最新北师大版高中数学选修4-5测试题全套及答案

最新北师大版高中数学选修4-5测试题全套及答案
第一章 测试题
一、选择题(共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目 要求的．)
??
3
??
1．设集合A＝{x|y＝log
2
(4－2x－x
2
)}，B＝
?
x
?
≥1
?，则A∩B等于( )

?
?
?
x＋1
?
?
A．{x|－1B．{x|－3C．{x|－1D．{x|－1－5解析： 不等式4－2x－x
2
>0可转化为
x
2
＋2x－4<0，解得－1－5∵A＝{x|－1－5不等式
3
x＋1
≥1可转化为
x－2
x＋1
≤0，
解得－1∴A∩B＝{x|－1答案： A
2．不等式
?
?
x＋1
?
x－1?
?
?
<1的解集为( )
A．{x|01} B．{x|0C．{x|－1解析： 方法一：特值法：显然x＝－1 是不等式的解，故选D．
方法二：不等式等价于|x＋1|<|x－1|，
即(x＋1)
2
<(x－1)
2
，解得x<0，故选D．
答案： D
3．设a、b是正实数，以下不等式
①ab>
2ab
a＋b
，②a>|a－b|－b，
③a
2
＋b
2
>4ab－3b
2
，④ab＋
2
ab
>2
恒成立的序号为( )
A．①③ B．①④

C．②③
解析：
即④正确．
答案： D
D．②④
2ab2ab2ab2
≤＝ab，即ab≥，故①不正确，排除A、B；∵ ab＋≥22>2，
ab
a＋b
2ab
a＋b
11
4．已知 a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是( )
ab
A．2
C．4
112
解析： ∵a>b，b>0，∴＋≥，
ab
ab
当且仅当a＝b时取等号，
112
∴＋＋2ab≥＋2a b≥2
ab
ab
当且仅当a＝b＝1且
2
·2ab＝4.
ab
B．22
D．5
2
＝2ab时成立，能取等号，故
ab
11
＋＋2ab的最小值为4，故选C．
ab
答案： C
5．设x>0，y>0，x＋y＝1，x＋y的最大值是( )
A．1
C．
2

2
B．2
D．
3

2
解析： ∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy，
1
∴≥xy，
2
1
∴x＋y≤2?x＋y?＝2(当且仅当x＝y＝时取“＝”)．
2
答案： B
11
6．a>0，b>0，则“a>b”是“a－>b－”成立的( )
ab
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
a－b1
11
1＋
?
. 解析： a－－b＋＝a－b＋＝(a－b)
?
?
ab
?
abab< br>∵a>0，b>0，

1
11
1＋
?
>0?a－>b－. ∴由a>b?( a－b)
?
?
ab
?
ab
11
可得“a>b”是“ a－>b－”成立的充要条件．
ab
答案： C
11
7．设x，y∈R， a>1，b>1.若a
x
＝b
y
＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为( )
xy
A．2
C．1
3
B．
2
1
D．
2
解析： ∵a
x
＝b
y＝3，∴x＝log
a
3，y＝log
b
3，
1111
∴＋＝＋＝log
3
a＋log
3
b
x ylog
a
3log
b
3
?a＋b?
2
＝log< br>3
ab≤log
3
＝log
3
3＝1，故选C．
4
答案： C
8．0A．| log
1
＋
a
(1－a)|＋|log
(1
－
a)
(1＋a)|>2
B．|log
1
＋
a
(1－a)|<| log
(1
－
a)
(1＋a)|
C．|log
(1
＋
a)
(1－a)＋log
(1
－
a)
(1＋a)|<| log
(1
＋
a)
(1－a)|＋|log
(1
－
a)
(1＋a)|
D．|log
(1
＋
a)
(1－a)－ log
(1
－
a)
(1＋a)|>|log
(1
＋
a)
(1－a)|－|log
(1
－
a)
(1＋a)|
1
解析： 令a＝，代入可排除B、C、D．
2
答案： A
9．若实数a，b满足a＋b＝2，则3
a
＋3
b
的最小值是( )
A．18
C．23
＋
B．6
4
D．3
解析： 3
a
＋3
b
≥23
a
·3
b＝23
ab
＝23
2
＝6.
答案： B
a
2
b
2
10．设a，b∈R
＋
，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则 ( )
ba
A．P>Q
C．PB．P≥Q
D．P≤Q
a
3
＋b
3
－ab?a＋b??a＋b??a
2
＋ b
2
－2ab?
a
2
b
2
解析： P－Q＝＋－(a＋b)＝＝＝
baabab
?a＋b??a－b?
2
.
ab

