a
3
b
3
+…+a
n
b
n
)
,当且仅当b
i
=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得
a
i
=kb
i
(i=1,2,3,…,n)时,等号成立.
6.排序不等式


(1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设a
1
≤a
2
≤a
3
≤…≤a
n
,b
1
≤b
2
≤b
3
≤…≤b
n
为两组实数,c
1
,c
2,…,c
n
是b
1
,b
2
,…,b
n
的任一排
列,则称a
i
与b
i
(i=1,2,…,n)的相同顺序相 乘所得积的和a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+ a
n
b
n
为顺序和,
和a
1
c
1
+a
2
c
2
+…+a
n
c
n
为乱序和,相 反顺序相乘所得积的和a
1
b
n
+a
2
b
n

1
+…+a
n
b
1
为反序
和.
(2)排序不等式(排序原理)
设a
1
≤a
2
≤…≤a< br>n
,b
1
≤b
2
≤…≤b
n
为两组实数,c
1
,c
2
,…,c
n
是b
1
,b
2
,…,b
n
的任一排列,则
a
1
b
n
+ a
2
b
n

1
+…+a
n
b
1< br>≤a
1
c
1
+a
2
c
2
+…+a< br>n
c
n
≤a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
,当且仅当a
1
=a
2
=…=
a
n
或b
1
=b
2
=… =b
n
时,反序和等于顺序和,此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和.
【方法技巧】
1.利用柯西不等式求函数的最值
关于不等式问题要涉及到对式子或 量的范围的限制,利用柯西不等式求解函数最值问题
时,首先,将给定的函数构造成柯西不等式的形式, 然后,求解最值即可.
2.利用三维柯西不等式求函数的最值
利用柯西不等式,可以方便地 解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重
新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯 西不等式的形式.
3.利用排序原理证明几项不等式
利用排序不等式证明不等式,关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组.
(1) 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要根
据各字母在不等 式中地位的对称性,限定一种大小关系.
(2)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得 两两乘积之和最大;反向单调(一
增一减)时,所得两两乘积之和最小.




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