∵a，b都是正实数，且 a≠b，
?a＋b??a－b?
2
∴>0，
ab
∴P>Q.
答案： A
11．若a，b，c>0，且a
2
＋2ab＋2ac＋4bc＝ 12，则a＋b＋c的最小值是( )
A．23
C．2
解析： a
2
＋2ab＋2ac＋4bc
＝a(a＋2c)＋2b(a＋2c)
＝(a＋2c)(a＋2b)
≤
?
?a＋2c?＋?a＋2b?
?
2
2
??
，
B．3
D．3
∴(a＋b＋c)
2
≥12，又a，b，c>0，
∴a＋b＋c≥23.
答案： A
1＋cos 2x＋8sin
2
x
π
12．当02sin 2x
A．2
C．4
B．23
D．43
2cos
2
x＋8 sin
2
x1＋4tan
2
x
1
解析： 方法一：f(x)＝＝＝4tan x＋≥4.
2sin xcos xtan xtan x
1
这里tan x>0，且tan x＝时取等号．
2
1＋cos 2x＋8sin
2
x5－3cos 2x
方法二：f(x)＝＝(0<2x<π)．
sin 2xsin 2x
5－3cos 2x
令μ＝，有μsin 2x＋3cos 2x＝5.
sin 2x
μ
2
＋9sin(2x＋φ)＝5,
∴sin(2x＋φ)＝
5
.
μ
2
＋9
5??
∴
?
2
?
≤1，得μ
2
≥16.
?
μ
＋9
?
∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.
∴μ≥4即f(x)≥4.
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)

13．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是__________．
解析： 用分析法比较，a>b?3＋5>2＋6?8＋215>8＋212，同理可比较得
b>c.
答案： a>b>c
14．设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a解析： ∵|x－2|>3，
∴x－2>3或x－2<－3，
∴x>5或x<－1，
即S＝{x|x>5或x<－1}．
又∵T＝{x|a?
?
a<－1
∴画数轴可知a需满足
?
，
?
a＋8>5
?

∴－3
答案： －3?x＋5??x＋2?
15．设x>－1，则函数y＝的最小值为________．
x＋1
解析： ∵x>－1，∴x＋1>0，
?x＋5??x＋2?[?x＋1?＋4][?x＋1?＋1]
y＝＝
x＋1x＋1
＝(x＋1)＋5＋
4
≥2·
x＋1
4
?x＋1?·＋5＝ 9.
x＋1
4
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
x＋1
∴y的最小值是9.
答案： 9
16．某商品进货价每件50元， 据市场调查，当销售价格(每件x元)在5010
5
天售出的件数P ＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为____________
?x－40?
2
元。
解析： 设销售价格定为每件x元(5010
5
?x－50?
y＝(x－50)·P＝，
?x－40?
2
设x－50＝t，则0

10
5
t10
5
t
∴y＝＝
?t ＋10?
2
t
2
＋20t＋100
10
5
105
＝≤＝2 500.
100
20＋20
t＋＋20
t
当且仅当t＝10，即x＝60时，y
max
＝2 500.
答案： 60
三、解答题(共6小题，74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)解不等式|x＋1|＋|x|<2.
解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法．
3
当x≤－1时，－x－1－x<2，解得－2
当－11
当x≥0时，x＋1＋x<2，解得0≤x<.
2
31
??因此，原不等式的解集为
?
x|－
2
2
?
.
??
方法二：利用方程和函数的思想方法．
令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2

2x－1?x≥0?，
?
?
＝
?
－1?－1≤x<0?，
?
?
－2x－3?x<－1 ?.


作函数f(x)的图象(如图)，
31
知当f(x)<0时，－22
故原不等式的解集为
31
??
?
x|－?
.
22
??
方法三：利用数形结合的思想方法．
由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点
P(x)到点O(0)的距离 ．
由条件知，这两个距离之和小于2.
作数轴(如图)，知原不等式的解集为

31
??
?
x|－?
.
2 2
??
4
18．(12分)求函数y＝3x＋
2
(x>0)的最值．
x
解析： 由已知x>0，
43x3x4
∴y＝3x＋
2
＝＋＋
2

x22x
3
3x3x4
3
≥3··
2
＝39， < br>22x
3
3x3x429
当且仅当＝＝
2
，即x＝时，取等号 ．
22x3
3
294
3
∴当x＝时，函数y＝3x＋
2< br>的最小值为39.
3x
19．(12分)已知a，b，c∈R
＋
，且a＋b＋c＝1.
1
??
1
??
1
?
求证：
?
?
a
－1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥8.
证明： ∵a，b，c∈R
＋
，a＋b＋c＝1，
1－ab＋c
bc2bc1
∴－1＝＝＝＋≥，
aaaaaa
12ac12ab
同理－1≥，－1≥.
bbcc
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
1
??
1< br>??
1
?
2bc2ac2ab
∴
?
?
a－1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥a
·
b
·
c
＝8.
1
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3
1＋y1＋x
20．(12 分)若x，y>0，且x＋y>2，则和中至少有一个小于2.
xy
1＋y1＋x
证明： 反设≥2且≥2，
xy
∵x，y>0，
∴1＋y≥2x,1＋x≥2y两边相加，则
2＋(x＋y)≥2(x＋y)，可得x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴
1＋y1＋x
和中至少有一个小于2.
xy
21．(12分)在 某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d(m)正比于车速v(kmh)
的平方与车身长s (m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s(m)，且车
速为50kmh时车距恰 为车身长s，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车

流量Q最大？
解析： 由题意，知车身长s为常量，车距d为变量．且
d＝kv
2
s，把 v＝50，d＝s代入，得k＝
1
2
d＝
v
s，得v＝252.所以
2 500
11
，把d＝s代入
2 5002
?
d＝
?
1
?
2 500
v
s? v>25
2
1
s?02
2?.

2
则车流量
?
1 000v
?
Q＝＝
d＋s
?
1 000v
?v>25
v
?
?
s?1＋
2 500
?
1 000v
50 0002
Q
1
＝＝.
33s
s
2
当v>252时，Q＝
1 000v
?03
s
2
2?.


当01 000v
1 000
＝
2
v
?

v
?
?
1
?
s
1＋
2 500
s
v
＋
2 500
??
??
≤
1 00025 000
＝.
s
1
v
s·2
v
·
2 500
v
125 000
当且仅当
v
＝，即v＝50时，等号成立． 即当v＝50时，Q取得最大值Q
2
＝.
2 500s
因为Q
2>Q
1
，所以车速规定为50kmh时，该地段的车流量Q最大．
22．(14分)已知函数f(x)＝ax
2
－4(a为非零实数)，设函数
?
?
f?x? ?x>0?
F(x)＝
?

?
－f?x??x<0?
?

(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F(x)|≤2；
(3)设mn<0，m＋n>0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解析： (1)∵f(－2)＝0，∴4a＋4＝0，
得a＝－1，∴f(x)＝－x
2
＋4，
2
?
?
－x＋4 ?x>0?
F(x)＝
?
2

?
x－4 ?x<0?
?

(2)∵|F(－x)|＝|F(x)|，
∴|F(x)|是偶函数，
故可以先求x>0的情况．
当x>0时，由|F(2)|＝0，
故当0解不等式1≤－x
2
＋4≤2，得2≤x≤3；
x>2时，解不等式1≤x
2
－4≤2，
得5≤x≤6；
综合上述可知原不等式的解集为
{x|2≤x≤3或5≤x≤6或－3≤x≤－2或－6≤x≤－5}．
(3)∵f(x)＝ax
2
＋4，
2
?
?
ax＋4 ?x>0?
∴F(x)＝
?
，
2
?
－ax－4 ?x<0?
?

∵mn<0，不妨设m>0，则n<0.
又m＋n>0，∴m>－n>0，∴m
2
>n
2
，
∴F( m)＋F(n)＝am
2
＋4－an
2
－4＝a(m
2
－n
2
)，
所以：当a>0时，F(m)＋F(n)能大于0，
当a<0时，F(m)＋F(n)不能大于0.

第二章 测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是 符合题目要求的)
111
1．用数学归纳法证明1＋＋＋?＋
n
*
，n>1)时，第一步应验证不等式( )
23
2－1
1
A．1＋<2
2
11
C．1＋＋<3
23
11
B．1＋＋<2
23
111
D．1＋＋＋<3
234
11
＝，故
2－1
3
2
解析： n∈N
*
，n>1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为
选B．
答案： B
1
2．用数学归纳法证明1
2
＋3
2
＋5
2
＋?＋(2n－1)
2
＝n(4n
2
－1)的过程中 ，由n＝k递推到
3
n＝k＋1时，等式左边增加的项为( )

A．(2k)
2

C．(2k＋1)
2

B．(2k＋3)
2

D．(2k＋2)
2

解析： 把k＋1代入(2n－1)
2
得(2k＋2－1)
2
即(2 k＋1)
2
，选C．
答案： C
3．若a>b>c>d，x＝(a＋b) (c＋d)，y＝(a＋c)(b＋d)，z＝(a＋d)(b＋c)，则x，y，z的大
小顺序为( )
A．xC．x解析： 因a>d且b>c，
则(a＋b)(c＋d)<(a＋c)(b＋d)，
得xb且c>d，
则(a＋c)(b＋d)<(a＋d)(b＋c)，
得y答案： C
4．用数学归纳法证明“1＋2＋2
2
＋?＋2
n1
＝2
n
－1(n∈N
*
)”的过程中，第二步假设n
－
B．yD．z＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( )
A．1＋2 ＋2
2
＋?＋2
k2
＋2
k1
＝2
k1
－ 1
－－＋
B．1＋2＋2
2
＋?＋2
k
＋2
k1
＝2
k
－1＋2
k1

＋＋
C．1＋2＋2
2
＋?＋2
k1
＋2
k1
＝2
k1
－1
－＋＋
D．1＋2＋2
2
＋?＋2
k1
＋2
k
＝ 2
k
－1＋2
k

－
解析： 左侧应为1＋2＋2
2
＋?2
k1
＋2
k

－
右侧应为2
k1
－1＝2
k
＋2
k
－1
＋
∴选D．
答案： D
5．用数学归纳法证明2
n
>n
2
，n的第一个取值应当是( )
A．1
C．10
B．大于1小于10的某个整数
D．小于10的某个整数
解析： 易知当n＝2或n＝4时，2
n
＝n2
，观察y＝2
x
及y＝x
2
的函数图象，易知当n≥4
时，2
n
≥n
2
，故n的第一个值应当是5，故选B．
答案： B
6．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( )
A．5
C．23
B．3
D．
3

2

解析： 1＝a＋b＋4c＝(a)
2
＋(b)
2
＋(2c)
2
< br>1
＝[(a)
2
＋(b)
2
＋(2c)
2
] ·(1
2
＋1
2
＋1
2
)
3
1
≥(a＋b＋2c)
2
·
3
∴(a＋b＋2c)
2
≤3，即所求为3.
答案： B
1111
7．用数学归纳法证明：＋＋＋?＋<1(n∈N
＋
，
n
n＋1n＋2
2n
n≥2)时，由“k到k＋1”，不等式左端的变化是( )
1
A．增加一项
2?k＋1?
11
B．增加和两项
2k＋12?k＋1?
111
C．增加和两项，同时减少
k
2k＋12?k＋1?
D．以上都不对
1111
解析： 因f(k)＝＋＋＋?＋，
k
k＋1k＋2k＋k
11111
而f(k＋1)＝＋＋?＋＋＋，
k＋1k＋2k＋kk＋k＋1k＋k＋2
111
故f(k＋1)－f(k)＝＋－，故选C ．
2k＋12k＋2
k
答案： C
－2
26537110
8．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋
2－46－45－43－47－41－410－4 －2－4
＝2，依照以上各式成立的规律，得一般性的等式为( )
8－n
n
A．＋＝2
n－4?8－n?－4
n＋4
n
C．＋＝2
n－4?n＋4?－4
解析： 观察归纳知选A．
答案： A
16
9．已知a，b，c，d均为实数，且a＋b＋c＋d＝4，a
2
＋b
2
＋ c
2
＋d
2
＝，则a的最大值
3
为( )
A．16
C．4
B．10
D．2
n＋1?n＋1?＋5
B．＋＝2
?n＋1?－4?n＋1?－4
n＋1n＋5
D．＋＝2
?n＋1?－4?n＋5?－4
解析： 构造平面π：x＋y＋z＋(a－4)＝0，

16
球O：x
2
＋y
2
＋z
2
＝ －a
2
，
3
则点(b，c，d)必为平面π与球O的公共点，
|a－4|
从而≤
3
16
－a
2
，
3
即a
2
－2a≤0，解得0≤a≤2，
故实数a的最大值是2.
答案： D
10．用数学归纳法证明“n
2
＋n *
)”的第二步证
n＝k＋1时(n＝1已验证，n＝k已假设成立)这样证明：?k＋1?
2
＋?k＋1?＝k
2
＋3k＋2
2
＋4k＋ 4＝(k＋1)＋1，则当n＝k＋1时，命题成立，此种证法( )
A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
解析： 经过观察显然选D．
答案： D
11．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)??(n＋n)＝2
n
·1·3 ·5·(2n－1)(n∈N
*
)”时，从n＝
k到n＝k＋1等式的左边需增乘代数 式为( )
A．2k＋1
?2k＋1??2k＋2?
C．
k＋1
解析： 左边当n＝k时最后一项为2k.
左边当n＝k＋1时最后一项为2k＋2，又第一项变为k＋2，
?2k＋1??2k＋2?
∴需乘.
k＋1
答案： C
12．x 、y、z是非负实数，9x
2
＋12y
2
＋5z
2
＝9，则 函数u＝3x＋6y＋5z的最大值是( )
A．9
C．14
解析： u
2
＝(3x＋6y＋5z)
2

≤[(3x)
2
＋(23y)
2
＋(5z)
2
]·[1
2
＋(3)
2
＋(5)
2
]
＝9×9＝81，∴u≤9.
答案： A
B．10
D．15
2k＋1
B．
k＋1
2k＋3
D．
k＋1

二、填空题(本大题共 4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
111
13．已知a、b、 c都是正数，且4a＋9b＋c＝3，则＋＋的最小值是________.
abc
4ac
解析： 由4a＋9b＋c＝3，∴＋3b＋＝1，
33
111
∴＋＋
abc
4c4c4c
a＋3b＋a＋3 b＋a＋3b＋
333333
＝＋＋
abc
43bc4ac14a3b
＝＋＋＋3＋＋＋＋＋
3a3a3b3b 33cc
5
3b4a
??
c4a
??
c3b
?＋
＋
＋
＋
＋
＝3＋＋
?
3
?
a3b
??
3a3c
??
3bc
?
54
≥3＋＋ 4＋＋2＝12.
33
答案： 12
14．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋?＋ n＋?＋3＋2＋1＝n
2
(n∈N
＋
)时，从n＝k到n
＝k＋1 时，该式左边应添加的代数式是________________.
解析： 当n＝k时，左边＝1 ＋2＋3＋?＋k＋?＋3＋2＋1.当n＝k＋1时，左边＝1＋
2＋3＋?＋k＋k＋1＋k＋?＋ 3＋2＋1.所以左边应添加的代数式为k＋1＋k＝2k＋1.
答案： 2k＋1
15． 若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x
2
＋y
2
＋z
2< br>＝1的一切实数x、y、z恒成立，则
实数a的取值范围是________.
解析： 由柯西不等式可得(1
2
＋2
2
＋2
2
)(x
2< br>＋y
2
＋z
2
)≥(x＋2y＋2z)
2
，所以x＋ 2y＋2z的
最大值为3，故有|a－1|≥3，
∴a≥4或a≤－2.
答案： a≥4或a≤－2
16．数列{a
n
}中，a
1
＝1，且S
n
、S
n
＋
1
、2S
1
成等差数列，则S
2
、S
3
、S
4
分别为________，
猜想 S
n
＝________.
解析： 由题意得，a
1
＝1，
2S
n
＋
1
＝S
n
＋2S
1
.
3
当n＝1时，2S
2
＝S
1
＋2S
1
， ∴S
2
＝.
2
7
当n＝2时，2S
3
＝S
2
＋2S
1
，∴S
3
＝.
4
15
当n ＝3时，2S
4
＝S
3
＋2S
1
，∴S
4
＝.
8

2
n
－1
归纳猜想：S
n
＝
n
－
1
.
2
n
3715
2－1
答案：
n
－
1

248
2
三、解答题(本大题共6小题， 共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(12分)设x
2
＋2y
2
＝1，求μ＝x＋2y的最值．
解析： 由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|
≤1＋2·x
2
＋2y
2
＝3.
x2y3
当且仅当＝，即x＝y＝±时取等号．
13
2
所以，当x ＝y＝－
当x＝y＝－
3
时，μ
max
＝3.
3
3
时，μ
min
＝－3.
3
1115
＋＋?＋>(n≥2，n∈N
＋
)．
3n6
n＋1n＋2
18．(12分)求证：
11115
证明： (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
34566
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
＋
)时命题成立．
即
1115
＋＋?＋>.
3k6
k＋1k＋2
则当n＝k＋1时，
111111111
＋＋ ?＋＋＋＋＝＋＋?＋＋
3k
3k＋13k＋23?k＋1?k＋1k＋2
3k
?k＋1?＋1?k＋1?＋2
?
1
＋
1
＋
1
－
1
?

?
3k＋13k＋23k＋3k＋1
?
11 11
5
>＋
?
3k＋1
＋
3k＋2
＋
3k ＋3
－
k＋1
?

6
??
11
55
>＋
?
3×
3k＋3
－
k＋1
?
＝.
6
??
6
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)、(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N
＋
均成立．
19． (12分)已知x＋y＋z＝1，求2x
2
＋3y
2
＋z
2
的最小值．
解析： 由柯西不等式，得
2x
2
＋3y
2
＋z
2

6
?
1
＋
1
＋1
?
＝(2x
2
＋3y
2
＋z
2
)·
?
23
?
1 1

6
23
≥
??
2x·
?
＋
?
3y·
?
＋z·1
?
2

11
??< br>2
??
3
??
66
＝(x＋y＋z)
2
＝，
1111
6
∴2x
2
＋3y
2
＋z
2≥.
11
当且仅当
2x3yz
＝＝，
23
1
23
326
即x＝，y＝，z＝时取等号．
111 111
6
∴2x
2
＋3y
2
＋z
2
的最小 值为.
11
20．(12分)设a、b、c为正数．求证：
abc
b＋c c＋aa＋b
2
?
b＋c
＋
c＋a
＋
a＋b
?
≥
??
b＋c
＋
c＋a
＋
a＋b
.
证明： 由对称性，不妨设a≥b≥c>0.
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a
2< br>≥b
2
≥c
2
.
故
111
≥≥.由排序原理知：
b＋cc＋aa＋b
222
222222
a
2
b
2
c
2
c
2
a
2
b
2
＋＋≥＋＋，
b＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b
a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
＋＋≥＋＋，
b＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b
将上面两个同向不等式相加，得
abcb＋cc＋aa＋b
2
?
b＋c
＋
c＋a
＋
a ＋b
?
≥
??
b＋c
＋
c＋a
＋
a＋b< br>.
21．(12分)设a≤b≤c≤d≤e且a＋b＋c＋d＋e＝1，
1
求证：ad＋dc＋cb＋be＋ea≤.
5
证明： 由于a≤b≤c≤d≤e，
知a＋b≤a＋c≤b＋d≤c＋e≤d＋e，
2(ad＋dc＋cb＋be＋ea)
＝a(d＋e)＋b(c＋e)＋c(b＋d)＋d(a＋c)＋e(a＋b)
12
≤(a＋b＋c＋d＋e)[(d＋e)＋(c＋e)＋(b＋d)＋(a＋c)＋(a＋b)]＝.
55
1
∴ad＋dc＋cb＋be＋ea≤.
5
11
22 ．(14分)对于数列{a
n
}，若a
1
＝a＋(a>0，且a≠1)，a< br>n
＋
1
＝a
1
－.
aa
n
222
222222

(1)求a
2
、a
3
、a4
，并猜想{a
n
}的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
11
解析： (1)∵a
1
＝a＋，a
n
＋
1＝a
1
－，
aa
n
111
∴a
2
＝a
1
－＝a＋－
a
1
a1
a＋
a
a
2
＋1a
4< br>＋a
2
＋1
a
＝－
2
＝，
a
a＋ 1a?a
2
＋1?
1
a
3
＝a
1
－ a
2
a
2
＋1a?a
2
＋1?
＝－
4 2

a
a＋a＋1
a
6
＋a
4
＋a
2
＋1
＝，
a?a
4
＋a
2
＋1?
同理可得
a
8< br>＋a
6
＋a
4
＋a
2
＋1
a
4＝
a?a
6
＋a
4
＋a
2
＋1?
a
2n
＋a
2n2
＋?＋a
2
＋1
猜想a
n
＝
2n
－
2

－
a?a＋a
2n4
＋?＋1?
－
a
2n2
－1
＋
a
2
－1
a
2n2
－1
＝.
－
＝
a
2n1
a?a
2n
－1?
a·
2
a－1
＋
(2)证明： ①当n＝1时，
a
4
－1a
2
＋1－1
右边＝
2
＝＝a
1
，等式成立．
a
a?a－1?
②假设当n＝k时(k∈N
*
)，等式成立，即 < br>a
2k2
－1
a
k
＝
2k
，则当n＝k＋1 时，
a?a－1?
＋
22k
1
a＋1a?a－1?
ak
＋
1
＝a
1
－＝－
2k
＋
2

a
k
a
a－1
?a
2
＋1??a
2k 2
－1?－a
2
?a
2k
－1?
＝
＋
a ?a
2k2
－1?
＋
a
2?k2?
－1
＝
2?k
＋
1?
，
a?a－1?
＋
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于一切n∈N
*
，
a
2n2
－1
a
n
＝
2n
成立．
a?a－1?
＋